计数原理与概率统计练习(精华)

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概率与统计初步(含习题训练)

第九章概率与统计初步一、计数原理1、（分类计数）加法原理：完成一件事情,有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法，……在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事情，共有:n m m m N +++= 21种不同的方法；2、 (分步计数）分步乘法原理：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法，……做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事情，共有：n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法;3、区分做事情的方法是“分类”还是“分步"主要看能否一步做完,能够一步做完的就是分类(用加法原理），不能一步做完的，就是分步（用乘法原理）;二、排列与组合1、排列数公式：从n 个不同的元素中取出()n m m ≤个不同元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的排列数,用符号n mA 表示，且：2、 n 的阶乘:自然数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，记作：!n ,且：3、组合数公式:从n 个不同的元素中取出()n m m ≤个不同元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的组合数，用符号n mC 表示，且:组合数公式也可写为：4、组合数的两个性质：()()n m n m n n m n mn n m C C C C C 1121--+-+==5、排列与组合的区别:排列与顺序有关；组合与顺序无关。

()()()()n m m n n n n A n m ≤+---=,121 ()()10,1221!=⋅--=！规定： n n n n ()()()()()()1,,1221121!0=≤⋅--+---==n n m nmC n m m m m m n n n n m A C 规定： ()!!!m n m n C n m -⋅=()!!m n n A nm -=为：易知排列数公式也可写三、概率1、基本概念（1）随机现象：在相同的条件下，具有多种可能的结果,而事先又无法确定会出现哪种结果的现象;（2）随机试验的特征:可以在相同的条件下重复进行；试验的所有可能结果是可以明确知道的，并且这些可能结果不止一个；每次试验之前不能准确预言哪一个结果会发生；（3）随机事件：随机试验的结果叫做随机事件，简称事件，常用大写字母A 、B 、C表示；（4）必然事件:在一次随机试验中必然要发生的事件，用Ω表示（Ω读作“omiga",Ω对应的小写希腊字母是“ω”）；（5）不可能事件：在一次随机试验中不可能发生的事件，用φ表示(φ读作“fai ”)；（6）基本事件：随机事件中不能分解的事件称为基本事件,即：最简单的随机事件；（7）复合事件：由若干个基本事件组成的事件称为复合事件; 2、频数与频率（1）频数：在n 次重复试验中，事件A 发生了m 次()n m ≤≤0，m 叫做事件A 发生的频数；（2）频率：在n 次重复试验中，事件A 发生的频数在试验总次数中所占的比例nm ,叫做事件A 发生的频率； 3、概率（1）一般地,当试验的次数充分大时，如果事件发生的频率总稳定在某个常数附近，那么就把这个常数叫做事件发生的概率，记作：; （2）概率的性质：i. 对于必然事件Ω：()1=ΩP ii. 对于不可能事件φ：()0=φP iii. ()10≤≤A P4、古典概型（1）古典概型：如果一个随机试验的基本事件只有有限个，并且各个基本事件发生的可能性相同,那么称这个随机试验属于古典概型；（2）概率:设试验共有n 个基本事件，并且每一个基本事件发生的可能性都相同，事件A 包含m 个基本事件，那么事件发生的概率为:（3）事件的“交”:“B A ”表示B A 、同时发生,记作：AB ；（4）事件的“并”：“B A ”表示B A 、中至少有一个会发生,又称为事件A 与事件B 的和事件；()nA A P m==基本事件总数包含的基本事件（5）事件的“否”：A 表示事件A 的对立事件；（A 读作a bar ，“A 拔”)（6）互为对立的事件：若事件A 是事件B 的对立面,且Ω==B A B A ,φ；（对立事件的理解：在任何一次随机试验中，事件A 与B 有且仅有一个发生）（7）互斥事件(互不相容事件）：不可能同时发生的两个事件，即：φ=B A ；（对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件)（8）相互独立事件:在随机试验中，如果事件A 的发生不会影响事件B 发生的可能性的大小，即在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率等于事件B 原来的概率，那么称事件A 与事件B 相互独立;（事件A 发生与否，不影响事件B 的概率) （9）若A 、B 是互斥事件，则：()()()B P A P B A P +=（10）若A 、B 是对立事件，则：()()B P A P +=1，即：()()A P A P -=1 （11）若A 、B 不是互斥事件，则：()()()()B A P B P A P B A P -+= （12）若A 、B 是相互独立事件，则:()()()()B P A P AB P B A P ⋅==四、总体、样本与抽样方法例1：为了了解全校1120名一年级学生的身高情况，从中抽取100名学生进行测量; 1、总体：在统计中，所研究对象的全体；例1中“全校1120名一年级学生的身高”是总体;2、个体：组成总体的每一个对象；例1中“全校每一位一年级学生的身高”是个体；3、样本：被抽取出来的个体的集合；例1中“抽取的100名一年级学生的身高”是样本；4、样本容量：样本所含个体的数目;例1中“100”是样本容量;5、抽样的方法有三种：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样；6、说明：当总体中的个数比较小时,常采取简单随机抽样；当总体中的个数比较多，且其分布没有明显的不均匀情况，常采用系统抽样；当总体由差异明显的几个部分组成时，常采用分层抽样；五、用样本估计总体1、样本均值：()n x x x nx +++=2112、样本方差：()()()[]2222121x x x x x x nS n -++-+-= 3、样本标准差：()()()[]222211x x x x x x nS n -++-+-=4、说明：均值反映了样本和总体的平均水平;方差和标准差则反映了样本和总体的波动大小程度；5、作频率分布直方图的方法:①把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距；②然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率/组距；这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率,这些矩形就构成了频率分布直方图。

