北京市顺义区2013届高三第二次统练理科数学含解析

北京市顺义区2013届高三第二次统练数学试卷(理工类)一、选择题.共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}034,232≥+-∈=<<-∈=x x x B x x A R R ,则=⋂B AA.(]1,3-B.()1,3-C.[)2,1D.()[)+∞⋃∞-,32,【答案】A因为{}13B x R x x =∈≤≥或，所以{}31AB x R x =∈-<≤,选A.2.复数=+-i i123 A.i 2521+ B.i 2521- C.i 2521+-D.i 2521--【答案】B32(32)(1)15151(1)(1)222i i i i i i i i ----===-++-,选B. 3.在极坐标系中,直线l 的方程为224sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ,则点⎪⎭⎫⎝⎛43,2πA 到直线l 的距离为 A.2 B.22 C.222-D.222+【答案】B由224sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ得sin cos 1ρθρθ+=，即直线方程为1x y +=。

⎪⎭⎫ ⎝⎛43,2πA 中，对应的直角坐标为3cos 2cos 43sin 2sin 4x y πρθπρθ⎧===⎪⎪⎨⎪===⎪⎩ ，即直角坐标为(2=，选B.4.执行如图所示的程序框图,输出的sA.10-B.3-C.4D.5【答案】A第一次运行，满足条件循环211,2s k =-==。

第二次运行，满足条件循环2120,3s k =⨯-==。

第三次运行，满足条件循环2033,4s k =⨯-=-=。

第四次运行，满足条件循环2(3)410,5s k =⨯--=-=。

此时不满足条件，输出10s =-，选A.5.已知数列{}n a 中,54+-=n a n ,等比数列{}n b 的公比q 满足()21≥-=-n a a q n n ,且21a b =,则=+++n b b b 21 A.n41-B.14-nC.341n -D.314-n【答案】B因为14n n q a a -=-=-，123b a ==-，所以1113(4)n n n b b q --==-⋅-，所以113(4)34n n n b --=-⋅-=⋅，即{}nb 是公比为4的等比数列，所以12n b b b +++3(14)4114n n -==--，选B. 6.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+14,42,22y x y x y x 则yx -32的取值范围是A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,42 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡64,21 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡64,42 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,641 【答案】C设3z x y=-，则3y x z =-。

做出可行域如图，平移直线3y x z =-，由图象可知当直线经过点B 时，直线截距最大，此时z 最小。

当经过点C 时，直线的截距最小，此时z 最大。

直线2x+y-4=0与x+2y-2=0交于点C （2，0），代入直线得36z x y =-=。

直线4x-y+1=0与2x+y-4=0交于点B 1(,3)2.代入直线得133322z =⨯-=-。

所以362z -≤≤，即362222z -≤≤，即32644x y -≤≤，所以32x y -的取值范围是，选C. 7.已知正三角形ABC 的边长为1,点P 是AB 边上的动点,点Q 是AC 边上的动点,且()R ∈-==λλλ,1,AC AQ AB AP ,则CP BQ ⋅的最大值为 A.23 B.23- C.83D.83-【答案】D()()[(1)]()BQ CP BA AQ CA AP BA AC CA AB λλ⋅=+⋅+=+-⋅+u u u r u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r22(1)(1)AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅-+-+-⋅uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r2(1)cos601λλλλ=-+⨯-+-2113()228λ=---,01λ≤≤，所以当12λ=时，B Q C P ⋅uuu r uur 的最大值为38-，选 D.8.设R ∈n m ,,若直线01:=-+ny mx l 与x 轴相交于点A ,与y 轴相交于点B ,且坐标原点O 到直线l 的距离为3,则AOB ∆的面积S 的最小值为 A.21 B.2 C.3 D.4【答案】C由题意知11(,0),(0,)A Bm n 。

