初二数学等腰三角形习题
初二数学三角形试题答案及解析
初二数学三角形试题答案及解析1.如图，有两棵树，一棵树高10米，另一棵树高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米【答案】B．【解析】如图：设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，在Rt△AEC中，AC=10（m），故小鸟至少飞行10m．故选B．【考点】勾股定理的应用．2.已知：如图：架在消防车上的云梯AB的坡比为，云梯AB的长为m，云梯底部离地面1.5m（即BC=1.5m）.求云梯顶端离地面的距离AE.【答案】5.5m.【解析】根据坡度的意义和勾股定理求出AD的长即可求得云梯顶端离地面的距离AE.如图，∵架在消防车上的云梯AB的坡比为，即AD：DB=，∴设DB=x，则AD=.∵AB=，∴由勾股定理，得，解得（舍去负值）.∴AD=（m）.∵DE=BC=1.5m，∴AE=5.5m.【考点】1.解直角三角形的应用-坡度问题；2.勾股定理．3.对“等角对等边”这句话的理解，正确的是 ( )A．只要两个角相等，那么它们所对的边也相等B．在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等C．在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等D．以上说法都是错误的【答案】C.【解析】“等角对等边”是等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等的简写形式，意思是：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等．故C正确；A、B可以举反例说明，如图：DE∥BC，∠ADE=∠B，但AE≠AC．故A、B都错误；故D也错误．故选C．考点: 等腰三角形的判定．4.如图，x轴、y轴上分别有两点A（3，0）、B（0，2），以点A为圆心，AB为半径的弧交x 轴负半轴于点C，则点C的坐标为（）A．（－1，0）B．（2－，0）C．（1，0）D．（3，0）【答案】D．【解析】∵A（3，0）、B（0，2），∴OA=3，OB=2，∴在直角△AOB中，由勾股定理得 AB=．又∵以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，∴AC=AB，∴OC=AC-OA=．又∵点C在x轴的负半轴上，∴C（，0）．故选D．考点: 1.勾股定理；2.坐标与图形性质．5.如图，△ABC中，AB=AC，BD是角平分线，BE=BD，∠A=72°，则∠DEC=" _______."【答案】103.5°【解析】因为AB=AC，∠A=72°，所以∠ABC=∠C=54°.因为BD是角平分线，所以∠DBC=∠ABC= 27°.又BE=BD，所以∠BDE=∠BED=76.5°，所以∠DEC=180°76.5°=103.5°.6.如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16 m，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？【答案】旗杆在离底部6 m处断裂【解析】旗杆折断的部分，未折断的部分和旗杆顶部离旗杆底部的部分构成了直角三角形，运用勾股定理可将折断的位置求出．解：设旗杆未折断部分的长为 m，则折断部分的长为m，根据勾股定理,得，解得： m，即旗杆在离底部6 m处断裂．7.如图，△ABD、△CBD都是等边三角形，DE、BF分别是△ABD的两条高，DE、BF交于点G.（1）求∠BGD的度数（2）连接CG①求证：BG+DG=CG②求的值【答案】（1）1200 （2）①见解析②【解析】（1）由△ABD、BDC是等边三角形，∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°；（2）①∵∠DCG=∠BCG=30°，DE⊥AB，∴可得DG=CG（30°角所对直角边等于斜边一半）、BG= CG，故可得出BG+DG=CG； 结合前面求得结论，设出未知数，根据勾股定理和等腰三角形的性质即可求出比例性质.试题解析：解：（1）因为△ABD是等边三角形，E是AB中点所以∠ADE=∠BDE=300 所以∠CDG=900 ,同理∠CBG=900,∠BGD=1200 ,（2）①CD=CB，CG=CG，由勾股定理可得BG=DG，易证△CBG与△CDG全等,得∠DCG=∠BCG=300所以在Rt△CGB和Rt△CGD中可得BG="DG=1/2CG" .所以BG+DG=CG（6分）②设BG=x,由（2)得CG=2x,在Rt△CGB中，BC2=CG2-BG2=4x2-x2=3x2，又因AB=BC所以AB2=BC2=3x2,所以=.【考点】1.等边三角形的判定与性质2.全等三角形的判定与性质；3.菱形的性质；4.勾股定理.8. 在边长为2的正三角形ABC 中，已知点P 是三角形内任意一点，则点P 到三角形的三边距离之和PD ＋PE ＋PF 等于（ ）A ．B ．2C ．4D ．无法确定【答案】A.【解析】此题考查了等边三角形的性质.易利用三角形的面积求解.如图，连接AP 、BP 、CP ，则、、；设等边三角形的高为h ，由勾股定理可得：，.而，根据等边三角形三边相等，可得：，即：由此等量关系可得到三角形的三边距离之和.故选A.【考点】等边三角形的性质.9. )△ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有100个不同的点p 1,p 2,…p 100;记，求的值.【答案】400.【解析】作AD ⊥BC 于D ，则BC="2BD=2CD," 根据勾股定理可得结论. 试题解析：作AD ⊥BC 于D ，则BC=2BD=2CD ．根据勾股定理，得:AP i 2=AD 2+DP i 2=AD 2+（BD-BP i ）2=AD 2+BD 2-2BD•BP i +BP i 2， 又P i B•P i C=P i B•（BC-P i B ）=2BD•BP i -BP i 2，∴M i =AD 2+BD 2=AB 2=4，∴M 1+M 2+…+M 10+M 100=4×100=400．【考点】①勾股定理；②规律型.10. 如图，△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，则图中的等腰三角形共有（ ）个.【答案】3【解析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC 的度数，再根据角平分线的定义求出∠ABD 的度数，然后得到∠A=∠ABD，再根据等角对等边的性质解答即可．因为AB=AC，∠A=36°，所以∠ABC=∠C=720.因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD=360.由∠A=∠ABD，得AD=BD．∠C=720，∠CBD=360，得∠CDB=720.所以CB=DB.所以图中的等腰三角形共有3个,即△ABC、△ADB、△CBD.故填3.【考点】等腰三角形的判定与性质．11.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD和BE是高，它们相交于点H，且AE＝BE求证：AH＝2BD【答案】详见解析【解析】由等腰三角形的底边上的垂线与中线重合的性质求得BC=2BD，根据直角三角形的两个锐角互余的特性求知∠1+∠C=90°；又由已知条件AE⊥AC知∠2+∠C=90°，所以根据等量代换求得∠1=∠2；然后由三角形全等的判定定理SAS证明△AEH≌△BEC，再根据全等三角形的对应边相等及等量代换求得AH="2BD"试题解析：∵AD是高,BE是高∴∠EBC+∠C=∠CAD+∠C=90°∴∠EBC=∠CAD 2分又∵AE＝BE∠AEH=∠BEC∴△AEH△BEC(ASA) 2分∴AH ＝BC∵AB＝AC，AD是高∴BC=2BD∴AH ＝2BD 2分【考点】1 等腰三角形的性质;2 全等三角形的判定与性质12.在△ABC中，∠A是锐角，那么△ABC是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】D【解析】举个例子,∠A=30°,∠B=70°,∠C=80°,为锐角三角形，∠A=30°,∠B=90°,∠C=60°, 为直角三角形，∠A=30°,∠B=120°,∠C=30°,为钝角三角形，故不确定.由题,在三角形中有一个角是锐角,无法判断另外两个角的情况,有可能另外两个角都是锐角,也有可能是一个锐角一个直角, 或者一个锐角一个钝角.【考点】三角形的分类.13.如图，一架25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯的底部距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯的底部将平滑（）A．9分米B．15分米C．5分米D．8分米【答案】D【解析】先利用勾股定理计算出墙高，当梯子的顶端沿墙下滑4分米后，也形成一直角三角形，解此三角形可计算梯的底部距墙底端的距离，则可计算梯子的底部平滑的距离．解：墙高为：=24分米当梯子的顶端沿墙下滑4分米时：则梯子的顶部距离墙底端：24﹣4=20分米梯子的底部距离墙底端：=15分米，则梯的底部将平滑：15﹣7=8分米．故选D．点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．14.由于台风的影响，一棵树在离地面处折断，树顶落在离树干底部处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是________.【答案】16【解析】先根据勾股定理求得斜边的长，再根据树的长度的特征求解即可.由题意得斜边的长所以这棵树在折断前（不包括树根）长度.【考点】勾股定理的应用点评：勾股定理的应用是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.15.如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得∠α=______ __。
