初二数学等腰三角形知识点
初二等腰三角形讲义
课 题等腰三角形教学目的1、 熟练掌握等腰三角形的性质和判定2、 熟练等腰三角形“三线合一”的性质3、 会运用性质和判定解决实际问题重点、难点重点：等腰三角形的性质难点：“三线合一”的应用教学内容基础知识巩固：1．等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形.2．等腰三角形的性质：1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
3．等腰三角形的判定：ABC1. 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。
） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2. 定理及其推论的作用。
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。
3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
人教版初二数学上册：等腰三角形性质及判定(基础)知识讲解
等腰三角形性质及判定（基础）【学习目标】1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定，知识要点】要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 【典型例题】类型一、等腰三角形中有关度数的计算题【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例1】1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.【答案与解析】解：∵AB＝AC∴∠B ＝∠C∵AB＝BD∴∠2＝∠3∵∠2＝∠1＋∠C∴∠2＝∠1＋∠B∵∠2＋∠3＋∠B＝180°∴∠B＝180°－2∠2∴∠2＝∠1＋180°－2∠2∴3∠2＝∠1＋180°∵∠1＝30°∴∠2＝70°【总结升华】解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2＝∠1＋∠C，只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了，而∠C＝∠B，所以把问题转化为△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了.关于角度问题可以通过建立方程进行解决.【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例1练习】举一反三：【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．【答案】解：∵AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，∴设∠ECD＝∠EDC＝x，∠BCD＝∠BDC＝y，则∠AED＝∠ADE＝2x，∠A＝∠B＝180°－4x在△ABC中，根据三角形内角和得，x＋y＋180°－4x＋180°－4x＝180°①又∵A、D、B在同一直线上，∴2x＋x＋y＝180°②由①，②解得x＝36°∴∠B＝180°－4x＝180°－144°＝36°.类型二、等腰三角形中的分类讨论2、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．【思路点拨】唯独等腰三角形的角有专用名词“顶角”“底角”，别的三角形没有，然而此题没有指明40°的角是顶角还是底角，所以要分类讨论.【答案与解析】解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°，又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，故每个底角的度数1140702=⨯︒=︒；(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°，则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°．∴其余各角为70°，70°或40°，100°．【总结升华】条件指代不明，做此类题应分类讨论，把可能出现的情况都讨论到，别遗漏.3.（2015春•安岳县期末）已知一个等腰三角形的两边长a、b满足方程组．（1）求a、b的值．（2）求这个等腰三角形的周长．【答案与解析】解：（1），②×2﹣①得5b=15，解得b=3，把b=3代入②得2a+3=13，解得a=5；（2）若a=5为腰长，5+5＞3满足，此时三角形周长为：5×2+3=13；若b=3为腰长，3+3＞5满足，此时三角形周长为：3×2+5=11．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及解二元一次方程组，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题．举一反三：【变式】（2015•裕华区模拟）若x，y满足|x﹣3|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长为（）A． 12 B．14 C．15 D．12或15【答案】C.解：根据题意得，x﹣3=0，y﹣6=0，解得x=3，y=6，①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、6，∵3+3=6，EB A DC F∴不能组成三角形，②3是底边时，三角形的三边分别为3、6、6， 能组成三角形，周长=3+6+6=15， 所以，三角形的周长为15． 故选C ．类型三、等腰三角形性质和判定综合应用【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例8】4、已知：如图，△ABC 中，∠ACB ＝45°，AD⊥B C 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ，∠BAD ＝∠FCD ． 求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．【思路点拨】此题由等腰三角形的判定知AD ＝DC ，易证△ABD ≌△CFD ，要证BE ⊥AC ，只需证∠BEC ＝90°即可，DF ＝BD ，可知∠FBD ＝45°，由已知∠ACD ＝45°，可知∠BEC ＝90°. 【答案与解析】证明：(1) ∵ AD⊥BC，∴ ∠ADC＝∠FDB＝90°.∵ 45ACB ∠=︒，∴ 45ACB DAC ∠=∠=︒ ∴ AD＝CD∵ BAD FCD ∠=∠，∴ △ABD≌△CFD(2)∵△ABD≌△CFD∴ BD＝FD.∵ ∠FDB＝90°，∴ 45FBD BFD ∠=∠=︒.∵ 45ACB ∠=︒， ∴ 90BEC ∠=︒. ∴ BE⊥AC．【总结升华】本题主要考查全等三角形判定定理及性质，垂直的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质等知识点，关键在于熟练的综合运用相关的性质定理，通过求证△ABD≌△CFD，推出BD=FD ，求出∠FBD=∠BFD=45°． 举一反三：【变式】（2016•海淀区校级模拟）如图，已知∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，∠1=∠2，EF ∥BC 交AC 于点F ．试说明AE=CF ．【思路点拨】作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，根据角平分线的性质可得EH=ED，再证ED=FG，则EH=FG，通过证明△AEH≌△CFG即可．【答案与解析】解：作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，∵∠1=∠2，AD⊥BC，∴EH=ED（角平分线的性质）∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC，∴四边形EFGD是矩形，∴ED=FG，∴EH=FG，∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠C，又∵∠AHE=∠FGC=90°，∴△AEH≌△CFG（AAS）∴AE=CF．【总结升华】本题考查了角平分线的性质；综合利用了角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点．附录资料：《三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系．2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质 1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. （2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形. （3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数； ②已知正多边形边数，求外角度数. (2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同. 要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边. (2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用. 【典型例题】类型一、三角形的三边关系1. （2016•丰润区二模）若三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ，则它的第三边长不可能为（ ）A ．5cmB ．8cmC ．10cmD ．17cm【思路点拨】直接利用三角形三边关系得出第三边的取值范围，进而得出答案． 【答案与解析】解：∵三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ， ∴第三边长的取值范围是：4＜x ＜16， ∴它的第三边长不可能为：17cm ． 故选：D ．【总结升华】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出第三边的取值范围是解题关键． 【高清课堂：与三角形有关的线段 例1】举一反三【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.2.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对．类型二、三角形中重要线段3. (江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) ．【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三【变式】如图所示，已知△ABC，试画出△ABC各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．4.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC ＝8cm，求边AC的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵ CD为△ABC的AB边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3． 又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5． 