八年级数学等腰三角形专项练习

1．如图，在△ABC中，AB=AC=10，AD=BD，△BCD的周长为17，那么BC的长是（）A．5B．7C．12D．以上都不对2．如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，则∠DBC等于（）A．∠ABC B．2∠A C．∠A D．∠A3．如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是（）A．∠B=∠C B．AD⊥BC，∠BAD=∠CADC．AD⊥BC，BD=CD D．AD⊥BC，∠BAD=∠ACD4．在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，2），点P在x轴上运动，当以点A，P、O为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，AB=10cm，AC=8cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿线段AB向点B运动．在运动过程中，当△APC为等腰三角形时，点P出发的时刻t可能的值为（）A．5B．5或8C．D．4或6．如图，在△MBC中，AB=4，AC=6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为（）A．7B．8C．9D．107．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D、E两点分别在边AC、BC上，BD平分∠ABC，DE∥AB．图中的等腰三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个8．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=5，AD=2，则△AED 的周长为（）A．4B．5C．6D．79．如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE=36°，那么∠BED 的度数为（）A．108°B．120°C．126°D．144°10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC 交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BGC=90°+∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD=m，AE+AF=n，=mn．其中正确的结论有（）则S△AEFA．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④11．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN=30°．若AM=m，MN=x，CN=n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定12．等腰三角形一腰上的中线将其周长分为8和12两部分，则它的底边长是．13．如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=17cm，则△ODE的周长是cm．14．如图，若B，D，F在AN上，C，E在AM上，且AB=BC=CD=ED=EF，∠A=20o，则∠FEM=．15．如图，△ABC为等边三角形，∠BAD=15°，∠DAE=80°，AD=AE，则∠EFC=°．16．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AC=3，过点A的直线DE∥BC，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E、D，则DE的长为．17．如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是．①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．18．设a、b分别是等腰三角形的两条边的长，m是这个三角形的周长，当a、0b、m满足方程组时，m的值是．19．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为46°，则底角∠B的大小为．20．如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC上一点，E是AC上一点，连接AD、DE，若∠ADE=∠AED，∠EDC=15°，则∠BAD=．21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：（1）EF⊥AB；（2）△ACF为等腰三角形．22．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．23．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上，且CE=CA．（1）试求∠DAE的度数．（2）如果把原题中“AB=AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？为什么？24．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，D为BC边上一点，∠DAB=45°．（1）求∠DAC的度数；（2）请说明：AB=CD．25．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE⊥AC于点E，∠BAD=∠CBE．求证：AB=AC．26．现在给出两个三角形，请你把图（1）分割成两个等腰三角形，把图（2）分割成三个等腰三角形．要求：在图（1）、（2）上分割：标出分割后的三角形的各内角的度数．27．如图1，在△ABC中，∠BAC=75°，∠ACB=35°，∠ABC的平分线BD交边AC 于点D．（1）求证：△BCD为等腰三角形；（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：BD+AD=AB+BE；（3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论．28．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC 上，且AD=AE，连接DE．（1）如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；（2）如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE 的数量关系，并说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．如图，在△ABC中，AB=AC=10，AD=BD，△BCD的周长为17，那么BC的长是（）A．5B．7C．12D．以上都不对【解答】解：∵AD=BD，AC=AD+CD，∴BD+CD=AD+CD=AC，=BC+CD+BD=BC+AC=BC+10=17，∴C△BCD∴BC=7．故选：B．2．如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，则∠DBC等于（）A．