初二数学等腰与等边复习题及解析
初二数学等腰与等边复习题一．选择题（共10小题）1．（2015•内江）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．45°C．60°D．70°2．（2015•南宁）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°3．（2012•齐齐哈尔模拟）如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE 相交于点O，给出四个条件：①OB=OC；②∠EBO=∠DCO；③∠BEO=∠CDO；④BE=CD．上述四个条件中，选择两个可以判定△ABC是等腰三角形的方法有（）A．2种B．3种C．4种D．6种4．（2015•宿迁）若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（）A．9 B．12 C．7或9 D．9或125．（2015秋•南开区期末）下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③D．①②③④6．（2015秋•沙河市期末）如图，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC 等于（）A．7.5°B．10°C．15°D．18°7．（2009•呼和浩特）在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A．7 B．11 C．7或11 D．7或108．（2010•青岛模拟）如图，∠AOB是一钢架，∠AOB=15°，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH…添的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管（）根．A．2 B．4 C．5 D．无数9．（2003•青海）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于（）A．75°B．15°C．75°或15°D．30°10．（2014秋•昆山市校级期末）已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（）A．80°B．20°C．80°或20°D．不能确定二．填空题（共5小题）11．（2016春•沈丘县期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为60°或120°．12．（2013秋•西城区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BE⊥AC于E，延长BC到D，使CD=CE，连接DE，若△ABC的周长是24，BE=a，则△BDE的周长是2a+12．13．（2009秋•通州区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AC，AB上的点，且BC=BD，AD=DE=EB，则∠A=45度．14．（2014秋•吴中区校级期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它周长分成18cm和9cm 两部分，则这个等腰三角形的底边长是3cm．15．已知a、b、c为△ABC的三条边，且满足a2+ab﹣ac﹣bc=0，b2+bc﹣ba﹣ca=0，则△ABC 是等边三角形．三．解答题（共2小题）16．（2015秋•蓬江区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．17．（2013秋•孝感校级期末）图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．（1）如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；（2）如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．初二数学等腰与等边复习题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2015•内江）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．45°C．60°D．70°【分析】根据平行线的性质可得∠CBD的度数，根据角平分线的性质可得∠CBA的度数，根据等腰三角形的性质可得∠C的度数，根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数．【解答】解：∵AE∥BD，∴∠CBD=∠E=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBA=70°，∵AB=AC，∴∠C=∠CBA=70°，∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．故选：A．【点评】考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．关键是得到∠C=∠CBA=70°．2．（2015•南宁）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=70°，∴∠B=∠ADB=70°，∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°，∵AD=CD，∴∠C=（180°﹣∠ADC）÷2=（180°﹣110°）÷2=35°，故选：A．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．3．（2012•齐齐哈尔模拟）如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE 相交于点O，给出四个条件：①OB=OC；②∠EBO=∠DCO；③∠BEO=∠CDO；④BE=CD．上述四个条件中，选择两个可以判定△ABC是等腰三角形的方法有（）A．2种B．3种C．4种D．6种【分析】①②：求出OBC=∠OCB，推出∠ACB=∠ABC即可的等腰三角形；①③：证△EBO≌△DCO，得出∠EBO=∠DCO，求出∠ACB=∠ABC即可；②④：证△EBO≌△DCO，推出OB=OC，求出∠ABC=∠ACB即可；③④：证△EBO≌△DCO，推出∠EBO=∠DCO，OB=OC，求出∠OBC=∠OCB，推出∠ACB=∠ABC即可．【解答】解：有①②，①③，②④，③④，共4种，①②，理由是：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵∠EBO=∠DCO，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形；①③，理由是：∵在△EBO和△DCO中，∴△EBO≌△DCO，∴∠EBO=∠DCO，∵∠OBC=∠OCB（已证），∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，即AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；②④，理由是：∵在△EBO和△DCO中，∴△EBO≌△DCO，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，即AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；③④，理由是：∵在△EBO和△DCO中，∴△EBO≌△DCO，∴∠EBO=∠DCO，OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，即AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；故选C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，通过做此题培养了学生的推理能力和辨析能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．