2017-2018学年北师大版必修2直线的倾斜角与斜率学案word版
2018版高中数学北师大版必修二学案：第二章+1.1 直线的倾斜角和斜率
1．1直线的倾斜角和斜率学习目标 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．知识点一直线的倾斜角思考1在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？思考2在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？梳理倾斜角的概念(1)在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件①直线上的一个点．②这条直线的________．(2)直线的倾斜角知识点二 直线的斜率思考1 在日常生活中，我们常用“升高量前进量”表示“坡度”，图(1)(2)中的坡度相同吗？思考2 思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？梳理 (1)直线的斜率把一条直线的倾斜角α的________________叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝________.(2)斜率与倾斜角的对应关系(3)由两点确定的斜率公式直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其斜率k ＝________________(x 1≠x 2)．类型一直线的倾斜角例1设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为()A．α＋40°B．α－140°C．140°－αD．当0°≤α<140°时，倾斜角为α＋40°；当140°≤α<180°时，倾斜角为α－140°反思与感悟(1)解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．跟踪训练1已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________．类型二直线的斜率例2(1)过原点且斜率为33的直线l绕原点逆时针方向旋转30°到达l′位置，则直线l′的斜率为________．(2)如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又直线l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)，计算直线l1，l2，l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．反思与感悟(1)已知直线的倾斜角α时，可根据斜率的定义，利用k＝tan α求得．(2)已知直线上经过的两点时，可利用两点连线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1，注意前提条件x 1≠x 2.若x 1＝x 2，则斜率不存在．当两点的横坐标含有字母时，要先讨论横坐标是否相等再确定直线的斜率．跟踪训练2 经过点P (2，m )和Q (2m,5)的直线的斜率等于12，则m 的值是( )A ．4B ．3C ．1或3D ．1或4 类型三 直线的倾斜角、斜率的应用 命题角度1 三点共线问题例3 如果三点A (2,1)，B (－2，m )，C (6,8)在同一条直线上，求m 的值．反思与感悟 斜率是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的．直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因．跟踪训练3 若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________．命题角度2 数形结合法求倾斜角或斜率范围例4 直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的范围．反思与感悟 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解．跟踪训练4 已知点A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)．若点D 在线段BC 上(包括端点)移动，求直线AD 的斜率的变化范围．1．下列图中α能表示直线l 的倾斜角的是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．②④2．已知点A (a,2)，B (3，b ＋1)，且直线AB 的倾斜角为90°，则a ，b 的值为( ) A ．a ＝3，b ＝1 B ．a ＝2，b ＝2 C ．a ＝2，b ＝3D ．a ＝3，b ∈R 且b ≠13．若经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m 等于( ) A ．2 B ．1 C ．－1D ．－24．若三点A (2,3)，B (3,2)，C (12，m )共线，则实数m 的值为________．5．经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m ≥1)直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：平行于x 轴垂直于x 轴0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°答案精析问题导学 知识点一 思考1 不能． 