牛顿运动定律临界问题
第15讲 牛顿运动定律中临界问题(解析版)
第15讲牛顿运动定律中的临界问题11、临界问题物体由某种物理状态转变为另种物理状态时，所要经历的种特殊的转折状态，称为临界状态.这种从种状态变成另种状态的分界点就是临界点，此时的条件就是临界条件。
2、临界问题的标志（1）题目中出现“恰好”“刚好”等关键词句，明显表明此过程即为临界点。
（2）题目中出现“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词句，表明题述过程存在着“起止点”，而这些“起止点”一般对应着临界状态。
（3）题目中出现“最大”最小”“至多”“至少”等词句，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点。
4、处理临界问题的方法（1）极限法如果在题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等关键词时，一般隐含着临界问题。
处理这类问题时，常常把物理问题或过程推向极端，从而得到临界状态及临界条件，以达到快速求解问题的目的。
（2）假设法有些物理过程没有出现明显的临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界状态，也可能不会出现临界状态。
解答此类问题，一般用假设法，即假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，即可得出结论。
（3）数学方法将物理过程转化为数学表达式，然后根据数学中求极值的方法，求出临界条件。
涉及三角函数、二次函数、不等式等数学知识。
5、临界问题解决步骤：（1）依据题中提示语言判定临界问题及分类；（2）确定临界状态下临界条件；（3）按照牛二定律做题步骤解决问题：①明确研究对象②受力分析③正交分解④分析各坐标系运动状态列方程：若为平衡状态列平衡方程；若为非平衡状态列牛顿第二定律。
一、利用极值法求解临界问题[例1]如图所示，质量为m=1kg的物块放在倾角为θ=37°的斜面体上，斜面质量为M=2kg，斜面与物块间的动摩擦因数为μ=0.2，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F，要使物体m相对斜面静止，试确定推力F的取值范围。
【答案】推力F的取值范围为14.25N≤F≤33.53N.【解析】（1）设物块处于相对斜面向下滑动的临界状态时的推力为F1，此时物块受力如下图所示，取加速度的方向为x轴正方向：对物块分析，在水平方向有F N sinθ﹣μF N cosθ=ma1，竖直方向有F N cosθ+μF N sinθ﹣mg=0，对整体有F1=（M+m）a1，代入数值得，F1=14.35N.（2）设物块处于相对斜面向上滑动的临界状态时的推力为F2，对物块受力分析，在水平方向有F N sinθ+μF N cosθ=ma2，竖直方向有F N cosθ﹣μF N sinθ﹣mg=0，对整体有F2=（M+m）a2，代入数值得，F2=33.53N综上所述可知推力F的取值范围为：14.25N≤F≤33.53N.答：推力F的取值范围为14.25N≤F≤33.53N.二、利用假设法求解临界问题[例2]一物块在粗糙斜面上，在平行斜面向上的外力F作用下斜面和物块始终处于静止状态，当按图甲所示规律变化时.物体与斜面间的摩擦力大小变化规律可能是图乙中的（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设t=0时刻F=F0，则F与t的关系式为F=F0-kt，k是图线斜率的大小.A、D若t=0时刻物体受到的静摩擦力方向沿斜面向上，由平衡条件得：摩擦力F f=mgsinα-F=mgsinα-（F0-kt）=kt+（mgsinα-F0），若mgsinα=F0，则有F f=kt，当F=0时，F f=mgsinα，保持不变.则A错误，D正确；B、C若t=0时刻物体受到的静摩擦力方向沿斜面向下，由平衡条件得知，摩擦力F f=F-mgsinα，当F减小时，摩擦力先减小，减小到零后，摩擦力反向增大，故BC错误；故选D.三、利用数学方法求解临界问题[例3]如图所示，一质量m＝0.4kg的小物块，以v0＝2m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t＝2s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L＝10m。
牛顿运动定律专题03动力学的临界和极值问题
§专题03：动力学的临界和极值问题教学目标：教学重点、难点：新课引入：教学过程：一、临界和极值在应用牛顿定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语时，往往会有临界现象。
此时要采用极限分析法，看物体在不同加速度时，会有哪些现象发生，尽快找出临界点，求出临界条件。
在某些物理情境中，物体运动状态变化的过程中，由于条件的变化，会出现两种状态的衔接，两种现象的分界，同时使某个物理量在特定状态时，具有最大值或最小值。
这类问题称为临界问题。
在解决临界问题时，进行正确的受力分析和运动分析，找出临界状态是解题的关键。
1、相互接触的物体，它们分离的临界条件是：它们之间的弹力N，而且此时它们的速度相等，加速度相同。