答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法． 举一反三【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1类型三、与三角形有关的角5、（2014春•新泰市期末）已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 平分线，∠B=50°，∠DAE=10°， （1）求∠BAE 的度数； （2）求∠C 的度数．【思路点拨】（1）根据AD 是BC 边上的高和∠DAE=10°，求得∠AED 的度数；再进一步根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求解；（2）根据（1）的结论和角平分线的定义求得∠BAC 的度数，再根据三角形的内角和定理就可求得∠C 的度数． 【答案与解析】 解：（1）∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADE=90°．∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，∴∠AED=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=180°﹣90°﹣10°=80°． ∵∠B+∠BAE=∠AED，∴∠BAE=∠AED﹣∠B=80°﹣50°=30°． （2）∵AE 是∠BAC 平分线，∴∠BAC=2∠BAE=2×30°=60°． ∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°． 【总结升华】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质． 【高清课堂：与三角形有关的角 例1、】举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型四、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．类型五、多边形内角和及外角和公式7．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？【思路点拨】本题实际告诉了这个多边形的内角和是.【答案与解析】设这个多边形是边形，则它的内角和是，∴，解得.∴这个多边形是十二边形.【总结升华】本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数，根据条件列出关于的方程，求出的值即可，这是一种常用的解题思路.举一反三【变式】（2015•徐州）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．【答案】9.解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°=40°，边数：360°÷40°=9．类型六、多边形对角线公式的运用8．一个十二边形有几条对角线.【思路点拨】根据多边形对角线条数公式，把边数代入计算即可．【答案与解析】解：∵过十二边形的任意一个顶点可以画9条对角线，∴十二个顶点可以画12×9条对角线，但每条对角线在每个顶点都数了一次，∴实际对角线的条数应该为12×9÷2＝54（条）∴十二边形的对角线共有54条.【总结升华】对于一个n边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢.举一反三【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C;类型七、镶嵌问题9．分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是( )A、①B、②C、③D、④【答案】C【总结升华】用多边形组合成平面图形，实质上是相关多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题.。
初二常靠的数学热点：三角形的性质
初二常靠的数学热点：三角形的性质初二常靠的数学热点：三角形的性质春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。
一息尚存须努力，留作青年好范畴。
下面是小编为大家整理，数学知识点，希望对大家有所帮助,欢迎阅读，仅供参考!等腰三角形1.等腰三角形的性质①.等腰三角形的两个底角相等。
(等边对等角)②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
(三线合一)理解：已知等腰三角形的一线就可以推知另两线。
2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
(等角对等边)等边三角形1.等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600 。
2、等边三角形的判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。
3.在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关;②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形;③三角形全等不因位置发生变化而改变通过上面对全等三角形知识点的讲解学习，相信同学们对全等三角形的知识已经能很好的掌握了吧，后面我们进行更多知识点的巩固学习。
拓展：初中数学三角形全等的性质定理公式句全等三角形指的就是两个全等的三角形，全等三角形是几何中全等的一种。
三角形全等的性质1.全等三角形的对应角相等。
2.全等三角形的对应边相等。
3.全等三角形的对应边上的高对应相等。
4.全等三角形的对应角的角平分线相等。
5.全等三角形的对应边上的中线相等。
6.全等三角形面积相等。
7.全等三角形周长相等。
8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。
正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。
正方形定理公式正方形的特征：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。
初二数学 等腰三角形
等腰三角形一．学习目标1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念，并能判定等腰三角形和等边三角形；2. 正确理解等腰三角形和等边三角形的性质，能运用它们的性质解决相关的问题；二．重难点分析重点：等腰三角形和等边三角形的性质和判定，及有一个角是30的直角三角形的性质。
难点：综合运用等腰三角形的性质解决问题。
三．知识梳理四．精讲精练等腰三角形的性质1．等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．2．等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形．3．等腰三角形的性质：(1)两腰相等．(2)两底角相等．(3)“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．(4)是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．例1.如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB=BC，∠ACD=110°，则∠EAB度数为（）A．70° B．55° C．40° D．35°【答案】C【解析】解：∵∠ACD=110°，∴∠BCA=70°，∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA=70°，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠ACD=110°，∴∠EAC=110°﹣70°=40°．例2.等腰三角形两边长分别是4cm和1cm，则这个三角形周长是（）A．9cm B．6cm C．9cm或6cm D．10cm【答案】A【解析】解：当腰长是1cm时，因为1+1＜4，不符合三角形的三边关系，应排除；当腰长是4cm时，因为4+4＞1，符合三角形三边关系，此时周长是9cm；例3.如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE【答案】C【解析】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BE=BC，∴∠ACB=∠BEC，∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，∴∠A=∠EBC，练习.如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于点B、C，连接AC、BC．若∠ABC=67°，则∠1=（）A．23° B．46° C．67° D．78°【答案】B【解析】解：根据题意得：AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=67°，∵直线l1∥l2，∴∠2=∠ABC=67°，∵∠1+∠ACB+∠2=180°，∴∠1=180°﹣∠2﹣∠ACB=180°﹣67°﹣67°=46°．例4.某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF 与EF的长度相等，则∠C的度数为（）A．48° B．40° C．30° D．24°【答案】D【解析】∵AB∥CD，∴∠1=∠BAE=48°，∵∠1=∠C+∠E，∵CF=EF，∴∠C=∠E，∴∠C=∠1=×48°=24．练习1. 如图，AB∥CD，AD=CD，∠1=70°30'，则∠2的度数是（）A．40°30'B．39°30'C．40° D．39°【答案】C【解析】∵QR∥OB，∠AOB=40°，∴∠AQR=∠AOB=40°，∵OP=QP，∴∠PQO=∠AOB=40°，∵∠AQR+∠PQO+∠PQR=180°，∴∠PQR=180°﹣2∠AQR=100°．练习2. 如图，已知DE∥BC，AB=AC，∠1=125°，则∠C的度数是（）A．55° B．45° C．35° D．65°【答案】A【解析】解：∵∠1=125°，∴∠ADE=180°﹣125°=55°，∵DE∥BC，AB=AC，∴AD=AE，∠C=∠AED，∴∠AED=∠ADE=55°，又∵∠C=∠AED，∴∠C=55°．例5.已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对【答案】B【解析】解：根据题意得，解得，（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．练习.一个三角形的三个内角的度数的比是1：2：3，这个三角形是三角形；一个等腰三角形两边的长分别是15cm和7cm，则它的周长是．【答案】直角;37cm【解析】解：∵一个三角形的三个内角的度数的比是1：2：3，∴最大的角=180×=90°，∴这个三角形是直角三角形；①7cm是腰长时，三角形的三边分别为7cm、7cm、15cm，∵7+7=14＜15，∴不能组成三角形，②7cm是底边时，三角形的三边分别为7cm、15cm、15cm，能组成三角形，周长=7+15+15=37cm，综上所述，它的周长是37cm．例6.已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC．【解析】证明：延长AO交BC于点D，在△ABO和△ACO中，，∴△ABO≌△ACO（SSS），∴∠BAO=∠CAO，∵AB=AC，∴AO⊥BC．练习.