思考2 不同．梳理 (1)②方向 (2)x 轴 逆时针 0° 0°≤α<180° 知识点二思考1 不同，因为32≠22.思考2 存在．图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中，坡度＝tan β. 梳理 (1)正切值 tan α (2)90° k ＝0 k >0 k <0 (3)y 2－y 1x 2－x 1题型探究例1 D [根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A ，B ，C 未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知，当0°≤α<140°时，直线l 1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α<180°时，直线l 1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.] 跟踪训练1 60°或120°解析 有两种情况：①如图(1)，直线l 向上方向与x 轴正向所成的角为60°，即直线l 的倾斜角为60°.②如图(2)，直线l 向上方向与x 轴正向所成的角为120°，即直线l 的倾斜角为120°.例2 (1) 3解析 因为直线l 的斜率为33，所以直线l 的倾斜角为30°，所以直线l ′的倾斜角为30°＋30°＝60°，所以直线l ′的斜率为tan 60°＝ 3. (2)解 设k 1，k 2，k 3分别表示直线l 1，l 2，l 3的斜率．由于Q 1，Q 2，Q 3的横坐标与P 点的横坐标均不相等，所以k 1＝－1－2－2－3＝35，k 2＝－2－24－3＝－4，k 3＝2－2－3－3＝0.由k 1>0知，直线l 1的倾斜角为锐角；由k 2<0知，直线l 2的倾斜角为钝角；由k 3＝0知，直线l 3的倾斜角为0°. 跟踪训练2 B例3 解 k AB ＝m －1－2－2＝1－m 4，k AC ＝8－16－2＝74，∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ， 即1－m 4＝74，∴m ＝－6.跟踪训练3 12例4 解 如图所示．∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)， ∴45°≤α≤120°.跟踪训练4 解 如图所示．当点D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，k AB ＝3－23＋4＝17，k AC ＝3＋23－0＝53，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎡⎦⎤17，53. 当堂训练1．A 2.D 3.A 4.92 5.(0°，90°]。
211直线的倾斜角和斜率教案(北师大版必修2).doc
直线的倾斜角和斜率（教师用书独具）•三维目标 1. 知识与技能（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念.（2）掌握过两点的直线斜率的计算公式. 2. 过程与方法通过一系列直线的不同位宜的学习，培养学牛•的探究精神. 3. 情感、态度与价值观通过几何问题川代数问题來处理的思维，培养学生的数形结合思想. •重点难点重点「倾总角、斜率的概念，过两点的直线斜率的计算公式. 难点：直线倾斜角与它的斜率之间的关系.直线的倾斜角、斜率都是用來刻画直线倾斜程度的，它们本质上是一致的，倾斜角a 与斜率丘之间存在Qian 心工90。
）的关系，可以通过改变直线倾斜角来进一步认识斜率，（教师用书独具）•教学建议教学时结合具体图形，学生容易了解确定直线位置的几何要素可以是一个点与直线方 向，观察教材上的图2—1, 2-2要确定直线条中某一条总线还需要给岀一个角，即引出倾 斜角，进一步引出斜率，进而探究斜率与倾斜角的关系.•教学流程创设问题情境，提出问题=＞引导学生回答问题，认识直线的斜率和倾斜角。
通过例1 及变式训练，使学牛掌握直线倾斜角的求法。
通过例2及互动探究，使学牛掌握直线的斜率 的求法今通过例3及变式训练，使学生掌握直线的倾斜角和斜率的综合问题今归纳整理，进 行课堂小结，整体认识所学知识今完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈校正敖学教法分析明课标 分条解读 现“敎法敖歩方案设计按方略冰稷细解用“敎累”理敛材自豊自测IS “晏础i・理解玄线的倾斜角和斜率的概念（重点）.2.掌握过两点的直线斜率的计算公式（重点）.直线的倾斜角和斜率【问题导思】1.已知直线上一个点，能确定一条直线吗？2.当直线的方向确定后，在线的位置确定吗？3.直线人，乙分别是平面直角坐标系屮一、三象限角平分线和二、以象限角平分线，它们的倾斜程度一样吗？【提示】1•不能2不确定3不一样・1.直线的确定在平面肓角坐标系中，确定在线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条真线的方向.2.直线的倾斜角（1）定义：在平面直角处标系中，对于一条与x轴相交的直线/，把x轴（止方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和真线I重合所成的角,叫作肓•线/的倾斜角，通常用a表示.（2）范围：0°^cc<180°.3.直线的斜率直线倾斜角a的正切值叫作直线的斜率，即k={tana,次工90。
