新北师大版八年级数学下册《一章 三角形的证明 1. 等腰三角形 等边三角形的判定》教案_7
北师大版八年级数学(下) 第一章 三角形的证明 第3节 等腰三角形的判定与反证法
图⑤中，∵AB∥DE，∴∠A＝∠D＝30°，∵∠BCD＝∠A+∠B＝60°，
∴∠B＝60°﹣∠A＝30°，∴∠B＝∠A，∴△ABC 是等腰三角形；
能判定△ABC 是等腰三角形的有 4 个，故选：C．
例 2：如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝108°，BD＝AD＝AE，则图中等腰三角形的个数为（ ）
CBE 是等腰三角形．∴图中的等腰三角形有 8 个．故选：D．
B．6
C．7
D．8
例 3：已知：如图△ABC 中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线 BA 上找一点 D，使△ACD 为等腰三角
形，则∠ACD 的度数为
．
解：如图，有三种情形：
①当 AC＝AD 时，∠ACD＝70°． ②当 CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°． ③当 AC＝AD″时，∠ACD″＝20°， 故答案为 70°或 40°或 20°
C．50°、60°
D．100°、30°
解：A、∵三角形中已知两个内角为30°、60°，∴第三个内角为 180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴这个三角形是直角三角形，不是等腰三角形，故选项 A 不符合题意；
B、∵三角形中已知两个内角为 40°、70°，∴第三个内角为 180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴这个三角形由两个内角相等，∴这个三角形是等腰三角形，故选项 B 符合题意；
反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后 由此推导出与定义、基本事实、已有定理或已知 条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成 立．这种证明方法称为反证法．
用反证法证题的一般步骤：
1. 假设: 先假设命题的结论不成立; 2. 归谬: 从这个假设出发进行推理,得出与定义、基本事实、 已有定理或已知条件相矛盾的结果；
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四、教学过程设计
教学活动流程
活动内容和目的
一、 活动 1
复习等腰三角形的性质和判定、 通过类比得出等边三角形的性
练习： 1、△ ABC 是等边三角形 ,BD 为 AC 的中线 ,延长 BC 到
E,使 CE=CD, 求证 :BD=DE
A
D
B
E C
学生独立思考、解 答问题， 教师提问， 学生讲解解题思路 并分析如何想到的 思路，师生共同归 纳解题经验
活动 3： 如图，点 B 是 AP 上一点，△ APC 、△ BDP 都是等边三角形， 连接 BC 和 DP.图中隐藏着几对全等三角形？试着说明道理 .
角形
(2) 等边三角形一定是等腰三角形 , 而等腰三角形不一定是等
边三角形
(3) 有两个角是 60°的三角形一定是等边三角形
(4) 等边三角形中所有的中线、高、角平分线总条数是
3条
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
2、已知△ ABC中，∠ A=∠ B=60°， AB=3cm，则△ ABC的周长为
想和方法研究，发展逻辑推理能力 .
情感目标：
通过数学活动，激发学生的学习兴趣，在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨
论，促进学生亲近数学，喜欢数学，激发学生积极参与数学学习活动的兴趣，培养学生良好
的创新意识 .
三、教学问题诊断分析： 由于在我们的现实生活中随处可见等边三角形，学生在原有生活经验的基础上，对等边
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的
三角形是等边三角形。
三、自学检测
1. 判断对错：
① 等边三角形一定是锐角三角形．（
）
② 等腰的三角形是等边三角形．（
）
④ 所有的等边三角形形状都相同，所以全等． （ ）
⑤ 有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形．（
）
2. 在△ ABC 中，∠ A=60°，若使△ ABC 为等边三角形， 请你添一个条件
3. 等腰三角形有
条对称轴 .
4. 已知等腰△ ABC中， AB=AC， ∠B=60°，周长为 15cm，则 BC=
5. 如图 , △ABC是等边三角形， AD为中线， AD=AE，则∠ EDC的度数是
开放题 . 如图，在等边△ ABC 中， AF=BD=CE ，你能得到哪些结论？并写出推理过程 .
边
两条边相等
角
两个底角相等
底边上的中线、 高和顶角的平分线互相 性 重要
重合 质 线段
（三线合一）
对称 性
轴对称图形（ 1 条）
3. 根据等腰三角形的判定方法探究等边三角形的判定方法
判定一：
相等的三角形是等边三角形。
几何语言：
等边三角形
判定二：三个角都 几何语言：
的三角形是等边三角形。
判定三：有一个角是 几何语言：
A
A FF
必做题 : 如图 ,△ABC 是等边三角形， AD ＝AE ,分别交 AB ，AC 于点 D， E．
求证：△ ADE 是等边三角形
B BD D
E
E
C
C
选做题：如图，分别以 AC ，CB 为边在线段 AB 同侧作等边三角形 ACD 和等边三角 形 BCE，连接 AE 交 DC 于点 M ，连接 BD 交 CE 于点 N，连接 MN. 你能得到哪些结论？并写出推理过程 .