高考数学经典试题与解析专题九计数原理与概率统计

专题九计数原理与概率统计——2025届高考数学考点剖析精创专题卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．[2023年全国高考真题]某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为()A.16B.13C.12D.231．答案：D解析：依题意，用1A ，2A 表示高一的2名学生，1B ，2B 表示高二的2名学生，则从4名学生中随机选2名学生的选法有()12,A A ，()12,B B ，()11,A B ，()12,A B ，()21,A B ，()22,A B ，共6种，其中2名学生来自不同年级的选法有()11,A B ，()12,A B ，()21,A B ，()22,A B ，共4种，所以所求概率4263P ==，故选D.2．将甲、乙等5名同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有()A.120种 B.150种 C.180种 D.240种2．答案：B解析：根据题意，分2步进行分析：①先将甲、乙等5名同学分成3组：若分成1，2，2的3组，则有12254222C C C15 A =（种）方法；若分成1，1，3的3组，则有11354322C C C 10 A =（种）方法，故将5人分成3组，每组至少有1人，有151025+=（种）分组方法.②将分好的3组对应三所大学，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有3325A 150=（种）.3．[2023春·高二·四川内江·期中校考]在12nx ⎫-⎪⎭的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中6x 的系数是()A.454B.358-C.358D.73．答案：C解析：依题意知第五项的二项式系数最大，所以一共是9项，所以8n =，二项式展开项的通项公式为842218811C C 22rrr rr r r r T x x x -++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令462r +=，得4r =，所以6x 的系数为448135C 28⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选C.4．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A ={两次的点数均为奇数}，B ={两次的点数之和为8}，则()P B A =∣()A.112B.29C.13D.234．答案：B解析：易知()()()n AB P BA n A =∣，其中AB 表示“两次的点数均为奇数，且两次的点数之和为8”，共有两种情况，即(3,5)，(5,3)，故()2n AB =.而1133()C C 9n A =⋅=，所以()2()()9n AB P B A n A ==∣.故选B.5．[2023春·高二·江苏盐城·月考联考]已知服从正态分布()2,N μσ的随机变量在区间(],μσμσ-+，(]2,2μσμσ-+和(]3,3μσμσ-+内取值的概率分别为68.26%，95.44%和99.74%.若某校高二年级1000名学生的某次考试成绩X 服从正态分布()290,15N ，则此次考试成绩在区间(]105,120内的学生大约有()A.477人B.136人C.341人D.131人5．答案：B 解析：根据题意，()()()60120751050.95440.68261051200.135922P X P X P X <≤-<≤-<≤===，则10000.1359135.9136⨯=≈，故此次考试成绩在区间(]105,120内的学生大约有136人.故选：B.6．某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x （元）99.29.49.69.810销量y （件）1009493908578预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从这种线性相关关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为()参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆniii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-.参考数据：615116iii x y==∑，622160.7i i x x =-=∑.A.9.4元B.9.5元C.9.6元D.9.7元6．答案：B解析：由题意，得1(99.29.49.69.810)9.56x =⨯+++++=，1(1009493908578)906y =⨯+++++=，6162216511669.590ˆ200.76i ii ii x y xybxx ==--⨯⨯===--∑∑，ˆ909.520280a=+⨯=，则ˆ20280y x =-+.设工厂获得利润L 元，则2(5)(20280)20(9.5)405L x x x =--+=--+，当9.5x =时，L 取得最大值.所以当单价定为9.5元时，工厂获得最大利润，故选B.7．[2024春·高一·河南三门峡·期末校考]某高中为了积极响应国家“阳光体育运动”的号召,调查该校3000名学生每周平均体育运动时长的情况,从高一、高二、高三三个年级学生中按照4:3:3的比例进行分层随机抽样,收集了300名学生每周平均体育运动时长（单位:小时）的数据,整理后得到如图所示的频率分布直方图.下列说法不正确的是()A.估计该校学生每周平均体育运动时长为5.8小时B.估计该校高一年级学生每周平均体育运动时长不足4小时的人数为300C.估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的百分比为10%D.估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的人数为6007．答案：C解析：对于A,估计该校学生每周平均体育运动时长为10.0530.250.370.2590.15110.05 5.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（小时）,故选项A 正确;对于B,该校高一年级的总人数为430001200433⨯=++,由题中频率分布直方图可知,该校学生每周平均体育运动时长不足4小时的频率为()0.0250.120.25+⨯=,所以估计该校高一年级学生每周平均体育运动时长不足4小时的人数为12000.25300⨯=,故选项B 正确;对于C,估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的百分比为()0.0750.0252100%20%+⨯⨯=,故选项C 错误;对于D,估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的人数为300020%600⨯=,故选项D 正确.故选：C.8．甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为12，23，34，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为()A.14B.724C.1124D.17248．答案：D解析：设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是()12P A =，()23P B =，()34P C =，则不获一等奖的概率分别是()11122P A =-=，()21133P B =-=，()31144P C =-=，则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为：()()()()()()()()()()()()P ABC P ABC P ABC P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++=++1231131211123423423424=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，这三人都获得一等奖的概率为()()()()12312344P ABC P A P B P C ==⨯⨯=，所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率1111724424P =+=.故选：D.二、多项选择题9．[2020年全国高考真题]我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推动复工复产.下面是某地连续11天的复工、复产指数折线图.根据该折线图，()A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加B.在这11天期间，复产指数的增量大于复工指数的增量C.第3天至第11天，复工指数和复产指数都超过80%D.第9天至第11天，复产指数的增量大于复工指数的增量9．答案：CD解析：由题图可知第8，9天复工指数和复产指数均减小，故A 错误；第1天时复工指数小于复产指数，第11天时两指数相等，故复产指数的增量小于复工指数的增量，故B 错误；由题图可知第3天至第11天，复工复产指数都超过80%，故C 正确；第9天至第11天，复产指数的增量大于复工指数的增量，故D 正确.10．已知()*nx n ⎛+∈ ⎝N 的展开式中共有7项，则该二项展开式中()A.所有项的二项式系数和为64 B.所有项的系数和为1C.二项式系数最大的项为第4项 D.有理项共有4项10．答案：ACD解析：由题意知6n =，则6x ⎛⎝的展开式的通项为3666216C C (0,1,2,,6)2rr rr r r r T x x r --+===⋅ .对于A ，所有项的二项式系数和为6264=，故A 正确；对于B ，令1x =，得6613122⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此所有项的系数和为632⎛⎫⎪⎝⎭，不为1，故B 错误；对于C，由二项式系数的性质，可知6x ⎛⎝的展开式中第4项的二项式系数最大，为36C 20=，故C 正确；对于D ，当362r-∈Z ，即0,2,4,6r =时，对应的项为有理项，共有4项，故D 正确.故选ACD.11．[2023春·高二·江苏·期中联考]红、黄、蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色.已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色，等量的红色加蓝色调配出紫色，等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有红、黄、蓝颜料各2瓶，甲同学从6瓶中任取2瓶颜料，乙同学再从余下的4瓶中任取2瓶颜料，两人分别进行等量调配，A 表示事件“甲同学调配出红色”，B 表示事件“甲同学调配出绿色”，C 表示事件“乙同学调配出紫色”，则下列说法正确的是()A.1()15P A =B.1()4P C A =∣C.4()45P BC =D.事件B 与事件C 相互独立11．答案：AC解析：从6瓶中任取2瓶颜料的方法数为26C .对于A ，A 表示事件“甲同学调配出红色”，若调出红色，需要2瓶颜料均为红色，有22C 种方法，则2226C 1()C 15P A ==，故A 正确；对于B ，事件A 发生需要2瓶颜料均为红色，事件C 发生需要1瓶红色颜料和1瓶蓝色颜料，在事件A 发生的条件下，事件C 不可能发生，所以()0P CA =∣，故B 错误；对于C ，若事件B 发生，则甲同学取出1瓶黄色颜料和1瓶蓝色颜料，则112226C C 4()C 15P B ==，此时还剩1瓶黄色颜料和1瓶蓝色颜料，2瓶红色颜料，则1224C 1()C 3P C B ==∣，故414()()()15345P BC P B P C B =⨯=⨯=∣，故C 正确；对于D ，若事件C 发生，则乙取了1瓶红色颜料和1瓶蓝色颜料，甲同学取了至少1瓶黄色颜料或甲同学取了一瓶红色颜料和一瓶蓝色颜料，则21111111222242222264C C C C C C C C 4()C C 15P C ++==，444()()()151545P B P C P BC ⋅=⨯≠=，事件B 与事件C 不相互独立，故D 错误.故选AC.三、填空题12．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等）.若,,{1,2,3,4}a b c ∈，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是_________.12．答案：12解析：由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个；同理，由1，2，4组成的三位自然数有6个，由1，3，4组成的三位自然数有6个，由2，3，4组成的三位自然数有6个，共有24个三位自然数.由1，2，3或1，3，4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个.所以这个三位数为“有缘数”的概率121242P ==.13．已知随机变量X 有三个不同的取值，分别是0，1，x ，其中(0,1)x ∈，又1(0)4P X ==，1(1)4P X ==，则随机变量X 方差的最小值为__________.13．答案：18解析：由1(0)4P X ==，1(1)4P X ==，得1()2P X x ==，所以随机变量X 的数学期望21()4x E X +=，则方差222221123121111()42444442162x x x D X x ⎡⎤+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯=⨯-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.当12x =时，()D X 取到最小值18，故答案为18.14．[2023届·西北工业大学附中·模拟考试]将8张连号的门票分给5个家庭，甲家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张门票随机分给其余的3个家庭，并且甲、乙两个家庭不能连排在一起（甲、乙两个家庭内部成员的顺序不予考虑），则这8张门票不同的分配方法有_________种.14．答案：72解析：设8张门票的编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8.若甲选123，则乙可以是56，67，78共3种，此时共有333A 18=种；若甲选234，则乙可以是67，78共2种，此时共有332A 12=种；若甲选345，则乙可以是78共1种，此时共有33A 6=种；若甲选456，则乙可以是12共1种，此时共有33A 6=种；若甲选567，则乙可以是12，23共2种，此时共有332A 12=种；若甲选678，则乙可以是12，23，34共3种，此时共有333A 18=种.综上所述，不同的分配方法有181266121872+++++=种.四、解答题15．[2024春·高一·青海西宁·期末]为了解学生的周末学习时间（单位：小时）,高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查,将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图.根据直方图所提供的信息：(1)用分层抽样的方法在[)20,25和[]25,30中共抽取6人成立学习小组,再从该小组派3人接受检测,求检测的3人来自同一区间的概率;(2)估计这40名同学周末学习时间的25%分位数.15．答案：(1)1 5 ;(2)8.75小时.解析：(1)由图可知,40名学生中周末的学习时间在[)20,25的人数为0.035406⨯⨯=人,周末的学习时间在[]25,30的人数为0.0155403⨯⨯=人,从中用分层抽样抽取6人,则周末的学习时间在[)20,25的有4人,记为A,B,C,D;周末的学习时间在[]25,30的有2人,记为a,b;则再从中选派3人接受检测的基本事件有ABC,ABD,ABa,ABb,ACD,ACa,ACb, ADa,ADb,Aab,BCD,BCa,BCb,BDa,BDb,Bab,CDa,CDb,Cab,Dab共有20个,其中检测的3人来自同一区间的基本事件有ABC,ABD,ACD,BCD共有4个,所以检测的3人来自同一区间的概率41205 P==;(2)学习时间在5小时以下的频率为0.0250.10.25⨯=<,学习时间在10小时以下的频率为0.10.0450.30.25+⨯=>,所以25%分位数在区间[)5,10内,则0.250.1 558.750.30.1-+⨯=-,所以这40名同学周末学习时间的25%分位数为8.75小时.16．[2024春·高二·宁夏石嘴山·月考校考]2020年，是人类首次成功从北坡登顶珠峰60周年，也是中国首次精确测定并公布珠峰高程的45周年.华为帮助中国移动开通珠峰峰顶5G ，有助于测量信号的实时开通，为珠峰高程测量提供通信保障，也验证了超高海拔地区5G 信号覆盖的可能性，在持续高风速下5G 信号的稳定性，在条件恶劣地区通过简易设备传输视频信号的可能性.正如任总在一次采访中所说：“华为公司价值体系的理想是为人类服务.”有人曾问，在珠峰开通5G 的意义在哪里？“我认为它是科学技术的一次珠峰登顶，告诉全世界，华为5G 、中国5G 的底气来自哪里.现在，5G 的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革，某IT 公司基于领先技术的支持，5G 经济收入在短期内逐月攀升，该IT 公司在1月份至6月份的5G 经济收入y （单位：百万元）关于月份x 的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.月份x 123456收入y （百万元）6.68.616.121.633.041.0（1）根据散点图判断，y ax b =+与e dx y c =⋅(a ，b ，c ，d 均为常数)哪一个更适宜作为5G 经济收入y 关于月份x 的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由)（2）根据（1）的结果及表中的数据，求出y 关于x 的回归方程，并预测该公司7月份的5G 经济收入.(结果保留小数点后两位)（3）从前6个月的收入中抽取2个，记收入超过20百万元的个数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考数据：x yu 621()i i x x =-∑61()()iii x x y y =--∑61()()iii x x uu =--∑ 1.52e 2.66e 3.5021.15 2.8517.70125.35 6.734.5714.30其中，设ln u y =，ln i i u y =(1,2,3,4,5,6i =).参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(),(21,2,3,,)i i x v n = ，其回归直线ˆˆˆvx βα=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii Ri i x x v v x x β==--=-∑∑，ˆˆv x αβ=-16．答案：（1）e dx y c =⋅更适宜（2） 1.520.38e ˆx y +=，65.35百万元（3）分布列见解析，1解析：（1）根据散点图判断，e dx y c =更适宜作为5G 经济收入y 关于月份x 的回归方程类型；（2）因为e dx y c =，所以两边同时取常用对数，得ln ln y c dx =+，设ln u y =，所以ln u c dx =+，因为 3.50x =， 2.85u =，所以61621()( 6.73ˆ0.380,17.70(iii ii x x u u dx x ==--==≈-∑∑所以ˆln 2.850.380 3.50 1.52c u dx=-≈-⨯=.所以ˆ 1.520.38u x =+，即ˆln 1.520.38y x =+，所以 1.520.38e ˆx y +=.令7x =，得 1.520.387 1.52 2.66ˆe e e 4.5714.3065.35y +⨯==⨯≈⨯≈，故预测该公司7月份的5G 经济收入大约为65.35百万元.（3）前6个月的收入中，收入超过20百万元的有3个，所以X 的取值为0，1，2，2326C 1(0)C 5P X ===，113326C C 3(1)C 5P X ===，2326C 1(2)C 5P X ===，所以X 的分布列为：X 012P153515所以()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=.17．[2024春·高三·内蒙古赤峰·开学考试校考]卫生纸主要供人们生活日常卫生之用，是人民群众生活中不可缺少的纸种之一.某品牌卫生纸生产厂家为保证产品的质量，现从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取500件进行品质鉴定，并将统计结果整理如下：合格品优等品甲生产线250250乙生产线300200（1）判断能否有99.9%的把握认为产品的品质与生产线有关；（2）用频率近似为概率，从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取2件进行详细检测，记抽取的产品中优等品的件数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d=+++()20P K k ≥0.100.050.0250.0100.0010k 2.7069.8415.0246.63510.82817．答案：（1）没有；（2）分布列见解析，95解析：（1）补充列联表如下：合格品优等品总计甲生产线250250500乙生产线300200500总计5504501000根据列联表中的数据，经计算得到221000(250200250300)10.10110.828550450500500K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99.9%的把握认为产品的品质与生产线有关.（2）由题意，甲生产线生产的产品中抽取优等品的频率为25015002=，乙生产线生产的产品中抽取优等品的频率为20025005=，所以估计从甲、乙生产线生产的产品中各随机抽取优等品的概率分别为12，25，由题意随机变量X 的所有可能取值是0，1，2，3，4，()22139025100P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22211221312331C C 2525510P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2222211221313212372C C 2525525100P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22211221212313C C 252555P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2212142525P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故X 的分布列为：X 01234P91003103710015125所以X 的期望()933711901234100101003255E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.18．[2024春·高二·福建宁德·期末]毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在75145～分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示.（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ为样本平均数(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表)，13.σ=现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为Y ，求随机变量Y 的期望.(结果精确到0.01)；（3）全市组织各校知识竞赛成绩优秀的同学参加总决赛，总决赛采用闯关的形式进行，共有20个关卡，每个关卡的难度由计算机根据选手上一关卡的完成情况进行自动调整，第二关开始，若前一关未通过，则其通过本关的概率为12；若前一关通过，则本关通过的概率为13，已知甲同学第一关通过的概率为13，记甲同学通过第n 关的概率为n P ，请写出n P 的表达式，并求出n P 的最大值.附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈，()330.9973P X μσμσ-<≤+≈.18．答案：（1）0.012；（2）0.23；（3）13217216n n P -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n P 的最大值为49.解析：（1）由频率分布直方图，得()100.0050.0190.030.020.0021a a ⨯++++++=，解得0.012a =.（2）由题意得：800.05900.121000.191100.3μ=⨯+⨯+⨯+⨯1200.21300.121400.02109.2+⨯+⨯+⨯=，()2109.2,13X N ～，()()()122135.220.022752P X P X P X μσμσμσ--<≤+>=>+=≈，()10,0.02275Y B ～，()0.22750.23E Y np ==≈.（3）记甲同学第()*n n ∈N 关通过为事件n A ，依题意，113P =，当2n ≥时，()113n n P A A -=，()112n n P A A -=，()n n P P A =，所以()()()()()1111n n n n n n n P A P A P A A P A P A A ----=+，所以()111111113262n n n n P P P P ---=+-=-+，所以1313767n n P P +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又因为113P =，则1320721P -=-≠，所以数列37n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为221-，公比为16-的等比数列，所以13217216n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，113213213721672167n n n P --⎛⎫⎛⎫=--=-<⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当n 为偶数时，13217216n n P -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则n P 随着n 的增大而减小，所以，249n P P ≤=，又4397>，所以n P 的最大值为49.19．[2024春·高二·江苏南通·月考校考]篮球运动是在1891年由美国马萨诸塞州斯普林尔德市基督教青年会训练学校体育教师詹姆士·奈史密斯博士，借鉴其他球类运动项目设计发明的.起初，他将两只桃篮钉在健身房内看台的栏杆上，桃篮上沿离地面约3.05米，用足球作为比赛工具，任何一方在获球后，利用传递、运拍，将球向篮内投掷，投球入篮得一分，按得分多少决定比赛胜负.在1891年的12月21日，举行了首次世界篮球比赛，后来篮球界就将此日定为国际篮球日.甲、乙两人进行投篮，比赛规则是：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是12和p ，且每人、每次进球与否都互不影响.（1）若23p =，求在进行一轮比赛后甲比乙多投进2球的概率；（2）若1223p ≤≤，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，求：①设事件C 表示乙每轮比赛至少要超甲2个球，求()P C ；（结果用含p 的式子表示）②从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？19．答案：（1）124；（2）①321388p p +；②15解析：（1）设事件i A 表示甲在一轮比赛中投进i 个球，i B 表示乙在一轮比赛中投进i 个球，()0123i =,,,，D 表示进行一轮比赛后甲比乙多投进2球所以2031D A B A B =+()()()2031P D P A B P A B =+2332203133331111211C C C C 22323324⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⨯⨯⨯⨯⎭⎝⎭⎝⎭（2）①()()()()203031P C P B A P B A P B A =++()3332231323311113C 1C 22288p p p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎦⎝；②设随机变量X 表示n 轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分，则有3213,88X B n p p ⎛⎫~+ ⎪⎝⎭，故()321388E X n p p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要满足题意，则()3E X ≥，即3213388n p p ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，又12,23p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故3231388n p p ≥+，令()321388f x x x =+，12,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()3208f x x x '=+>在12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，即()f x 在12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故()f x 的最大值为211354f ⎛⎫=⎪⎝⎭，即321388p p +的最大值为1154，于是，3231388p p +的最小值为16211，因162141511<<，故理论上至少要进行15轮比赛.。