O 到直线l 的距离d ==，即2213m n +=。

因为22123m n mn =+≥，所以16mn ≤，16mn ≥当且仅当m n ==时取等号。

此时AOB ∆面积的为11116322S m n =⨯⨯≥⨯=，所以AOB ∆面积的最小值为3，选C.二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中的横线上)9.91⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中含5x 的项的系数为 (用数字作答).【答案】36展开式的通项公式为9921991()(1)kkk k k k k T C xC x x--+=-=-，由925k -=，解得2k =，所以252539(1)36T C x x =-=，即5x 的项的系数为36.10.设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且5,4,31cos ==∠=b B A π,则=C sin ,ABC ∆的面积=S .由1cos 3A =得sin 3A =.所以s i n s i n C B C B C B C =+=+2224()2336=+=.由正弦定理sin sin a b A B =得20sin sin 32b a A B =⋅==，所以ABC ∆的面积为1sin 2S ab C=120410052369+=⨯⨯⨯= 11.如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点E F ,是AB 延长线上一点,且BF AF CF DF 2,2===,若CE 与圆相切,且27=CE ,则=BE .【答案】21由相交弦定理得BF•AF=DF•FC ，因为BF AF CF DF 2,2===，所以222BF =, 解得1BF =,所以2AF =.因为CE 与圆相切，所以由切割线定理可得2CE BE EA =⋅，即2(12)(3)BE BE BE BE =⋅++=⋅+,解得12BE =.12.一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的表面积为92m 2,则=h m.【答案】4由三视图可知该几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱，几何体的表面积是：2524(245922h +⨯⨯+++=，即1664h =，解得4h =。

13.已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的离心率为362,顶点与椭圆15822=+y x 的焦点相同,那么该双曲线的焦点坐标为 ,渐近线方程为 .【答案】-，y x =椭圆的焦点坐标为(，所以双曲线的顶点为(，即a =3e =，所以3c e a ==，解得c =b 。

所以双曲线的焦点坐标为-。

双曲线的渐近线方程为b y x x a =±==。

14.设定义在R 上的函数()x f 是最小正周期为π2的偶函数,()x f '是()x f 的导函数.当正(主)视图侧(左)主视图俯视图2 45[]π,0∈x 时,()10<<x f ;当()π,0∈x 且2π≠x 时,()02<'⎪⎭⎫⎝⎛-x f x π.则函数()x x f y cos -=在[]ππ3,3-上的零点个数为 .【答案】6因为[]π,0∈x 且2π≠x 时，()02<'⎪⎭⎫⎝⎛-x f x π，所以(0,)2x π∈，函数单调增，(,)2x ππ∈，函数单调减。