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②引导学生全面、周到地思考问题 .
四、教学方法： “学本课堂”教学法。 五、教学时间： 1 课时 六、教学过程： （一）、 创设情景 等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等腰三角形呢？ （二） . 学习目标 ：
1. 掌握等边三角形的判别条件。
2. 掌握含有 30o 角的直角三角形性质及其证明。
导学单
课题： 1.1: 等腰三角形（第 4 课时）
一、教学目标 : 理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有
30o 角的直角三角形性质及其证明，并能
利用这两个定理解决一些简单的问题。
二、教学重点： ①等边三角形判定定理的发现与证明 .
②含 30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明 .
三、教学难点： ①含 30°角的直角三角形性质定理的探索与证明 .
如分类讨论思想、逆向思维等。
七 . 教学反思：
C A. 有一个内角是 60° B. 有一个外角是 120°
A B）
D C
C. 有两个角相等
D. 腰与底边相等
C
3、 如图，△ ABC中，∠ C=90°，∠ ABC=60°,BD 平分
∠ ABC,若 AD=6，则 CD=
。
D
（五）、展示点拨
A
B
如果学生不能很快得出 30 度所对直角边是斜边一半，教师可以在图上标出各个字母，并要求学生思
（三） . 自主学习
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都
，并且每个角都等于
。
（ 1）一个三角形满足什么条件时是等边三角形？
一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？
（ 2）等边三角形的判定：
1、有一个角等于
北师大版数学八年级下册1.等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质课件
新课讲授
典例分析
例 如图，已知△ABC，△BDE都是等边三角形． 求证：AE＝CD.
分析：要证AE＝CD，可通过证AE，CD所在的两个三角 形全等来实现，即证△ABE≌△CBD，条件可从 等边三角形中去寻找．
新课讲授
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形， ∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°. AB＝CB， 在△ABE与△CBD中， ABE＝CBD， BE＝BD， ∴△ABE≌△CBD(SAS)． ∴AE＝CD.
第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
课时2 等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质
学习目标
等腰三角形中相等的线段 等边三角形的性质.（重点、难点）
新课导入
等腰三角形有哪些性质？
1．等腰三角形的性质：等边对等角. 2．等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形
顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相 重合.
新课讲授
典例分析
例 求证：等腰三角形两腰上的中线相等．
分析：先根据命题分析出题设和结论，画出图形，写 出已知和求证，然后利用等腰三角形的性质和 三角形全等的知识证明．
新课讲授
解：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线， 求证：CE＝BD.
证明：∵AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线，
新课讲授
知识点2 等边三角形的性质
1．等边三角形的定义是什么？ 2．想一想
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角 形的内角有什么特征呢?
新课讲授
定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角 都等于60°.
新课讲授
典例分析
例 已知：如图, 在△ABC中，AB= AC=BC. 求证：∠A= ∠ B = ∠ C = 60°. ∵AB = AC， ∴∠ B = ∠ C (等边对等角). 又∵AC = BC， ∴∠A= ∠ B (等边对等角). ∴∠A= ∠ B = ∠ C. 在△ABC中，∠A+∠ B+∠ C = 180°. ∴∠A= ∠ B = ∠ C = 60°.
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等边三角形的判定
边
三角形的探究角度
角
定义→性质→判定→应用
类比
分类
转化
含 30°的 Rt△
等边三角形
【课后反思】
本节课借助于教学活动的展开，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣， 从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知 识，有助于学生思维能力的提高．等边三角形的判定定理是本节的重点，在从等 腰三角形入手证明等边 三角形的时候，运用了分类讨论思想，讨论 60 度是底角 还是顶角，对学生提高数学思想方法的认识起到了渗透的作用。难点在于探究定 理：“直角三角形中， 30°所对的直角边等于斜边的一半”，由于设计了学生动 手操作拼摆的实践活动，有效地突破了难点，因而，课堂学生思维非常灵活，方 法多样，取得较好的效果。
线.
定义→性质→判定→应
（板书：定义→性质→判定 用
探究新知
→应用）
由于前面已经学习过等边三
角形的定义和性质学生很自
然的就想到本节课的学习内
容是判定 .
（板书，补全课题：判定（不
同颜色粉笔））
探究一
从等腰三角形判定等边 先独立思考 1 分钟，然后
三角形
小组交流。
结论：有一个角是 60°
的等腰三角形是等边三
1 求证： BC=2 AB ． 分析：从三角尺的拼摆过程 中得到启发， 延长 BC 至 D， 使 CD=BC，连接 AD ．
课件展示证明过程，规 范证明格式。 证明：在△ ABC 中，
∠ACB=9°0 ， ∠BAC=3°0 ∠B=60°. 延长 BC 至 D ，使 CD=BC ，连接 AD( 如图所 示)．
2. 八年级学生的抽象思维趋于成熟，形象直观思维能力较强，具有一定的独 立思考、实践操作、合作交流、归纳概括等能力，能进行简单的推理论证，能积 极参与讨论；但自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步加强和引导 .