考点9 计数原理与概率统计—高考数学一轮复习考点创新题训练(含解析)

考点9 计数原理与概率统计—高考数学一轮复习考点创新题训练1.如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，事件“甲元件故障”，“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为( )3.中国茶文化是中国制茶､饮茶的文化.中国是茶的故乡，中国人发现并利用茶，据说始于神农时代，至少有4700多年历史中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含物质文化层面，还包含深厚的精神文明层次.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还有杀青､揉捻､干燥等制作流程.现在某茶厂新招聘了6位工人，分配到这三个工序，揉捻工序至少要分配两位工人，杀青､干燥工序各至少分配一位工人，则不同分配方案数为( )A.120B.240C.300D.3604.北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”.随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安.若这6名航天员站成一排合影留念，唐胜杰与江新林相邻，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有( )A.144种B.204种C.156种D.240种5.为了学习，宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生开展了以“学党史，知国情，圆梦想”为主题的党史暨时政知识竞赛活动.已知该班男生人，女生人，根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为.记该班成绩的方差为，则下列判断正确的是( )A.M =N =N20302212,s s 2s 2s =2≥2=22212235s s +≥是通路的概率是( )7.《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是华夏文化的源头，也是阴阳五行术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，其中白圆点表示阳数，阳数皆为奇数，黑圆点表示阴数，阴数皆为偶数.若从这10个数中任取2个数，则取出的2个数中至少有1个偶数的概率为( )A.B.8.七巧板被誉为“东方魔板”，是我国古代劳动人民的伟大发明之一，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向此正方形内丢一粒小种子，则种子落入黑色平行四边形区域的概率为( )，）表⋅1229*∈N 0,1,,k n =⋅⋅⋅示其中恰有次升高的排列的个数（注：次升高是指在排列中有k 处，，…，）.例如：1，2，3的排列共有：123，132，213，231，312，321六个，恰有1.则下列结论正确的有( )10.（多选）甲、乙、丙、丁4人每人随机选取Visua l Basie 、VisualC ＋＋，VisualFoxpro 三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A 表示事件“甲学习VisualBasic 编程语言”；B 表示事件“乙学习VisualBasic 编程语言”；C 表示事件“乙学习VisualC ＋＋编程语言”，则( )A.事件A 与B 相互独立B.事件A 与C 不是互斥事件C.D.11.2021年我国神舟两次成功发射，2021年6月17日，神舟十二号载人航天飞船成功发射，并与天和核心舱成功完成对接，9月17日聂海胜､刘伯明､汤洪波三位航天员安全回到地面.同年10月16日，神舟十三号将另外三名航天员翟志刚､王亚平､叶光富送上太空.为弘扬他们的优秀事迹，同学们组织一项活动，给六位航天员分别制作一张卡片，每位同学每次随机抽取两张，然后讲述这两位航天员的事迹，则抽到同一艘航天飞船航天员的概率是___________.12.重庆位于中国西南部､长江上游地区，地跨青藏高原与长江中下游平原的过渡地带.东邻湖北､湖南，南靠贵州，西接四川，北连陕西.现用4种颜色标注6个省份的地图区域，相邻省份地图颜色不相同，则共有__________种涂色方式.()52|1P C A =()16|P B A =k k 12n a a a ⋅⋅⋅1i i a a +<1i =1n -4==11=n n k =--111n n k n k k --=+-13.为了保障疫情期间广大市民基本生活需求，市政府准备了茄子、辣椒、白菜、角瓜、菜花、萝卜、黄瓜、土豆八种蔬菜，并从中任选五种，以“蔬菜包”的形式发给市民.若一个“蔬菜包”中不同时含有土豆和萝卜，且角瓜、黄瓜、辣椒最多只含有两种，则可以组成___________种不同的“蔬菜包”.14.如图，一质点在大小随机的外力作用下，在x 轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，其中每次移动1个单位的概率均为p ，移动2个单位的概率均为.（1）记质点移动5次后位于8的位置的概率为，求的最大值及最大值点；（2）已知，概率为.（i ）求，，；（ii ）证明：是等比数列，并求.15.乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域C 、D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其它情况记0分.对落点在A 上的来球，队员小明回球的不影响.求：（1）小明对落点在A 、B 上的来球回球的得分为0分的概率；（2）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（3）两次回球结束后，小明得分之和的所有可能取值及对应的概率.1p -()f p ()f p 0p p =n n P 8a 2P 3P {}1n n P P +-n P A B 、ξ答案以及解析11.答案：D同时2.答案：B3.答案：D解析：根据题意，新招聘了6位工人，分配到这三个工序，揉捻工序至少要分配两位工人，杀青､干燥工序各至少分配一位工人，可分为三类情况：①若揉捻工序分配2人，有种分配方案；②若揉捻工序分配3人，有种分配方案；③若揉捻工序分配4人，有种分配方案；由分类计数原理可得，共有种分配方案.故选：D.4.答案：C解析：第一步，唐胜杰、江新林2人相邻，有种排法；第二步，分景海鹏站最右边与景海鹏不站最左边与最右边两种情况讨论第一种情况：景海鹏站最右边，共有种排法；第二种情况：景海鹏不站最左边与最右边，则共有种排法，故总共有种排法.故选：C.5.答案：D，2221264642C C C C A 210+=312632C C A 120=4262C A 30=21012030360++=22A 2=44A 24=113333A A A 54=()22454156⨯+=2222112201[()()()]20s x x x x x x =-+-++-，同理，，6.答案：B7.答案：D解析：由题意知，这10个数中有5个奇数、5个偶数，所以取出的2个数中至少有1个偶数的概率8.答案：A的直角边为2，斜边为()2222122012201[220]20x x x x x x x x =+++-++++ 2222212201[4020]20x x x x x =+++-+ 202222221220111[20]2020i i x x x x x x ==+++-=-∑ 3022221130ii s y y ==-∑20222112020ii x s x =∴=+∑30222213030ii y s y ==+∑1(2030)50x y =+=222203022222212112312323505555i i i i s s x y s x y x x y ==⎛⎫++⎛⎫'∴=+-=++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑22212236()525s s x y +=+-≥112555210C C C C p +==故选：A 9.答案：BC解析：对于A ，将1，2，3，4全部排列，恰有3次升高的排列为1234，，A 错误；对于B ，将全部排列，恰有2次升高，排列个数可以如下考虑：1排首位时，共有1324，1423，1342，1243共4个排列符合恰有2次升高；2排首位时，共有2134，2341，2314，2413共4个排列符合恰有2次升高；3排首位时，共有3124，3412共2个排列符合恰有2次升高；4排首位时，共有4123共1个排列符合恰有2次升高；，B 正确；对于C，将1，…，n 全部排列，共有处相邻两数满足或，故如果其中有k 处升高，则其余处必为，将有k 处升高的排列倒序排列，则得到的新排列显然有处升高，且两者排列的个数一样，反之亦然，所以有k 处升高的排列个数等于有对于D ，不妨取，，则，即，D 错误；故选：BC 10.答案：BCD种安排方案，甲学习VisualBasic 编程语言、乙学习VisualBasic 编程语言、乙学习VisualC+＋编程语言，=1=1,2,3,411=1n -1i i a a +<1i i a a +>1n k --1i i a a +>1n k --1n k --n n k =--4n =k ===4=33212418+=43324221≠+111n n k n k k --≠+-33A 36=各有种方案，有种方案，语言，有种方案，对于A ，，事件A 与B 不相互独立，故A 错误；对于B ，，事件A 与C 不是互斥事件，故B正确；对于C ，对于D ，解析：设抽到的两位航天员用表示，则共有{（聂，刘），（聂，汤），（刘，汤），（雀，王），（翟，叶），（王，叶），（聂，翟），（聂，王），（聂，叶），（刘，翟），（刘，王），（刘，叶），（汤，翟），（汤，王），（汤，叶）}15种情况，其中是同一艘飞船的有聂，刘），（聂，汤），（刘，汤），（翟，王），（翟，叶），（王，叶）}共6种情况，故12.答案：120解析：根据题意，用4种颜色标注6个省份的地图区域，相邻省份地图颜色不相同，则这4种颜色全部都用上，其中必有两个不相邻的地区涂同一种颜色，共有：{“四川和湖南”且“贵州和湖北”}､{“四川和湖南”且“贵州和陕西”}､{“四川和湖北”且“贵州和陕西”}､{“四川和湖北”且“湖南和陕西”}､{“贵州和湖北”且“湖南和陕西”}，共有5种情况，所以不同的涂色共有种.故答案为：120.13.答案：27解析：当土豆和萝卜都不含有时，蔬菜包的种数为；当土豆和萝卜中只含有一种时，蔬菜包的种数为，所以可以组成种不同“蔬菜包”种数为，故答案为：27.223323C A +A =12∴(P 22A =2∴()236P AB ==11221C C 5+=∴P ()()()P AB P A P B ≠∴ ()5036P AC =≠∴()()()|P AB P C A P A ==()()()|P AB P B A P A ==(,)x y {(615P ==445A 120⨯=2333C C 3⋅=1221323333C (C C C C )2(3331)24⋅+⋅=⨯+⨯=32427+=解析：（1）由已知，可得5次移动中，有3次移动2个单位，2次移动1个单位在，在（2）（i ）法一：法二：（ii ）由题意，（3）可能的取值为0，1，2，3，4，6；答案见解析()2235C (1)f p p p ∴=-()()210(1)25f p p p p =--'∴()f p ∴20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭Z 2,15⎛⎫ ⎪⎝⎭]max 2()5f p f ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭025p p ==112P =21312113115,224228P P P P P ∴=+==+=12211,2,n n n a a a a a ++===+ 834a ∴=01234887654C C C C C 34a =++++=211122n n n P P P ++=+()21112n n n n P P P P +++∴-=--{1n n P P +∴-121112n n n P P ++⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭()()()121321n n n P P P P P P P P -∴=+-+-++- 2311112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1223n⎛⎫+- ⎪⎝⎭=0()A =0()B =ξ解析：（1）记为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”（），则记为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”（），则（2）记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.由题意，，由事件的独立性和互斥性，（3）由题意，可能的取值为0，1，2，3，4，6由事件的独立性和互斥性，得：，i A 013i =，，3()P A =1()A =011()123P A =--=i B 013i =，，3()P B =1()B =013()155P B =--=30100103D A B A B A B A B =+++30100103()()()()()P D P A B P A B P A B P A B =+++=ξ0011(0)()65P P A B ξ===⨯=10011113(1)()()3565P P A B P A B ξ==+=⨯+⨯=11131(2)()355P P A B ξ===⨯=30031111(3)()()2565P P A B P A B ξ==+=⨯+⨯31131311(4)()()2535P P A B P A B ξ==+=⨯+⨯=3311(6)()25P P A B ξ===⨯=。

计数原理与概率统计(精华)