4．（2015•宿迁）若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（）A．9 B．12 C．7或9 D．9或12【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5和2，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长=5+5+2=12；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；所以这个三角形的周长是12．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．5．（2015秋•南开区期末）下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③D．①②③④【分析】根据等边三角形的判定判断．【解答】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；②这是等边三角形的判定2，故正确；③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；④根据等边三角形三线合一性质，故正确．所以都正确．故选D．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的判定的掌握情况．6．（2015秋•沙河市期末）如图，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC 等于（）A．7.5°B．10°C．15°D．18°【分析】根据等腰三角形性质求出∠C=∠B，根据三角形的外角性质求出∠B=∠C=∠AED+α﹣30°，根据∠AED=∠ADE=∠C+α，得出等式∠AED=∠AED+α﹣30°+α，求出即可．【解答】解：∵AC=AB，∴∠B=∠C，∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠B+30°=∠AED+α，∴∠B=∠C=∠AED+α﹣30°，∵AE=AD，∴∠AED=∠ADE=∠C+α，即∠AED=∠AED+α﹣30°+α，∴2α=30°，∴α=15°，∠DEC=α=15°，故选C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，本题有一点难度，但题型不错．7．（2009•呼和浩特）在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A．7 B．11 C．7或11 D．7或10【分析】题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．【解答】解：设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，得①或②解方程组①得：，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形；解方程组②得：，根据三角形三边关系定理此时能组成三角形，即等腰三角形的底边长是11或7；故选C．【点评】本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为15，12中包含着中线BD的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况；注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理．故解决本题最好先画出图形再作答．8．（2010•青岛模拟）如图，∠AOB是一钢架，∠AOB=15°，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH…添的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管（）根．A．2 B．4 C．5 D．无数【分析】因为每根钢管的长度相等，可推出图中的5个三角形都为等腰三角形，再根据外角性质，推出最大的∠0BQ的度数（必须≤90°），就可得出钢管的根数．【解答】解：如图所示，∠AOB=15°，∵OE=FE，∴∠GEF=∠EGF=15°×2=30°，∵EF=GF，所以∠EGF=30°∴∠GFH=15°+30°=45°∵GH=GF∴∠GHF=45°，∠HGQ=45°+15°=60°∵GH=HQ，∠GQH=60°，∠QHB=60°+15°=75°，∵QH=QB∴∠QBH=75°，∠HQB=180﹣75°﹣75°=30°，故∠OQB=60°+30°=90°，不能再添加了．故选C．【点评】根据等腰三角形的性质求出各相等的角，然后根据三角形内角和外角的关系解答．9．（2003•青海）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于（）A．75°B．15°C．75°或15°D．30°【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论．【解答】解：当高在三角形内部时，由已知可求得三角形的顶角为30°，则底角是75°；当高在三角形外部时，三角形顶角的外角是30°，则底角是15°；所以此三角形的底角等于75°或15°，故选C．【点评】考查了等腰三角形的性质，以及含特殊角的直角三角形；熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出75°一种情况，应当注意需要分类讨论．10．（2014秋•昆山市校级期末）已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（）A．80°B．20°C．80°或20°D．不能确定【分析】此外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，需要分情况考虑，再结合三角形的内角和为180°，可求出顶角的度数．【解答】解：①若100°是顶角的外角，则顶角=180°﹣100°=80°；②若100°是底角的外角，则底角=180°﹣100°=80°，那么顶角=180°﹣2×80°=20°．故选C．【点评】当外角不确定是底角的外角还是顶角的外角时，需分两种情况考虑，再根据三角形内角和180°、三角形外角的性质求解．二．填空题（共5小题）11．（2016春•沈丘县期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为60°或120°．【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．【解答】解：当高在三角形内部时，顶角是120°；当高在三角形外部时，顶角是60°．故答案为：60°或120°．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出120°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．12．（2013秋•西城区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BE⊥AC于E，延长BC到D，使CD=CE，连接DE，若△ABC的周长是24，BE=a，则△BDE的周长是2a+12．【分析】根据在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，可得△ABC的形状，再根据△ABC的周长是24，可得AB=BC=AC=8，根据BE⊥AC于E，可得CE的长，∠EBC=30°，根据CD=CE，可得∠D=∠CED，根据∠ACB=60°，可得∠D，根据∠D与∠EBC，可得BE与DE的关系，可得答案．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∵△ABC的周长是24，∴AB=AC=BC=8，∵BE⊥AC于E，∴CE=AC=4，∠EBC=∠ABC=30°，∵CD=CE，∴∠D=∠CED，∵∠ACB是△CDE的一个外角，∴∠D+∠CED=∠ACB=60°∴∠D=30°，∴∠D=∠EBC，∴BE=DE=a，∴△BED周长是DE+BE+BD=a+a+（8+4）=2a+12，故答案为：2a+12．