如图，已知△ABC，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AC，分别交AC，AD，AB于点E，M，F．若∠CAD=20°，求∠MCD的度数．【解析】解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∵∠CAD=20°，∴∠ACD=70°，∵EF垂直平分AC，∴AM=CM，∴∠ACM=∠CAD=20°，∴∠MCD=50°．例7.如图1，若△ACD的周长为7cm，DE为AB边的垂直平分线，则AC+BC= cm．【解析】解：1、∵DE为AB边的垂直平分线，∴AD=BD，∴△ACD的周长=AC+AD+DC=AC+CD+BD=AC+BC=7cm．练习.如图2，已知△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD为∠ABC的平分线，则图中共有个等腰三角形．【答案】 3【解析】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴△ABC是等腰三角形，∠C=∠ABC==72°，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠A=∠DBC=36°，∴AD=BD，△ADB是等腰三角形，∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°=∠C，∴BC=BD，△CDB是等腰三角形，例8.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=．求证：AB平分∠EAD．【解析】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴BD=BC，AD⊥BC，∵BE=BC，∴BD=BE，∵AE⊥BE，∴AB平分∠EAD．练习1.在△ABC 中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠CAD．【解析】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，又∵BE⊥AC，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°∴∠CBE=∠CAD．练习2.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：DE=DF．【解析】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（AAS），等腰三角形的判定等腰三角形的判定：(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形．(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形．例1.在△ABC中，∠A、∠B、∠C对应的边分别为a、b、c，给出以下条件，不能判定其是等腰三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C=1：1：3 B．a：b：c=2：2：1C．∠B=50°，∠C=80°D．2∠A=∠B+∠C【答案】D【解析】解：A、∠A：∠B：∠C=1：1：2，∴∠A=∠B，故A是等腰三角形；B、a：b：c=2：2：1，∴a=b，故B是等腰三角形；C、∠B=50°，∠C=80°，∴∠A=∠B=50°，故C是等腰三角形；D、2∠A=∠B+∠C，∠A=60°，∠B+∠C=120°，故D不是等腰三角形；练习.在下面的三角形，不可能是等腰三角形的是（）A．有两个内角分别为110°，40°的三角形B．有两个内角分别为70°，55°的三角形C．有一个外角为100°，一个内角为80°的三角形D．有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形【答案】 A【解析】解：A、有两个内角分别为110°，40°的三角形，第三个角是30°，不可以构成等腰三角形，故本选项错误；B、有两个内角分别为70°，55°的三角形，第三个角是55°，可以构成等腰三角形，故本选项正确；C、有一个外角为100°，一个内角为80°的三角形，与外角相邻的内角是80°，可以构成等腰三角形，故本选项正确；D、有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形，与外角相邻的内角是80°，第三个角是50°，可以构成等腰三角形，故本选项正确．例2. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，两条角平分线BD、CE相交于点F，则图中的等腰三角形共（）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】 C【解析】解：由题意得：∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠BCE=∠A=36°，∠CBE=∠CEB=∠BDC=DCB=72°∴△ABC，△CBD，△BCE，△ABD，△ACE，△CDF，△BEF，△BCF均为等腰三角形．题中共有8个等腰三角形．练习. 在平面直角坐标系内点A、点B的坐标分别为（0，5）、（6，5），在坐标轴上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（）A．5个B．6个C．7个D．8个【答案】 C【解析】解：∵点A、B的坐标分别为（0，5）、（6，5），∴AB⊥y轴，AB=6，①若AP=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有4个交点，即满足△ABP是等腰三角形的P点有4个；②若BP=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点（A点除外），即满足△ABP 是等腰三角形的P点有2个；③若PA=PB，作AB的垂直平分线与坐标轴只有一个交点，即满足△ABP是等腰三角形的P 点有1个；所以点P在坐标轴上，△ABP是等腰三角形，符合条件的点P共有 7个．例3、如图，在△ABC，∠A=36°，∠B=72°，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D，E，则图中等腰三角形的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】解：∵∠A=36°，∠B=72°，∴∠ACB=180°﹣36°﹣72°=72°，∴∠ACB=∠B，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，∴∠ACE=∠A=36°．∴AE=CE，∴△ACE是等腰三角形，∴∠AEC=180°﹣36°﹣36°=108°，∴∠BEC=72°．∴∠BEC=∠B，∴CE=BC．∴△BEC是等腰三角形，∴等腰三角形有△ABC，△ACE，△BEC，练习. 如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，CF都是高，相交于P，角平分线BE分别交AD，CF于Q，S，那么图中的等腰三角形的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】解：∵等腰三角形有△ABD，△CFB，△AFP，△PQS，△CDP，共5个例4. 如图，点A、B分别在两条坐标轴上，在坐标轴上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P最多有_____个【答案】8【解析】解：当P在x轴上时，AB=AP时，P点有两个，BP=AP时，P点有一个，AB=BP时，P点有一个当P在y轴上时，AB=BP时，P点有两个，BP=AP时，P点有一个，AB=AP时，P点有一个，综上所述：符合条件的P点有8个，练习. 如图所示，在直角坐标系中，O（0，0），P（2，1），Q是坐标轴上的一点，若△OPQ 成等腰三角形，则Q点所在的位置有（）A．4处B．6处C．7处D．8处【答案】D【解析】解：如图，以点O为圆心，以OP为半径画弧，分别交x轴、y轴于两点；以点P 为圆心，以PO为半径画弧，分别交x轴、y轴于一点；作线段PO的垂直平分线，分别交x 轴、y轴于一点；综上所述，若△OPQ成等腰三角形，则Q点所在的位置有8处，例5、在△ABC中，AD平分∠BAC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：AB=AC．【解析】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=DF，又∵BD=CD，∠DEB=∠DFC=90°，∴Rt△DEB≌Rt△DFC，∴∠B=∠C，∴AB=AC．练习1. 已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．【解析】（1）证明：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵BD、CE是△ABC的两条高，∴∠BDC=∠CEB=90°．在△BDC和△CEB中，，∴△BDC≌△CEB（AAS），∴∠EBC=∠DCB，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．（2）解：点O在∠BAC的平分线上，理由如下：∵△BDC≌△CEB，∴BD=CE，又∵OB=OC，∴OD=OE．∵OD⊥AC，OE⊥AB，∴点O在∠BAC的平分线上．练习2.已知：如图，△ABC中，BC边上有D、E两点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：△ABC是等腰三角形．【解析】证明：∵∠B=∠3﹣∠1，∠C=∠4﹣∠2，又∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠B=∠C，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．练习3. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交CD于F，交BC于E，试说明△CEF是等腰三角形．【解析】解：∵∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠B，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE=∠EAB，∵∠EAB+∠B=∠CEF，∠CAE+∠ACD=∠CFE，∴∠CFE=∠CEF，∴CF=CE，∴△CEF是等腰三角形．练习4.已知：如图，AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F．求证：△ADF是等腰三角形．【解析】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）．∵DE⊥BC于E，∴∠FEB=∠FEC=90°，∴∠B+∠EDB=∠C+∠EFC=90°，∴∠EFC=∠EDB（等角的余角相等）．∵∠EDB=∠ADF（对顶角相等），∴∠EFC=∠ADF．∴△ADF是等腰三角形．例6.如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．【解析】证明：∵AB=AC（已知），∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．∵BD、CE分别是高，∴BD⊥AC，CE⊥AB（高的定义）．∴∠CEB=∠BDC=90°．∴∠ECB=90°﹣∠ABC，∠DBC=90°﹣∠ACB．∴∠ECB=∠DBC（等量代换）．∴FB=FC（等角对等边），在△ABF和△ACF中，，∴△ABF≌△ACF（SSS），∴∠BAF=∠CAF（全等三角形对应角相等），∴AF平分∠BAC．