[解析]用茎叶图表示的结果如下：
甲组
乙组
7 6 58
853 7 23
865 8 998
210 9 233
第5页
3、众数、中位数、平均数众数：频率分布最大值对应的样本数据. 在[例 4]中，成绩为 85 时所对应的人数是 4 ，为最多，则 85 就是本例的众数. 在[例 5]中，成绩为73,88,89,92,93 所对应的人数是 2 ，为最多，所以73,88,89,92,93 这 5 个数都是本例的众数. 中位数：样本数据累积到频率等于 0.5 时所对应的样本数据. 在[例 4]中，先将数据按顺序排列，总人数为 30 ，平分后是 15 ，那么在人数等于 15.5 时，对应的数据是：第 15 个和第 16 个数据的平均值，即： 85 85 85 2 故：本例的中位数是 85 . 在[例 5]中，共有 20 个样本，按顺序排列后为：序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩 65 67 68 72 73 73 75 78 85 86 序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 成绩 88 88 89 89 90 91 92 92 93 93 在 20 个样本中，其中间的数为第 10 个和第 11 个数据的平均值即： 86 88 87 ，故：本例的中位数是 87 . 2 平均数：样本数据的算术平均值就是样本的平均数. 在[例 4]中，成绩的总和除以总人数 30 的结果，就是本例的平均数. 成绩总和为 2418 ，则 2418 80.6 ，故本例的平均数是 80.6 . 30 在[例 4]中，成绩的总和除以总人数 20 的结果，就是本例的平均数. 成绩总和为 1647 ，则 1647 82.35 ，故本例的平均数是 82.35 . 20
3 30

2023-2024学年高考数学专项复习——计数原理与概率统计(附答案)