∠ABC B．2∠A C．∠A D．∠A【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A），∵BD⊥AC，∴∠DBC=90°﹣∠C=90°﹣（180°﹣∠A）=∠A，故选：C．3．如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是（）A．∠B=∠C B．AD⊥BC，∠BAD=∠CADC．AD⊥BC，BD=CD D．AD⊥BC，∠BAD=∠ACD【解答】解：A、∵∠B=∠C，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形，故本选项不符合题意；B、∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在△ADB和△ADC中∴△ADB≌△ADC（ASA），∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形，故本选项不符合题意；C、∵AD⊥BC，BD=CD，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形，故本选项不符合题意；D、根据AD⊥BC和∠BAD=∠ACD不能推出△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意；故选：D．4．在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，2），点P在x轴上运动，当以点A，P、O为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：如图，当OA=OP时，可得P1、P2满足条件；当PA=PO时，可得P3满足条件；当AO=AP时，可得P4满足条件，故选：C．5．如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，AB=10cm，AC=8cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿线段AB向点B运动．在运动过程中，当△APC为等腰三角形时，点P出发的时刻t可能的值为（）A．5B．5或8C．D．4或【解答】解：如图，∵在△ABC中，已知∠ACB=90°，AB=10cm，AC=8cm，∴由勾股定理，得BC==6cm．①当AP=AC时，2t=8，则t=4；②当AP=PC时，过点P作PD⊥AC于点D，则AD=CD，PD∥BC，∴PD是△ABC的中位线，∴点P是AB的中点，∴2t=5，即t=；③若AC=PC=8cm时，与PC＜AC矛盾，不和题意．综上所述，t的值是4或；故选：D．6．如图，在△MBC中，AB=4，AC=6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为（）A．7B．8C．9D．10【解答】解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线，∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，∵MN∥BC，∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠BCO，∴∠ABO=∠MOB，∠NOC=∠ACO，∴MB=MO，NC=NO，∴MN=MO+NO=MB+NC，∵AB=4，AC=6，∴△AMN周长为AM+MN+AN=AM+MB+AN+NC=AB+AC=10，故选：D．7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D、E两点分别在边AC、BC上，BD平分∠ABC，DE∥AB．图中的等腰三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36°，∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，∵DE∥AB，∴∠EDB=∠ABD=36°，∴∠EDC=72°﹣36°=36°，∴∠DEC=180°﹣72°﹣36°=72°，∴∠A=∠ABD，∠DBE=∠BDE，∠DEC=∠C，∠BDC=∠C，∠ABC=∠C，∴△ABC、△ABD、△DEB、△BDC、△DEC都是等腰三角形，共5个，故选：C．8．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=5，AD=2，则△AED 的周长为（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵ED∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∴∠ABD=∠EDB，∴EB=ED，∴△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD=7，故选：D．9．如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE=36°，那么∠BED 的度数为（）A．108°B．120°C．126°D．144°【解答】解：∵AE平分∠BAC∴∠BAE=∠CAE=36°∵ED∥AC∴∠CAE+∠DEA=180°∴∠DEA=180°﹣36°=144°∵∠AED+∠AEB+∠BED=360°∴∠BED=360°﹣144°﹣90°=126°．故选：C．10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC 交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BGC=90°+∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD=m，AE+AF=n，=mn．其中正确的结论有（）则S△AEFA．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④【解答】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG．∵EF∥BC，∴∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，∴BE=EG，GF=CF，∴EF=EG+GF=BE+CF，故本小题正确；②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A），∴∠BGC=180°﹣（∠GBC+∠GCB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A，故本小题正确；③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴点G是△ABC的内心，∴点G到△ABC各边的距离相等，故本小题正确；④连接AG，∵点G是△ABC的内心，GD=m，AE+AF=n，∴S=AE•GD+AF•GD=（AE+AF）•GD=nm，故本小题错误．△AEF故选：C．11．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN=30°．