高中数学直线的倾斜角和斜率 教案 北师大必修2
直线的倾斜角和斜率 教案教学目标：知识目标：直线倾斜角的定义与直线的斜率能力目标：通过让学生经历直线方程的发现过程，以提高学生分析、比较、概括的数学能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生综合运用知识解决问题的能力王新敞情感目标：在教学中揭示“数〞与“形〞的内在联系，体会数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣重点：直线倾斜角与直线的斜率 难点：直线的斜率的应用教学过程：复习回顾：直线的表示：一次函数优点：形式简单，x,y 对应关系局限性：对于给定的自变量x ，有唯一确定的y 值与之对应概念引入：直线方程的定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点;反之这条直线上的点的坐标都是这个方程的解.这时这个方程叫做这条直线的方程;这条直线叫就这个方程的直线.直线的斜率：直线为y kx b =+，知道任意两点A 11(,)x y ，B 22(,)x y (21x x ≠), 那么2121y y k x x -=- (21x x ≠)， 假设记x ∆=21x x -，21y y y ∆=-，那么y k x∆=∆，〔0x ∆≠〕. 通常，系数k 叫做这条直线的斜率,同一条直线上任意两点间的斜率相同.注意：斜率不存在：21x x =，分母为零，直线垂直于x 轴直线的倾斜角：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定: 与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角直线倾斜角与斜率的关系：0k =时，直线平行于x 轴或与x 轴重合〔多媒体展示〕 0k >时，直线的倾斜较为锐角，k 值增大，直线的倾斜角也随之增大；0k <时，直线的倾斜较为钝角，k 值增大，直线的倾斜角也随之增大；垂直于x 轴的直线的倾斜角等于90倾斜角的X 围是： [0,180)︒斜率与倾斜角联系：①都反映直线的倾斜程度.②倾斜角为90°，斜率不存在；k>0 倾斜角为锐角；k<0 倾斜角为钝角.③斜率公式与两点的顺序无关，直线上两点的取点位置无关.④斜率公式是推导直线方程、研究直线的位置关系等许多问题的关键，也是学好本章的关键.⑤研究直线时斜率公式更为方便.例题讲解：例1.求经过A 〔-2,0〕,B(-5,3 )两点的直线的斜率 k变式引申：证明A 〔1，3〕，B 〔5，7〕，C 〔10，12〕三点共线.方法1：待定系数法，确定直线AB ，代入点C 坐标检验方法2：斜率公式AB AC k k =例2. 三点A 〔4-，0〕，B 〔1-，0〕，P 〔0，5〕，过P 的直线与线段l 相交，那么直线l 的斜率的取值X 围是__________ 〔几何画板演示〕变式引申1：A 〔4-，0〕⇒ A 〔1，0〕注意斜率bu变式引申2：两点A 〔4-,0〕,B 〔1-,0〕与直线l ：5y kx =+，直线l 与线段AB 相交，那么直线的斜率的取值X 围是______思考：假设直线的斜率k>0时,它与倾斜角有何数量间的关系?tan k α=复习小结：直线的斜率2121y y k x x -=- (21x x ≠)。
2017-2018学年高中数学必修2北师大版 直线的倾斜角和斜率 教案
教学设计1．1 直线的倾斜角和斜率整体设计教学分析直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础．事实上，只有透彻理解并熟练掌握直线的倾斜角和斜率这两个基本概念，学生才能对直线及其位置进行定量的研究．对直线的倾斜角和斜率，必须要求学生理解它们的准确涵义和作用，掌握它们的导出，并在运用上形成相应的技能和熟练的技巧．本小节从一个具体的一次函数与它的图像入手，引入直线的倾斜角概念，注重了由浅及深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法．引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是进一步研究直线方程的需要．三维目标1．理解直线的倾斜角和斜率的定义，充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻画直线相对于x 轴倾斜程度的两个量这一事实，在教学中培养学生数形结合的数学思想．2．掌握经过两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)的直线的斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，培养学生树立辩证统一的观点，并形成严谨的科学态度和求简的数学精神．3．培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力，认识事物之间的相互联系，培养相互合作意识，培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练．重点难点教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线的斜率公式．教学难点：斜率公式的推导．