练习.如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，求证：EF=BE+CF．【解析】解：∵△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，∴∠1=∠2，∠5=∠6，∵EF∥BC，∴∠2=∠3，∠4=∠6，∴∠1=∠3，∠4=∠5，根据在同一三角形中等角对等边的原则可知，BE=ED，DF=FC，故EF=ED+DF=BE+CF．例7.如图，已知点D、E是△ABC的边BC上两点，且BD=CE，∠1=∠2．试证：△ABC是等腰三角形．【解析】证明：∵∠1=∠2，∴AD=AE，∠ADB=∠AEC，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．等边三角形等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60．等边三角形的判定：(1)三条边都相等的三角形是等边三角形．(2)三个角都相等的三角形是等边三角形．(3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形．例1.下列关于等边三角形的说法正确的有（）①等边三角形的三个角相等，并且每一个角都是60°；②三边相等的三角形是等边三角形；③三角相等的三角形是等边三角形；④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【答案】D【解析】解：根据等边三角形的每个角都是60°；故①正确．根据等边三角形的概念：三边相等的三角形是等边三角形．故②正确；根据等边对等角；故③正确；根据等边三角形的判定；故④正确．练习1.如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE交于P，AQ⊥BE，垂足为Q，PD=2，PQ=6，则BE的长为（）A．14 B．13 C．12 D．无法求出【答案】A【解析】解：∵AB=BC，∠ABD=∠C=60°，BD=CE，∴△ABD≌△BCE，∴BE=AD，∠APQ=∠ABP+∠PAB=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°，在Rt△APQ中，PQ=6，AP=2PQ=12，∴BE=AD=AP+PD=12+2=14．练习2.如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，则∠1的度数是．【答案】75°【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，∵BD=BC，∴AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵∠CBD=90°，∴∠ABD=90°+60°=150°，∴∠BDA=15°，∵∠CBD=90°，BD=BC，∴∠BCD=∠BDC=45°，∴∠ADC=45°﹣15°=30°，∴∠1=∠ADC+∠BCD=30°+45°=75°．例2.如图，将边长为3cm的等边△ABC沿着边BC向右平移2cm，得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）A．15cm B．14cm C．13cm D．12cm【答案】C【解析】解：∵△ABC沿边BC向右平移2cm得到△DEF，∴DF=AC，AD=CF=2cm，∴四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD，=AB+BC+CF+AC+AD，=△ABC的周长+AD+CF，=9+2+2，=13cm．例3. 图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图①，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪如图掉正三角形纸板边长的）后，得图①，①，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为P n，则P n﹣P n﹣1的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：P1=1+1+1=3，P2=1+1+=，P3=1+++×3=，P4=1+++×2+×3=，…∴p3﹣p2=﹣==，P4﹣P3=﹣==，则Pn﹣Pn﹣1==．练习. 如图，∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1=1，则△A n B n A n+1的边长为．【答案】2n﹣1例4. 已知：如图，等边△ABC中，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．求证：BP=2PQ．【解析】解：AE=CD，AC=BC，∴EC=BD；∵△ABC为等边三角形，∴∠C=∠ABC=60°，AB=BC，在△BEC与△ADB中，∴△BEC≌△ADB（SAS），∴∠EBC=∠BAD；∵∠ABE+∠EBC=60°，则∠ABE+∠BAD=60°，∵∠BPQ是△ABP外角，∴∠ABP+∠BAP=60°=∠BPQ，又∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ．练习1. 如图，等边△ABC中，D是BC上一点，以AD为边作等腰△ADE，使AD=AE，∠DAE=80°，DE交AC于点F，∠BAD=15°，求∠FDC的度数．【解析】解：∵∠DAE=80°，AD=AE，∴∠ADE=（180°﹣80°）=50°，∠ADC=∠BAD+∠B=15°+60°=75°，又∵∠ADE=50°∴∠FDC=∠ADC﹣∠ADE=75°﹣50°=25°．练习2.如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD．【解析】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABE=60°又∵△BDE是等边三角形，∴BE=BD，∠DBE=60°，∴∠ABE=∠DBE，∴在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE=CD．练习3.△DAC和△EBC均是等边三角形，连AE、BD，△ACE与△BCD全等吗？请说明理由．【解析】解：△ACE≌△DCB；理由：∵∠ACD=∠ECB=60°，∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∴∠ACE=∠DCB，∵在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB（SAS）．含30°角的直角三角形含30︒角的直角三角形的重要结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半．例1.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）A． m B．4 m C．4 m D．8 m练习1. 将一个有45°角的三角尺的直角顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺边AC的长为（）A．6 B．3 C．4 D．6【答案】A练习2.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=10，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】解：作PH⊥MN于H，∵PM=PN，∴MH=NH=MN=1，∵∠AOB=60°，∴∠OPH=30°，∴OH=OP=5，∴OM=OH﹣MH=4，例2. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠ABC=60°，EC=3，那么AE等于（）A．6 B．6 C．3 D．9【答案】A【解析】解：∵BE平分∠ABC，∠ABC=60°，∴∠CBE=30°，∵∠ACB=90°, ∴∠A=30°∴△AEB是等腰三角形∵ED⊥AB于D∴EC=ED=3∴在Rt△EDB中，EB=6∴EA=6练习.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，AB的垂直平分线分别交AB与AC于点D和点E．若CE=2，则AE的长是（）A．4 B．4 C．8 D．8【答案】A【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA=EB，ED⊥AB，∴∠A=∠EBA=30°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠EBA=30°，又∵BC⊥AC，ED⊥AB，∴DE=CE=2．在直角三角形ADE中，DE=2，∠A=30°，∴AE=2DE=4，例3.如图，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，垂足为点E．若AE=1，则△ABC的边长为（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】解：∵△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，垂足为点E．若AE=1，∴在直角三角形ADE中，∠A=60°，∠AED=90°，∠ADE=30°，∴AD=2AE=2，又∵D为AB的中点，∴AB=2AD=4，练习.如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE=1.5，则AB的长为（）A．3B．4.5C．6D．7.5【答案】C【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC=AC，∵DE⊥BC，∴∠CDE=30°，∵EC=1.5，∴CD=2EC=3，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴AD=CD=3，∴AB=AC=AD+CD=6．例4.如图，已知Rt△ABE中∠A=90°，∠B=60°，BE=10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE=30°，则CD长度的取值范围是．【答案】0＜CD≤5．【解析】解：当点D与点E重合时，CD=0，当点D与点A重合时，∵∠A=90°，∠B=60°，∴∠E=30°，∴∠CDE=∠E，∠CDB=∠B，∴CE=CD，CD=CB，∴CD=BE=5，∴0＜CD≤5，练习1. 等腰三角形底角为15°，腰长为4，则三角形面积为．【答案】4【解析】解：作腰上的高CD，如图，∵AB=AC，∴∠B=∠C=15°，∴∠CAD=30°，∴CD=AC=2，∴三角形面积=AB•CD=×4×2=4．练习2. 如图，P是∠AOB的平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，PC∥OB交OA于点C，若∠AOB=30°，PD=2cm，则PC= cm．【答案】4【解析】解：如图，过点P作PE⊥OA于点E，∵OP是∠AOB的平分线，PD=2cm，∴PE=PD=2cm，∵PC∥OB，∴∠POD=∠OPC，∴∠PCE=∠POC+∠OPC=∠POC+∠POD=∠AOB=30°，∴PC=2PE=2×2=4cm．练习3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，D是边AB的中点，DE⊥AB交AC于点E．（1）求∠CDE的度数；（2）若BC=2，则AE的长是多少？