【例】如图，在竖直立在水平面的轻弹簧上面固定一块质量不计的薄板，将薄板上放一重物，并用手将重物往下压，然后突然将手撤去，重物即被弹射出去，则在弹射过程中，（即重物与弹簧脱离之前），重物的运动情况是（）A、一直加速B、先减速，后加速C、先加速、后减速D、匀加速答案：C【例】如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧竖直固定在水平面上，上端固定一质量为0m 的托盘，托盘上有一个质量为m 的木块。
用竖直向下的力将原长为0l 的弹簧压缩后突然撤去外力，则m 即将脱离0m 时的弹簧长度为（ ）A 、0lB 、()k g m m l +-00C 、k mg l -0D 、kg m l 00- 答案：A【例】如图所示，物体A 静止在台秤的秤盘B 上，A 的质量为kg m A 5.10=，B 的质量kg m B 5.1=，弹簧质量不计，劲度系数m N k /800=，现给A 施加一个竖直向上的力F ，使它向上做匀加速直线运动，已知力F 在开始的s t 2.0=内是变力，此后是恒力，求F 的最大值和最小值。
答案：N 168、N 72解：由题意可知，它们将在s t 2.0=时分离。
牛顿运动定律的应用之临界问题的处理方法(解析版)
牛顿运动定律的应用之临界极值问题一、临界或极值条件的标志(1)有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，表明题述的过程存在临界点。
(2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态。
(3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在极值，这个极值点往往是临界点。
学#科网(4)若题目要求“最终加速度”、“稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度。
二、几种临界状态和其对应的临界条件如下表所示临界状态 临界条件 速度达到最大 物体所受的合外力为零 两物体刚好分离 两物体间的弹力F N ＝0绳刚好被拉直 绳中张力为零绳刚好被拉断绳中张力等于绳能承受的最大拉力三、 解决临界问题的基本思路(1)认真审题，详尽分析问题中变化的过程(包括分析整体过程中有几个阶段)； (2)寻找过程中变化的物理量； (3)探索物理量的变化规律；(4)确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系。
挖掘临界条件是解题的关键。
如例5中第(2)的求解关键是：假设球刚好不受箱子的作用力，求出此时加速度a 。
【典例1】如图所示，θ＝37°，m ＝2 kg ，斜面光滑，g 取10 m /s 2，斜面体以a ＝20 m /s 2的加速度沿水平面向右做匀加速直线运动时，细绳对物体的拉力为多大？【答案】【解析】 设m 处在这种临界状态，则此时m 对斜面体的压力为零．由牛顿第二定律可知，临界加速度a 0＝g c otθ＝10×43 m /s 2＝403 m /s 2.将临界状态的加速度a 0与题设给出的加速度进行比较，知a>a 0，所以m已离开斜面体，此时的受力情况如图所示，由平衡条件和牛顿第二定律可知： T c o s α＝m a ，T s i n α＝mg .注意：a≠0， 所以【典例2】如图所示，水平地面上的矩形箱子内有一倾角为θ的固定斜面，斜面上放一质量为m 的光滑球。
高中物理-动力学中的临界和极值问题
高中物理-动力学中的临界和极值问题在应用牛顿运动定律解决动力学问题时，会出现一些临界或极值条件的标志： 1．若题目中出现“恰好”“刚好”等字眼，明显表示过程中存在临界点．2．若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就对应临界状态．3．若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明过程中存在着极值，而极值点往往是临界点．4．若题目要求“最终加速度”“稳定加速度”等即是求收尾加速度或收尾速度． 一、接触与分离的临界条件物体分离的临界条件是相互作用力由原来的不为零变为零．因此解答此类问题，应该对原状态下研究对象的受力和运动状态进行分析，由牛顿第二定律或平衡条件列方程，令其中相互作用的弹力为零解得临界状态的加速度，以临界加速度为依据分析各种状态下物体的受力情况及运动状态的变化．质量为m 、半径为R 的小球用长度也为R 的轻质细线悬挂在小车车厢水平顶部的A 点，现观察到小球与车顶有接触，重力加速度为g ，则下列判断正确的是( )A ．小车正向右做减速运动，加速度大小可能为3gB ．小车正向左做减速运动，加速度大小可能为33gC ．若小车向右的加速度大小为23g ，则车厢顶部对小球的弹力为mgD ．若细线张力减小，则小球一定离开车厢顶部 [解析] 如图所示，小球恰好与车顶接触的临界状态是车顶对小球的弹力恰为零，故临界加速度a 0＝g tan θ，由线长等于小球半径可得，θ＝60°，a 0＝3g .小球与车顶接触时，小车具有向右的加速度，加速度大小a ≥3g ，A 、B 项错；当小车向右的加速度大小a ＝23g 时，ma F N ＋mg＝tan θ，解得F N ＝mg ，C 项正确；细线张力F T ＝ma sin θ，小球与车顶接触的临界(最小)值F Tmin ＝2mg ，当张力的初始值F T >2mg 时，张力减小时只要仍大于或等于临界值，小球就不会离开车厢顶部，D 项错误．