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(如图1所示)在直角坐标系中，过点P 的一条直线绕P 点旋转，不管旋转多少周，它对x 轴的相对位置有几种情形？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率．图1思路2.我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线．那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？这些直线有什么联系和区别呢？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率．推进新课新知探究提出问题①怎样描述直线的倾斜程度呢？②下列图(图2)中标出的直线的倾斜角α对不对？如果不对，违背了定义中的哪一条？图2③直线的倾斜角能不能是0°？能不能是锐角？能不能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？④日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？⑤正切函数的定义域是什么？⑥任何直线都有斜率吗？⑦我们知道两点确定一条直线，那么已知直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且l 与x轴不垂直，如何才能求出直线l的斜率呢？活动：①当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角．．．．．可见：平面上的任一直线都有唯一的一个倾斜角，并且倾斜角定了，直线的方向也就定了．②考虑正方向．③动手在坐标系中任意作多条直线，可知倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向．倾斜角直观地表示了直线对x 轴正方向的倾斜程度．规定：当直线和x 轴平行或重合时，直线倾斜角为0°，所以，倾斜角的范围是0°≤α＜180°.④联想小时候玩的滑梯，结合坡度比给出斜率定义，直线斜率的概念．倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫作这条直线的斜率，常用k 表示，即k ＝tan α.⑤指导学生回忆正切函数相关知识．⑥说明：直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x 轴的直线没有斜率(倾斜角是90°的直线没有斜率)．当α∈[0°，90°)时，斜率是非负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大；当α∈(90°，180°)时，斜率是负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大．⑦教学时可与教材上的方法一样推出．这样显得简捷明了，合情合理且科学严谨． 讨论结果：①用倾斜角．②都不对．与定义中的x 轴正方向、直线向上方向相违背．③直线的倾斜角能是0°，能是锐角，能是直角，能是钝角，不能是平角，不能大于平角．④有，常用的有坡度比．⑤定义域：{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }． ⑥倾斜角是90°的直线没有斜率．⑦过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)． 应用示例思路1例1 求过已知两点的直线的斜率．(1)直线PQ 过点P (2,3)，Q (6,5)；(2)直线AB 过点A (－3,5)，B (4，－2)．解：(1)如图3，直线PQ 的斜率k ＝5－36－2＝12； (2)如图4，直线AB 的斜率k ＝－2－54－(－3)＝－1.图3 图4 例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，－1,2及－3的直线a ，b ，c ，l .活动：要画出经过原点的直线a ，只要再找出a 上的另外一点M .而M 的坐标可以根据直线a 的斜率确定；或者由k ＝tan α＝1是特殊值，所以也可以以原点为角的顶点，x 轴的正半轴为角的一边，在x 轴的上方作45°的角，再把所作的这一边反向延长成直线即可．解：设直线a 上的另外一点M 的坐标为(x ，y )，根据斜率公式有1＝y －0x －0，所以x ＝y . 可令x ＝1，则y ＝1.于是点M 的坐标为(1,1)．此时过原点和点M (1,1)可作直线a . 同理，可作直线b ，c ，l .画图略.变式训练如图5，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求l 1，l 2的斜率．图5解：l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33， ∵l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴l 2的斜率k 2＝tan120°＝tan(180°－60°)＝－tan60°＝－ 3.点评：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率.例3 已知直线的倾斜角，求直线的斜率．(1)α＝0°；(2)α＝60°；(3)α＝90°；(4)α＝3π4. 活动：指导学生根据定义直接求解．解：(1)∵tan0°＝0，∴倾斜角为0°的直线斜率为0；(2)∵tan60°＝3，∴倾斜角为60°的直线斜率为3；(3)∵tan90°不存在，。