【解析】解：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，∴CD=AD=BD，∴∠DCA=∠A，∵∠A=15°，∴∠DCA=15°，∴∠BDC=∠A+∠DCA=30°，∵ED⊥AB，∴∠EDB=90°，∴∠CDE=90°﹣30°=60°；（2）连接BE，∵D为AB中点，DE⊥AB，∴BE=AE，∴∠EBA=∠A=15•，∴∠BEC=15°+15°=30°，∵BC=2∴在Rt△BCE中，AE=BE=2BC=4练习4.如图，已知某船于上午8点在A处观测小岛C在北偏东60°方向上．该船以每小时40海里的速度向东航行到B处，此时测得小岛C在北偏东30°方向上．船以原速度再继续向东航行2小时到达小岛C的正南方D点．求船从A到D一共走了多少海里？【解析】解：由题意知∠CAD=30°，∠CBD=60°，在△BCD中，∠CBD=60°，∴∠BCD=30°，∴BC=2BD，∵船从B到D走了2小时，船速为每小时40海里，∴BD=80海里，∴BC=160海里，由∠CBD=60°，得∠ABC=120°，∵∠CAD=30°，∴∠ACB=30°，∴AB=BC，∴AB=160海里，∵AD=AB+BD，∴AD=160+80=240（海里）．因此船从A到D一共走了240海里．练习5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．（1）求证：AE=2CE；（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．（1）证明：连接BE，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=30°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°，在Rt△ABC中，BE=2CE，∴AE=2CE；（2）解：△BCD是等边三角形，理由如下：∵DE垂直平分AB，∴D为AB中点，∵∠ACB=90°，∴CD=BD，∵∠ABC=60°，∴△BCD是等边三角形．五．课堂总结对于等腰三角形的概念与性质的学习，通过动手折纸，在操作过程中体会等腰三角形的概念及特征，探索等腰三角形的性质。
八年级数学 第十二章 第3节 等腰三角形 人教新课标版
初二数学第十二章第3节等腰三角形人教新课标版一、学习目标：1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念，并能判定等腰三角形和等边三角形；2. 正确理解等腰三角形和等边三角形的性质，能运用它们的性质解决相关的问题；3. 借助轴对称图形的性质，得出等腰三角形、等边三角形、有一个角是30的直角三角形的性质。
二、重点、难点：重点：等腰三角形和等边三角形的性质和判定，及有一个角是30的直角三角形的性质。
难点：综合运用等腰三角形的性质解决问题。
三、考点分析：本节知识内容是初中数学的基础，考试题型多，方法灵活。
对这部分知识的命题方向是考查等腰三角形及等边三角形的性质和判定，即边角的相互转化。
这部分内容在中考中多以填空题、选择题的形式出现。
在综合题中，对等腰三角形的性质和判定知识的考查较为常见，中考中还经常出现与本节知识有关的探究性问题，如函数中的动点，考查动点在何处时形成的图形是等腰三角形、等边三角形等。
知识点一：等腰三角形的有关概念例1.如图，D在AC上，AB=AC，AD=DB，请指出图中的等腰三角形，以及它们的腰、底边、顶角及底角。
思路分析：这里要求根据条件说明图形的名称，而不是凭直观和想象。
相等的两边叫做腰，另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，另外的两个角叫做底角。
解答过程：图中的等腰三角形有ABC∆和ADB∆。
其中∠；∠和C ABC∠，底角是CBA ∆的腰是AB和AC，底边是BC，顶角是BAC∠，底角是∠A和ABD∠。
∆的腰是DA和DB，底边是AB，顶角是BDAADB解题后的思考：解决此类题目应先找到两腰，然后根据其他元素与两腰的相对位置关系来进行识别。
例2. 已知等腰三角形的周长为13，其一边长为3，则其他两边长分别为___________； 思路分析：长为3的边是否是腰并不清楚，故应分类讨论。
解答过程：当3为底边时，其他两边均为(133)25-÷=；当3为腰长时，其他两边为3和13337--=。
初二数学-等腰三角形10道典型题剖析
思路分析：由BD平分∠ABC，
A
易知∠1=∠2， 则设∠1=∠2
=x，由AB=AC可得
1
∠C=∠1+∠2=2x,在△DBC中
2
由三角形内角和定理可列出x B
D C
的方程，求出x．
解：设1 x,
BD平分ABC，
A
1 2 x, AB AC,
1 2
B
D C
C ABC 1 2 2x．
在DBC中，
提示： 本题为文字命题，解题时应分为以下 三个步骤： （1）根据题意作图； （2）写出已知， （3）进行求证．
已知：在ABC中，AB AC, D为底边BC
的中点，DE AB于点E, DF AC于点F．
求证：DE DF．
A
思路分析：由等腰三角形的性质易得
E
F
B C,又BD DC，DE AB, DF AC，
∴∠FBC+∠C+∠FBC=3∠C,
∴∠FBC=∠C, ∴BF=FC, ∴AC-AB=2BE.
例8．如图，△ABD、 △AEC都是等边三角 形，求证： △AFG是等边三角形．
思路分析：利用等边三角 形的性质可推出，边、角 的等量关系，从而易证三 角形全等，进而说明
△AFG是等边三角形．
证明：∵△ABD 和△AED是正三角形， ∴AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°, ∴ ∠CAD=∠BAD+∠CAB=60°+∠CAB, ∠BAE=∠CAE+∠CAB=60°+∠CAB, ∴ ∠CAD=∠BAE, △ADC≌△BAE, ∴ ∠ADF=∠GBA．
70°、40°或55°、55°
引申： 已知等腰三角形的一个角是110°， 求其余两角．
初二数学等腰三角形知识点
初二数学等腰三角形知识点等腰三角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形．相等的两条边叫腰；两腰的夹角叫顶角；顶角所对的边叫底；腰与底的夹角叫底角。
等腰三角形性质：(1)具有一样三角形的边角关系(2)等边对等角；(3)底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合；(4)是轴对称图形，对称轴是顶角平分线；(5)底边小于腰长的两倍同时大于零，腰长大于底边的一半；(6)顶角等于180减去底角的两倍；(7)顶角能够是锐角、直角、钝角，而底角只能是锐角．等腰三角形分类:可分为腰和底边不等的等腰三角形及等边三角形．等边三角形性质：①具备等腰三角形的一切性质。
②等边三角形三条边都相等，三个内角都相等同时每个差不多上60。
5. 等腰三角形的判定：①利用定义；②等角对等边；等边三角形的判定：①利用定义：三边相等的三角形是等边三角形②有一个角是60的等腰三角形是等边三角形．含30锐角的直角三角形边角关系:在直角三角形中，30锐角所对的直角边等于斜边的一半。
“教书先生”可能是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当如何说也确实是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。
只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初显现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。
《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。
事实上《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。
可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。
看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。
称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意差不多一致。
观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。
2020年中考数学考点一遍过考点15等腰三角形与直角三角形含解析
考点15 等腰三角形与直角三角形一、等腰三角形1．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三、直角三角形与勾股定理1．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a 、b 、c 有关系：a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形．考向一 等腰三角形的性质1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ． 5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°-2∠B ，∠B =∠C =2180A∠-︒．典例1 （2020·四川省武胜县万善初级中学初二月考）等腰三角形的一个内角为40°，则其余两个内角的度数分别为 A ．40°，100° B ．70°，70°C ．60°，80°D ．40°，100°或70°，70°【答案】D【解析】①若等腰三角形的顶角为40°时，另外两个内角=（180°–40°）÷2=70°；②若等腰三角形的底角为40°时，它的另外一个底角为40°，顶角为180°–40°–40°=100°． 所以另外两个内角的度数分别为：40°、100°或70°、70°．故选D ．【名师点睛】考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为180o ，解题关键是分情况进行讨论①已知角为顶角时；②已知角为底角时．典例2 （2019·延安市实验中学初二期末）如图，在ABC ∆中，AB =AC ，D 是BC 的中点，下列结论不正确的是A．AD BC B．∠B=∠CC．AB=2BD D．AD平分∠BAC【答案】C【解析】因为△ABC中，AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形的三线合一性质可得，A．AD⊥BC，故A选项正确；B．∠B=∠C，故B选项正确；C．无法得到AB=2BD，故C选项错误；D．AD平分∠BAC，故D选项正确．故选C．【名师点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质.1．（2020·自贡市田家炳中学初二期中）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为__________cm.考向二等腰三角形的判定1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．典例3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，∴∠FEA=∠F，∴△AEF是等腰三角形．2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．（1）求△ABC的周长；（2）判断△ABC的形状．考向三等边三角形的性质1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．典例4 （2019·山东初二期末）如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC 于E，若BE=1，则AC的长为__________．【答案】4【解析】∵DE⊥BC，∠B=∠C=60°，∴∠BDE =30°，∴BD =2BE =2， ∵点D 为AB 边的中点，∴AB =2BD =4， ∵∠B =∠C =60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴AC =AB =4，故答案为：4．