[答案] C二、绳子断裂与松弛的临界条件绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是F T ＝0.如图所示，小车内固定一个倾角为θ＝37°的光滑斜面，用一根平行于斜面的细线系住一个质量为m ＝2 kg 的小球，取g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则：(1)当小车以a 1＝5 m/s 2的加速度向右匀加速运动时，细线上的拉力为多大？(2)当小车以a 2＝20 m/s 2的加速度向右匀加速运动时，细线上的拉力为多大？[解析] 本题中存在一个临界状态，即小球刚好脱离斜面的状态，设此时加速度为a 0，对小球受力分析如图甲所示．将细线拉力分解为水平x 方向和竖直y 方向两个分力，则得到F cos θ＝ma 0 F sin θ－mg ＝0a 0＝g tan θ＝403m/s 2.(1)a 1＝5 m/s 2<a 0，这时小球没有脱离斜面，对小球受力分析如图乙所示，由牛顿第二定律得 F cos θ－F N sin θ＝ma 1 F sin θ＋F N cos θ－mg ＝0 解得F ＝20 N ，F N ＝10 N.(2)a2＝20 m/s2>a0，这时小球脱离斜面，设此时细线与水平方向之间的夹角为α，对小球受力分析如图丙所示，由牛顿第二定律得F cos α＝ma2F sin α＝mg两式平方后相加得F2＝(ma2)2＋(mg)2解得F＝(ma2)2＋(mg)2＝20 5 N.[答案](1)20 N(2)20 5 N三、相对滑动的临界条件两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值，并且还要考虑摩擦力方向的多样性．(多选)如图所示，小车内有一质量为m的物块，一轻质弹簧两端与小车和物块相连，处于压缩状态且在弹性限度内，弹簧的劲度系数为k，形变量为x，物块和小车之间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，运动过程中，物块和小车始终保持相对静止，则下列说法正确的是()A．若μmg小于kx，则小车的加速度方向一定向左B．若μmg小于kx，则小车的加速度最小值为a＝kx－μmgm，且小车只能向左加速运动C．若μmg大于kx，则小车的加速度方向可以向左也可以向右D．若μmg大于kx，则小车的加速度最大值为kx＋μmgm，最小值为kx－μmgm[解析]若μmg小于kx，而弹簧又处于压缩状态，则物块所受弹簧弹力和静摩擦力的合力水平向左，即小车的加速度一定向左，A对；由牛顿第二定律得kx－F f＝ma，当F f＝μmg时，加速度方向向左且最小值为a min＝kx－μmgm，随着加速度的增加，F f减小到零后又反向增大，当再次出现F f＝μmg时，加速度方向向左达最大值a max ＝kx＋μmgm，但小车可向左加速，也可向右减速，B错；若μmg大于kx，则物块所受弹簧弹力和静摩擦力的合力(即加速度)可能水平向左，也可能水平向右，即小车的加速度方向可以向左也可以向右，C对；当物块的合外力水平向右时，加速度的最大值为μmg－kxm，物块的合外力水平向左时，加速度的最大值为μmg＋kxm，则小车的加速度最大值为kx＋μmgm，最小值为0，D错．[答案]AC四、加速度或速度最大的临界条件当物体在受到变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合外力最大时，具有最大加速度；合外力最小时，具有最小加速度．当出现加速度有最大值或最小值的临界条件时，物体处于临界状态，所对应的速度便会出现最大值或最小值．(多选)(2016·潍坊模拟)如图所示，一个质量为m 的圆环套在一根固定的水平长直杆上，环与杆的动摩擦因数为μ，现给环一个水平向右的恒力F ，使圆环由静止开始运动，同时对环施加一个竖直向上、大小随速度变化的作用力F 1＝kv ，其中k 为常数，则圆环运动过程中( )A ．最大加速度为FmB ．最大加速度为F ＋μmgmC ．最大速度为F ＋μmgμkD ．最大速度为mgk[解析] 当F 1<mg 时，由牛顿第二定律得F －μ(mg －kv )＝ma ，当v ＝mg k 时，圆环的加速度最大，即a max ＝Fm ，选项A 正确，B 错误；圆环速度逐渐增大，F 1＝kv >mg ，由牛顿第二定律得F －μ(kv －mg )＝ma ，当a ＝0时，圆环的速度最大，即v max ＝F ＋μmgμk，选项C 正确，D 错误． [答案] AC五、数学推导中的极值问题将物理过程通过数学公式表达出来，根据数学表达式解出临界条件，通常用到三角函数关系．如图所示，一质量m ＝0.4 kg 的小物块，以v 0＝2 m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t ＝2 s 的时间物块由A 点运动到B 点，A 、B 之间的距离L ＝10 m ．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝33.重力加速度g 取10 m/s 2. (1)求物块加速度的大小及到达B 点时速度的大小；(2)拉力F 与斜面的夹角多大时，拉力F 最小？拉力F 的最小值是多少？