高中数学必修2第二章《1.1直线的倾斜角和斜率》教学设计
《直线的倾斜角与斜率》教学方案..．情感、态度与价值观.）斜率公式给出了求斜率的反映了斜率是垂直变、元芳说：“过点（2，1），例题讲解就………. 电子屏幕直线的倾斜角与斜率（1）一、倾斜角的定义：二、斜率的定义三、斜率的坐标公式《直线的倾斜角与斜率1》教案说明本节课的设计以新课程的教学理念为指导，遵循“学生为主体，教师为主导，知识为主线，发展思维为主旨”的原则。
教案的设计考虑了以下几方面内容：一、教学内容的数学本质（1）直线的应用直线作为平面几何的基本元素，在生活技术和自然科学研究中首先要作为被研究的对象，它是由几何到代数必经之路，16世纪开始，由于制造业和航海业的迅速发展，产生了许多迫切需要解决的问题，如航海中船的定位、速度问题等等，在这种形势下笛卡尔解析几何确立，如今的航天、导弹、卫星定位都有直线的影子。
如果把解析几何看成是我们科学发展的“必经路”那直线就是“铺路砖”。
（2）内容理解北师大教材侧重于由直观、归纳、理解的过程，本节也不例外，数学的本质是由现实到理论，由形到数的过程，如何把直线的“形”度量并表示出来是这解课的最终目标，倾斜角和斜率都是刻画直线倾斜度的量，它们之间以及与坐标之间是有密切联系的，而如何建立、推导相互间的关系，是这节课的主要任务。
二、教学目标解析1、探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程；2、通过教学，使学生从生活中坡度自然迁移到数学中直线的斜率的过程，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想；3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想；4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。
三、教学内容与地位作用解析本节课是北师大版普通高中课程标准实验教科书（必修2）第二章§2.1.1的内容。
高中数学必修二北师大版学案2.1 直线的倾斜角和斜率(学生版)
课题：直线的倾斜角和斜率☆学生版☆
学习目标、理解倾斜角与斜率的概念、熟记求直线斜率的两种方法
、了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素
学习重点：直线的倾斜角与斜率的概念，过两点的直线的斜率公式
学习难点：倾斜角和斜率的对应关系，过两点的直线的斜率公式的推导过程
学法指导：根据“自主学习”中的问题，阅读教材内容，进行知识梳理，熟记基础知识。
将预习中不能解决的问题标出来，并填写到后面的“我的疑惑”处。
一、自主学习
问题：一点能确定一条直线吗？经过一点的直线的位置能够确定吗？它的位置会怎样？
直线在倾斜时与哪个量有关？怎样描述直线的倾斜程度呢？
问题：什么是直线的倾斜角？它的范围怎样？
问题：当直线与轴垂直时,
问题：除了倾斜角还有其他确定直线倾斜程度的量吗？什么是直线的斜率？只有倾斜角或斜率能确定一直线的位置吗?若不能还需要加什么条件？
问题: 直线的倾斜角和斜率有什么关系？它们是一一对应的吗？
问题：怎样计算直线的斜率?
二、我的疑惑（请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，在课堂上与老师和同学们探究解决。
）
三、合作探究
★探究一、已知下列直线的倾斜角,求直线的斜率:
()()()
跟踪训练：设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线那么的倾斜角为( )
. .
. .
★探究二：求过已知两点的直线的斜率.
()直线过点()();()直线过点()().
跟踪训练：若经过（－，）和（，）的直线的斜率为，则（）
、、、或、或
四、课堂检测
课本页练习
五、课堂小结。
数学：2.1.1《直线的倾斜角和斜率》教案说明(1)(北师大版必修2)
“直线的倾斜角和斜率”教案说明南昌外国语学校一、教学内容和内容解析教学内容：直线倾斜角与斜率的概念，斜率公式。
内容解析：本课是北师大版高中数学必修2第二章第一节直线的倾斜角与斜率，是高中解析几何内容的开始。
直线是最常见的简单几何图形，在实际生活和生产中有广泛的应用。
首先，初中几何对直线的基本性质作了比较系统的研究，初中代数研究了一次函数的图象和性质。
本课内容是以上述知识为依据，在此基础上，对直线再进一步地认识和探讨。
再则，直线是解析几何学的基础知识，不但是进一步学习圆锥曲线以及其他曲线方程的基础，也是今后学习导数、微分、积分等的基础，在解决许多实际问题中有广泛的应用。
直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是用坐标法研究直线性质的基础。
本课不仅要理解两个概念、得到一个公式，更要了解几何问题代数化的过程，渗透解析几何的基本思想方法。
本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。
在探索确定直线位置的两个几何要素——一个点，一个方向中，引入倾斜角概念，让学生体会直线位置与倾斜角之间的对应关系，阐述了倾斜角是从几何角度描述了直线的倾斜程度。
借助“坡度”引出斜率概念，描述了直线的斜率与倾斜角的关系，沟通了刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示的关系，阐述了斜率是从代数角度描述了直线的倾斜程度，掌握斜率与倾斜角的关系和区别。