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，等腰三角形的性质：等边对等角，等腰三角形的判定：等角对等边．．13．（2009秋•通州区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AC，AB上的点，且BC=BD，AD=DE=EB，则∠A=45度．【分析】根据已知条件结合图形，列出相关角的关系，然后利用三角形的内角和求解．【解答】解：∵AB=AC，BC=BD，∴∠C=∠ABC=∠BDC，∵AD=DE=EB，∴∠EBD=∠EDB，∠A=∠AED，又∠EBD+∠EDB=∠AED，即2∠EDB=∠A，又∠A+∠AED=∠EDB+∠BDC，即2∠A=∠EDB+∠BDC，由⇒∠A=⇒∠A=∠C，又由三角形内角和定理得：∠A+∠ABC+∠C=180°，即4∠A=180°，∴∠A=45°．故答案为：45．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；此题需灵活运用等腰三角形的性质，通过寻找相关角之间的关系求解是正确解答本题的关键．14．（2014秋•吴中区校级期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它周长分成18cm和9cm 两部分，则这个等腰三角形的底边长是3cm．【分析】设腰长为xcm，底为ycm，则可知2x+y=18+9，x+x=18或9，可求得y．【解答】解：设腰长为xcm，底为ycm，则由题意可知x+x=18或9，解得x=12或6，而三角形的周长为2x+y=18+9，当x=12时可解得y=3，此时三角形的三边为12cm，12cm，3cm，满足三角形的三边关系，此时底边长为3cm，当x=6时可解得y=15，此时三角形的三边为6cm，6cm，15cm，此时6+6＜15，不满足三角形的三边关系，不合题意；综上可知底边长为3cm．故答案为：3．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，由条件分两种情况求得三角形的各边长再利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键，注意方程思想的应用．15．已知a、b、c为△ABC的三条边，且满足a2+ab﹣ac﹣bc=0，b2+bc﹣ba﹣ca=0，则△ABC 是等边三角形．【分析】分析题目中的a2+ab﹣ac﹣bc=0，b2+bc﹣ba﹣ca=0，可知a=b=c，所以该三角形为正三角形．【解答】解：∵a2+ab﹣ac﹣bc=0∴a（a+b）﹣c（a+b）=0∴（a﹣c）（a+b）=0∵a+b＞0∴a﹣c=0∴a=c∵b2+bc﹣ba﹣ca=0∴b（b+c）﹣a（b+c）=0∴（b﹣a）（b+c）=0∵b+c＞0∴b﹣a=0∴b=a∴a=b=c∴△ABC是等边三角形【点评】该题主要考查等边三角形的判定和有理数的运算（即方程式的化简）．三．解答题（共2小题）16．（2015秋•蓬江区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．【分析】（1）由AB=AC，∠ABC=∠ACB，BE=CF，BD=CE．利用边角边定理证明△DBE ≌△CEF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．（2）根据∠A=40°可求出∠ABC=∠ACB=70°根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△DBE和△CEF中，∴△DBE≌△CEF，∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△CEF，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=（180°﹣40°）=70°∴∠1+∠2=110°∴∠3+∠2=110°∴∠DEF=70°【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题．17．（2013秋•孝感校级期末）图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．（1）如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；（2）如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．【分析】（1）等边三角形的性质可以得出△ACN，△MCB两边及其夹角分别对应相等，两个三角形全等，得出线段AN与线段BM相等．（2）平角的定义得出∠MCN=60°，通过证明△ACE≌△MCF得出CE=CF，根据等边三角形的判定得出△CEF的形状．【解答】解：（1）∵△ACM与△CBN都是等边三角形，∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°．∴∠MCN=60°，∠ACN=∠MCB，在△ACN和△MCB中，∴△ACN≌△MCB（SAS）．∴AN=BM．（2）∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE=∠CMB．在△ACE和△MCF中∴△ACE≌△MCF（ASA）．∴CE=CF．∴△CEF的形状是等边三角形．【点评】本题考查了SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，同时考查了等边三角形的性质和判定．。
初二数学上册第二单元等腰三角形专项练习题
初二数学上册第二单元等腰三角形专项练习题篇一：初二数学上册第二单元等腰三角形专项练习题初二数学上册第二单元等腰三角形专项练习题一、选择题1已知一个等腰三角形的底边长为5,这个等腰三形的腰长为_,则_的取值范围是() A .0_lt;__lt;52B ._≥52C _＞52D 0_lt;__lt;10 2.等腰三角形的底角为15°,腰长为a,则此三角形的面积为()A a2B1a22C 1 a2 D2 a2图543将一张长方形的纸片ABCD如图(4)那样折起,使顶点C落在F处.其中AB=4,若∠FED=30°,则折痕ED的长为( )A. 4 B 4C 8D 53 10.如图(5),在△ABC中,BC=8㎝,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E, △ABC的周长为18㎝,则AC的长等于( )A 6㎝B 8㎝C 10㎝D 12㎝4下列图形中，不是轴对称图形的是（） A有两个内角相等的三角形 B 有一个内角是45°直角三角形 C. 有一个内角是30°的直角三角形 D. 有两个角分别是30°和120°的三角形 5、下列图形中，轴对称图形有（）个A.1B.2C. 3D.4 6、等腰三角形周长是29，其中一边是7，则等腰三角形的底边长是（） A 15B15或7 C 7 D 11 7、在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，若∠BDC＝75°，则∠A的度数为（）A、30°B、40°C、45 °D、60°8、下列图形中，不是轴对称图形的是（） A 角 B 等边三角形 C 线段 D不等边三角形9、正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BICAADFDBB为（） A．60 B．90 C．120 D．150° 10、下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；?③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；?④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A①②③ B①②④ C①③ D①②③④ 11、如图1，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF?的形状是（）A形C．直角 D．不等边三角形 12Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠图5B=30°， AD=2cm，则AB的长度是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm 13如图2，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1= 2，BE=CD，则对△ADE的形状判断准确的是（） A．等腰三角形B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确定形状图（1) 图(2)二、填空题1、△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．2、已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______．3、△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，?则CD?的长度是_______．4、如图（3），在ΔABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠1=________, 图中有_______个等腰三角形。