[解析] (1)设物块加速度的大小为a ，到达B 点时速度的大小为v ，由运动学公式得： L ＝v 0t ＋12at 2①v ＝v 0＋at ②联立①②式，代入数据解得：a ＝3 m/s 2，v ＝8 m/s.(2)设物块所受支持力为F N ，所受摩擦力为F f ，拉力与斜面之间的夹角为α，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得：F cos α－mg sin θ－F f ＝ma ③F sin α＋F N －mg cos θ＝0④ 又F f ＝μF N ⑤联立③④⑤解得：F ＝mg (sin θ＋μcos θ)＋macos α＋μsin α⑥由数学知识得：cos α＋33sin α＝233sin(60°＋α)⑦ 由⑥⑦式可知对应的F 最小值与斜面的夹角α＝30°⑧ 联立⑥⑧式，代入数据得F 的最小值为： F min ＝1335N. [答案] (1)3 m/s 2 8 m/s (2)30°1335N 六、滑块一滑板模型中的临界问题在滑块—滑板模型中，若两者一起运动时优先考虑“被动”的“弱势”物体，该物体通常具有最大加速度，该加速度也为系统一起运动的最大加速度，否则两者将发生相对运动．(2016·湖北荆州模拟)物体A 的质量m 1＝1 kg ，静止在光滑水平面上的木板B 的质量为m 2＝0.5 kg 、长l ＝1 m ，某时刻A 以v 0＝4 m/s 的初速度滑上木板B 的上表面，为使A不至于从B 上滑落，在A 滑上B 的同时，给B 施加一个水平向右的拉力F ，若A 与B 之间的动摩擦因数μ＝0.2，试求拉力F 应满足的条件．(忽略物体A 的大小)[解析] 物体A 滑上木板B 以后，做匀减速运动， 加速度a A ＝μg ①木板B 做加速运动，有F ＋μm 1g ＝m 2a B ②物体A 不滑落的临界条件是A 到达B 的右端时，A 、B 具有共同的速度v t ，则v 20－v 2t 2a A ＝v 2t2a B＋l ③ 且v 0－v t a A ＝v ta B④ 由③④式，可得a B ＝v 202l－a A ＝6 m/s 2，代入②式得F ＝m 2a B －μm 1g ＝0.5×6 N －0.2×1×10 N ＝1 N ，若F ＜1 N ，则A 滑到B 的右端时，速度仍大于B 的速度，于是将从B 上滑落，所以F 必须大于等于1 N. 当F 较大时，在A 到达B 的右端之前，就与B 具有相同的速度，之后，A 必须相对B 静止，才能不会从B的左端滑落．即有：F ＝(m 1＋m 2)a ， μm 1g ＝m 1a ，所以F ＝3 N ，若F 大于3 N ，A 就会相对B 向左端滑下． 综上，力F 应满足的条件是1 N ≤F ≤3 N. [答案] 1 N ≤F ≤3 N1．(2016·西安质检)如图所示，将小砝码置于桌面上的薄纸板上，用水平向右的拉力将纸板迅速抽出，砝码的移动很小，几乎观察不到，这就是大家熟悉的惯性演示实验．若砝码和纸板的质量分别为2m和m，各接触面间的动摩擦因数均为μ.重力加速度为g.要使纸板相对砝码运动，所需拉力的大小至少应大于()A．3μmg B．4μmg C．5μmg D．6μmg解析：选D.纸板相对砝码恰好运动时，对纸板和砝码构成的系统，由牛顿第二定律可得：F－μ(2m＋m)g＝(2m ＋m)a，对砝码，由牛顿第二定律可得：2μmg＝2ma，联立可得：F＝6μmg，选项D正确．2．(多选)(2016·湖北黄冈模拟)如图甲所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端放置一物体(物体与弹簧不连接)，初始时物体处于静止状态，现用竖直向上的拉力F作用在物体上，使物体开始向上做匀加速运动，拉力F与物体位移x的关系如图乙所示(g＝10 m/s2)，下列结论正确的是()A．物体与弹簧分离时，弹簧处于原长状态B．弹簧的劲度系数为750 N/mC．物体的质量为2 kgD．物体的加速度大小为5 m/s2解析：选ACD.物体与弹簧分离时，弹簧的弹力为零，轻弹簧无形变，所以选项A正确；从题图乙中可知ma ＝10 N，ma＝30 N－mg，解得物体的质量为m＝2 kg，物体的加速度大小为a＝5 m/s2，所以选项C、D正确；弹簧的劲度系数k＝mgx0＝200.04N/m＝500 N/m，所以选项B错误．3．(多选)如图所示，质量均为m的A、B两物块置于光滑水平地面上，A、B接触面光滑，倾角为θ，现分别以水平恒力F作用于A物块上，保持A、B相对静止共同运动，则下列说法中正确的是()A．采用甲方式比采用乙方式的最大加速度大B．两种情况下获取的最大加速度相同C．两种情况下所加的最大推力相同D．采用乙方式可用的最大推力大于甲方式的最大推力解析：选BC.甲方式中，F最大时，A刚要离开地面，A受力如图丙所示，则F N1cos θ＝mg①对B：F′N1sin θ＝ma1②由牛顿第三定律可知F′N1＝F N1③乙方式中，F 最大时，B 刚要离开地面，B 受力如图丁所示，则F N2cos θ＝mg ④ F N2sin θ＝ma 2⑤由①③④可知F N2＝F N1＝F N1′⑥由②⑤⑥式可得a 2＝a 1，对整体易知F 2＝F 1， 故选项B 、C 正确，选项A 、D 错误．4.如图所示，水平桌面光滑，A 、B 物体间的动摩擦因数为μ(可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，A 物体质量为2m ，B 和C 物体的质量均为m ，滑轮光滑，砝码盘中可以任意加减砝码．