新北师大版八年级数学下册《一章 三角形的证明 1. 等腰三角形 等边三角形的判定》教案_0
第1课时《等腰三角形》一、教材与学情分析1.教材分析本节内容为《等腰三角形》的第3课时，学生将探究等边三角形性质和判定定理，应该说，这两个定理的证明和探索相对而言，并不复杂，更多的是前面定理的直接运用，因此，本节课可以更多地让学生自主探索。
在探索过程中需要分类讨论，因此注意揭示其中的分类思想2.学情分析在前两节课，学生已经经历了独立探索发现定理的过程，并能基本规范地证明相关命题，这些都为本节课进一步探索发现相关定理提供了较好的知识基础和活动经验基础。
二、教学目标1．知识与技能：（1）掌握等边三角形的性质条件；（2）理解等边三角形的判别条件及其证明（3）能利用这两个定理解决一些简单的问题。
2．过程与方法：经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维3．情感与价值目标在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心三、教学重、难点重点：1、等边三角形判定定理的发现与证明.难点：能灵活应用等边三角形性质或判定解题四、教学过程节观点（重点、难点、处理方式、学生有效参与）1.创设情境，引入新课1.等腰三角形的判定定理和性质定理是什么？2.什么是等边三角形？3.（1）等腰三角形的一个内角等于40°，求其余各角；（2）等腰三角形的一个内角等于100°，求其余各角；（3）等腰三角形的一个内角等于60°，求其余各角；学生踊跃回答学生回顾思考回答回顾有关内容，既是对前面学习内容的一个简单梳理，也为后续有关证明做了知识准备；，可以让学生熟悉证明的基本要求和步骤，为后面的其他证明做好准备。
2、探究等边三角形的性质特征等边三角形的性质特征1、等边三角形三边，三个内角。
2等边三角形三线合一例1：如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交学生回顾用几何语言表示思考，利用性质解答通过复习进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论于点P，求∠APE的度数。
北师大版八年级下册数学大纲
北师大版八年级下册数学大纲一、三角形的证明。
1. 等腰三角形。
- 理解等腰三角形的性质和判定定理。
- 性质包括“等边对等角”以及“三线合一”（等腰三角形底边上的中线、底边上的高和顶角平分线互相重合）。
- 判定定理：等角对等边。
- 能运用这些定理进行简单的计算和证明。
2. 直角三角形。
- 掌握直角三角形的性质，如直角三角形两锐角互余。
- 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
- 勾股定理及其逆定理。
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方a^2+b^2=c^2（a,b为直角边，c为斜边）；逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。
- 会运用这些定理解决实际问题，如求直角三角形的边长、判断三角形是否为直角三角形等。
3. 线段的垂直平分线。
- 理解线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
- 掌握其判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
- 能利用这些定理进行相关的作图和证明。
4. 角平分线。
- 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
- 判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
- 学会用尺规作角的平分线，并能运用角平分线的性质和判定进行证明。
二、不等式与不等式组。
1. 不等式的基本性质。
- 理解不等式的基本性质，如不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
- 能根据不等式的基本性质对不等式进行变形。
2. 一元一次不等式。
- 掌握一元一次不等式的概念，能将实际问题抽象为一元一次不等式。
- 会解一元一次不等式，其步骤与解一元一次方程类似，但要注意不等号方向的变化。
- 能在数轴上表示一元一次不等式的解集。
3. 一元一次不等式组。
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13.3.2 等边三角形的性质与判定
学习目标
1．掌握等边三角形的性质和判定．（重点）
2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．（难点）
问题引入
小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长度分别为10cm ，10cm ，10cm ，6cm ，你能帮他设计出几种形状的三角形？
类比探究
问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？
结论： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一 个角都等于60°.
已知：AB=AC=BC ，
求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°
证明： ∵AB=AC.
∴∠B=∠C .(等边对等角)
同理 ∠A=∠C .
∴∠A=∠B=∠C.
∵ ∠A+∠B+∠C=180°,
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °.
问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？
结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”.
典例精析
例1 如图，△ABC 是等边三角形，E 是AC 上一点，D 是BC 延长线上一点，连接BE ，DE ，若∠ABE ＝40°，BE ＝DE ，求∠CED 的度数．
A B C A B C
A B C
变式训练：
如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．
等边三角形的判定
等边三角形的判定方法：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
典例精析
例3 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC,
求证：△ADE是等边三角形.
变式1若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？
变式2若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，
且DE∥BC，结论依然成立吗？
变式3：上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗?试说明理由. 课堂小结。