人教版初二数学上试卷等腰三角形练习题
初中数学试卷等腰三角形练习题班级姓名学号一.填空题31. 等腰三角形的腰长是底边的3，底边等于12cm ，则三角形的周长为cm42. _________________________________________________________ 等腰三角形顶角为80 °，则一腰上的高与底边所夹的角的度数为____________ 度3. __________________________________ 等腰三角形的底角是65°,顶角为.4. _________________________________________________________ 等腰三角形的一个内角为100 °,则它的其余各角的度数分别为 ______________ .5. P 为等边△ABC 所在平面上一点,且△PAB,△PBC,△PCA 都是等腰三角形,这样的点P 有个.6. 等腰三角形的顶角等于一个底角的 4 倍时, 则顶角为 _______ 度_ ．7. 已知如图，A、D、C在一条直线上AB＝BD＝CD, ∠C＝40 °,则∠ABD ＝第10 题8. 在等腰△ABC中, AB＝AC, AD ⊥BC于D, 且AB＋AC＋BC＝50cm,而AB ＋ BD ＋AD ＝ 40cm, 则AD ＝ ______ cm.9. 如图 , ∠P ＝25°, 又PA ＝AB ＝BC ＝CD, 则∠DCM ＝ ____ 度.10. 如图已知∠ACB ＝90 °, BD ＝BC, AE ＝AC, 则∠DCE ＝ ________ 度_ .二. 单选题1. 等腰三角形一底角为 30 °,底边上的高为 9cm,则腰长为 ___cm ．[ ]A.3B.18C.9D.9 32. 不满足△ABC 是等腰三角形的条件是 [ ]A.∠A :∠B :∠C=2 :2:1 B.∠A :∠B :∠C=1 :2:5C.∠A:∠B :∠C=1 :1:2 D. ∠A :∠B :∠C=1 :2:23. 等腰三角形的一个角等于 20 °, 则它的另外两个角等于 :[ ]A.20 °、140 °B.20 °、140 °或80 °、80 °C.80 °、80 °D.20 °、80 °4. 下列命题正确的是 [ ]A.等腰三角形只有一条对称轴B.直线不是轴对称图形C.直角三角形都不是轴对称图形D.任何一角都是轴对称图形5. 等腰三角形一腰上的高与底所夹的角等于 [ ]11A.顶角B.顶角的 1C.顶角的 2 倍 D 底角的 1227. 如图 , 在△ABC 中, AB ＝AC, CD ⊥AB 于D, 则下列判断正确的是[]8. 等腰三角形两边分别为 35厘米和 22厘米, 则它的第三边长为 [ ]A.∠A ＝∠BB.∠A ＝∠ACDC.∠A ＝∠DCBD.∠A ＝2∠BCD第7题A.35cmB.22cmC.35cm 或22cmD.15cm9. 等腰三角形中, AB长是BC长2 倍, 三角形的周长是40, 则AB的长为[ ]A.20B.16C.20 或16D.1810. 如图已知: AB＝AC＝BD, 那么∠1 与∠2之间的关系满足[ ]A.∠1 ＝2∠2B.2 ∠1 ＋∠2＝180 °C.∠1＋3∠2＝180 °D.3 ∠1 －∠2 ＝180 °三.证明题1. 如图, 已知：点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE. 求证：BD=CE2. 如图：△ABC中,AB=AC,PB=PC ．求证：AD ⊥BC3. 已知：如图,BE和CF是△ABC的高线,BE=CF,H是CF、BE的交点．4. 如图,在△ABC中,AB=AC,E为CA延长线上一点,ED⊥BC于D交AB于F.求证:△AEF为等腰三角形.5. 如图,△ABC中,D在BC延长线上,且AC=CD,CE 是△ACD 的中线,CF平分∠ACB,交AB于F,求证:(1)CE⊥CF;(2)CF∥AD.6. 如图：Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=22.5 °,DC=BC, DE⊥AB．求证：AE=BE．7. 已知:如图，△BDE是等边三角形，A在BE延长线上，C在BD的延长线上，等腰三角形练习题答案.填空题1. 302. 403.50 °6. 1207. 208. 15二.单选题1. B2. B3. B7. D 8. C 9. B三.证明题1. 证：作AM ⊥BC于M∵AD=AE,∴DM=EM∵AB=AC,∴BM=CM∴BM －DM=CM －EM∴BD=CE4. 40°40°5. 79. 100 10. 454. D5. B6. A10. D2. 证明：在△ABP和△ACP中∵AB=AC,BP=PC,AP=AP ∴△ABP ≌△ACP (SSS)∴∠BAP= ∠CAP ∴AD ⊥BC（等腰三角形顶角平分线又是底边的垂线）3. 证明：∵△ABC是等边三角形∴AB=AC, ∠BAC=60 °在△ABD 和△ACE中∵AB=AC, ∠1= ∠2,BD=CE ∴△ABD ≌△ACE (SAS) ∴AD=AE, ∠BAD= ∠CAE=60 ∴在△ADE中∵AD=AE,∠DAE=60 ∴△ADE为等边三角形．4. 证明：连结AC和AD在△ABC和△AED中AB=AE BC=ED ∠B= ∠E ∴△ABC ≌△AED (SAS)∴∠ACB= ∠ADE,AC=AD∴ △ACD 是等腰三角形∴∠ACD= ∠ADC; ∠BCA= ∠CDE∴∠C= ∠D5. 证明：∵BE、CF是△ABC 的高线．∴∠1= ∠2=90 ° ∴△BCF和△CBE都是Rt△．在Rt △BCF和Rt △CBE中∵CF=BE,BC=CB∴Rt△BCF≌Rt△CBE ∴∠3= ∠4 在△HBC 中∵∠3= ∠4∴HB=HC（同一三角形中,等角对等边）6. 证明:∵AE=AD, ∠1= ∠2,∠A公共角∴△AEF≌△ADC (AAS) ∴AB=AC,EB=DC∴∠ABC= ∠ACB ∴∠3= ∠4,BF=CF ∴DF=EF7. 证明:∵AB=AC∴∠B= ∠C∵ED⊥BC∴∠B+ ∠BFD= ∠B+ ∠EFA=90 °∠C+ ∠E=90∴∠E= ∠EFA ∴AE=AF8. 证明:(1) ∵AC=CD,CE 是△ACD的中线∴∠ACE= ∠DCE 又∵CF平分∠ACB ∴∠ACF= ∠BCF ∴∠AFC= ∠AEC=90 ° ∴CE⊥CF(2) ∵AC=CD,CE 是△ACD的中线∴CE⊥AD ∴CF∥AD四.证明题(本题包括4小题,共24 分。
初二数学等腰三角形试题答案及解析
初二数学等腰三角形试题答案及解析1.如图，已知在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，点E、F都在中线AD上，连接EB、EC、FB、FC，则图中阴影部分的面积为．【答案】24cm2【解析】根据等腰三角形的性质求得△ABC底边上的高线AD的长度，然后求图中阴影部分，即三个等高三角形的面积和．解：∵在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD是中线，∴AD⊥BC，BD=CD=BC=6cm，∴AD=8cm（勾股定理），∴S阴影=S△ABE+S△EFC+S△BDE=BD•（AE+EF+FD）=BD•AD=×6cm×8cm=24cm2．故答案是：24cm2．点评：本题考查了等腰三角形的性质、三角形的面积．解答此题时，可以发现图中阴影部分的面积实际上是由三个等高不等底的三角形的和，而这三个三角形的底边的和恰好是等腰△ABC的高线AD的长度．2.如图，在△ABC中，B是AC上一点，AD=BD=BC，若∠C=25°，则∠ADB= ．【答案】80°【解析】首先利用等腰三角形的性质得到∠C=∠BDC，利用三角形的外角的性质得到∠A和∠ABD的度数，从而确定∠ADB的度数．解：∵BD=BC，∠C=25°，∴∠C=∠BDC=50°，∴∠ABD=∠C+∠BDC=50°，∵AD=BD，∴∠A=∠DBA=50°，∴∠ADB=180°﹣∠A﹣∠DBA=80°，答案为：80°．点评：本题考查了等腰三角形的性质，解答过程中两次运用“等边对等角”，难度不大．3.已知实数x，y满足|x﹣4|+（y﹣8）2=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是．【答案】20【解析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．