在保持A 、B 、C 三个物体相对静止共同向左运动的情况下，B 、C 间绳子所能达到的最大拉力是( )A.12μmg B ．μmg C ．2μmg D ．3μmg 解析：选B.因桌面光滑，当A 、B 、C 三者共同的加速度最大时，F BC ＝m C a 才能最大．这时，A 、B 间的相互作用力F AB 应是最大静摩擦力2μmg ，对B 、C 整体来讲：F AB ＝2μmg ＝(m B ＋m C )a ＝2ma ，a ＝μg ，所以F BC ＝m C a ＝μmg ，选项B 正确．5.如图所示，用细线将质量为m 的氢气球拴在车厢地板上的A 点，此时细线与水平方向成θ＝37°角，气球与固定在水平车顶上的压力传感器接触，小车静止时，细线恰好伸直但无弹力，压力传感器的示数为气球重力的12.重力加速度为g ，sin37°＝0.6，cos 37°＝0.8.现要保持细线方向不变而传感器示数为零，下列方法中可行的是( )A ．小车向右加速运动，加速度大小为12gB ．小车向左加速运动，加速度大小为12gC ．小车向右减速运动，加速度大小为23gD ．小车向左减速运动，加速度大小为23g解析：选C.小车静止时细线无弹力，气球受到重力mg 、空气浮力f 和车顶压力F N ，由平衡条件得f ＝mg ＋F N ＝32mg ，即浮力与重力的合力为12mg ，方向向上．要使传感器示数为零，则细线有拉力F T ，气球受力如图甲所示，由图乙可得12mg ma ＝tan 37°，小车加速度大小为a ＝23g ，方向向左．故小车可以向左做加速运动，也可以向右做减速运动，C 选项正确．6.如图所示，质量为m ＝1 kg 的物体，放在倾角θ＝37°的斜面上，已知物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.3，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g ＝9.8 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.要使物体与斜面相对静止且一起沿水平方向向左做加速运动，则其加速度多大？解析：当物体恰不向下滑动时，受力分析如图甲所示 F N1sin 37°－F f1cos 37°＝ma 1F f1sin 37°＋F N1cos 37°＝mg F f1＝μF N1解得a 1＝3.6 m/s 2当物体恰不向上滑动时，受力分析如图乙所示F N2sin 37°＋F f2cos 37°＝ma2F N2cos 37°＝mg＋F f2sin 37°F f2＝μF N2解得a2＝13.3 m/s2因此加速度的取值范围为3.6 m/s2≤a≤13.3 m/s2.答案：3.6 m/s2≤a≤13.3 m/s2。
高三物理一轮复习牛顿运动定律 临界问题限时练重点班
3.7临界极值问题（重点）时间：45分钟 分值：100分一、选择题（每题3分,共60分.）1.从地面上以初速度v 0竖直上抛一质量为m 的小球,若运动过程中受到的阻力与其速率成正比,小球运动的速率随时间变化的规律如图所示,小球在t 1时刻到达最高点后再落回地面,落地速率为v 1,且落地前小球已经做匀速运动,已知重力加速度为g ,下列关于小球运动的说法中正确的是( )A ．t 1时刻小球的加速度为gB ．在速度达到v 1之前小球的加速度一直在减小C ．小球抛出瞬间的加速度大小为(1＋v 0v 1)g D ．小球加速下降过程中的平均速度小于v 122.如图所示,质量为1 kg 的木块A 与质量为2 kg 的木块B 叠放在水平地面上,A 、B 间的最大静摩擦力为2 N,B 与地面间的动摩擦因数为0.2。
用水平力F 作用于B ,则A 、B 保持相对静止的条件是(g 取10 m/s 2)( )A ．F ≤12 NB ．F ≤10 NC ．F ≤9 ND ．F ≤6 N3.如图3所示,质量为M 的吊篮P 通过细绳悬挂在天花板上,物块A 、B 、C 质量均为m ,B 、C 叠放在一起,物块B 固定在轻质弹簧上端,弹簧下端与A 物块相连,三物块均处于静止状态,弹簧的劲度系数为k (弹簧始终在弹性限度内),下列说法正确的是( )A.静止时,弹簧的形变量为mg kB.剪断细绳瞬间,C 物块处于超重状态C.剪断细绳瞬间,A 物块与吊篮P 分离D.剪断细绳瞬间,吊篮P 的加速度大小为(M ＋3m )gM ＋m4.如图1所示,一个物体放在粗糙的水平地面上。
从t=0时刻起,物体在水平力F 作用下由静止开始做直线运动。
在0到t 0时间内物体的加速度a 随时间t 的变化规律如图2所示。
已知物体与地面间的动摩擦因数处处相等。
