1.1.2 弧度制 课件

其中0≤α≤2π. (2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α终边相同，求β.
【解】 1 480π 74π 16π (1)∵－1 480° ＝－ ＝－ ＝－10π＋ ， 180 9 9
16π 又 0≤ ≤ 2π， 9 16π 16π ∴－1 480° ＝ － 2× 5π＝ ＋2×(－ 5)π. 9 9
π 11 (2)165° ＝ × 165 rad＝ π rad. 180 12 ∴ l＝ |α|· r＝ 11 55 π×10＝ π(cm)， 12 6
1 1 55 275 S＝ l · r＝ × π× 10＝ π(cm2)． 2 2 6 6
1 【名师点评】 (1)弧长公式 l＝ |α|· r 与扇形面积公式 S＝ 2 1 |α|· r ＝ l· r 在应用公式时，圆心角 α 的单位必须是弧度． 2
第一章
三角函数
1．1.2
弧度制
学习导航
学习目标 弧度制下扇形的弧长 实例 ― ― → 弧度制 ― ― → 公式及面积公式
了解 理解
弧度与角度 ― ― → 的换算公式
掌握
重点难点
重点：弧度与角度的相互转化．
难点：用弧度制解决扇形面积问题．
新知初探思维启动
1．弧度制 (1)角度制 1 规定周角的 为 1 度的角，这种用度作为单位来度 360 量角的单位制叫做角度制．
(2)弧度制
半径长 的弧所对的圆心角叫做 1 长度等于 __________
1 rad 弧度的角，记作__________.
(3)角的弧度数的求法
正数 ，负角的弧度数 正角的弧度数是一个________ 负数 ，零角的弧度数是_____. 0 是一个_______
想一想 “α＝1”这种写法有意义吗？ 提示：有意义，表示1弧度的角．
精彩推荐典例展示
规范解答
例4
求扇形面积的最值
(本题满分12分)一扇形的周长为20，则扇形的半径
和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？
【解】 设扇形圆心角为 θ，半径为 r， 20－ 2r 则 2r ＋ θ· r ＝ 20. ∴ θ ＝ .4 分 ∴ S r 1 2 θr ＝ 扇形＝ 2
1 20－ 2r 2 · · r ＝ (10－r)r＝－ (r－ 5)2＋ 25(0<r<20)．1 8 分 2 r
2
(2)扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量：面积 S，弧长 l，圆心角 α，半径 r，已知其中的三个量一定能求得第四 个量 (通过方程求得)，已知其中的两个量能求得剩余的两 个量(通过方程组求得 )．
跟踪训练 3．(1)已知某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm， 求扇形的面积； (2)已知扇形的周长为 20 cm，面积为 9 cm2，求扇形的 圆心角的弧度数．
π π 解：(1)－18° ＝ ×(－ 18) rad＝－ rad. 180 10 3 3 180 (2) π＝ π·( )° ＝54° . 10 10 π 180 (3)－ 2 rad＝－2× ( )° ≈－57.30° × 2＝－114.60° . π
题型二 例2
用弧度制表示角的集合 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，
【名师点评】 (1)在进行角度制和弧度制的换算时，抓 住关系式 π rad＝ 180° 是关键．由它可以得到： 度数× π 180 ＝弧度数，弧度数× ( )° ＝度数． 180 π
(2)特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记．
跟踪训练
1．将下列角转化为另一种度量形式表示． 3 (1)－ 18° ； (2) π； (3)－2 rad. 10
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 角度制与弧度制的转化 将下列角度与弧度进行互化：
例1
7π 11π (1)20° ； (2)－ 15° ； (3) ； (4)－ . 12 5
【解】 20π π (1)20° ＝ ＝ ； 180 9
15π π (2)－ 15° ＝－ ＝－ ； 180 12
7π 180 7π 7 (3) ＝ π × 12 ° ＝ × 180° ＝ 7× 15° ＝ 105° ； 12 12 11π 11 (4)－ ＝－ × 180° ＝－ 396° . 5 5
【名师点评】
表示角的集合，既可以用角度，也
可以用弧度，但必须要统一单位，不能既含有角度 又含有弧度，如在“α＋2kπ(k∈Z)”中，α必须是用 弧度制表示的角，在“α ＋ k· 360°， (k ∈ Z)”中， α
必须是用角度制表示的角．
跟踪训练 2．用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内 (不包括边界)的角的集合．
方法感悟
1．有关“角度”与“弧度”概念的理解
(1)定义不同．
区别 (2)单位不同．弧度制是以“弧度”为单位，单位可以省 略，而角度制是以“度”为单位，单位不能省略． (3)弧度制是十进制，而角度制是六十进制． (1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是 联系
一个与圆的半径大小无关的值，仅和半径与所含的弧这
π 5π 解：(1)扇形的圆心角为 75× ＝ ，扇形半径为 15 cm. 180 12 1 1 5π 2 2 375 ∴扇形的面积 S＝ |α|· r ＝ × × 15 ＝ π(cm2)． 2 2 12 8
(2)如图所示，设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，圆心角为 θ(0<θ<2π)， 由 l＋ 2r＝ 20，得 l＝20－ 2r， 1 1 由 lr＝ 9，得 (20－ 2r)r＝9， 2 2 ∴ r2－10r＋ 9＝ 0，解得 r1＝ 1， r2＝9. l 18 当 r1＝ 1 cm 时， l＝ 18 cm， θ＝ ＝ ＝ 18>2π(舍去 )． r 1 l 2 当 r2＝ 9 cm 时， l＝ 2 cm， θ＝ ＝ . r 9 2 ∴扇形的圆心角的弧度数为 . 9
两者的比值有关． (2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化.