解：根据题意得，x﹣4=0，y﹣8=0，解得x=4，y=8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4=8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长=4+8+8=20，所以，三角形的周长为20．故答案为：20；点评：本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．4.如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，D、E为垂足，BD与CE交于点O，则图中全等三角形共有对．【答案】3【解析】根据等腰三角形性质推出∠ABC=∠ACB，根据垂线定义证∠ADB=∠AEC，∠BEO=∠CDO，根据AAS证△BEC≌△BDC，根据AAS证△ADB≌△AEC，根据AAS证△BEO≌△CDO即可解：有3对：理由是∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC=∠BEC=90°，∵BC=BC，∴△BEC≌△BDC，∵∠ADB=∠AEC，∠A=∠A，AB=AC，∴△ADB≌△AEC，∴AD=AE，∴BE=DC，∵∠EOB=∠DOC，∠BEC=∠BDC，∴△BEO≌△CDO，故答案为：3．点评：本题主要考查对全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质，垂线定义等知识点的理解和掌握，能推出证三角形全等的三个条件是解此题的关键．5.等腰三角形的两边长分别是3和5，则这个等腰三角形的周长为．【答案】11或13【解析】分3是腰长与底边两种情况讨论求解．解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、5，能组成三角形，周长=3+3+5=11，②3是底边长时，三角形的三边分别为3、5、5，能组成三角形，周长=3+5+5=13，综上所述，这个等腰三角形的周长是11或13．故答案为：11或13．点评：本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．6.已知等腰三角形的两条边长分别为3和7，那么它的周长等于．【答案】17【解析】分两种情况讨论：当3是腰时或当7是腰时．根据三角形的三边关系，知3，3，7不能组成三角形，应舍去．解：当3是腰时，则3+3＜7，不能组成三角形，应舍去；当7是腰时，则三角形的周长是3+7×2=17．故答案为：17．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．此类题不要漏掉一种情况，同时注意看是否符合三角形的三边关系．7.已知等腰三角形一腰上的中线将它周长分成18cm和12cm两部分，则这个等腰三角形的底边长是．【答案】6cm或8cm【解析】设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具休是哪部分的长为18，故应该列两个方程组求解．解：∵等腰三角形的周长是18cm+12cm=30cm，设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，由题意得或，解得或∴等腰三角形的底边长为6cm或8cm．（1分）故答案为：6cm或8cm．点评：此题主要考查等腰三角形的性质，解二元一次方程组和三角形三边关系的综合运用，此题的关键是分两种情况分析，求得解之后注意用三角形三边关系进行检验．8.等腰三角形的一边是2cm，另一边是9cm，则这个三角形的周长是 cm．【答案】20【解析】本题可先根据三角形三边关系，确定等腰三角形的腰和底的长，然后再计算三角形的周长．解：当腰长为4时，则三角形的三边长为：2、2、9；∵2+2＜9，∴不能构成三角形；因此这个等腰三角形的腰长为9，则其周长=9+9+2=20．故答案为：20．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．9.如图，直角三角形ABC中，∠BAC=90°AD⊥BC，AE是BC边上的中线，①若∠C=40°，则∠DAE= °；②若∠DAE=20°，则∠C= °．【答案】10°，35°【解析】利用∠C=40°，可先求∠BAC，再利用AE是∠BAC的角平分线，可求∠EAC，在Rt△ADC中，可求∠DAC，从而可求∠DAE．解：①∵直角三角形ABC中，∠BAC=90°AD⊥BC，AE是BC边上的中线∠C=40°，∴BE=AE=CE，∴∠EAC=∠C=40°，∠DAC=50°，∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAC=50°﹣40°=10°，②∵∠DAE=20°，∴∠AEC=70°∴∠C=∠EAC=35°，故答案为10°，35°．点评：本题利用了三角形内角和定理、角平分线定理．三角形的内角和等于180°．10.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=15°，且AE=AD，则∠CDE= °．【答案】7.5°【解析】根据等腰三角形性质推出∠1=∠2，∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠1+∠3=∠B+15°，∠2=∠C+∠3，推出2∠3=15°即可．解：∵AD=AE，AC=AB，∴∠1=∠2，∠B=∠C，∵∠1+∠3=∠B+∠BAD=∠B+15°，∠2=∠1=∠C+∠3，∴∠C+∠3+∠3=∠B+15°，2∠3=15°，∴∠3=7.5°，即∠CDE=7.5°，故答案为：7.5°．点评：本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．11.如图，在△ABC中，已知BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D．（1）求∠A的度数；（2）若AC=6cm，求AD的长度．【答案】（1）30°（2）2cm【解析】（1）根据等腰三角形的两个底角相等、三角形内角和定理来求∠A的度数；（2）连接BD．根据线段垂直平分线的性质知△ABD是等腰三角形；然后利用（1）中的∠A=∠C=30°和已知条件∠B=120°可以推知△CDB是直角三角形，利用30度角所对的直角边是斜边的一半即可求得BD与CD间的数量关系；最后利用等腰三角形ABD的两腰相等（AD=BD）通过等量代换即可求得AC=3AD，从而求得线段AD的长度．解：（1）∵在△ABC中，已知BA=BC，∴∠A=∠C（等边对等角）；又∵∠B=120°，∴∠A=（180°﹣120°）=30°（三角形内角和定理）；（2）连接BD．∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，∴AD=BD，∠A=∠ABD=30°，∴∠CBD=90°；由（1）知∠A=∠C=30°，∴BD=CD（30°所对的直角边是斜边的一半），∴CD=2AD=2BD，∴AC=AD+CD=AD+2AD=3AD；又∵AC=6cm，∴AD=2cm．点评：本题综合考查了等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形以及三角形内角和定理．解答（2）题时，要充分利用等腰三角形的“三线合一”的性质．12.如图，AB=AC，∠C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．【答案】21°【解析】求出∠ABC，根据三角形内角和定理求出∠A，根据线段垂直平分线得出AD=BD，求出∠ABD，即可求出答案．解：∵AB=AC，∠C=67°，∴∠ABC=∠C=67°，∴∠A=180°﹣67°﹣67°=46°，∵EF是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=46°，∴∠DBC=67°﹣46°=21°．点评：本题考查了线段垂直平分线，三角形的能或定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，关键是求出∠ABC和∠ABD的度数，题目比较好．13.如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若∠A=52°，则∠BDC等于（）A．84°B．64°C．52°D．32°【答案】A【解析】根据角平分线的性质，依据∠A=52°，AB=AC，可求得△ABC中三个内角的度数，然后根据三角形的外角性质可求出∠BDC=∠A+∠ABD．解：∵△ABC中，AB=AC，∠A=52°，∴∠ABC=∠C=（180﹣∠A）÷2=64°；又∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=32°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=32°+52°=84°．