因为[]π,0∈x 时，[]π,0∈x ，在同一坐标系中作出cos y x =和()y f x =草图如下，由图知()x x f y cos -=在[]ππ3,3-上的零点个数为6个．三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分) 已知函数()()21cos 22sin sin cos 3+-=x x x x x f .(I)求⎪⎭⎫⎝⎛3πf 的值; (II)求函数()x f 的最小正周期及单调递减区间.16.(本小题满分14分)如图,在长方体1111D C B A ABCD -中,11==AD AA ,E 为CD 的中点,F 为1AA 的中点.(I)求证:⊥1AD 平面E B A 11; (II)求证://DF 平面E AB 1;(III)若二面角11A E B A --的大小为45,求AB 的长.17.(本小题满分13分)为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是:[)[)[)[)[]45,40,40,35,35,30,30,25,25,20.(I)求图中x 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[)40,35岁的人数; (II)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X ,求X 的分布列及数学期望./1B D18.(本小题满分13分)已知函数()21ax e x f x+=,其中a 为正实数, 718.2=e .(I)若21=x 是()x f y =的一个极值点,求a 的值; (II)求()x f 的单调区间.19.(本小题满分14分)已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的两个焦点分别为21,F F ,且221=F F ,点P 在椭圆上,且21F PF ∆的周长为6. (I)求椭圆C 的方程;(II)若点P 的坐标为()1,2,不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点,设线段AB 的中点为M ,点P 到直线l 的距离为d ,且P O M ,,三点共线.求2216131312d AB +的最大值.20.(本小题满分13分)已知函数()()2ln 1ln ln ,12-+-=+=a x x g ae x f x,其中a 为大于零的常数, 718.2=e ,函数()x f y =的图像与坐标轴交点处的切线为1l ,函数()x g y =的图像与直线1=y 交点处的切线为2l ,且21//l l .(I)若在闭区间[]5,1上存在x 使不等式()x x f x m x ->-成立,求实数m 的取值范围;(II)对于函数()x f y =和()x g y =公共定义域内的任意实数0x ,我们把()()00x g x f -的值称为两函数在0x 处的偏差.求证:函数()x f y =和()x g y =在其公共定义域内的所有偏差都大于2.顺义区2013届高三第二次统练数学试卷(理工类)参考答案一、ABBA BCDC 二、9.3610.9225100,624++ 11.2112.413.()x y 315,0,22±=± 14.6三、15.解:(I)=⎪⎭⎫ ⎝⎛3πf 213cos 232sin3sin 3cos 3+⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππππ 212122323213+⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=210+=21=.……………………………………………………………4分 (II)0cos ≠x ,得()Z ∈+≠k k x 2ππ故()x f 的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z R k k x x ,2ππ. 因为()()21cos 22sin sin cos 3+-=x x x x x f()21sin cos 3sin +-=x x x 21sin 2sin 232+-=x x 2122cos 12sin 23+--=x x x x 2cos 212sin 23+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx ,所以()x f 的最小正周期为ππ==22T . 因为函数x y sin =的单调递减区间为()Z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++k k k 232,22ππππ, 由()Z ∈+≠+≤+≤+k k x k x k 2,2326222πππππππ, 得()Z ∈+≠+≤≤+k k x k x k 2,326ππππππ, 所以()x f 的单调递减区间为()Z ∈⎥⎦⎤⎝⎛++⎪⎭⎫⎢⎣⎡++k k k k k 32,2,2,6ππππππππ. ……………………………………………………………13分 16.(I)证明:在长方体1111D C B A ABCD -中,因为⊥11B A 平面11ADD A , 所以111AD B A ⊥. 因为AD AA =1,所以四边形11A ADD 为正方形, 因此D A AD 11⊥, 又1111A D A B A =⋂, 所以⊥1AD 平面D B A 11. 又CD B A //11,且CD B A =11, 所以四边形CD B A 11为平行四边形. 又E 在CD 上,所以⊥1AD 平面E B A 11.……………………………………………………………4分 (II)取1AB 的中点为N ,连接NF . 因为F 为1AA 的中点,所以1121//B A NF 且1121B A NF =,因为E 为CD 的中点,所以CD DE 21=, 而11//B A CD ,且11B A CD =,所以DE NF //,且DE NF =, 因此四边形NEDF 为平行四边形, 所以EN DF //,而⊂EN 平面E AB 1, 所以//DF 平面E AB 1.……………………………………………………………9分 (III)如图,以A 为坐标原点,建立空间直角坐标系xyz A -,设a AB =, 则()()()()1,0,,0,1,2,1,1,0,0,1,0,0,0,011a B a E D D A ⎪⎭⎫⎝⎛, 故()()⎪⎭⎫⎝⎛===0,1,2,1,0,,1,1,011a a AB AD . 由(I)可知⊥1AD 平面E B A 11,所以1AD 是平面E B A 11的一个法向量. 设平面E AB 1的一个法向量为()z y x ,,=,则0,01=⋅=⋅AE n AB n ,所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02,0y x a z ax令1=x ,则a z ay -=-=,2, 所以⎪⎭⎫⎝⎛--=a a n ,2,1.设1AD 与所成的角为θ,则224122cos a a a a++--==θ.