则（ ）A ．t 0时刻,物体速度增加到最大值B ．在0到t 0时间内,物体的速度逐渐变小C ．在0到t 0时间内,物体做匀变速直线运动D ．在0到t 0时间内,力F 大小保持不变5.如图所示,一根轻弹簧竖直直立在水平地面上,下端固定,在弹簧的正上方有一个物块,物块从高处自由下落到弹簧上端O,将弹簧压缩,弹簧被压缩了时,物体的速度变为零,从物块与弹簧接触开始,物块的加速度的大小随下降的位移变化的图象,可能是图中 ( )6.如图甲所示,水平地面上固定一足够长的光滑斜面,斜面顶端有一理想定滑轮,一轻绳跨过滑轮,绳两端分别连接小物块A 和B .保持A 的质量不变,改变B 的质量m .当B 的质量连续改变时,得到A 的加速度a 随B 的质量m 变化的图线,如图乙所示．设加速度沿斜面向上的方向为正方向,空气阻力不计,重力加速度g 取9.8 m/s 2,斜面的倾角为θ,下列说法正确的是( )A ．若θ已知,可求出A 的质量B ．若θ未知,可求出乙图中a 1的值C ．若θ已知,可求出乙图中a 2的值D ．若θ已知,可求出乙图中m 0的值7.将一质量不计的光滑杆倾斜地固定在水平面上,如图甲所示,现在杆上套一光滑的小球,小球在一沿杆向上的拉力F 的作用下沿杆向上运动．该过程中小球所受的拉力以及小球的速度随时间变化的规律如图乙、丙所示．g ＝10 m/s 2.则下列说法正确的是( )A ．在2～4 s 内小球的加速度大小为0.5 m/s2B ．小球质量为2 kgC ．杆的倾角为30°D ．小球在0～4 s 内的位移为8 m8.（多选）如图甲所示,在水平地面上有一长木板B ,其上叠放木块A .假定木板与地面之间、木块和木板之间的最大静摩擦力都和滑动摩擦力相等．用一水平力F 作用于B ,A 、B 的加速度与F 的关系如图乙所示,则下列说法中正确的是( )A ．A 的质量为0.5 kgB ．B 的质量为1.5 kgC ．B 与地面间的动摩擦因数为0.2D ．A 、B 间的动摩擦因数为0.29.如图甲所示,一个质量为3 kg 的物体放在粗糙水平地面上,从零时刻起,物体在水平力F 作用下由静止开始做直线运动．在0～3 s 时间内物体的加速度a 随时间t 的变化规律如图乙所示．则( )A ．F 的最大值为12 NB ．0～1 s 和2～3 s 内物体加速度的方向相反C ．3 s 末物体的速度最大,最大速度为8 m/sD ．在0～1 s 内物体做匀加速运动,2～3 s 内物体做匀减速运动10.一斜面放在水平地面上,倾角为为θ= 45°,一个质量为m=0.2kg 的小球用细绳吊在斜面顶端,如图所示。
第25讲临界问题高中物理必修一
第25讲临界问题⾼中物理必修⼀知识点总结在⽜顿运动定律应⽤问题中，常常会出现临界状态，对于此类问题的解法⼀般有以下三种⽅法。
⼀、极限法如果题⽬中出现“最⼤”、“最⼩”、“刚好”等关键词时，⼀般隐藏着临界问题，处理这类问题时，常常把物理问题或过程推向极端，从⽽将临界状态及临界条件显露出来，以便解题。
例1 如图1所⽰，质量均为M的两个⽊块A、B在⽔平⼒F的作⽤下，⼀起沿光滑的⽔平⾯运动，A与B的接触⾯光滑，且与⽔平⾯的夹⾓为60°，求使A与B⼀起运动时的⽔平⼒F的范围。
解析：当⽔平推⼒F很⼩时，A与B⼀起做匀加速运动，当F较⼤时，B对A的弹⼒F N竖直向上的分⼒等于A的重⼒时，地⾯对A的⽀持⼒F NA为零，此后，物体A将会相对B滑动。
显⽽易见，本题的临界条件是⽔平⼒F为某⼀值时，恰好使A沿A与B的接触⾯向上滑动，即物体A对地⾯的压⼒恰好为零，受⼒分析如图2。
对整体有：；隔离A，有：，，。
解得：所以F的范围是0≤F≤⼆、假设法有些物理过程没有出现明显的临界问题的线索，但在变化过程中不⼀定出现临界状态，解答此类问题，⼀般⽤假设法，即假设出现某种临界状态，物体的受⼒情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进⾏处理。
例2 ⼀斜⾯放在⽔平地⾯上，倾⾓，⼀个质量为0.2kg的⼩球⽤细绳吊在斜⾯顶端，如图3所⽰。
斜⾯静⽌时，球紧靠在斜⾯上，绳与斜⾯平⾏，不计斜⾯与⽔平⾯的摩擦，当斜⾯以10m/s2的加速度向右运动时，求细绳的拉⼒及斜⾯对⼩球的弹⼒。
（g取10m/s2）解析斜⾯由静⽌向右加速运动过程中，斜⾯对⼩球的⽀持⼒将会随着a的增⼤⽽减⼩，当a较⼩时，⼩球受到三个⼒作⽤，此时细绳平⾏于斜⾯；当a增⼤时，斜⾯对⼩球的⽀持⼒将会减少，当a增⼤到某⼀值时，斜⾯对⼩球的⽀持⼒为零；若a继续增⼤，⼩球将会“飞离”斜⾯，此时绳与⽔平⽅向的夹⾓将会⼤于θ⾓。
⽽题中给出的斜⾯向右的加速度a=10m/s2，到底属于上述哪⼀种情况，必须先假定⼩球能够脱离斜⾯，然后求出⼩球刚刚脱离斜⾯的临界加速度才能断定。
牛顿运动定律临界问题
m=1kg的小物体放在木板的最右端，m和M之间
的动摩擦因数μ＝0.1，今对木板施加一水平向右
的拉力F.（
）
（1）为使小物体不掉下去，F不能超过多少？ （2）如果拉力F=10N恒定不变，求小物体所能获
得的最大速率？
•2021/3/10
•讲解：XX
•14
解析：（1）为使小物体不掉下去，必须让小物体和 木板相对静止，即两者具有相同的加速度，把小物体 和木板看作整体，则由牛顿第二定律得
当θ=900时，F=μmgCos900=0，加速度达到极限
值，a=g即物体做自由落体运动。
•2021/3/10
综上假设，不难判•讲断解：出XX“D”答案是合理的。
•19
课
三类临界问题的临界条件
堂 总 结
（1）相互接触的两个物体将要脱离的临界条件 是：
二者相互接触但作用的弹力为零
（2）绳子松弛的临界条件是：（绳子刚好打直或恰
m
F
M
M
fm
解：当木块与小车之间的摩擦力达最大静摩擦 力时，对小车水平方向受力分析如图
则两者保持相对静止的最大加速度为
•2021/3/10
am=fm/M=
µmg/M=3m/s2 •讲解：XX
•12
例 题
再取整体为研究对象受力如图
m
分 得：Fm=(M+m) am=30N
M
Fm
析
而 F=25N <Fm
将 a=g 代入 得 F=－0.2mg
ya
FN F
FN=1.4mg
x
F的负号表示绳已松弛，故 F=0
θG
[此小时结a=]gta绳n θ子=3g松/4 弛的临界条件是：绳中 拉而a力=g刚，故好绳为已松零弛。，绳上拉力为零