故选A．点评：主要考查了等腰三角形的性质．解题时，需要熟知三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．14.下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（）A．任意两边之和大于第三边B．内角和等于180°C．有两个锐角的和等于90°D．有一个角的平分线垂直于这个角的对边【答案】D【解析】根据等腰三角形与直角三角形的性质作答．解：A、对于任意一个三角形都有两边之和大于第三边，不符合题意；B、对于任意一个三角形都有内角和等于180°，不符合题意；C、只有直角三角形才有两个锐角的和等于90°，不符合题意；D、等腰三角形顶角的平分线垂直于顶角的对边，而直角三角形（等腰直角三角形除外）没有任何一个角的平分线垂直于这个角的对边，符合题意．故选D．点评：本题主要考查了三角形的性质，等腰三角形与直角三角形的性质的区别．15.如图，在四边形ABCD中，△ABC与△ADC关于对角线AC对称，则以下结论正确的是（）①AC平分∠BAD②CA平分∠BCD③BD⊥AC④BE=DE．A．①②③④B．①②③C．①②D．④【答案】A【解析】根据轴对称的性质推出△ABC≌△ADC，推出∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，AD=AB，根据等腰三角形性质求出BE=DE，AE⊥BD，根据以上结论判断即可．解：∵△ABC与△ADC关于对角线AC对称，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，∴①正确；②正确；AB=AD，∴BE=DE，AE⊥BD，∴④正确；即BD⊥AC，∴③正确．故选A．点评：本题主要考查对轴对称的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能推出△ABC≌△ADC是解此题的关键．16.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，AD=8cm，BC=6cm，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）A．48B．24C．12D．6【答案】C【解析】根据等腰三角形性质求出BD=DC ，AD ⊥BC ，推出△CEF 和△BEF 关于直线AD 对称，得出S △BEF =S △CEF ，根据图中阴影部分的面积是S △ABC 求出即可．解：∵AB=AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴BD=DC=8，AD ⊥BC ， ∴△ABC 关于直线AD 对称， ∴B 、C 关于直线AD 对称， ∴△CEF 和△BEF 关于直线AD 对称， ∴S △BEF =S △CEF ，∵△ABC 的面积是×BC×AD=×8×6=24，∴图中阴影部分的面积是 S △ABC =12．故选C ．点评：本题主要考查对等腰三角形性质，三角形的面积，轴对称性质等知识点的理解和掌握，能求出图中阴影部分的面积是S △ABC 是解此题的关键．17. 已知等腰三角形的一个外角等于140°，则这个三角形的三个内角的度数分别是（ ）A ．20°、20°、140°B ．40°、40°、100°C ．70°、70°、40°D ．40°、40°、100°或70°、70°、40°【答案】D【解析】由于140°的外角不明确等腰三角形顶角和底角的外角，故应分两种情况讨论．解：（1）当40°角是顶角时，另两个底角度数为70°，70°；（2）当40°角是底角时，另两个底角度数为40°，100°．故选D ．点评：本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；等腰三角形的角度计算，要注意区别顶角，底角的不同情况，不要漏解．18. 如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为BC 上一点，且AC=CD=BD=BE ，∠A=50°，则∠CDE 的度数为（ ）A ．50°B ．51°C ．51.5°D ．52.5°【答案】D【解析】根据等腰三角形的性质推出∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB ，∠BDE=∠BED ，根据三角形的外角性质求出∠B=25°，由三角形的内角和定理求出∠BDE ，根据平角的定义即可求出选项． 解：∵AC=CD=BD=BE ，∠A=50°，∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB ，∠BDE=∠BED ，∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°， ∴∠B=25°， ∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，∴∠BDE=∠BED=（180°﹣25°）=77.5°，∴∠CDE=180°﹣∠CDA ﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°，故选D ．点评：本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．19.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交BC于D，M是BC的中点，若∠BAD=30°，则图中等于30°的角的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】本题先运用线段垂直平分线的性质得出∠BAD=∠ABD=∠C，又因为△ABC为等腰三角形可得AM⊥BC，然后证得△ADM∽△ACM，然后可求解．解：已知AB的垂直平分线交BC于D可得∠BAD=∠B=30°又因为△ABC为等腰三角形，所以∠BAD=∠ABD=∠CM为等腰三角形△ABC的中线，故AM⊥BC∴△ADM∽△ACM，∴∠DAM=∠C=30°．故选D．点评：本题先看清图中三角形的关系，再根据线段垂直平分线的性质以及等腰三角形中线的性质求解，难度一般．20.如图，AD=BC=BA，那么∠1与∠2之间的关系是（）A．∠1=2∠2B．2∠1+∠2=180°C．∠1+3∠2=180°D．3∠1﹣∠2=180°【答案】B【解析】由已知条件可得到∠2=∠B，∠1=∠BCA，在△ABC中，由∠1+∠ACB+∠B=180°，可推出结论．解：∵AB=BC，∴∠1=∠BCA，∵AB=AD，∴∠B=∠2，∵∠1+∠B+∠ACB=180°，∴2∠1+∠2=180°．故选B．点评：本题考查了对等边对等角和三角形内角和定理的应用．。
初二数学等腰三角形的性质试题答案及解析
初二数学等腰三角形的性质试题答案及解析1.如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于O点，作MN∥BC，EF∥AB，GH∥AC，BC=a，AC=b，AB=c，则△GMO的周长+△ENO的周长-△FHO的周长= .【答案】b+c-a【解析】由角平分线及平行线可得等腰三角形，进而得边长相等，再通过转化，即可得出结论．∵OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，MN∥BC，EF∥AB，GH∥AC，∴OM=BM，ON=NC，OG=AE，OE=AG，∴△GMO周长+△ENO的周长-△FHO的周长=OG+OM+GM+OE+ON+EN-OH-OF-FH=AE+EN+NC+BM+GM+AG-HC-FH-BF=b+c-a，故应填b+c-a．【考点】本题主要考查角平分线的性质，平行线的性质点评：解答本题的关键是掌握由角平分线及平行线可得等腰三角形，再通过转化求解。
2.△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．【答案】60°【解析】由AB=AC根据等边对等角可得∠B=∠C，即可得到∠A=∠B=∠C，再根据三角形的内角和180°即可求得结果。
∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠A=∠C，∴∠A=∠B=∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°，故答案为60°.【考点】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理点评：解答本题的关键是根据等边对等角得到∠A=∠B=∠C.3.如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D、E在AB上，AC=AD，BE=BC，则∠DCE等于（）A、45°B、60°C、50°D、65°【答案】A【解析】根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形内角和定理可分别表示出∠ACD，∠BCE，再根据角之间的关系，不难求得∠DCE的度数．∵AC=AD，BC=BE∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC∴∠ACD=（180°-∠A），∠BCE=（180°-∠B）∴∠DCE=∠ACD+∠BCE-∠ACB=90°-（∠A+∠B）∵∠A+∠B=90°∴∠DCE=45°故选A.【考点】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用点评：解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用。