若AM=m，MN=x，CN=n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定【解答】解：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，∵∠MON=30°，∴∠CBH+∠∠ABM+∠CBN=30°，∴∠NBM=∠NBH，∵BM=BH，BN=BN，∴△NBM≌△NBH，∴MN=NH=x，∵∠BCH=∠A=60°，CH=AM=n，∴∠NCH=120°，∴x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形，故选：C．二．填空题（共9小题）12．等腰三角形一腰上的中线将其周长分为8和12两部分，则它的底边长是或4．【解答】解：设等腰三角形的腰长是x，底边是y．根据题意，得：或，解得或．所以它的底边是或4．故答案为：或4．13．如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=17cm，则△ODE的周长是17cm．【解答】解：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=∠DBO，又OD∥AB，∴∠ABO=∠DOB，∴∠DBO=∠DOB，∴OD=BD，同理OE=CE，∵BC=17cm，则△ODE的周长c=OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC=17cm．故答案为17．14．如图，若B，D，F在AN上，C，E在AM上，且AB=BC=CD=ED=EF，∠A=20o，则∠FEM=100°．【解答】解：∵∠A=20°，AB=BC，∴∠A=∠ACB=20°，∠CBD=∠A+∠ACB=20°+20°=40°；∵BC=CD，∴∠CBD=∠CDB=40°，∴∠ECD=∠A+∠CDA=30°（外角定理）；∵CD=DE，∴∠DCE=∠DEC=60°，∴∠EDF=∠A+∠AED=80°；又∵DE=EF，∴∠EDF=∠EFD=80°，∴∠FEM=∠A+∠EFD=20°+80°=100°．故答案为100°．15．如图，△ABC为等边三角形，∠BAD=15°，∠DAE=80°，AD=AE，则∠EFC=85°．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∠BAD=15°，∠DAE=80°，∴∠CAE=∠BAE﹣∠BAC=15°+80°﹣60°=35°∵∠DAE=80°，AD=AE，∴∠ADE=∠E=（180°﹣80°）=50°，∵∠EFC是△AEF的外角，∴∠EFC=∠CAE+∠E=35°+50°=85°．故答案为85．16．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AC=3，过点A的直线DE∥BC，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E、D，则DE的长为7．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠E=∠EBC．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠E=∠ABE，∴AB=AE．同理可得：AD=AC，∴DE=AD+AE=AB+AC=4+3=7，故答案为：717．如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是②③④．①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．【解答】解：应添加的条件是②③④；证明：②当∠BAD=∠CAD时，∵AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高；则△ABD≌△ACD，∴△BAC是等腰三角形；③延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC；连接AE、AF；∵AB+BD=CD+AC，∴DE=DF，又AD⊥BC；∴△AEF是等腰三角形；∴∠E=∠F；∵AB=BE，∴∠ABC=2∠E；同理，得∠ACB=2∠F；∴∠ABC=∠ACB，即AB=AC，△ABC是等腰三角形；④△ABC中，AD⊥BC，根据勾股定理，得：AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD）；∵AB﹣BD=AC﹣CD①，∴AB+BD=AC+CD②；∴①+②得：，2AB=2AC；∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形故答案为：②③④．18．设a、b分别是等腰三角形的两条边的长，m是这个三角形的周长，当a、0b、m满足方程组时，m的值是5或．【解答】解：①若a是腰长，b是底边，则2a+b=m，∵a、b、m满足方程组，把b=m﹣2a代入解得：m=4，a=1，b=2，∵a+a=1+1＜2=b，不符合三角形任意两边之和大于第三边，∴m=4舍去；②若b是腰长，a是底边，则2b+a=m，∵a、b、m满足，把a=m﹣2b代入解得：m=5，b=．③若a=b，则a、b是腰，则，解得m=，a=，+＞2，符合三角形的三边关系．故答案为：5或．19．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为46°，则底角∠B的大小为68°或22°．【解答】解：（1）当AB的中垂线MN与AC相交时，∵∠AMD=90°，∴∠A=90°﹣46°=44°，∵AB=AC，∴∠B=∠C==68°；（2）当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时，∴∠DAB=90°﹣46°=44°，∵AB=AC，∴∠B=∠C=∠DAB=22°．故答案为：68°或22°．20．如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC上一点，E是AC上一点，连接AD、DE，若∠ADE=∠AED，∠EDC=15°，则∠BAD=30°．【解答】解：∵∠AED=∠C+∠EDC=∠C+15°，∠ADE=∠AED，∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=∠C+30°．又∠ADC=∠B+∠BAD，∠B=∠C，∴∠BAD=30°．故答案为30°．三．解答题（共8小题）21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：（1）EF⊥AB；（2）△ACF为等腰三角形．【解答】证明：（1）∵AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=72°，又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=36°，∴∠BAD=∠ABD，∴AD=BD，又∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，即FE⊥AB；（2）∵FE⊥AB，AE=BE，∴FE垂直平分AB，∴AF=BF，∴∠BAF=∠ABF，又∵∠ABD=∠BAD，∴∠FAD=∠FBD=36°，又∵∠ACB=72°，∴∠AFC=∠ACB﹣∠CAF=36°，∴∠CAF=∠AFC=36°，∴AC=CF，即△ACF为等腰三角形．22．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．