2023-2024学年高考数学专项复习——计数原理与概率统计决胜2024年高考数学专项特训:计数原理与概率统计（解答题篇）1．镇安大板栗又称中国甘栗、东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.(1)请估计该板栗园的板栗质量的中位数；(2)现采用分层抽样的方法从质量在[40，50）和[70，80]内的板栗中抽取10颗，再从这10 颗板栗中随机抽取 4 颗，记抽取到的特等板栗（质量≥70克）的个数为X，求X的分布列与数学期望.2．杭州第19届亚运会，中国代表团共获得201金111银71铜，共383枚奖牌，金牌数超越2010年广州亚运会的199枚，标志着我国体育运动又有了新的突破.某大学从全校学生中随机抽取了130名学生，对其日常参加体育运动情况做了调查，其中是否经常参加体育运动的数据统计如下：经常参加不经常参加男生6020女生4010(1)利用频率估计概率，现从全校女生中随机抽取5人，求其中恰有2人不经常参加体育运动的概率；(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为是否经常参加体育运动与性别有关联.0.1α=2χ参考公式.()()()()22(),n ad bc n a b c da b c d a c b d χ-==+++++++α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.8283．某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：），计算得cm 男生样本的均值为170，方差为17，女生样本的均值为160，方差为30．(1)根据以上信息，能够计算出总样本的均值和方差吗？为什么？(2)如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吧？4．一个问题，甲正确解答的概率为，乙正确解答的概率为.记事件甲正确解答，事0.80.7:A 件乙正确解答.假设事件与相互独立.:B A B (1)求恰有一人正确解答问题的概率；(2)某同学解“求该问题被正确解答的概率”的过程如下：解：“该问题被正确解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”，所以随机事件“问题被正确解答”可以表示为.A B +所以.()()()0.80.7 1.5P A B P A P B +=+=+=请你指出这位同学错误的原因，并给出正确解答过程.5．某学校为了学习、贯彻党的二十大精神，组织了“二十大精神”知识比赛，甲、乙两位教师进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得010-分．根据以往答题经验，每道题甲、乙答对的概率分别为，且甲、乙答对与否互不影响，12,23每次答题的结果也互不影响．(1)求在一局比赛中，甲的得分的分布列与数学期望；X (2)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求乙最终获胜的概率．6．为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000名顾客进行回访，调查结果如表：运动鞋款式A B C D E 回访顾客（人数）700350300250400满意度0.40.50.60.50.6注：1．满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值；2．对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度．假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率．(1)从所有的回访顾客中随机抽取1人，求此人是C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率；(2)从A 、E 两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的X X 分布列和数学期望；(3)用“”和“”分别表示对A 款运动鞋满意和不满意，用“”和“”分别表示对1ξ=0ξ=1η=0η=B 款运动满意和不满意，试比较方差与的大小．（结论不要求证明）()D ξ()D η7．某人从地到地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有个路口，第二A B n 条路线上有个路口.m (1)若，，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为；第二条路线的第一个路2n =2m =23口遇到红灯的概率为，第二个路口遇到红灯的概率为，从“遇到红灯次数的期望”考虑，3435哪条路线更好？请说明理由.(2)已知；随机变量服从两点分布，且，.则，i X ()()110ii i P X P X p ==-==11ni i n ii E X p ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑且.若第一条路线的第个路口遇到红灯的概率()2112,1,2,3,,n ni i i i i j i j E X p p p i j n ==≠⎡⎤⎛⎫=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑ i 为，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差.12i8．中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程．(1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数；(2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；(3)计划安排A 、B 、C 、D 、E 五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师A 不任教“围棋”课程，教师B 只能任教一门课程，求所有课程安排的种数．9．根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某数学组有3名男教师和2名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．求：(1)2名女教师必须坐在一起的坐法有多少种？(2)2名女教师互不相邻的坐法有多少种？10．绵阳市37家A级旅游景区，在2023年国庆中秋双节期间，接待人数和门票收入大幅增长．绵阳某旅行社随机调查了市区100位市民平时外出旅游情况，得到的数据如下表：喜欢旅游不喜欢旅游总计男性203050女性302050x A(1)求月份与商品的月销售量(2)若规定月销售量大于35的月份为合格月，在合格月中月销售量低于分，月销售量不低于50的视为优秀，记12．聊天机器人（chatterbot ）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.(1)求一个问题的应答被采纳的概率；(2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，事件（）的概率为，求当最大时的值.X X k =0,1,,8k = ()P X k =()P X k =k 13．某班社会实践小组在寒假去书店体验图书销售员工作，并对某图书定价x (元)与当天销量y (本/天)之间的关系进行调查，得到了一组数据，发现变量大致呈线性关系，数据如下表,x y 所示定价x （元）681012销量y （本/天）141187参考数据：，1()()24nii i xx y y =--=-∑参考公式：回归方程中斜率的最小二乘估计值公式为y bx a =+$$$121()()()nii i nii xx y y bxx ==--=-∑∑ (1)根据以上数据，求出y 关于x 的回归直线方程；(2)根据回归直线方程，预测当该图书每天的销量为4本时，该图书的定价是多少元？14．俗话说：“人配衣服，马配鞍”．合理的穿搭会让人舒适感十足，给人以赏心悦目的感觉．张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为3的倍数，则称为“完美投掷”，出现“完美投掷”，则记；若掷出1ξ=的点数之和不是3的倍数，则称为“不完美投掷”，出现“不完美投掷”，则记；若，0ξ=1ξ=则当天穿深色，否则穿浅色．每种颜色的衣物包括西装和休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为，而选择了浅色后，再选西装的可能性为．35310(1)求出随机变量的分布列，并求出期望及方差；ξ(2)求张老师当天穿西装的概率．15．已知一个盒子中装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外全部相同.每次从盒子中随机取出1个球，并换入1个黑球，记以上取球换球活动为1次操作.设次操作后盒子中所剩黑n 球的个数为.ξ(1)当时，求的分布列；3n =ξ(2)当时，求的分布列和数学期望.(3)n k k =≥ξ()E ξ16．数字乡村是乡村振兴的战略方向，也是建设数字中国的重要内容.从乡村民宿到旅游演艺，(2)估计这100名员工各项素质分数的平均数与方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）(3)若该平台准备挑选成绩较好的员工组建少？17．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出18．某超市计划按天从厂家订购酸奶，每瓶进价为4元，零售价为6元，若进货不足，则该超市以每瓶5元的价格进行补货，若销售有余，则厂家以3元回购，为此该超市收集并整理了30天这种酸奶的销售记录，得到了如下数据：销售瓶数2030405060频数361263以频率代替概率，记为这家超市每天销售该酸奶的瓶数，表示超市每天购进该酸奶的瓶X n 数.(1)求的分布列和数学期望；X (2)以销售该酸奶所得的利润的期望为决策依据，在和之中选一个，应选用哪个？55n =60n =答案：1．(1)57.5(2)分布列见解析，85【分析】（1）先通过分析确定中位数在内；再设中位数为，列出方程求解即可.[)50,60m （2）先根据分层抽样确定从质量在内的板栗中抽取颗，从质量在内的板栗[)40,506[]70,80中抽取颗；再写出的所有可能取值并计算相应的概率，列出分布列并根据数学期望公式4X 可得出答案．【详解】（1）因为，()0.0080.018100.260.5+⨯=<0.260.032100.580.5+⨯=>所以该板栗园的板栗质量的中位数在内．[)50,60设该板栗园的板栗质量的中位数为，m 则，解得，()500.0320.260.5m -⨯+=57.5m =所以该板栗园的板栗质量的中位数约为57.5．（2）由题意可知采用分层抽样的方法从质量在内的板栗中抽取[)40,50颗，从质量在内的板栗中抽取颗．0.0181060.0180.012⨯=+[]70,800.0121040.0180.012⨯=+的所有可能取值为．X 0,1,2,3,4，()()431664441010C C C 180,1C 14C 21P X P X ======，()()22136464441010C C C C 342,3C 7C 35P X P X ======．()44410C 14C 210P X ===从而的分布列为X X01234P114821374351210故．()1834180123414217352105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=2．(1)；128625(2)经常参加体育运动与性别没有关联.【分析】（1）由题设知抽取到不经常参加体育运动的女生人数服从，应用二项1(5,)5X B 分布概率求法求概率；（2）写出列联表，应用卡方公式求卡方值，根据独立检验基本思想得到结论.【详解】（1）由表格知：经常参加与不经常参加体育运动的女生比例为，4:1所以，抽取到不经常参加体育运动的女生人数服从，1(5,)5X B 故恰有2人不经常参加体育运动的概率.232541128C ()()55625=（2）由题设得列联表如下：22⨯经常参加不经常参加男生602080女生40105010030130故，22130(60104020)0.433 2.706100308050χ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以，依据小概率值的独立性检验认为经常参加体育运动与性别没有关联.0.1α=3．(1)不能，因为题目没有给出男、女生的样本量(2)均值为166，方差为46.2【分析】（1）由于不知道男、女生的样本量，故无法得到总样本的均值和方差；（2）根据男、女样本量按比例分配，得到总样本的均值，再根据公式得到总样本的方差.【详解】（1）不能，因为题目没有给出男、女生的样本量．（2）总体样本的均值为，300200170160166500500⨯+⨯=总体样本的方差为．2230020017(170166)30(160166)46.2500500⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦4．(1)0.38(2)答案见解析【分析】（1）分析可知，事件“恰有一人正确解答”可表示为，利用互斥事件和独立AB AB +事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）指出该同学作答的错误之处，分析可知，“问题被解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”，可以表示为，利用互斥事件和独立事件的概率公式可求AB AB AB ++得所求事件的概率，或利用对立事件和独立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）解：事件“恰有一人正确解答”可表示为，AB AB +因为、互斥，与相互独立，AB AB A B 所以.()()()()()()()P AB AB P AB P AB P A P B P A P B +=+=+0.20.70.80.30.38=⨯+⨯=（2）解：该同学错误在于事件、不互斥，而用了互斥事件的概率加法公式.A B 正确的解答过程如下：“问题被解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”，可以表示为，且、、两两互斥，与相互独立，AB AB AB ++AB AB AB A B 所以()()()()P AB AB AB P AB P AB P AB ++=++.()()()()()()0.20.70.80.30.80.70.94P A P B P A P B P A P B =++=⨯+⨯+⨯=或者.()()()()11P A B P AB P A P B +=-=-()()110.810.70.94=---=5．(1)分布列见解析，()53E X =-(2)55108【分析】（1）由题意知，取值可能为，分别求出对应的概率，写出分布列，再X 10,0,10-由数学期望公式即可.（2）由独立事件乘法公式及互斥事件的概率即可求出结果.【详解】（1）取值可能为，X 10,0,10-；()121101233P X ⎛⎫=-=-⨯=⎪⎝⎭；()1212101123232P X ⎛⎫⎛⎫==⨯+-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()121101236P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭所以的分布列为X X10-010P131216．()1115100103263E X =-⨯+⨯+⨯=-（2）由（1）可知在一局比赛中，乙获得10分的概率为，乙获得0分的概率2111323⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭为，乙获得分的概率为．121211123232⎛⎫⎛⎫⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10-1211236⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭在3局比赛中，乙获得30分的概率为；3111327P ⎛⎫==⎪⎝⎭在3局比赛中，乙获得20分的概率为；2223111C 326P ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭在3局比赛中，乙获得10分的概率为，2212333111111C C 323636P ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以乙最终获胜的概率为．12311115527636108P P P P =++=++=6．(1)顾客是款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率是．C 9100(2)的分布列见解答．的期望是1X X (3)()()D D ξη<【分析】（1）求出款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数，然后求解顾客是款C C 式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率．（2）的取值为0，1，2，设事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对X M A 该款式运动鞋满意”，事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运N E 动鞋满意”，说明事件与相互独立．然后求解的概率，得到分布列，然后求解期M N X 望．（3）由两点分布的方差公式计算比较与的大小．()D ξ()D η【详解】（1）由题意知，是款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数为，C 3000.6180⨯=故从所有的回访顾客中随机抽取1人，此人是C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率是．18092000100=（2）的取值为0，1，2．设事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对X M A 该款式运动鞋满意”，事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，N E 且事件与相互独立．M N 根据题意，，．()0.4P M =()0.6P N =则，(0)()(1())(1())0.60.40.24P X P MN P M P N ===--=⨯=，()()(1)()()()1()1()()0.40.40.60.60.52P X P MN P MN P M P N P M P N ==+=-+-=⨯+⨯=，(2)()()()0.40.60.24P X P MN P M P N ====⨯=所以的分布列为：X X012P0.240.520.24的期望是：．（3）都服从两点分布，X ()00.2410.5220.241E X =⨯+⨯+⨯=,ξη，，()10.4P ξ==()10.5P η==，，()()0.410.40.24D ξ=⨯-=()()0.510.50.25D η=⨯-=所以.()()D D ξη<7．(1)应选择第一条路线，理由见解析(2)2113342n n+-⋅【分析】（1）由题意，，分别求出相应的概率然后，结合期望公式即可10,1,2X =20,1,2X =比较，得出结论.（2）结合所给的均值方差性质，以及等比数列前项和公式即可求解.n 【详解】（1）应选择第一条路线，理由如下：设走第一、第二条路线遇到的红灯次数分别为随机变量、，1X 2X 则，，10,1,2X =20,1,2X =，，，()2111039P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()1122141C 339P X ==⨯⨯=()2212242C 39P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭所以；()1484993E X =+=又，，，()212104510P X ==⨯=()2321391454520P X ==⨯+⨯=()233924520P X ==⨯=所以；()299272202020E X =+⨯=因为，所以应选择第一条路线.427320<（2）设选择第一条路线时遇到的红灯次数为，X 所以；，()11nni i i i E X E X p ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑()22112n n i i i ji i i j E X E X p p p ==≠⎡⎤⎛⎫==+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑设随机变量，取值为，其概率分别为，且，Y Y ()1,2,3,,i Y i n =L i q 11ni i q ==∑()(){}21ni i i D Y Y E Y q ==-⎡⎤⎣⎦∑()(){}2212n i i i i ii Y q E Y Y q E Y q ==⋅-⋅+⋅⎡⎤⎣⎦∑()()()()()22221112nnni i i i i i i i Y q E Y Y q E Y q E Y E Y ====⋅-⋅+⋅=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑∑所以()()()()22D X E X E X =-2112nn i i j i i i j i p p p p =≠=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑∑∑，21122nn i i j i i j i i j i i j p p p p p p =≠=≠⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑()21ni i i p p ==-∑又因为，所以.12i i p =()1111111111224411241124n nn n i i i i D X ==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=---∑∑2113342n n =+-⋅8．(1)480(2)360(3)1140【分析】（1）采用插空法，先拍其余四科，再插空；（2）特殊的先排，再用分步乘法；（3）按甲所教科目的数量分类，然后由分类加法计数原理求解.【详解】（1）第一步，先将另外四门课排好，有种情况；44A 第二步，将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中，有种情况；25A 所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有种；4245A A 480⨯=（2）第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况；26A 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况；14C 第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法种情况；23C 因此，所有选课种数为.212643A 6C C 30⨯⨯=（3）①当A 只任教1科时：先排A 任教科目，有种；再从剩下5科中排B 的任教科目，15C 有种；接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种；所以15C 2343C A 当A 只任教1科时，共有种；1123554343C C C A 5532190021⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯②当A 任教2科时：先选A 任教的2科有中，这样6科分为4组共有25C 种，245454C A 432124021⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯所以，当A 任教2科时，共有种，9002401140+=综上，A 不任教“围棋”的课程安排方案有1140种．9．(1)48(2)72【分析】（1）捆绑法结合分步计数原理即可；（2）插空法结合分步计数原理即可；【详解】（1）根据题意，先将2名女教师排在一起，有种坐法，22A 2=将排好的女教师视为一个整体，与3名男教师进行排列，共有种坐法，44A 24=由分步乘法计数原理，共有种坐法．22448⨯=（2）根据题意，先将3名男教师排好，有种坐法，33A 6=再在这3名男教师之间及两头的4个空位中插入2名女教师，有种坐法，24A 12=由分步乘法计数原理，共有种坐法．61272⨯=10．(1)有的把握认为喜欢旅游与性别有关95%(2)分布列见解析，()45E ξ=【分析】（1）将表中数据代入的计算公式并将计算结果与比较大小，由此可知结果；2K 3.841（2）根据条件判断出，然后计算出在不同取值下的概率，由此可求分布列，22,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭:ξ根据分布列可求.()E ξ【详解】（1）因为，22100(20203030)4 3.84150505050K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯所以有的把握认为喜欢旅游与性别有关.95%（2）由表中数据可知：从全市男性市名中随机抽取一人，该人喜欢旅游的概率为，202505=由题意可知：，的可能取值为0,1,2.22,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭:ξ所以，()222290C 15525P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()111222121C 15525P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()02222242C 15525P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以的分布列为：ξξ12P9251225425所以（或者）.()912440122525255E ξ=⨯+⨯+⨯=()24255E ξ=⨯=11．(1)ˆ523yx =+(2)分布列见解析，()21E X =【分析】（1）由题意先分别算出，，结合已知参数即可算出，4x =721140ii x==∑ˆ5b =，从而即可得解.ˆ23a=（2）合格月有5个，其中记为5分的月份有3个，记为10分的月份有2个，由超几何分布的概率公式即可求出分布列，进一步得出数学期望.【详解】（1），，()112345674,437x y =++++++==711344i i i x y ==∑，72222222211234567140ii x==++++++=∑所以，，213447443ˆ514074b -⨯⨯==-⨯ˆˆ435423a y b x =-⋅=-⨯=所以.ˆ523yx =+（2）由题可知，合格月有5个，其中记为5分的月份有3个，记为10分的月份有2个，所以，()()()21123232333555C C C C 113315,20,25C 10C 5C 10P X P X P X =========所以的分布列为X X152025P11035310数学期望.()1331520252110510E X =⨯+⨯+⨯=12．(1)0.75(2)6【分析】（1）根据全概率公式即可求解，（2）根据二项分布的概率公式，利用不等式即可求解最值.【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件， “一次应答被采纳”为事件，A B 由题意，，，则()0.1P A =()0.8P B A =()0.3P B A =，()1()0.9P A P A =-=.()()()()()()()0.90.80.10.30.75P B P AB P AB P A P B A P A P B A =+=+=⨯+⨯=（2）依题意，，，3(8,)4X B 8831()()()44k k kP X k -==C 当最大时，有()P X k =()()()()1,1,P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=+⎪⎨=≥=-⎪⎩即解得：，，8171888191883131C C ,44443131C C ,4444k k k k k k k k k kk k -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩232744k ≤≤k ∈N 故当最大时，.()P X k =6k =13．(1)；1.220.ˆ8yx =-+(2).14【分析】（1）利用最小二乘法直接计算求回归直线方程即可；（2）利用回归直线方程代入计算即可.【详解】（1）由表格可知，6810121411879,1044x y ++++++====则，()()()()4222221()698910912920ii x x =-=-+-+-+-=∑所以，41421()()1.2()ˆiii ii x x y y bx x ==--==--∑∑则，故；1.2.8ˆ20ˆy x aa =-+⇒= 1.220.ˆ8y x =-+（2）由（1）知，当时，，1.220.ˆ8yx =-+4y =14x =即当该图书每天的销量为4本时，该图书的定价是元.1414．(1)分布列见解析；，()13E ξ=()29D ξ=(2)25【分析】（1）结合古典概型即可写出分布列，进而可求期望与方差；（2）结合条件概率即可求解.【详解】（1）将一枚骰子连续投掷两次共有基本事件种，6636⨯=掷出的点数之和是3的倍数有：，12种；(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6)则掷出的点数之和不是3的倍数有24种，随机变量的取值为0，1，ξ，()2420363P ξ===()1211363P ξ===所以的分布列为：ξξ1P2313．()21101333E ξ=⨯+⨯=；()22111221033339D ξ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）设表示深色，则表示穿浅色，表示穿西装，则表示穿休闲装．A AB B 根据题意，穿深色衣物的概率为，则穿浅色衣物的概率为，()13P A =()23P A =穿深色西装的概率为，穿浅色西装的概率为，()30.65P B A ==()310P B A =则当天穿西装的概率为．()()()()()13232353105P B P B A P A P B A P A =+=⨯+⨯=所以张老师当天穿西装的概率为．2515．(1)分布列见解析(2)分布列见解析，数学期望为2323k⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）首先分析题意，列出，即3次摸换球后的可能取值为1，2，3，3n =ξ再一次计算可能即可.（2）利用（1）中题意，进行分析即可，最后算出答案.【详解】（1），即3次摸换球后的可能取值为1，2，3.3n =ξ当，即3次摸球都摸到黑球，1ξ=1111(1)33327P ξ==⨯⨯=当，即3次摸球中有且仅有2次摸到黑球，1次白球，2ξ=()()()(2)P P P P ξ==++黑黑白黑白黑白黑黑112122222333333333=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯1427=当，即3次摸球中有且仅有1次摸到黑球，2次白球，3ξ=()()()(3)P P P P ξ==++黑白白白黑白白白黑12122121133333333=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯.1227=分布列为∴ξ122P12714271227（2）时，即次摸球换球后，黑球个数可能取值为1，2，3(3)n k k =≥k ξ同（1）当，即次摸球都摸到黑球，1ξ=k 1(1)3kP ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭当，即次摸球有且仅有“”次摸到黑球，1次摸到白球，2ξ=k 1k -()()()(2)P P P P ξ==+++白黑黑黑黑黑黑黑白黑白12122122123333333k k k ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯++⨯⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()112223kk k -=+++ .当，()2121312kk -=⋅-2123k k -=⋅3ξ=(3)1(1)(2)P P P ξξξ==-=-=，，()2211133k kk -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12113k k +-=-()()14213211()3333k k k k k E ξ+--⎛⎫∴=++- ⎪⎝⎭2233kk ⋅=-2323k⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）由题知，平均数为65x =方差为20.1(6582)0.3S =⨯-+⨯（3）因为从100名员工中挑选工组建“数字乡村发展部”，所以应选成绩为70百分位数及其后的分数的员工，所以被挑选的员工分数不低于.87.517．(1)12(2)方案二，理由见解析【分析】（1）由古典概型结合组合数公式求解；（2）分别求解两方案的均值和方差比较可得结果【详解】（1）设顾客的奖励额为X,依题意得()111324C C 160C 2P X ===（2）根据方案一，设顾客的奖励额为其可能取值为30，，30m60，901,X ，，()22124C 130C 6P X ===()1122124C C 4260C 63P X ====()22124C 190C 6P X ===()112130609060636E X =⨯+⨯+⨯=()()()()2221121306060609060300636D X =-⨯+-⨯+-⨯=根据方案二，设顾客的奖励额为其可能取值为40，60，802,X ，，()22224C 140C 6P X ===()1122224C C 4260C 63P X ====()22224C 180C 6P X ===()212140608060636E X =⨯+⨯+⨯=()()()()22221214004060606080606363D X =-⨯+-⨯+-⨯=商场对奖励总额的预算是30000元，故每个顾客平均奖励额最多为60，两方案均符合要求，但方案二奖励的方差比方案一小，所以应选择方案二18．(1)分布列见解析，数学期望为40；(2).55n =【分析】（1）直接根据表格计算离散型随机变量的分布列及期望即可；（2）分类计算两种情形的分布列及期望，比较大小决定即可.【详解】（1）根据表格可知的所有可能取值为：，X 20,30,40,50,60且，()()36200.1,300.23030======P X P X，()()()1263400.4,500.2,600.1303030=========P X P X P X 所以分布列为：X2030405060P0.10.20.40.20.1.()200.1300.2400.4500.2600.140E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）①当时，设为“超市销售该酸奶所得的利润”，55n =1Y 则当时，；当时，；20X =12201355Y =⨯-⨯=30X =123012535Y =⨯-⨯=当时，；当时，；40X =124011565Y =⨯-⨯=50X =12501595Y =⨯-⨯=当时，；60X =125515115Y =⨯+⨯=所以的分布列为：1Y 1Y 5356595115P0.10.20.40.20.1，()150.1350.2650.4950.21150.164E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=②当时，设为“超市销售该酸奶所得的利润”，则60n =2Y 当时，；20X =22201400Y =⨯-⨯=当时，；30X =223013030Y =⨯-⨯=当时，；40X =224012060Y =⨯-⨯=当时，；50X =225011090Y =⨯-⨯=当时，；60X =2260120Y =⨯=所以的分布列为：2Y 2Y 0306090120P0.10.20.40.20.1，()200.1300.2600.4900.21200.160E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故应选.()()12E Y E Y >55n =。