直线可由两点来确定，坐标平面内的点由其坐标确定，因此直线的斜率就可以用直线上两点的坐标来表示，从而推导出经过两点直线的斜率公式。
例题讲解采用一例四变式，强化训练斜率公式，渗透方程、不等式、函数知识的运用。
“坐标法”与数形结合思想是本课内容蕴含的核心思想。
强调“坐标法”是解决解析几何问题的基本方法。
二、教学目标和目标定位本课教学设计以知识为载体、思维为主线、能力为目标的设计原则，以发展潜能、形成能力、提高素质为目标。
知识目标：1．在平面直角坐标系中，结合具体的图形，探索确定直线位置的几何要素，引出直线的倾斜角概念。
北师大版高中必修21.1直线的倾斜角和斜率课程设计
北师大版高中必修21.1直线的倾斜角和斜率课程设计教学目标1.掌握直线的倾斜角和斜率的定义和计算方法。
2.知道直线倾斜角和斜率的几何意义和应用。
3.能够应用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
教学内容1. 直线的倾斜角和斜率的定义直线的倾斜角直线的倾斜角是指直线与水平线的夹角，通常用 $\\alpha$ 表示，其取值在0°到90°之间。
其中，正斜线的倾斜角范围是0°到45°，负斜线的倾斜角范围是45°到90°。
直线的斜率直线的斜率是指斜率的倾斜程度，是指相邻两点之间的纵坐标差与横坐标差的比值，通常用k表示。
2. 直线倾斜角和斜率的几何意义和应用直线倾斜角的几何意义直线的倾斜角度量直线相对于水平线的倾斜程度，可用于描述物体相对于地面的倾斜角度，例如，房屋的倾斜角度、坡道的坡度等。
直线斜率的几何意义直线的斜率代表线段在线性坐标系中的斜率，若线段方向向上，则斜率为正；若线段方向向下，则斜率为负；若线段是竖直的，则斜率为无穷大；若线段是水平的，则斜率为0。
直线倾斜角和斜率的应用直线的倾斜角和斜率在实际生活中有广泛的应用：•用直线的斜率求直线的方程。
•判断两条直线是否平行或垂直。
•求平面内两点之间的距离或坐标系上一点到一直线的距离。
3. 直线的倾斜角和斜率的计算方法直线斜率的计算方法设直线上两点分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则直线的斜率k的计算公式为：$$k = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$直线倾斜角的计算方法设直线与水平线的夹角为 $\\alpha$，则直线的倾斜角的计算公式为：$$\\tan\\alpha = k$$其中，k为直线的斜率。
教学过程1. 授课步骤一首先介绍直线的倾斜角和斜率的定义，让学生了解直线倾斜角和斜率的概念和意义。
步骤二接着讲解直线倾斜角和斜率的计算方法，例如，通过直线上两点的坐标计算斜率，通过斜率计算直线的倾斜角等。
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3.1 直线的倾斜角与斜率
3．1.1 倾斜角与斜率
[新知初探]
1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义：
当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．如图所示，直线l 的倾斜角是∠APx ，直线l ′的倾斜角是∠BPx .
(2)倾斜角的范围：
直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
[点睛] (1)倾斜角定义中含有三个条件：
①x 轴正方向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．
(2)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．
2．直线的斜率 (1)斜率的定义：
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α. (2)斜率公式：
经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝
y 2－y 1
x 2－x 1
.当x 1＝x 2时，直
线P 1P 2没有斜率．
(3)斜率的作用：
用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．
[点睛] 直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x 轴(平行于y 轴或与y 轴重合)．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“³”) (1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率( ) (2)倾斜角为135°的直线的斜率为1( )
(3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k ＝tan α( ) (4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)( ) 答案：(1)³ (2)³ (3)³ (4)√
2．若直线l 经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角是( ) A ．45° B ．135° C ．45°或135°
D ．－45°
解析：选B 作出直线l ，如图所示，由图易知，应选B.