【解答】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+12=2x，解得：x=12；（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM=t×1=t，AN=AB﹣BN=12﹣2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t=12﹣2t，解得t=4，∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB，∵AB=BC=AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C=∠B，在△ACM和△ABN中，∵，∴△ACM≌△ABN，∴CM=BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM=y﹣12，NB=36﹣2y，CM=NB，y﹣12=36﹣2y，解得：y=16．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．23．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上，且CE=CA．（1）试求∠DAE的度数．（2）如果把原题中“AB=AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？为什么？【解答】解：（1）∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵BD=BA，CE=CA．∴∠BAD=（180°﹣45°）÷2，∠CAE=45°÷2，∴∠DAE=90°﹣∠BAD+∠CAE=45°．（2）不变．∠DAE=90°﹣+∠ACB=（∠B+∠ACB）=45°，从上式可看出当AB和AC不相等时，∠B+∠ACB也是定值为90°．所以不变．24．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，D为BC边上一点，∠DAB=45°．（1）求∠DAC的度数；（2）请说明：AB=CD．【解答】（1）解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵∠C+∠BAC+∠B=180°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，∵∠DAB=45°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°=75°；（2）证明：∵∠DAB=45°，∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°，∴∠DAC=∠ADC，∴DC=AC，∵AB=AC，∴AB=CD．25．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE⊥AC于点E，∠BAD=∠CBE．求证：AB=AC．【解答】证明：∵在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE⊥AC于点E，∴∠ADB=∠BEC=90°．∴∠ABC+∠BAD=∠C+∠CBE=90°．又∵∠BAD=∠CBE，∴∠ABC=∠C．∴AB=AC．26．现在给出两个三角形，请你把图（1）分割成两个等腰三角形，把图（2）分割成三个等腰三角形．要求：在图（1）、（2）上分割：标出分割后的三角形的各内角的度数．【解答】解：如图所示：27．如图1，在△ABC中，∠BAC=75°，∠ACB=35°，∠ABC的平分线BD交边AC 于点D．（1）求证：△BCD为等腰三角形；（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：BD+AD=AB+BE；（3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论．【解答】证明：（1）如图1，在△ABC中，∠BAC=75°，∠ACB=35°，∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=70°，（2分）∵BD平分∠ABD，∴∠DBC=∠ABD=35°，（3分）∴∠DBC=∠ACB=35°，∴△BCD为等腰三角形；（4分）（2）证法一：如图2，在AC上截取AH=AB，连接EH，由（1）得：△BCD为等腰三角形，∴BD=CD，∴BD+AD=CD+AD=AC，（6分）∵AE平分∠BAC，∴∠EAB=∠EAH，∴△ABE≌△AHE，∴BE=EH，∠AHE=∠ABE=70°，（8分）∴∠HEC=∠AHE﹣∠ACB=35°，∴EH=HC，∴AB+BE=AH+HC=AC，∴BD+AD=AB+BE；（10分）证法二：如图3，在AB的延长线上取AF=AC，连接EF，由（1）得：△BCD为等腰三角形，且BD=CD，∴BD+AD=CD+AD=AC，∵AE平分∠BAC，∴∠EAF=∠EAC，∴△AEF≌△AEC，∴∠F=∠C=35°，（8分）∴BF=BE，∴AB+BE=AB+BF=AF，∴BD+AD=AB+BE；（10分）（3）正确结论：BD+AD=BE﹣AB，理由是：如图4，在BE上截取BF=AB，连接AF，∵∠ABC=70°，∴∠AFB=∠BAF=35°，∵∠BAC=75°，∴∠HAB=105°，∵AE平分∠HAB，∴∠EAB=∠HAB=52.5°，∴∠EAF=52.5°﹣35°=17.5°=∠AEF=17.5°，∴AF=EF，∵∠AFC=∠C=35°，∴AF=AC=EF，∴BE﹣AB=BE﹣BF=EF=AC=AD+CD=AD+BD．（12分）28．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC 上，且AD=AE，连接DE．（1）如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；（2）如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE 的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵∠B=∠C=35°，∴∠BAC=110°，∵∠BAD=80°，∴∠DAE=30°，∴∠ADE=∠AED=75°，∴∠CDE=180°﹣35°﹣30°﹣75°=40°；（2）∵∠ACB=75°，∠CDE=18°，∴∠E=75°﹣18°=57°，∴∠ADE=∠AED=57°，∴∠ADC=39°，∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75°，∴∠BAD=36°；（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°﹣α，∴，（1）﹣（2）得2α﹣β=0，∴2α=β；②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α，∴，（2）﹣（1）得α=β﹣α，∴2α=β；③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°﹣α，∴，（2）﹣（1）得2α﹣β=0，∴2α=β．综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD．。