【名师点睛】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角形的性质求得AB =2BD 是解题的关键.3．（2020·山东初二期中）如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在AC 上，以BD 为一边作等边BDE ∆，连接CE ．（1）说明ABD CBE ∆≅∆的理由； （2）若080BEC ∠=，求DBC ∠的度数．考向四 等边三角形的判定在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．典例5 下列推理中，错误的是A ．∵∠A =∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 B ．∵AB =AC ，且∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 C ．∵∠A =60°，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形D ．∵AB =AC ，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形 【答案】B【解析】A，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形，故正确；B，条件重复且条件不足，故不正确；C，∵∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形60°，故正确；D，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确．故选B．4．如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．考向五直角三角形在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．典例6 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若∠B=30°，BD=6，则CD的长为__________．【答案】3【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°．又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴∠BAD=∠B=30°，∴AD=BD=6，∴CD=12AD=3，故答案为：3．5．已知直角三角形的两条边分别是5和12，则斜边上的中线的长度为__________．考向六 勾股定理1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a 2+b 2=c 2时，斜边只能是c ．若b 为斜边，则关系式是a 2+c 2=b 2；若a 为斜边，则关系式是b 2+c 2=a 2．2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．典例7 （2020·云南初二月考）直角三角形的两条直角边长分别为2cm 和6cm ，则这个直角三角形的周长为__________. 【答案】32+6cm【解析】∵直角边长为:2cm 和6cm ，∴斜边=()()2226=22+（cm ），∴周长=2+6+22=32+6（cm ）. 故答案为:32+6cm【名师点睛】本题考查了二次根式与三角形边长，面积的综合运用.熟练掌握勾股定理的计算解出斜边是关键6．如图所示，在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =，D 为BC 边上的中点.（1）求BD 、AD 的长度；（2）将ABC ∆折叠，使A 与D 重合，得折痕EF ；求AE 、BE 的长度.1．（2020·浙江初二月考）直角三角形两直角边长分别为6和8，则此直角三角形斜边上的中线长是 A ．3B ．4C ．7D ．52．（2020·山东初二期中）如图，ABC △是等边三角形，0,20BC BD BAD =∠=，则BCD ∠的度数为A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°3．（2019·吉林初二期末）如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB =AC ，顶角∠BAC =120°，跨度BC =10m ，AD 为支柱（即底边BC 的中线），两根支撑架DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE +DF 等于A ．10mB ．5mC ．2.5mD ．9.5m4．（2019·河南初二期中）如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，BDC ∆为顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且60MDN ∠=︒，则AMN ∆的周长为A．2 B．3 C．1.5 D．2.5 5．（2020·北京北理工附中初二期中）如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，AB=AC，CD=DE．若∠A=40°，∠ABD：∠DBC=3：4，则∠BDE=A．24°B．25°C．30°D．35°6．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为A．22 B．17C．17或22 D．267．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为A．6 B．5C．4 D．38．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有A．8个B．9个C．10个D．11个9．如图，Rt△ABC中，∠B=90〬，AB=9，BC=6，，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长等于A．5 B．6 C．4 D．310．将一个有45°角的三角尺的直角顶点C放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为A．6 B．32C．42D．62 11．（2019·四川初二期中）三角形的三边a，b，c满足a-b+（b﹣c）2=0；则三角形是_____三角形.12．（2019·山西初三期末）如图，等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，△ABC的面积=________．13．（2020·北京北理工附中初二期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，则这个等腰三角形顶角的度数为__________.14．若一个等腰三角形的周长为26，一边长为6，则它的腰长为__________．15．如图，在ABC △中，AB AC =，D 、E 分别是BC 、AC 上一点，且AD AE =，12EDC ∠=︒，则BAD ∠=__________．16．如图，已知△ABC 是等边三角形，点B ，C ，D ，E 在同一直线上，且CG =CD ，DF =DE ，则∠EFD =__________°．17．如图，在矩形ABCD 中，AB =5，BC =7，点E 是AD 上的一个动点，把△BAE 沿BE 向矩形内部折叠，当点A 的对应点A 1恰好落在∠BCD 的平分线上时，CA 1的长为__________．18．（2019·湖北初二期末）如图，在Rt △ABC 中，点E 在AB 上，把△ABC 沿CE 折叠后，点B 恰好与斜边AC 的中点D 重合.（1）求证：△ACE 为等腰三角形； （2）若AB =6，求AE 的长.19．如图，一架2.5 m 长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B 距底端O 为0.7 m ．（1）求OA 的长度；（2）如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？20．（2019·辽宁初二月考）ABC ∆与DCE ∆有公共顶点C （顶点均按逆时针排列），AB AC =，DC DE =，180BAC CDE ∠+∠=︒，//DE BC ，点G 是BE 的中点，连接DG 并延长交直线BC 于点F ，连接,AF AD .（1）如图，当90BAC ∠=︒时， 求证：①BF CD =； ②AFD ∆是等腰直角三角形.（2）当60BAC ∠=︒时，画出相应的图形（画一个即可），并直接指出AFD ∆是何种特殊三角形.21．已知：如图，有人在岸上点C 的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB =10米，CA ⊥AB ，且CA =6米，拉动绳子将船从点B 沿BA 方向行驶到点D 后，绳长CD =62米．（1）试判定△ACD 的形状，并说明理由； （2）求船体移动距离BD 的长度．1．（2019•滨州）如图，在OAB △和OCD △中，,,,40OA OB OC OD OA OC AOB COD ==>∠=∠=︒，连接,AC BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中正确的个数为A ．4B ．3C ．2D ．12．（2019•兰州）在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，则∠B =__________．3．（2019•成都）如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 都在边BC 上，∠BAD =∠CAE ，若BD =9，则CE的长为__________．4．（2019•威海）如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，连接AC ，BD ．若90ACB ∠=︒，AC BC =，AB BD =，则ADC ∠=__________︒．5．（2019•通辽）腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．6．（2019•怀化）若等腰三角形的一个底角为72︒，则这个等腰三角形的顶角为__________． 7．（2019•南通）如图，△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE =CF ，若∠BAE =25°，则∠ACF =__________度．8．（2019•苏州）如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ． （1）求证：EF BC =；（2）若65ABC ∠=︒，28ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数．9．（2019•重庆）如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ．（1）若∠C =42°，求∠BAD 的度数；（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 交AD 的延长线于点F ．求证：AE =FE ．10．（2019•无锡）如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD =CE ，BE 、CD 相交于点O ．求证：（1）DBC ECB △≌△； （2）OB OC =．11．