牛顿运动定律的应用——临界极值问题
牛顿运动定律的应用——临界极值问题典型问题一：张紧的绳子变成松驰绳子的临界条件是F T =01.如图所示，小球的质量为m ，斜面光滑，小球与斜面向右匀加速运动，求： （1）为保持小球与斜面体相对静止，问斜面体的最大加速度不能超过多少？ （2）当a=g/2时，求绳子的张力多大？2.小车在水平路面上加速向右运动，一质量为m 的小球用一条水平线和一条斜线（与竖直方向成300）把小球系于车上，求下列情况下，两绳的拉力： （1）加速度a 1=g/3 （2）加速度a 2=2g/3典型问题二：相互挤压的物体发生分离的临界条件是F N =03.在光滑的水平地面上有一质量为M 、倾角为θ的表面光滑斜劈A ，在劈顶端的钉子上系着一条长为l 的轻线，线下端栓一个质量为m 的小球B 。
用如图所示的方向的水平恒力F 拉劈，求B 相对A 静止时线的拉力T 。
4．一个弹簧秤放在水平地面上，Q 为与轻弹簧上端连在一起的秤盘，P 为一重物，已知P 的质最M=l0.5kg ，Q 的质量m=1.5kg ，弹簧的质量不计，劲度系数k=800N ／m ，系统处于静止，如下图所示，现给P 施加一个方向竖直向上的力F ，使它从静止开始向+卜做匀加速运动，已知在前0.2s 时间内，F 为变力，0.2s 以后，F 为恒力．求力F 的最大值与最小值．(取g=10m ／s 2)．5.如图3—46，在光滑水平面上放着紧靠在一起的A 、B 两物体，B 的质量是A 的2倍，B 受到水平向右的恒力F B =2N ，A 受到的水平力F A ＝(9－2t)N(t 的单位是s) ．从t ＝0开始计时，则：A ．A 物体在3s 末时刻的加速度是初始时刻的5／11倍；B ．t>4s 后，B 物体做匀加速直线运动；C ．t=4.5s 时，A 物体的速度为零；D ．t>4.5s 后，A 、B 的加速度方向相反．典型问题三：相对静止的物体发生相对运动临界条件是f=f m5.如图所示，物体A 放存固定的斜面B 上，在A 上施加一个竖直向下的恒力F ，下列说法中正确的有( )(A )若A 原来是静止的，则施加力F 后，A 仍保持静止a(B )若A 原来是静止的，则施加力F 后，A 将加速下滑(C )若A 原来是加速下滑的，则施加力F 后，A 的加速度不变 (D )若A 原来是加速下滑的，则施加力F 后，A 的加速度将增大6.如图，将质量为m 的滑块放在倾角为θ的固定斜面上。
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1
B BB
F1=ma
则 F2=2 F1
F2=2ma
F2
a
A
即(40-4t) =2(10+4t）
解得
t=5/3 (s)
练 习
有一质量M=4kg的小车置于光滑水平桌面上，在 小车上放一质量m=6kg的物块，动摩擦因素µ=0.2, 现对物块施加F=25N的水平拉力,如图所示，求小 车的加速度？（设车与物块之间的最大静摩擦力 等于滑动摩擦力且g取10m/s2)
练 习
A、B两个滑块靠在一起放在光滑水平 面 上，其质量分别为2m和m,从t=0时刻起， 水平力F1和F2同时分别作用在滑块A和B上， 如图所示。已知F1=（10+4t）N, F2=(404t)N,两力作用在同一直线上，求滑块开 始滑动后，经过多长时间A、B发生分离？
F2 F1
A
B
练 习
解 ：由题意分析可得 两物体分离ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ临界条件是：两物体之 间刚好无相互作用的弹力，且此时两物体 仍具有相同的加速度。 分别以A、B为研究对象，水平方向受 a 力分析如图 F
FN
a=gtan θ=3g/4 [此时 小结 ] 绳子松弛的临界条件是：绳中 而a =g ，故绳已松弛，绳上拉力为零 拉力刚好为零。
解 决 临 界 问 题 的 基 本 思 路
（1）认真审题，仔细分析研究对象所经 历的变化的物理过程， 找出临界状态。
（2）寻找变化过程中相应物理量的变化 规律，找出临界条件。 （3）以临界条件为突破口，列临界方程， 求解问题。
条
件
速度达到最大
物体所受合外力为零 两物体最终速度相等 或者接触时速度相等 两物体仍然接触、弹力为零 原来一起运动的两物体分离时不只弹 力为零且速度和加速度相等
运动到某一极端位置
物体刚好滑出（滑不出）小车
物体滑到小车一端时与小车的速度刚 好相等 速度相等
静摩擦力为最大静摩擦力，物体平衡
刚好运动到某一点（“最高点”）到达该点时速度为零
a
θ
例 题 分 析
解：取小球为研究对象并受力分析，建立正交坐标系 则沿x轴方向 Fcosθ-FNsinθ=ma
沿y轴方向
Fsinθ+FNcosθ=mg
FN
a
F
将 a1=g 、a2=2g 分别代入 得a1=g时：F=7mg/5 ；FN=mg/5 a2=2g时：F= 11mg/5 ；FN=-2mg/5
两个物体距离最近（远）
动与静的分界点 刚好不上（下）滑；保持物体 静止在斜面上的最小水平推 力；拉动物体的最小力 关于绳的临界问题 绳刚好被拉直 绳刚好被拉断
绳上拉力为零 绳上的张力等于绳能承受的最大拉力
课 堂 总 结
三类临界问题的临界条件
（1）相互接触的两个物体将要脱离的临界条件 是： 相互作用的弹力为零 （2）绳子松弛的临界条件是： 绳中拉力为零 （3）存在静摩擦的连接系统，当系统外力大于 最大静摩擦力时，物体间不一定有相对滑动，相 对滑动与相对静止的临界条件是： 静摩擦力达最大值
