四川省成都外国语学校2015届高三10月月考 数学理 Word版含答案)

成都外国语学校高2015届10月月考
数 学（理工类）
一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分,请将答案涂在答题卡上) 1．已知集合A={0)2)(1(|≥+-+x x x }，集合B 为整数集，则A B=（ ） A.}0,1{- B.}1,0{ C.}1,0,1,2{-- D.}2,1,0,1{-
2．为了得到函数)12cos(+=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象上所有的点（ ） A.向左平移21
个单位长度 B.向右平移2
1个单位长度 C.向左平移1个单位长度 D.向右平移1个单位长度 3．已知i i a 2)(2=-，其中i 是虚数单位，那么实数a 的值为（ ）
A. 1
B. 2
C.1-
D.2- 4．若,0,0>>>>d c b a 则一定有（ ） A.
d b c a > B.d b c a < C.c b d a < D.c
b d a > 5．若3
π
-=x 是x a x sin cos +的对称轴，则x a x sin cos +的初相是（ ）
A.6π
-
B.π6
7 C.π65 D.
6
π
6．已知数列}{n a 的前n 项和)0(1≠-=a a S n n ，则数列}{n a （ ）
A.一定是等差数列
B.一定是等比数列
C.或者是等差数列，或者是等比数列
D.既不可能是等差数列，也不可能是等比数列 7．如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ）
A.5
2 B.
107
C.54
D.10
9
8．某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于 37，则输入的整数i 的最大值为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
9．用C(A)表示非空集合A 中的元素个数，定义A*B=⎩⎨⎧<-≥-)
()(),()()
()(),()(B C A C A C B C B C A C B C A C 。

若
A={1,2}B=}0)2()(|{22=++⋅+ax x ax x x ，且A*B=1，设实数a 的所有可能取值集合是S ，则C(S)=（ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1 10．如图所示，等边△ABC 的边长为2，D 为AC 中点，且△ADE 也是等边三角形，在△ADE 以点A 为中心向下转动到稳定位置的过程中，CE BD ⋅的取值范围是（ ）
A.]23,21[
B.]21
,31[
C.)34,21(
D.)3
5,41(
二．填空题（本大题5个小题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卡上）
11．等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则数列}{n a 的公比为____________。

12．已知函数⎩⎨⎧<≥+=,0,
10
,1)(2x x x x f 则满足不等式)2()1(2x f x f >-的取值范围是 。

13．已知直线l 过点)1,0(-，且与曲线x x y ln =相切，则直线l 的方程为 。

14．设n x
x )15(-
的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N=240，则N
= 。

15．已知函数)(x f 的定义域为[5,1-]，部分对应值如下表：
)(x f 的导函数)('x f y =)(x f )(x f 是周期函数；②
函数)(x f 在[0,2]上是减函数；③如果当],1[t x -∈时，)(x f 的最大值是2，那么t 的最大值是4；
④当21<<a 时，函数a x f y -=)(有4个零点；⑤函数a x f y -=)(的零点个数可能为0，1，2，3，4。

其中正确命题的序号是_____________（写出所有正确命题的序号）。

三．解答题：（本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 16．（12分）已知数列}{n a 是等差数列，}{n b 是等比数列，32,4,3,15231====b b a a 。

（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；
（2）设数列}{n c 中，n n n b a c ⋅=，求数列}{n c 的前n 项和S n 。

17．（12分）已知向量)sin ,sin (cos ),cos 2,sin (cos x x x n x x x m --=+=。

（1）求n m x f ⋅=)(的最小正周期和单调减区间； （2）将函数)(x f y =的图象向右平移
8
π
个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边
分别为c b a ,,，若2,2
2
)B (,0)2
A (==
=b g f ，求a 的值。

18．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=3，BC=BE=7，△DCE是边长为6的正三角形。

（1）求证：平面DEC⊥平面BDE；
（2）求二面角C—BE—D的余弦值。

19．某班共有24人参加同时开设的数学兴趣小组和物理兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的有6名女生，10名男生；参加物理兴趣小组的有3名女生，5名男生，现采用分层抽样方法从两组中抽取3人。

（1）求抽取的3人中恰有一名女生来自数学兴趣小组的概率；
（2）记X表示抽取3人中男生的人数，求X的分布列和数学期望。

20．（13分）已知数列}{n a 满足01>=a a ，前n 项和为S n ，S n =)1(1n a a
a
++。

（1）求证：}{n a 是等比数列； （2）记)(||1*N n a n a b n n n ∈=，当5
15
=a 时是否存在正整数n ，都有bm b n ≤？如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由。

21．（14分）设函数x a x x x f ln )(2+-=，其中0≠a 。

（1）若6-=a ，求)(x f 在[1,4]上的最值；
（2）若)(x f 在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围； （3）求证：不等式)(1
1ln *3N n n
n n n ∈->+恒成立。

成都外国语学校高2015届10月月考
数 学 试 卷 参 考 答 案
16．（1）n n n b n a 2,== （2）S n =22)1(1+⋅-+n n 17．（1）ππ=+=T x x f ),4
3
2sin(2)()](8
3,8
[Z k k k ∈+-πππ
π↘
（2）A=4π，63
2
,3B ,cos 2)(===a x x g π
18．（1）BD ⊥CD ，BD ⊥DE ⇒BD ⊥面DEC
（2）
40
130
，取DE 中点F ，连接CF ，在△BOE 内作PF ⊥BE 交BE 于P ∠CPF 为二面角C —BE —D 的平面角，△EFP ∽△EBD ⇒PF=
7133，CP=7
10
12 19．（理）（1）P(A)=2
1
2161
6110=C C C
（2 EX=
8
15 20．（1）)1(1n n a a a S ++= )2)(1(111≥++=--n a a a
S n n 相减得
)2(111≥⋅-=⇒-=+⋅--n a a a a a a
a
a n n n n n
故}{n a 是等比数列。

（2）)(0,0,0ln ,ln )1(,)1(*12211N k b k b a a na b a a k n n n n n n ∈<>∴<-=-=+-- 若存在满足条件的正整数m ，则m 为偶数 ).(ln )2
22)(22(*22222N k a a k k
a k
b b k k k ∈+-
+-=-+ 当
53222>+k k 即2
3
>k 时，k k b b 222<+ 又2,24≥>k b b 时 >>>864b b b
∴存在m =4，满足题意。

21．解：（1）,612)('x x x f --=令2
3,20)('21-==⇒=x x x f （舍），)(x f 在[1,2]↓，[2,4]↑
∴04ln 612)4(,0)1(,2ln 62)2()(min
>-==-==f f f x f
∴)2ln 1(124ln 612)4()(max -=-==f x f
（2）即0)('=x f 在),0(+∞ 有两不等根 即022=+-a x x 在),0(+∞有两不等实根 令a x x x g +-=22)(，则81
00
)0(0<<⇒⎩⎨
⎧>>a g a
（3）先证)1ln(32+<-x x x 恒成立，令n
x 1=即证。