高二数学计数原理与概率统计大题综合

计数原理与概率统计大题综合1．已知()12n x n N x *⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数和为64(1)求n 的值；(2)求展开式中二项式系数最大的项．2．已知2nx ⎛ ⎝展开式中第3项和第7项的二项式系数相等.(1)求展开式中含2x 的项的系数；(2)展开式系数的绝对值最大的项是第几项？3．已知22⎛ ⎝nx 的展开式中第9项为常数项.(1)求该二项展开式中含5x 项的系数；(2)求该二项展开式中二项式系数最大的项.4．在二项式12nx ⎛ ⎝的展开式中，______.给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；②所有奇数项的二项式系数的和为256.试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式的常数项；(3)求展开式中项的系数最大的项.5．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.（算出具体数字）(1)排成前后两排，前排3人，后排4人；(2)全体排成一排，女生必须站在一起；(3)全体排成一排，男生互不相邻；(4)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.6．把1,2,3,4,5五个数字组成无重复数字的五位数.(1)可以组成多少个五位偶数？(2)可以组成多少个2,3不相邻的五位数？(3)可以组成多少个数字1,2,3按由大到小顺序排列的五位数？7．按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本.8．快毕业了，7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法?（每题都要用数字作答）(1)两名女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站.9．已知567234012377546(12)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++.求下列各式的值：(1)0127a a a a +++⋅⋅⋅+；(2)0127a a a a +++⋅⋅⋅+；(3)1357a a a a +++.10．某校夏令营有3名男同学,,A B C 和2名女同学,X Y ，现从这5名同学中随机选出2人参加知识竞赛.(1)写出试验的样本空间；(2)设M 为事件“选出的2人恰有1名男生和1名女生”，求事件M 发生的概率.11．对同时从,,,,A B C D E 五个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取11件样品进行检测．地区A B C D E 数量804012040160(1)求抽出的11件商品中，来自,,A B C 各地区的数量；(2)在,,A B C 三个地区被抽检的几件样品中，再随机取2件，做进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．12．已知甲箱的产品中有2件正品和3件次品，乙箱的产品中有3件正品和2件次品.(1)若从甲箱中取出2件产品，求在2件产品中有一件是正品的条件下，另一件是次品的概率；(2)若从两箱中随机选择一箱，然后从中取出1件产品，求取到一件正品的概率.13．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题．分组频数频率40.0850.560.50.1660.570.50.2070.580.51680.590.590.5100.5合计50 1.00(1)填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）；(2)补全频数分布直方图；(3)若成绩在75.5~85.5分的学生获得二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？14．每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14]，(14,16]，(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(12,14]，(14,16]，(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记日平均阅读时间在(14,16]内的学生人数为X ，求X 的分布列；(2)以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生，用“20()P k ”表示这20名学生中恰有k 名学生日平均阅读时间在(10,12](单位：小时)内的概率，其中0,1,2,,20k =⋅⋅⋅.求当20()P k 最大时，k 的取值.15．某学生社团为了解本校学生喜欢球类运动的情况，随机抽取了若干名学生进行问卷调查，要求每位学生只能填写一种自己喜欢的球类运动，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图．请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：(1)则参加调查的人数共有__________人；在扇形图中，m __________；将条形图补充完整；（不需要写过程）(2)该社团计划从篮球､足球和乒乓球中，随机抽取两种球类组织比赛，请用树状图或列表法，求抽取到的两种球类恰好是“篮球”和“足球”的概率．16．甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮，该小组最多参加三轮活动.已知每一轮甲猜对歌名的概率是34，乙猜对歌名的概率是23，丙猜对歌名的概率是12，甲、乙、丙猜对与否互不影响.(1)求该小组未能进入第二轮的概率；(2)该小组能进入第三轮的概率；(3)乙猜歌曲的次数不小于2的概率.17．从甲地到乙地要经过3个十字路口，各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234．(1)求一辆车从甲地到乙地没有遇到红灯的概率；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．18．第56届世界乒乓球锦标赛于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮.现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得1分.(1)已知在本场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为1 3，且每局比赛的结果相互独立.求甲乙两人只需要再进行三局比赛就能结束本场比赛的概率.(2)已知某局比赛中双方比分为8:8，此时甲先连续发球2次，然后乙连续发球2次，甲发球时甲得分的概率为35，乙发球时乙得分的概率为12，各球的结果相互独立，求该局比赛甲以11:9获胜的概率；19．2021年9月3日，教育部召开第五场金秋新闻发布会，会上发布了第八次全国学生体质与健康调研结果.根据调研结果数据显示，我国大中小学的健康情况有了明显改善，学生总体身高水平也有所增加.但同时在超重和肥胖率上，中小学生却有一定程度上升，大学生整体身体素质也有所下滑.某市为调研本市学生体质情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，得到体质测试样本的统计数据（单位：人）如下：优秀良好及格不及格男生100200780120女生120200520120(1)根据所给数据，完成下面22⨯列联表，并据此判断：能否依据小概率值0.05α=的独立性检验下认为该市学生体质测试是否达标与性别有关.（注：体质测试成绩为优秀、良好或及格则体质达标，否则不达标）达标不达标合计男生女生合计(2)体质测试成绩为优秀或良好则称体质测试成绩为优良，以样本数据中男、女生体质测试成绩优良的频率视为该市男、女生体质测试成绩优良的概率，在该市学生中随机选取2名男生，2名女生，设所选4人中体质测试成绩优良人数为X，求X的分布列及数学期望.α0.0500.0100.001xα 3.8416.63510.828附：22()=()()()()n ad bca b c d a c b d χ-++++20．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155160,，第二组[)160165,，…，第八组[]190195,，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．(1)求第七组的频率；(2)估计该校800名男生的身高的中位数和众数；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x ，y ，事件{}5E x y =-≤，求()P E ．21．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为34，由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为34，若甲输了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为12．已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢．(1)求第四盘棋甲赢的概率；(2)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．22．共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网＋”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照[)50,60，[)60,70，…，[]90,100分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）组别分组频数频率第1组[)50,6080.16第2组[)60,70a ■第3组[)70,80200.40第4组[)80,90■0.08第5组[]90,1002b 合计■■解决下列问题：(1)求a ，b ，x ，y 的值；(2)试估计受调查者满意度评分值的80%分位数；(3)若在满意度评分值为[]80,100的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来自第5组的概率．23．在某社区举办的《“环保我参与”有奖问答比赛》活动中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是112，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是14．若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中恰有2个家庭回答正确这道题的概率．24．某企业计划新购买100台设备，并将购买的设备分配给100名年龄不同（视为技术水平不同）的技工加工一批模具，因技术水平不同而加工出的产品数量不同，故产生的经济效益也不同.若用变量x 表示不同技工的年龄，变量y 为相应的效益值（元），根据以往统计经验，他们的工作效益满足最小二乘法，且y关于x 的线性回归方程为ˆ 1.240.6yx =+.(1)试预测一名年龄为52岁的技工使用该设备所产生的经济效益；(2)试根据r 的值判断使用该批设备的技工人员所产生的效益与技工年龄的相关性强弱（0.75||1r ≤≤，则认为y 与x 线性相关性很强；||0.75r <，则认为y 与x 线性相关性不强）；(3)若这批设备有A ，B 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02，0.03.若两道工序都没有出现故障，则生产成本不增加；若A 工序出现故障，则生产成本增加2万元；若B 工序出现故障，则生产成本增加3万元；若A ，B 两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元.求这批设备增加的生产成本的期望.参考数据：()()1001002211121225i i i i x x y y ==-=-=∑∑；参考公式：回归直线ˆˆˆy a bx =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为，1221ˆni i i n i i x y nx yb xnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-，()()ni i x x y y r --=∑25．高考改革新方案中语文、数学、外语为必考的3个学科，然后在历史、物理2个学科中自主选择1个科目，在政治、地理、化学、生物4个学科中自主选择2个科目参加考试，称为“312++”模式，为了解学生选科情况，东莞某中学随机调查了该校的300名高三学生，调查结果为选历史的100人.(1)从该中学高三学生中随机抽取1人，求此人是选考历史的概率；(2)以这．．300．．．名高三学生选历史的频率作为全校高三学生选历史的概率．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.现从该中学高三学生中随机抽取3人，记抽取的3人中选考历史的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.26．2021年7月24日中华人民共和国教育部正式发布《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，简称“双减”政策．某市为了解该校小学生在“双减”政策下课外活动的时间，随机抽查了50名小学生，统计了他们参加课外活动的时间，并绘制了如下的频率分布直方图，如图所示．(1)由频率分布直方图估计小学生课外活动时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；(2)由频率分布直方图可认为：课外活动时间t （分钟）近似服从正态分布()2,13.4N μ，其中μ为样本中课外活动时间的平均数．用频率估计概率，在该市随机抽取10名学生，记课外活动时间在(35.7,75.9]内的人数为X ，求X 的分布列及数学期望（精确到0.1）．参考数据：当t 服从正态分布()2,N μσ时，()0.6827P t μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P t μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P t μσμσ-<≤+=．27．某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为1,2,3,4的四批疫苗，供全市所辖的,,A B C三个区市民注射，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种．(1)求三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率；(2)记,,A B C三个区选择的疫苗批号的中位数为X，求X的分布列．28．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为34；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为45和58；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和32p-，其中34p<<.(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；(2)若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为2972，求p的值；(3)在（2）的条件下，设进入决赛的人数为ξ，求ξ的分布列.29．在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为102，这三个条件中任选一个，补充在下面横线处问题中，解决下面两个问题．已知()123*0123(21)N n n n x a a x a x a x a x n -=++++⋅⋅⋅+∈，若(21)n x -的展开式中，______．(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)在()()()342111n x x x +++++⋅⋅⋅++的展开式中，求含2x 项的系数（结果用数字表示）．30．已知()(23)()N n f x x n *=-∈展开式的二项式系数和为512，且2012()(1)(1)(1)n n f x a a x a x a x =+-+-++- .(1)求12n a a a +++ 的值；(2)设(20)206,f k r -=+其中k r ，，N ∈且6r <，求r 的值.。