（2019•重庆A 卷）如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F ．（1）若∠C =36°，求∠BAD 的度数．（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 叫AD 的延长线于点F ．求证：FB =FE ．12．（2019•枣庄）在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN =︒∠，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =； （3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：2AB AN AM+=．1．【答案】4cm或5cm【解析】当长是4cm的边是底边时，腰长是12（13–4）=4.5，三边长为4cm，4.5cm，4.5cm，等腰三角形成立；当长是4cm的边是腰时，底边长是：13–4–4=5cm，等腰三角形成立．故底边长是：4cm或5cm．故答案是：4cm或5cm【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．2．【解析】（1）由题意得：5−2<AB<5+2，即：3<AB<7，∵AB为奇数，∴AB=5，∴△ABC的周长为5+5+2=12．（2）∵AB=AC=5，∴△ABC是等腰三角形．3．【答案】（1）见解析；（2）20°.【解析】（1）由060ABC DBE∠=∠=，得ABD CBE∠=∠，由,AB BC BD BE==，变式拓展得ABD CBE ∆≅∆（SAS ）；（2）由ABD CBE ∆≅∆，得060BCE A ∠=∠=，所以00000180180806040CBE BEC BCE ∠=-∠-∠=--=， 所以000060604020DBC CBE ∠=-∠=-=.【名师点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，先证明三角形全等是解决本题的突破口． 4．【答案】5【解析】已知∠AON =60°，当OP =OA =5时，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，可得△AOP 为等边三角形．故答案为：5． 5．【答案】6或6.5【解析】分两种情况：①5和12是两条直角边，根据勾股定理求得斜边为13，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6.5；②5是直角边，12为斜边，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6，故答案为：6或6.5． 6．【答案】（1）BD =2，13AD =；（2）136AE =，56BE = 【解析】（1）∵在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =， ∴在Rt ABC ∆中，222225316BC AC AB =-=-=， ∴4BC =，又∵D 为BC 边上的中点， ∴122BD DC BC ===， ∴在Rt ABD ∆中，222222133AD AB BD =+=+=， ∴13AD =．（2）ABC ∆折叠后如图所示，EF 为折痕，连接DE ，设AE x =，则DE x =，3BE x =-，在Rt BDE∆中，222BE BD DE+=，即()22232x x-+=，解得：136x=，∴136AE=，∴135366BE=-=．【名师点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，也考查了折叠的性质.是常见中考题型.1．【答案】D【解析】∵两直角边分别为6和8，∴斜边226810+=，∴斜边上的中线=12×10=5，故选D．【名师点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键．2．【答案】A【解析】Q ABC△是等边三角形，AC AB BC∴==，又Q BC BD=，AB BD∴=，∴20BAD BDA∠=∠=︒180CBD BAD BDA ABC∴∠=-∠-∠-∠00000180********=---=，Q BC BD=，∴11(180)(18080)5022BCD CBD∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒，故选A．【名师点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、等边对等角以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是正确解答本题的关键.3．【答案】B考点冲关【解析】∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°， ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足为E ，F ，∴DE =12BD ，DF =12DC ， ∴DE +DF =12BD +12DC =12（BD +DC ）=12B C ．∴DE +DF =12BC =12×10=5m．故选B ．【名师点睛】本题考查等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键. 4．【答案】A【解析】如图所示，延长AC 到E ，使CE =BM ，连接DE ，∵BD =DC ，∠BDC =120°，∴∠CBD =∠BCD =30°， ∵∠ABC =∠ACB =60°，∴∠ABD =∠ACD =∠DCE =90°，在△BMD 和△CED 中，90BD CDDBM DCE BM CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BMD ≌△CED （SAS ），∴∠BDM =∠CDE ，DM =DE ， 又∵∠MDN =60°，∴∠BDM +∠NDC =60°， ∴∠EDC +∠NDC =∠NDE =60°=∠NDM ，在△MDN 和△EDN 中，DM DE MDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDN ≌△EDN （SAS ）， ∴MN =NE =NC +CE =NC +BM ，所以△AMN 周长=AM +AN +MN =AM +AN +NC +BM =AB +AC =2. 故选A.【名师点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，做辅助线构造全等三角形，利用等边三角形的性质得到全等条件是解决本题的关键.5．【答案】C【解析】∵AB=AC，CD=DE，∴∠C=∠DEC=∠ABC，∴AB∥DE，∵∠A=40°，∴∠C=∠DEC=∠ABC=18040702??=?，∵∠ABD：∠DBC=3：4，∴设∠ABD为3x，∠DBC为4x，∴3x+4x=70°，∴x=10°，∴∠ABD=30°，∵AB∥DE，∴∠BDE=∠ABD=30°，故答案为C．【名师点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角和三角形内角和定理求解，难度适中．6．【答案】A【解析】分两种情况：①当腰为4时，4+4<9，所以不能构成三角形；②当腰为9时，9+9>4，9-9<4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4=22．故选A．7．【答案】C【解析】∵AB=AC=5，AD平分∠BAC，BC=6，∴BD=CD=3，∠ADB=90°，∴AD=22AB BD-=4．故选C．8．【答案】B【解析】如图，①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选B．9．【答案】A【解析】设AN=x，由翻折的性质可知DN=AN=x，则BN=9-x．∵D是BC的中点，∴BD=1632⨯=．在Rt△BDN中，由勾股定理得:ND2=NB2+BD2，即x2=（9-x）2+32，解得x=5，AN=5，故选A．10．【答案】D【解析】如图，作AH ⊥CH ，在Rt△ACH 中，∵AH =3，∠AHC =90°，∠ACH =30°，∴AC =2AH =6，在Rt△ABC 中，AB =22226662AC BC +=+=．故选D ．11．【答案】等边【解析】Q 三角形的三边a ，b ，c 满足2()0a b b c -+-=，由算术平方根的非负性、平方数的非负性可得：20,()0a b b c -=-=，0,0a b b c ∴-=-=，解得：,a b b c ==，即a b c ==，则该三角形是等边三角形.故答案为：等边.【名师点睛】本题是一道比较好的综合题，考查了算术平方根的非负性、平方数的非负性、等边三角形的定义. 12．【答案】60cm 2．【解析】过点A 作AD ⊥BC 交BC 于点D ， ∵AB =AC =13cm ，BC =10cm ， ∴BD =CD =5cm ，AD ⊥BC ，由勾股定理得：AD =22135-=12（cm ）， ∴△ABC 的面积=12×BC ×AD =12×10×12=60（cm 2）．【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及勾股定理，能根据等腰三角形的“三线合一”正确的添加辅助线是关键. 13．【答案】55°或125°【解析】如图，分两种情况进行讨论：如图1，当高在三角形内部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°； 如图2，当高在三角形外部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°； ∴∠CAB =180°–55°=125°， 故答案为55°或125°．【名师点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键. 14．【答案】10【解析】①当6为腰长时，则腰长为6，底边=26-6-6=14，因为14>6+6，所以不能构成三角形； ②当6为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10，因为6-6<10<6+6，所以能构成三角形，故腰长为10．故答案为：10． 15．【答案】24︒【解析】∵ADC ∠是三角形ABD 的外角，AED ∠是三角形DEC 的一个外角，CDE x ∠=︒， ∴ADC BAD B ADE EDC ∠=∠+∠=∠+∠，AED EDC C ∠=∠+∠，B BAD ADE x ∠+∠=∠+︒，AEDC x ∠=∠+︒，∵AB AC =，D 、E 分别在BC 、AC 上，AD AE =，CDE x ∠=︒，∴B C ∠=∠，20ADE AED C ∠=∠=∠+︒，∴C BAD C x x ∠+∠=∠︒++︒，∵12EDC ∠=︒，∴24BAD ∠=︒，故答案为：24︒．16．【答案】15【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，∠ACD =120°， ∵CG =CD ，∴∠CDG =30°，∠FDE =150°， ∵DF =DE ，∴∠E =15°．故答案为：15． 17．【答案】3242【解析】如图，过点A 1作A 1M ⊥BC 于点M ．∵点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上，∠BCD=90°，∴∠A1CM=45°，即△AMC是等腰直角三角形，∴设CM=A1M=x，则BM=7-x．又由折叠的性质知AB=A1B=5，∴在直角△A1MB中，由勾股定理得A1M2=A1B2-BM2=25-（7-x）2，∴25-（7-x）2=x2，解得x1=3，x2=4，∵在等腰Rt△A1CM中，CA1=2A1M，∴CA1=32或42．