2.解析弧度制下弧长公式、扇形的面积公式 在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为： 1 1 l＝ |α|· r，S＝ lr＝ |α|· r2，其中 α 为圆心角的弧度数，r 为扇形 2 2 的半径． 要把握好上述公式，需注意以下两个方面： (1)由上述公式可知，由 α、 l、 r、 S 中的两个量可以求出另外 的两个量，即知二求二． (2)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制 下的公式简单得多，但要注意它的前提是 α 为弧度制．
2 12 分 ∴当 r＝5 时，S 扇形 max＝ 25.此时 θ＝2.
50 当 r>5 时，函数 y＝ ＋ 2r 是增函数． r l 所以当 r＝ 5 时，y 取最小值 20，此时 l＝ 10，α＝ ＝ 2， r 即当扇形的圆心角为 2 时，扇形的周长取最小值．
π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6
π 答案： 6
驾考宝典网 / 驾考宝典 驾考宝典网 /km1/ks/ 驾考宝典2016科目一 驾考宝典网 /km4/ks/ 驾考宝典2016科目四 驾考宝典 /kaoshi/km4/ 驾考宝典科目四 驾考宝典 /kaoshi/km3/ 驾考宝典科目二 驾考宝典 /kaoshi/km1/ 驾考宝典科目一 /kaoshi/computer/ 驾考宝典2016电脑版 /kaoshi/mobile/ 驾考宝典2016手机版 驾考宝典网 / 驾校宝典 驾照宝典 驾驶宝典
题型三 例3
弧长、扇形面积的有关计算
直径为 20 cm 的圆中，求下列各圆心角所对的弧
长及扇形面积． 4π (1) ；(2)165° . 3
【解】 4 40 (1)l＝|α|· r＝ π× 10＝ π(cm)， 3 3
1 1 4 200 S＝ |α|· r2＝ × π×102＝ π(cm2)． 2 2 3 3
16π (2)由 (1)可知 α＝ . 9 16π ∵ β 与 α 终边相同，∴ β＝ 2kπ＋ ， k∈ Z. 9 26 8 又∵β∈[－4π，0]，∴－ ≤ k≤－ . 9 9 2π 令 k＝－1，则 β＝－ ， 9 20π 令 k＝－2，则 β＝－ . 9 2π 20π 故 β＝－ 或－ . 9 9
3．扇形的弧长及面积公式
公式 度量制 角度制 弧度制 弧长公式 nπr l＝ 180 l＝ |α|· r 扇形面积公式 nπr2 S＝ 360 1 1 2 S＝ lr＝ |α|r 2 2
做一做
5π 3.半径为 2，圆心角为 的圆弧的长度为________， 3 扇形面积为________．
10π 10π 答案： 3 3
π 180 1° ＝ __________rad ≈ 0(________)° ≈ 57.30° ＝ 57° 18′ . π
做一做 2.填表：
度
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°
弧度
0
____ ____ ____ ____ ____ ____ ____
做一做
1.下列说法正确的是________． ①1弧度是1度的圆心角所对的弧； ②1弧度是长度为半径的弧； ③度与弧度是度量角的两种不同的度量单位； ④ 1 弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角 的一种度量单位．
答案：③④
2．角度与弧度的互化
π 360° ＝ ________rad； 180° ＝ ____rad ；
解： (1)如图 (1)， 330° 角的终边与－ 30° 角的终边相同， π 将－30° 化为弧度，即－ ， 6 π 5π 而 75° ＝75× ＝ ， 180 12 ∴终边落在阴影部分内 (不包括边界 )的角的集合为 π 5π {θ|－ ＋ 2kπ<θ< ＋ 2kπ，k∈ Z}． 6 12
π 7π (2)如图(2)，∵ 30° ＝ ，210° ＝ ，这两个角的终边所在 6 6 π 的直线相同，因此终边在直线 AB 上的角为 α＝ ＋ kπ， 6 π k∈ Z，又终边在 y 轴上的角为 β＝ ＋ kπ， k∈ Z， 2 从而终边落在阴影部分(不包括边界 )的角的集合为 π π {θ| ＋ kπ<θ< ＋ kπ， k∈ Z}． 6 2