概率统计精选练习题及答案

概率统计精选练习题及答案练题一- 问题：有一袋子里面装有5个红球和3个蓝球，从袋子里随机取两个球，求取出的两个球颜色相同的概率。

- 解答：首先，我们计算取两个红球的概率。

从5个红球中取出2个红球的组合数为C(5, 2) = 10。

总的取球组合数为C(8, 2) = 28。

所以，取两个红球的概率为10/28。

同理，取两个蓝球的概率为C(3, 2)/C(8, 2) = 3/28。

因为取球的过程是相互独立的，所以取出的两个球颜色相同的概率等于取两个红球的概率加上取两个蓝球的概率，即(10/28) + (3/28) = 13/28。

练题二- 问题：某商场每天的顾客数量服从均值为100，标准差为20的正态分布。

求该商场下一个月（30天）的总顾客数量的期望值和标准差。

- 解答：下一个月的总顾客数量等于每天顾客数量的总和。

因为每天的顾客数量服从正态分布，所以总顾客数量也服从正态分布。

总顾客数量的期望值等于每天顾客数量的期望值的总和，即30 * 100 = 3000。

标准差等于每天顾客数量的标准差的总和，即sqrt(30) * 20 ≈ 109.544。

练题三- 问题：某城市的交通事故发生率为每年100起。

求在下一个月内该城市发生至少一起交通事故的概率。

- 解答：在下一个月内，发生至少一起交通事故的概率等于1减去没有发生交通事故的概率。

没有发生交通事故的概率可以用泊松分布来计算。

假设一个月内发生交通事故的平均次数为100/12 ≈ 8.333，那么没有发生交通事故的概率为P(X = 0)，其中X服从参数为8.333的泊松分布。

计算得到P(X = 0) ≈ 0.。

所以，在下一个月内该城市发生至少一起交通事故的概率为1 - P(X = 0) ≈ 0.。

以上是概率统计的精选练习题及答案，希望能对您的学习有所帮助。

计数原理与概率统计高中数学试卷

计数原理与概率统计高中数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如表：（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，33+科目，剩下三门为选考科目．选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级，并以此打分得到最后得分．假定某省规定：选考科目按考生原始分数从高到低排列，按照占总体15%、35%、35%、13%和2%划定A、B、C、D、E五个等级，并分别赋分为90分、80分、70分、60分和50分，为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，该省某高中高一（1）班（共40人）举行了一次摸底考试（选考科目全考，单科全班排名），已知这次摸底考试中的历史成绩（满分100分）频率分布直方图，地理成绩（满分100分）茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中历史82分，地理70多分．（1）采用赋分制后，求小明历史成绩的最后得分；（2）若小明的地理成绩最后得分为80分，求小明的原始成绩的可能值；（3）若小明必选历史，其它两科从地理、政治、物理、化学、生物五科中任选，求小明考试选考科目包括地理的概率．3.中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回.为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生.下图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）.2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中n a b c d =+++ （1）完成上面的2×2列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”？（2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人.记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望. 4.一只红玲虫的产卵数y 和温度t 有关．现收集了7组观测数据如表：先建立y 与t 的指数回归方程0.272 3.849(1)t y e ∧-=，然后通过对数变换ln u y =，把指数关系变为u 与t 的线性回归方程：(1)0.272 3.849u t =-；模型②：先建立y 与t 的二次回归方程(2)20.367202.543y t =-，然后通过变换2x t =，把二次关系变为y 与x 的线性回归方程：(2)0.367202.543y x =-．（1）分别利用这两个模型，求一只红玲虫在40°时产卵数的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．（参考数据：模型①的残差平方和11550.538Q =，模型①的相关指数210.98R =；模型②的残差平方和215448.431Q =，模型②的相关指数220.8R =；7.03178113110962981ln7 1.946e e e ====，，，，ln11 2.398ln21 3.045==，，ln24 3.178ln66 4.190ln 15 4.745ln325 5.784l ====，，，）5.某公司举办了一场新产品推介会，为了进一步了解产品的消费群体的年龄和性别特征，销售人员拟从参加现场会的人员中抽取一个容量为200的样本.（1）你认为销售人员应该采用哪种抽样方法，能使样本更好具有代表性，简要说明理由；（2）经过调查，销售人员获得了如下数据你是否有99%的把握认为是否喜欢该产品和年龄有关；（3）根据以上信息，你对该公司这款产品销售策略有何建议. 参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++6.已知函数e 2f x x =-.(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)是否存在()12,0,2x x ∈，使得曲线()y f x =在点()()11,x f x 和点()()22,x f x 处的切线互相垂直？说明理由.(参考数据：e 2.72≈，ln20.69≈) 7.已知(2n x 的展开式中各项的二项式系数之和为32.（1）求n 的值；（2）求(2n x 的展开式中2x 项的系数；（3）求(2n x x ⎛⎝展开式中的常数项. 8.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，2019年12月1日至12月5日的昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数如下表所示：该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求经验回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.（1）求选取的2组数据恰好是不相邻的2组数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求y 关于x 的经验回归方程ˆˆˆybx a =+；（3）若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2颗，则认为得到的经验回归方程是可靠的，试问（2）中所得的经验回归方程是否可靠？参考公式：经验回归方程ˆˆˆybx a =+中，()()()121ˆˆˆ,niii nii x x yy b ay bx x x ==--==--∑∑. 9.互联网使我们的生活日益便捷,网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分,某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲、乙两家网络外卖企业(以下称外卖甲、外卖乙)的经营情况进行了调查,调查结果如下表：（2）据统计表明，y 与x 之间具有线性相关关系，请用样本相关系数r 对y 与x 之间的相关性强弱进行判断.（若||0.75r >，则可认为y 与x 有较强的线性相关关系， r 的值精确到0.001） 10.某研究公司为了调查公众对某事件的关注程度，在某年的连续6个月内，对月份i x 和关注人数i y （单位：百）（1,2,3,,6i =）的数据做了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值如表所示.66判断两个变量x ,y 是否线性相关，计算样相关系数r ，并说明它们的相关程度.参考公式：样木相关系数()()nii xx y y r --=∑，若||0.95r >，则y 与x 的线性相关程度相当高.36.5≈.11.在新中国成立七十周年之际,赤峰市某中学的数学课题研究小组在某一个社区做了一个关于在每天晚上7:30~10:00共2.5小时内,居民浏览“学习强国”的时间的调查.如果这个社区共有成人10 000人,每人每天晚上7:30~10:00期间打开“学习强国App ”的概率均为P (某人在某一时刻打开“学习强国App ”的概率,01p p =<<学习时长调查总时长),并且每人是否打开进行学习是相互独立的.他们统计了其中100名成人每天晚上浏览“学习强国”的时间(单位：min ),得到下面的频数表,以样本中100名成人每天晚上的平均学习时长作为该社区每个人的学习时长.(2)设X 表示这个社区每天晚上打开“学习强国App ”进行学习的人数. ①求X 的数学期望()E X 和方差()D X ； ②若随机变量Z 满足Z =,则可认为()~0,1Z N .假设当49505100X ≤≤时,表示该社区处于最佳学习氛围,试由此估计该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时长(结果保留整数). 附：若()2~,Z N μσ,则()0.683,(22)0.954P Z P Z μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈,(33)0.997P Z μσμσ-≤≤+≈.12.为了加强对环保知识的宣传,某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动活动.设置了四个箱子,分别写着“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、其他垃圾”，另有卡片若干张,每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张,按照自己的判断,将每张卡片放入对应的箱子中.按规则,每正确投放一张卡片得5分,投放错误得0分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子,得5分,放入其他箱子,得0分.从所有参赛选手中随机选取20人,将他们的得分按照[0,20],(20,40],(40,60],(60,80],(80,100]分组,并绘成频率分布直方图如图所示.(1)分别求出所选取的20人中得分落在[0,20]和(20,40]内的人数;(2)从所抽取的20人中得分落在[0,40]内的选手中随机选取3名选手,以X 表示这3名选手中得分不超过20分的人数,求X 的分布列和数学期望.13.某学校要招聘志愿者，参加应聘的学生要从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试.已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为34，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响. （1）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过初试的可能性更大；（2）若答对一题得5分，答错或不答得0分，记乙答题的得分为Y ，求Y 的分布列数学期望和方差.14.为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈,则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈,则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈,则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X . （1）求X 的分布列;（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，()0,18p i =，，表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则08110,1,(1,2,,7)i i i i p p p ap bp cp i -+===++=，其中(1),(0),(1)a P X b P X c P X ==-====.假设0.50.8αβ==，.（i ）证明：{}1(0,1,2,,7)i i p p i +-=为等比数列；（ii ）求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性.15.某企业向国内100家大型农贸市场提供大米.据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量（单位：t ），以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图所示.（1）求频率分布直方图中x 的值和年平均销售量的众数和中位数；（2）在年平均销售量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组大型农贸市场中，用分层随机抽样的方法抽取11家大型农贸市场.求应在年平均销售量在[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]内的农贸市场中各抽取多少家.参考答案1.答案：（1）根据题表中数据知，甲机床生产的产品中一级品的频率是1500.75200=，乙机床生产的产品中一级品的频率是1200.6200=. （2）根据题表中的数据可得22400(1508050120)40010.2562701302020039K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯.因为10.256 6.635>，所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异. 解析：2.答案：(1)90分（2）40名学生中，地理赋分为90分有4015%6⨯=人，这六人的原始成绩分别为96，93，93，92，91，89；赋分为80分有4035%14⨯=人，其中包含原始成绩为80多分的共10人，70多分的有4人，分别为76，76，77，78；∵小明的地理成绩最后得分为80分，且原始成绩为70多分， ∴小明的原始成绩的可能值为76，77，78．（3）记地理、政治、物理、化学、生物依次为,,,,A a b c d ，∴小明从这五科中任选两科的所有可能选法有(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),A d ，(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d 共10种，而其中包括地理的有(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),A d 共4种，∴小明选考科目包括地理的概率为：42105P ==．解析： 3.答案：（1）23.941 3.84142584060203K ==≈>⨯⨯⨯所以有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注与性别有关” （2）因为随机选一高三女生，对此事关注的概率1234010P == 又因为3~3,10X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以随机变量X 的分布列为显然，()10E X np == 解析：4.答案：解：（1）对于模型①，当40t C =︒时，0.27240 3.8497.031u =⨯-=，由ln u y =可得7.0311131u y e e ===，即根据模型①，可预测1只红玲虫在40C ︒时产卵1131个．对于模型②，当40t C =︒时，2401600x ==，0.3671600202.543385y =⨯-≈．即根据模型②，可预测1只红玲虫在40C ︒时产卵385个．（2）因为12Q Q ＜，且2212R R ＞， ∴模型①得到的预测值更可靠．解析：5.答案：（1）由于总体数据存在较大差异，所以采用分层抽样的方法抽取校本更具有代表性. （2）根据题意得221200(30405080)16.498 6.6351109012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有99%以上的把握认为喜欢该产品和性别有关.22200(90404030)13.187 6.6351208070130K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有99%以上的把握认为喜欢该产品和年龄有关（3）根据以上信息可知：喜欢该产品和年龄、性别都有关系，由于统计表中女性喜欢新产品的比例明显高于男性：50岁以上人员喜欢新产品的比例明显高于50岁以下人员.因此，建议该产品销售群体要偏向50岁以上女性. 解析：6.答案：解：(1)()'e 4x f x x =-，()'01f =，()01f =，则切线方程为：()110y x -=-，即1y x =+. (2)令()()'e 4x g x f x x ==-，若存在()12,0,2x x ∈，使得曲线()y f x =在点()()11,x f x 和点()()22,x f x 处的切线互相垂直，则存在()12,0,2x x ∈，()()121g x g x ⋅=-.()'e 4x g x =-，令()'0g x =，解得：()ln 40,2x =∈.所以()g x 在()0,ln 4上单调递减，在()ln 4,2上单调递增.()01g =，()ln 444ln 4 1.42g =-≈-，()22e 80.6016g =-≈-故()[)1.42,1g x ∈-，所以存在()12,0,2x x ∈，使得()()121g x g x ⋅=-，例如()()1265,56g x g x =-=.解析：7.答案：（1）由题意结合二项式系数的性质可得232n =，解得5n =. （2）由（1）得5n =，5(2x的通项为35552155C (2)2C r r rr rr r T x x---+==，令3522r-=，得2r =，所以5(2x+的展开式中2x 的系数为3252C 80⨯=. （3）由（2）知，5(2x的展开式的通项为3552152C r rrr T x--+=，令3512r-=-，得4r =；令31522r -=，得3r =，故5(x x-+展开式中的常数项为544533552C 2C 104030---=-=-.解析：8.答案：（1）设取到不相邻2组数据为事件A .因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻2组数据的情况有4种，所以43()1-105P A ==，故选取的2组数据恰好是不相邻的2组数据的概率为35.（2）利用12月2日至12月4日的数据，求得11(111312)12,(253026)2733x y =⨯++==⨯++=，()()31(1)(2)130(1)5ii i xx y y =--=-⨯-+⨯+⨯-=∑，()322221(1)102i i x x =-=-++=∑，所以()()()313215ˆˆˆ,-32ii i ii xx y y bay bx xx ==--===-=-∑∑. 所以y 关于x 的经验回归方程为5ˆ32yx =-. （3）当10x =时，5ˆ10322,222322y =⨯-=-<，同样地，当8x =时，5ˆ83172y =⨯-=，|1716|2-<，所以（2）中所得到的经验回归方程是可靠的.解析：9.答案：(1)由题可知52981175x ++++==，231051575y ++++==，外卖甲的日接单量的方差222222(57)(27)(97)(87)(117)=105s -+-+-+-+-=甲，外卖乙的日接单量的方差222222(27)(37)(107)(57)(157)23.65s -+-+-+-+-==乙，因为x y =，22s s <甲乙，即外卖甲的平均日接单量与外卖乙的平均日接单量相同，但外卖甲的日接单量更集中一些，所以外卖甲比外卖乙经营状况更好.（2）因为()()nii xx y y r --=∑易得()()5166i i i x x y y =--=∑，77≈，所以代入计算可得，样本相关系数660.8570.7577r ≈≈>，所以可认为y 与x 有较强的线性相关关系.解析：10.答案：由题图可知,变量x ,y 线性相关. 1(111316152021)166y =+++++=，()62176i i y y =∴-=∑.又()()()6621117.5,35ii i i i xx x x y y ==-=--=∑∑，∴样本相关系数()()60.96ii xx y y r --===≈∑.0.960.95>，∴x 与y 这两个变量成正相关，且相关程度相当高.解析：11.答案：(1)该社区内的成人每天晚上的平均学习时长为()550.1650.2750.4850.2950.175min ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=, 而调查总时长为()150min ,故7511502p ==. (2)①根据题意,1~10000,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故1()1000050002E X np ==⨯=, 11()(1)10000250022D Xnp p =-=⨯⨯=.②110050Z X ==-. 当49505100X ≤≤时,1201)(,~,Z Z N -≤≤, 0.9540.683(12)(2)0.9540.81852P Z P Z μσμσ--≤≤=-≤≤+≈-=.故()()49505100120.8185P X P Z ≤≤=-≤≤≈.()1500.8185123min ∴⨯≈,即该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时长约为123 min . 解析：12.答案：(1)由题意知,所选取的20人中得分落在[0,20]内的人数为0.005020202⨯⨯=,得分落在(20,40]内的人数为0.007520203⨯⨯=.因此,所选取的20人中得分落在[0,20]内的人数有2人,得分落在(20,40]内的人数有3人. (2)由题意可知,随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,则3122132323333555C C C C C 133(0),(1),(2)C 10C 5C 10P X P X P X =========,所以随机变量X 的分布列为所以随机变量X 的数学期望()012105105E X =⨯+⨯+⨯=. 解析：13.答案：（1）由题意得，甲通过初试的概率314626144x 8C C C 11C C 14P =+=, 乙通过初试的概率31434244313189C C 444256P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 1118914256>,∴甲通过初试的可能性更大. （2）设乙答对试题的个数为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3,4,且3~4,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭,4431()C (0,1,2,3,4)44k kk P X k k -⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易知5Y X =,Y ∴的分布列为()54154E Y =⨯⨯=, 3175()254444D Y =⨯⨯⨯=. 解析：14.答案：（1）X 的所有可能取值为1-，0，1. (1)(1)P X αβ=-=-， (0)(1)(1)P X αβαβ==+--， (1)(1)P X αβ==-.所以X 的分布列为因此110.40.50.1i i i i p p p p -+=++，故()()110.10.4i i i i p p p p +--=-，即()114i i i i p p p p --=--. 又因为1010p p p -=≠，所以{}()10,1,27i i p p i +-=，，为公比为4，首项为1p 的等比数列.（ii ）由（i ）可得88776100p p p p p p p p =-+-++-+()()()877610p p p p p p =-+-++-81413p -=.由于81p =，故18341p =-，所以()()()()444332211014113257p p p p p p p p p p -=-+-+-+-==. 4p 表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理. 解析：15.答案：（1）由频率分布直方图的性质得，(0.0020.00950.0110.01250.0050.0025)201x ++++++⨯=,解得0.0075x =. 年平均销售量的众数是2202402302+=. (0.0020.00950.011)200.450.5++⨯=<， ∴年平均销售量的中位数在[220,240)内.设中位数为a ，则(0.0020.00950.011)200.0125(220)0.5a ++⨯+⨯-=, 解得224a =，∴年平均销售量的中位数为224.（2）年平均销售量在[220,240)内的农贸市场有0.01252010025⨯⨯=（家）, 年平均销售量在[240,260)内的农贸市场有0.00752010015⨯⨯=（家），年平均销售量在[260,280)内的农贸市场有0.0052010010⨯⨯=（家），年平均销售量在[280,300]内的农贸市场有0.0025201005⨯⨯=（家），∴抽取比例为111 25151055=+++,∴应在年平均销售量在[220,240)内的农贸市场中抽取12555⨯=（家）,应在年平均销售量在[240,260)内的农贸市场中抽取11535⨯=（家），应在年平均销售量在[260,280)内的农贸市场中抽取11025⨯=（家），应在年平均销售量在[280,300]的农贸市场中抽取1515⨯=（家）,故应在年平均销售量在[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]内的农贸市场中各抽取5家，3家，2家，1家.解析：。