3．已知直线l 的倾斜角为30°，则直线l 的斜率为( ) A.33
B. 3
C ．1 D.
22
解析：选A 由题意可知，直线l 的斜率k ＝tan 30°＝33
.
[典例] 设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，
得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )
A ．α＋45°
B ．α－135°
C ．135°－α
D ．α＋45°或α－135°
[解析] 由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜
180°(0°≤α＜180°)，即0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l 1的倾斜角为α
－135°(如图)．
[答案] D
[活学活用]
已知直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0°≤α＜90° B ．90°≤α＜180° C ．90°＜α＜180°
D ．0°＜α＜180°
解析：选C 直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l 经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°.
[典例] 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.
(1)A (2,3)，B (4,5)； (2)C (－2,3)，D (2，－1)； (3)P (－3,1)，Q (－3,10)．
[解] (1)存在．直线AB 的斜率k AB ＝5－3
4－2＝1，即tan α＝1，又0°≤α＜180°，所以
倾斜角α＝45°.
(2)存在．直线CD 的斜率k CD ＝－1－3
2－ －2 ＝－1，即tan α＝－1，又 0°≤α＜180°，
所以倾斜角α＝135°.
(3)不存在．因为x P ＝x Q ＝－3，所以直线PQ 的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
[活学活用]
1．直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为( ) A.2
3 B.3
2 C ．－23
D ．－32
解析：选C 斜率k ＝0－23－0＝－2
3
.
2．已知坐标平面内△ABC 的三个顶点的坐标分别是A (－1,1)，B (1,1)，C (1，－1)，求直线AB ，BC ，AC 的斜率．
解：已知点的坐标，可代入过两点的直线的斜率公式求斜率，但应先验证两点的横坐标是否相等．k AB ＝1－11－ －1 ＝0，k AC ＝－1－1
1－ －1
＝－1.
∵B ，C 两点的横坐标相等，∴直线BC 的斜率不存在.
1．如果A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ，52，B (4，－1)，C (－4，－m )三点在同一条直线上，试确定常数m 的值． 解：由于A ，B ，C 三点所在直线不可能垂直于x 轴，因此可设直线AB ，BC 的斜率分别为
k AB ，k BC .
(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
由斜率公式，得k AB ＝52＋12m －4＝7
4m －8
，
k BC ＝
－1＋m 4＋4＝m －1
8
. ∵点A ，B ，C 在同一条直线上，∴k AB ＝k BC . ∴
74m －8＝m －18
，即m 2
－3m －12＝0， 解得m 1＝3＋572，m 2＝3－572.
∴m 的值是3＋572或3－57
2.
题点二：数形结合法求倾斜角或斜率范围
2．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的范围．
解：如图所示．
∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－0
0－1＝－3，
∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)， ∴45°≤α≤120°.
层级一 学业水平达标
1．直线x ＝1的倾斜角和斜率分别是( )
A ．45°，1
B ．135°，－1
C ．90°，不存在
D ．180°，不存在
解析：选C 作出图象，故C 正确．
2．给出下列说法：
①若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α＜180°； ②若k 是直线的斜率，则k ∈R ；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中说法正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选C 显然①②③正确，④错误．
3．已知直线经过点A (－2,0)，B (－5,3)，则该直线的倾斜角为( ) A ．150° B ．135° C ．75°
D ．45° 解析：选B ∵直线经过点A (－2,0)，B (－5,3)， ∴其斜率k ＝3－0
－5－ －2 ＝－1.
设其倾斜角为θ(0°≤θ＜180°)， 则tan θ＝－1，∴θ＝135°.
4．过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y ＝( ) A ．－
32
B.
32
C ．－1
D ．1
解析：选C tan 45°＝k AB ＝y ＋34－2，即y ＋3
4－2
＝1，所以y ＝－1.
5．已知直线l 经过点A (1,2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．(－1,0] B ．[0,1] C ．[1,2]
D ．[0,2]
解析：选D 由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线
l 的斜率满足0≤k ≤2.故选D.。