因为二面角11A E B A --的大小为45,所以 45cos cos =θ,即224512232=+a a , 解得1=a ,即AB 的长为1.……………………………………………………………14分 17.解:(I)因为小矩形的面积等于频率,所以除[)40,35外的频率和为0.70,06.0570.01=-=∴x .………………………………………………………3分 500名志愿者中,年龄在[)40,35岁的人数为150500506.0=⨯⨯(人). (II)用分层抽样的方法,从中选取20名,则其中年龄“低于35岁”的人有12名, “年龄不低于35岁”的人有8名. 故X 的可能取值为0,1,2,3,()28514032038===C C X P , ()9528132028112===C C C X P , ()9544232018212===C C C X P , ()57113320312===C C X P , 故X 的分布列为所以955739529512850=⨯+⨯+⨯+⨯=EX .……………………………………………………………13分18.解:()()()222112ax e ax axx f x++-='.(I)因为21=x 是函数()x f y =的一个极值点, 所以021=⎪⎭⎫⎝⎛'f , 因此0141=+-a a , 解得34=a .经检验，当34=a 时，21=x 是)(x f y =的一个极值点，故所求a 的值为34.……………………………………………………………4分(II)()()()()0112222>++-='a ax e ax axx f x令()0='x f 得0122=+-ax ax ……① (i)当()0422>--=∆a a ,即1>a 时,方程①两根为aaa a x a a a a a a a a x -+=--=--=22221,2442. 此时()x f '与()x f 的变化情况如下表:所以当1>a 时,()x f 的单调递增区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞-a aa a 2,,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-+,2a aa a ; ()x f 的单调递减区间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--a aa a a a a a 22,. (ii)当0442≤-=∆a a 时,即10≤<a 时,0122≥+-ax ax ,即()0≥'x f ,此时()x f 在()+∞∞-,上单调递增.所以当10≤<a 时,()x f 的单调递增区间为()+∞∞-,. ……………………………………………………………13分 19.解:(I)由已知得22=c 且622=+c a ,解得1,2==c a , 又3222=-=c a b ,所以椭圆C 的方程为13422=+y x . ……………………………………………………………3分(II)设()()2211,,,y x B y x A .当直线l 与x 轴垂直时,由椭圆的对称性可知,点M 在x 轴上,且与O 点不重合, 显然P O M ,,三点不共线,不符合题设条件. 故可设直线l 的方程为()0≠+=m m kx y .由⎩⎨⎧=++=1243,22y x m kx y 消去y 整理得 ()0124843222=-+++m kmx xk .……………………………………………①则()()0124434642222>-+-=∆mkm k ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+222122143124,438k m x x k km x x 所以点M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++-22433,434k m k km . 因为P O M ,,三点共线,所以22432433,kkmk m k k OP OM +-=+=, 因为0≠m ,所以23-=k , 此时方程①为033322=-+-m mx x ,则()01232>-=∆m ,⎪⎩⎪⎨⎧-==+33,22121m x x m x x所以()()2122122y y x x AB-+-=()()[]21221241x x x x k -++=()2121213m -=, 又1342232822-=+-=m m d ,所以()()352344344121613131222222+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-=+m m m d AB , 故当()0,3234-∈-=m 时,2216131312d AB +的最大值为352.……………………………………………………………13分 20.解:(I)函数()x f y =的图像与坐标轴的交点为()12,0+a ,又()x ae x f 2=',()a f 20='∴.函数()x g y =的图像与直线1=y 的交点为()1,2a ,又()x x g 1=',()aa g 212='∴. 由题意可知,41,2122=∴=a a a , 又0>a ,所以21=a .……………………………………………………3分不等式()x x f x m x ->-可化为()x x f x x m +-<,即x e x x m -<.令()x e x x x h -=,则()xe x x x h ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='211,221,0≥+∴>x xx .又0>x 时,1>xe ,121>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴x e x x , 故()0<'x h ,()x h ∴在()+∞,0上是减函数,即()x h 在[]5,1上是减函数,因此,在闭区间[]5,1上,若存在x 使不等式()x x f x m x ->-成立,只需()e h m -=<11,所以实数m 的取值范围是()e -∞-1,.…………………………………8分 (II)证明:()x f y =和()x g y =公共定义域为()+∞,0,由(I)可知,21=a . ()()x e x g x f x ln -=-∴.令()1--=x e x q x ,则()01>-='x e x q ,()x q ∴在()+∞,0上是增函数,故()()00=>q x q ,即x e x>-1.①令()1ln +-=x x x m ,则()11-='xx m , 当1>x 时,()0<'x m ;当10<<x 时,()0>'x m ,()x m ∴有最大值()01=m ,因此x x <+1ln .②由①②得1ln 1+>-x e x,即2ln >-x e x. 又由①得x x e x >+>1, 由②得x x x <-<1ln ,x e x ln >∴,()()2ln >-=-∴x e x g x f x ,故函数()x f y =和()x g y =在其公共定义域内的所有偏差都大于2.。