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是 15 人，则该班的学生人数是（）
（A） 45
（B） 50
（C） 55
（D） 60
解析：频率分布直方图： x 轴是各分组的区间， y 轴是频率与组距之比.
低于 60 分的人数频率为： (0.01 0.005) 20 0.3
第7页
即：
fn ( A)
nA n
0.3
，这里
A
事件“低于
60
分”， nA
此时，当 f ( x) 1 时， x 1 .
即在 x [1, 1) 时， f ( x) 1 ；
在 x [1, 2) 时， f ( x) 1 .
42 42 22 22 02 4(4 4 1 1) 8
5
5
女生：平均值： x 88 93 93 88 93 91 5
方差： s2 (88 91)2 (93 91)2 (93 91)2 (88 91)2 (93 91)2 5
第1页
32 22 22 32 22 2(32 3 2) 2 3 5 6
油漆面数为 X ，则 X 的均值为 E( X ) （）
A. 126 125
B. 6 5
解析：首先 X 的取值有：0,1,2,3
C. 168 125
对 X 0 的小正方体，共有： 3 3 3 27 ；
对 X 1的小正方体，共有： 6 3 3 54 ；
对 X 2 的小正方体，共有： 12 3 36 ；
第2页
一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是（）解析：参观券分成 4 份，则两张参观券连号的可能性是 4 种.
然后 4 个人的排列方法有： A44 4! 24 种. 故：不同的分法种数是 4 24 96 种答案 96. 例 5、已知离散型随机变量 X 的分布列为
X
1
2
P
3
3
5
10
A．抽签法 B．随机数法
C．系统抽样法
解析：A.抽签法：总体编号，搅拌均匀，随机抽取；
D．分层抽样法
B.随机数法：将学生编 500 个号从 000 到 499，随机选定一个随机数表上开始的数字，
然后按向上或向下或向左或向右按一定规则抽取 100 个号；
C.系统抽样法：将 500 名男生和 500 名女生平均分成相等的几部分，例如每部分为 100
计数原理与概率统计练习—tobeenough
例 1、班上有 30 名男生和 20 名女生共 50 名学生，随机抽检该班 5 名男生和 5 名女生的某次
测验成绩，5 名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90，5 名女生的成绩分别为 88,93,93,88,93.下
列说法一定正确的是（）
（A）这种抽样方法是一种分层抽样
于是
x4
的系数为： arC8r
a3C83
8! a3 3!5!
已知 x4 的系数为 7，则： 8! a3 7 ，则： a3 7 3! 1 ，即： a 1
3!5!
8 7 6 8
2
故：本题答案 a 1 2
例 4、将序号分别为 1，2，3，4，5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少一张，如果分给同
调查，其中从丙车间的产品中抽取了 3 件，则 n （）
A.9
B.10
C.12
D.13
解析：分层抽样法：丙车间的产品中抽取比例为 3 ，那么，
n
3
60
120 80 60 60
即： n 3 ，即： n 3 260 13 .
260 60
60
故本题答案 D.
例 10、抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩（单位：环），结果如下：
（B）这种抽样方法是一种系统抽样
（C）这 5 名男生成绩的方差大于这 5 名女生成绩的方差
（D）该班级男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数
解析：A：分层抽样：当总体差异明显，将总体分成互不交叉的几部分称为分层(意思是分层
次)，各层按比例抽取样本的方法称为分层抽样.
本题不是分层抽样，故 A 错.
B：系统抽样：当总体数量大时，将总体平均分成几部分，然后按一定规则从个部分
125
125
125 5
故：本题答案 B.
例 7、四名同学根据各自的样本数据研究变量 x, y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，
分别得到以下四个结论： ① y 与 x 负相关且 y 2.347 x 6.423 ； ③ y 与 x 正相关且 y 5.437 x 8.493 ；
② y 与 x 负相关且 y 3.476 x 5.648 ； ④ y 与 x 正相关且 y 4.326 x 4.578 .
的差异，则宜采用分层抽样法，此时答案 D.
本题存在理解差异，理解不同，答案也不同，是一个老师拥有最终解释权的题.
是一个坏题.
例 9、某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为 120 件，80 件，60 件。为
了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行
(3)2 (1)2 02 (1)2 (3)2 20 4
5
5
第5页
乙的平均成绩为：
x 89 90 91 88 92 90 1 0 1 2 2 90
5
5
方差为： s2 ( x1 x)2 ( x2 x)2 ... ( x5 x)2 5
(1)2 02 (1)2 (2)2 (2)2 10 2
则 X 的数学期望 EX ( )
A. 3 2
B． 2
C． 5 2
3 1 10
D． 3
解析：由 X 的数学期望公式得：
EX
x1 p1
x2 p2
x
3
1 10
15 10
3 2
本题答案 A.
例 6、如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成 125 个同样大小
的小正方体。经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂
解析：从 A, B 中各取任意一个数，共有 C21C31 6 种方法；
这两个数之和等于 4 的有： 2 2 4 ， 3 1 4 ，两种方法. 于是答案为： P 2 1 . 答案 C.
63 例 14、某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方
图如图，数据的分组依次为
20, 40 ,40,60 ,60,80 ,20, 100 .若低于 60 分的人数
第四个数字 07；接着往后
第五个数字 02，已选，划掉往后选，直到 01.
故：选出来的第 5 个个体的编号为 01. 本题答案 01.
例 13、集合 A 2, 3 ， B 1, 2, 3 ，从 A, B 中各取任意一个数，则这两数之和等于 4 的概
率是（）
A. 2 3
B. 1 2
C. 1 3
D. 1 6
5
5
故：乙的方差较小，即乙的成绩比甲稳定. 本题答案 2
例 11、现在某类病毒记作 XmYn ，其中正整数 m, n（ m 7 ，n 9 ）可以任意选取，则 m, n 都取到奇数的概率为（）
解析： m 的奇数有 4 个， n 的奇数有 5 个，则 m, n 都是奇数的方法有 4 5 20 个. 故 m, n 都取到奇数的概率为 P 4 5 20 . 7 9 63 本题答案 P 20 63
（A） 2 3
(B) 2 5
(C) 3 5
（D） 9 10
解析：采用对立事件处理本题，5 选 3 的总的可能性是 C53 种，甲或乙都没被录用的可能性是
C
3 3
种，故甲或乙被录用的概率为：
P
1
C33 C53
1
1 10
9 10
本题答案 D
8
例 3、
若
x
a 3x
的展开式中 x4 的系数为 7，则实数 a (
5
5
5
由计算可见：这 5 名男生成绩的方差大于这 5 名女生成绩的方差. 故 C 对.
D：成绩的平均数：由计算可见：这 5 名男生成绩的平均数小于这 5 名女生成绩的平
均数.故 D 错.
本题答案 C
例 2、若从 5 位求职者甲、乙、丙、丁、戌中随机录用 3 人，这 5 人被录用的机会均等，则
甲或乙被录用的概率为（）
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A.08
B.07
C.02
D.01
随机数表的第一个数字 7816 是第 1 行的第 5 列，开始的位置是第 6 列.
(有这么给随机数表的吗？可能出题人的语文是体育老师教的，严重怀疑这是一道作弊
题.)
解析：随机数表法：随机数表是随机产生的如上，要选定开始的位置和进行的方向.
其中一定不．正．确．的结论的序号是（）
A．①②
B．②③
C．③④
D． ①④
解析：首先： y 与 x 负相关中①不正确，①是正相关；其次： y 与 x 正相关中④不正确，④是负相关. 故：本题答案 D
例 8、某学校有男、女学生各 500 名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显
著差异，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是
中抽取样本的方法称为系统抽样.
本题不是系统抽样，故 B 错.
C：方差：方差计算公式： s2 ( x1 x)2 ( x2 x)2 ... ( xn x)2 n
男生：平均值： x 86 94 88 92 90 90 5
方差： s2 (86 90)2 (94 90)2 (88 90)2 (92 90)2 (90 90)2 5
)
解析：本题采用二项式定理：采用二项式展开式的通项Tr1 Cnranrbr .
本题
x
a 3x