θ G 易见 ：支持力FN 随加速度a 的增大而减小
当a=gcotθ= 4g/3 时，支持力FN =0
小球即将脱离斜面
例 题 分 析
支持力FN 随加速度a 的增大而减小 当 a=gcotθ= 4g/3 时，支持力FN =0小球即将脱 离斜面
例 当小车加速度a> 4g/3时，小球已飘离斜面， 题 如图所示得 a 分 析 F m a2 g2 F
将a=a2=2g 代入得
ma
F=
5mg
θ
G
【小结】 相互接触的两个物体将要脱离的 临界条件是相互作用的弹力刚好为零。
例 题 分 析
拓展：上述问题中，若小车向左加速运动 ， 试求加速度a=g时的绳中张力。
简析： 则沿x轴方向 FNsinθ - Fcosθ =ma
沿y轴方向 将 a=g 代入 得 F=－0.2mg FN=1.4mg θ FN FNcosθ + Fsinθ=mg ya F x G
课 后 练 习
如图所示，质量均为M的两个木块A、B在水平力F的 作用下，一起沿光滑的水平面运动，A与B的接触面 光滑，且与水平面的夹角为60°，求使A与B一起运 动时的水平力F的范围。
解：当水平力F为某一值时， 恰好使A沿AB面向上滑动， 即物体 A当水平推力 对地面的压力恰好为零，受力分析如图 分析： F很小时，A与B一起作匀加速 运动，当F F较大时， 对整体： ①A的弹力竖直向上的分力 2 Ma B对 N 等于 A 的重力时，地面对 A 的支持力为零，此后， 隔离A： N A 0 ② F 物体A将会相对 B滑动。显而易见，本题的临界 N cos 60 Mg 0 ③ 条件就是 水平力 F为某一值时，恰好使 A沿 AB 面 ﹚ 60° G F N sin 60 A Ma 向上滑动，即物体 对地面的压力恰好为零 . ④ 联立上式解得：F 2 3 Mg ∴ 水平力F的范围是：0＜F≤ 2 3 Mg
0
1 1＋ 2
21.80
F 1＋ 2 所 以 加 速 度 的 最 大 值： 为a max g 6.8m / s 2 M 此 时 木 块 离 定 滑 轮 的平 水距 离 为 ： s h cot 25cm
常 见 临 界 条 件 归 纳
临 刚好不相撞 刚好不分离
界
情
况
临
界
整理得： F(cosθ＋μsinθ)-μMg=Ma 令 (cosθ＋μsinθ)=A ，可知，当A取最大值时a最 大。利用三角函数知识有：
A 1 sin ( ), 其 中＝arcsin
2
1 1＋ 2
F
而Amax 1＋ 2 , 与 此 相 对 应 的 角 为
＝90 －arcsin
课 堂 总 结
解决临界问题的基本思路
（1）认真审题，仔细分析研究对象所经历的 变化的物理过程，找出临界状态。 （2）寻找变化过程中相应物理量的变化规 律，找出临界条件。 （3）以临界条件为突破口，列临界方程，求 解问题。
例 题 分 析
例 题 分 析
拓展：上述问题中，若小车向左加速运动 ， 试求加速度a=g时的绳中张力。
简析： 则沿x轴方向 FNsinθ - Fcosθ =ma
沿y轴方向 将 a=g 代入 得 F=－0.2mg FN=1.4mg F的负号表示绳已松弛，故 F=0 θ G FNcosθ + Fsinθ=mg ya F x
F A
B ﹚60°
练 习
一个物体沿摩擦因数一定的斜面加速下滑， 下列图象，哪个比较准确地描述了加速度a 与斜面倾角θ的关系？
解：设摩擦因数为μ，则a=gSinθ-μgCosθ 做如下几种假设： 当θ=00时，物体静止在水平面上，a=0 当θ=arctgμ时，物体开始匀速下滑，a=0 当θ>arctgμ时，物体加速下滑，a>0 当θ=900时，F=μmgCos900=0，加速度达到极限 值，a=g即物体做自由落体运动。 综上假设，不难判断出“D”答案是合理的。
第四章
牛顿运动定律
牛顿第二定律的应用
------临界问题
临 界 问 题
临界状态：物体由某种物理状态变化为 另一种物理状态时，中间发生质的飞跃 的转折状态，通常称之为临界状态。 临界问题：涉及临界状态的问题叫做临 界问题。
例 题 分 析
在水平向右运动的小车上，有一倾角θ=370 的光滑斜面，质量为m的小球被平行于斜面 的细绳系住而静止于斜面上，如图所示。当 小车以⑴a1=g, ⑵a2=2g 的加速度水平向右 运动时，绳对小球的拉力及斜面对小球的弹 力各为多大？
练 习
如图示，质量为M=2Kg的木块与水平地面的 动摩擦因数μ=0.4，木块用轻绳绕过光滑的 定滑轮，轻绳另一端施一大小为20N的恒力F， 使木块沿地面向右做直线运动，定滑轮离地 面的高度h=10cm，木块M可视为质点，问木 块从较远处向右运动到离定滑轮多远时加速 度最大？最大加速度为多少？
F
练 解：设当轻绳与水平方向成角θ时，对M有 习 Fcosθ-μ(Mg-Fsinθ)=Ma
m M F M fm
解：当木块与小车之间的摩擦力达最大静摩擦 力时，对小车水平方向受力分析如图 则两者保持相对静止的最大加速度为 am=fm/M= µ mg/M=3m/s2
练 再取整体为研究对象受力如图 习
得：Fm=(M+m) am=30N 而 F=25N <Fm 木块与小车保持相对静止
m
M
Fm
故系统的加速度 a=F/(M+m)=2.5 m/s2 小结：存在静摩擦的连接系统，当系统外力大 于最大静摩 擦力时，物体间不一定有相对滑 动。 相对滑动与相对静止的临界条件是： 静摩擦力达最大值