故答案为：32或42．18．【答案】（1）见解析；（2）4.【解析】（1）∵把△ABC沿CE折叠后，点B恰好与斜边AC的中点D重合，∴CD=CB，∠CDE=∠B=90°，AD=CD，在△ADE和△CDE中，90AD CDADE CDEED ED=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩o，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴EA=EC，∴△ACE为等腰三角形；（2）由折叠的性质知：∠BEC=∠DEC，∵△ADE≌△CDE，∴∠AED=∠DEC，∴∠AED=∠DEC=∠BEC=60°，∴∠BCE=30°，∴12BE CE=，又∵EA=EC，∴11223BE AE AB===，∴AE=4.【名师点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的定义和30°角的直角三角形的性质，属于常考题型，熟练掌握上述图形的性质是解题关键. 19．【解析】在直角△ABO 中，已知AB =2.5 m ，BO =0.7 m ，则AO =222.50.7-=2.4 m ， ∵AO =AA ′+OA ′，∴OA ′=2 m ，∵在直角△A ′B ′O 中，AB =A ′B ′，且A ′B ′为斜边， ∴OB ′=1.5 m ，∴BB ′=OB ′-OB =1.5 m-0.7 m=0.8 m ． 答：梯足向外移动了0.8 m ．20．【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）详见解析；【解析】（1）证明：①∵//DE BC ，∴GBF GED ∠=∠. 又,BG EG FGB DGE =∠=∠，∴(ASA)GBF GED ∆∆≌，∴BF ED =. 又CD ED =，∴BF CD =；②当90BAC ∠=︒时，45ABC ACB ∠=∠=︒， ∵180BAC CDE ︒∠+∠=，∴90CDE ︒∠=.∵//DE BC ，∴90,45BCD CDE ACD ︒︒∠=∠=∠=， ∴ABF ACD ∠=∠；又,AB AC BF CD ==，∴()ABF ACD SAS ∆∆≌， ∴,AF AD BAF CAD =∠=∠， ∴BAF FAC CAD FAC ∠+∠=∠+∠ 即90BAC FAD ∠=∠=︒， ∴AFD ∆是等腰直角三角形.（2）所画图形如图1或图②，此时AFD ∆是等边三角形.图1 图2 与（1）同理，可证ABF ACD ∆∆≌， ∴AF =AD ，60BAC FAD ∠=∠=︒， ∴△AFD 是等边三角形.【名师点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是正确找到证明三角形全等的条件，利用全等三角形的性质得到边的关系，角的关系.21．【解析】（1）由题意可得：AC =6 m ，DCm ，∠CAD =90°，可得AD（m ）， 故△ACD 是等腰直角三角形．（2）∵AC =6 m ，BC =10 m ，∠CAD =90°， ∴AB（m ）， 则BD =AB -AD =8-6=2（m ）．答：船体移动距离BD 的长度为2 m ．1．【答案】B【解析】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC △和BOD △中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOC BOD △≌△，∴OCA ODB AC BD ∠=∠=，，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠， ∴40AMB AOB ∠=∠=°，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD∠=∠=°，在OCG△和ODH△中，OCA ODBOGC OHDOC OD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴OCG ODH△≌△，∴OG OH=，∴MO 平分BMC∠，④正确，正确的个数有3个，故选B．2．【答案】70°【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=12（180°-40°）=70°．故答案为：70°．3．【答案】9【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BAD和△CAE中，BAD CAEAB ACB C∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE=9，故答案为：9．4．【答案】105【解析】作DE AB⊥于E，CF AB⊥于F，如图所示，则DE CF=，∵CF AB⊥，90ACB∠=︒，AC BC=，∴12CF AF BF AB===，∵AB BD=，∴1122DE CF AB BD===，BAD BDA∠=∠，∴30ABD∠=︒，∴75BAD BDA∠=∠=︒，∵AB CD∥，∴180ADC BAD∠+∠=︒，∴105ADC∠=︒，故答案为：105．5．【答案】6或255【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6； ②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴222425BC =+=，∴此时底边长为25； ③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则223AD AC CD =-=，∴8BD =，∴45BC =∴此时底边长为56或55【名师点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论． 6．【答案】36°【解析】∵等腰三角形的一个底角为72︒，∴等腰三角形的顶角180727236=︒-︒-︒=︒， 故答案为：36︒．【名师点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 7．【答案】70【解析】∵∠ABC =90°，AB =AC ，∴∠CBF =180°–∠ABC =90°，∠ACB =45°，在Rt△ABE 和Rt△CBF 中，AB CBAE CF =⎧⎨=⎩，∴Rt△ABE ≌Rt△CBF ，∴∠BCF =∠BAE =25°，∴∠ACF =∠ACB +∠BCF =45°+25°=70°，故答案为：70．【名师点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 8．【解析】（1）∵CAF BAE ∠=∠，∴BAC EAF ∠=∠，∵AE AB AC AF ==，， ∴BAC EAF △≌△， ∴EF BC =．（2）∵65AB AE ABC =∠=︒，， ∴18065250BAE ∠=︒-︒⨯=︒， ∴50FAG ∠=︒， ∵BAC EAF △≌△， ∴28F C ∠=∠=︒， ∴502878FGC ∠=︒+︒=︒．【名师点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键． 9．【解析】（1）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，∴∠BAD =∠CAD ，∠ADC =90°，又∠C =42°，∴∠BAD =∠CAD =90°-42°=48°． （2）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ， ∴∠BAD =∠CAD ， ∵EF ∥AC ， ∴∠F =∠CAD ， ∴∠BAD =∠F ， ∴AE =FE ．10．【解析】（1）∵AB =AC ，∴∠ECB =∠DBC ，在DBC △与ECB △中，BD CEDBC ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DBC △≌ECB △．（2）由（1）DBC △≌ECB △， ∴∠DCB =∠EBC ， ∴OB =OC ．11．【解析】（1）∵AB AC =，∴C ABC ∠=∠，∵36C ∠=︒， ∴36ABC ∠=︒，∵D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴90903654BAD ABC ∠=-∠=-︒=︒︒︒． （2）∵BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠， 又∵EF BC ∥，∴EBC BEF ∠=∠， ∴EBF FEB ∠=∠， ∴BF EF =．【名师点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．【解析】（1）∵90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，∴AD BD DC ==，45ABC ACB ∠=∠=︒，45BAD CAD ∠=∠=︒， ∵2AB =，∴AD BD DC ===，∵30AMN ∠=︒，∴180903060BMD ∠=︒-︒-︒=︒， ∴30BMD ∠=︒，∴2BM DM =，由勾股定理得，222BM DM BD -=，即222(2)DM DM -=，解得DM =∴AM AD DM =-=（2）∵AD BC ⊥，90EDF ∠=︒，∴BDE ADF ∠=∠，在BDE △和ADF △中，B DAF DB DA BDE ADF ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BDE ADF △≌△， ∴BE AF =．（3）如图，过点M 作//ME BC 交AB 的延长线于E ，∴90AME ∠=︒， 则2AE =，45E ∠=︒，∴ME MA =，∵90AME ∠=︒，90BMN ∠=︒， ∴BME AMN ∠=∠，在BME △和AMN △中，E MAN ME MA BME AMN ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BME AMN △≌△，∴BE AN =， ∴2AB AN AB BE AE AM +=+==．【名师点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形 的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。
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初二数学等腰三角形知识点
等腰三角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形．
相等的两条边叫腰；两腰的夹角叫顶角；顶角所对的边叫底；腰与底的夹角叫底角。
等腰三角形性质：(1)具有一般三角形的边角关系
(2)等边对等角；(3)底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合；
(4)是轴对称图形，对称轴是顶角平分线；(5)底边小于腰长的两倍并且大于零，腰长大于底边的一半；(6)顶角等于180减去底角的两倍；(7)顶角可以是锐角、直角、钝角，而底角只能是锐角．
等腰三角形分类:可分为腰和底边不等的等腰三角形及等边三角形．
等边三角形性质：①具备等腰三角形的一切性质。
②等边三角形三条边都相等，三个内角都相等并且每个都是60。
5. 等腰三角形的判定：
①利用定义；②等角对等边；
等边三角形的判定：
①利用定义：三边相等的三角形是等边三角形
②有一个角是60的等腰三角形是等边三角形．
含30锐角的直角三角形边角关系:在直角三角形中，30锐角
所对的直角边等于斜边的一半。
三角形边角的不等关系;长边对大角，短边对小角；大角对长边，小角对短边。
附：三角形知识点复习。