初二数学等腰三角形试题
初二数学等腰三角形试题1.已知:如下图，P，Q是△ABC边上BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．【答案】120°【解析】根据等边三角形的性质，得∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得∠BAP=∠CAQ=30°，从而求解．【考点】此题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质点评：此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质和三角形外角的性质的理解和掌握，此题的关键是判定出△APQ为等边三角形，△ABP为等腰三角形，△AQC为等腰三角形，然后利用外角的性质即可求解．2.等腰三角形底边中点与一腰的距离为6，则腰上的高为______．【答案】12【解析】根据题意画出图形，由等腰三角形的性质即可求解．由图可知：O是△ABC底边的中点，OD⊥AC，BE是腰AC上的高，∴BE∥OD，又OD=6，可得BE=2OD=12．【考点】本题考查了等腰三角形的性质点评：正确画出图形是解答本题的关键。
3.如下图，D、E是线段BC垂直平分线上两点，连DB、DC、EB、EC，则∠DBC与∠DCB的关系是________，∠DBE与∠DCE的关系是________.【答案】相等，相等【解析】根据DE是线段BC的垂直平分线，可得BD=CD，BE=CE，根据等边对等角即可判断。
∵DE是线段BC的垂直平分线，∴BD=CD，BE=CE，∴∠DBC=∠DCB=，∠DBE=∠DCE.【考点】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质点评：解答本题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线的点到线段两端点的距离相等。
4.等腰三角形底角的外角比顶角的外角大30°，则这个三角形各内角度数是____．【答案】80°，50°，50°【解析】根据题意画出图形，再根据三角形外角的性质及三角形内角和定理列出关系式，求出各角的度数即可．如图所示：AB=AC，∠1=∠2+30°．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠1、∠2分别是△ABC的外角，∴∠1=∠B+∠BAC，∠2=∠B+∠ACB，∵∠1=∠2+30°，∴∠1-∠2=∠B+∠BAC-∠B-∠ACB=∠BAC-∠ACB=30°…①，∵∠B=∠ACB，∴∠B+∠ACB+∠A=180°，∴2∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°-2∠ACB，代入①得，180°-2∠ACB-∠ACB=30°，解得，∠ACB=50°，∴∠B=50°，∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-50°-50°=80°，∴这个三角形各个内角的度数分别是80°、50°、50°．故填80°、50°、50°．【考点】本题考查的是三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质点评：解答此题的关键是利用三角形外角的性质沟通内角与外角的关系．5.△ABC是等腰三角形，D为BC上一点，DE∥AB且交AC于E，请判断△EDC是什么三角形?并说明理由．【答案】等腰三角形【解析】由∠B=∠C，DE∥AB，利用平行线的性质，可得∠EDC＝∠B，继而可得∠EDC=∠C，即可证得△EDC是等腰三角形．∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B，∵∠B＝∠C，∴∠EDC＝∠Ｃ，∴△EDC是等腰三角形．【考点】本题考查的是等腰三角形的性质的判定，平行线的性质点评：解答本题的关键是掌握等边对等角与等角对等边定理的应用．6.等腰三角形的两边长为3和6，则这个三角形的周长为（）A．9B．12C．15D．12或15【答案】C【解析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．（1）若3为腰长，6为底边长，由于3+3=6，则三角形不存在；（2）若6为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为6+6+3=15；故选C．【考点】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系点评：题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．7.如下图，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，P是△ABC内一点，∠PCB=∠PCA，且∠PBC=∠PBA，则∠BPC度数为（）A．115°B．100°C．130°D．140°【答案】A【解析】由已知条件根据三角形的内角和定理和等边对等角的性质，求得∠ABC=∠ACB=65°，再根据∠PBC=∠PCA和三角形的内角和定理即可求解．∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ABC=∠ACB=65°．∵∠PBC=∠PCA，∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠PCA+∠PCB）=180°-∠ACB=115°．故选A．【考点】此题综合考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质点评：对相等的角进行等量代换转化为一个角是解答本题的关键．8.等边三角形两条角平分线所夹锐角的度数是（）A．120°B．150°C．60°D．90°【答案】C【解析】根据已知条件和等边三角形的性质可知：∠1=∠2=∠ABC=30°，所以∠3=∠1+∠2=60°．如图，∵等边三角形ABC中，AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角的平分线，交于点F，∴∠1=∠2=∠ABC=30°（角平分线的定义和等边三角形的性质），∴∠3=∠1+∠2=60°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．故选C．【考点】本题考查的是等边三角形的性质点评：解答本题的关键是掌握等边三角形的三角均为60°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．9.等腰三角形的两条边长分别为15cm和7cm，则它的周长为（）A．37cm B．29cm C．37cm或29cm D．无法确定【答案】A【解析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为15和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．（1）若7为腰长，15为底边长，由于，则三角形不存在；（2）若15为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为；故选A．【考点】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系点评：题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．10.△ABC中，∠ACB=90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD∶∠CAB=1∶3，则∠B等于_______度．【答案】22.5【解析】由∠BAD：∠BAC=1：3，即可设∠BAD=x°，则∠BAC=3x°，又由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可求得∠B=∠BAD=x°，又由在Rt△ABC中，∠C=90°，根据直角三角形中两锐角互余，即可得方程，解方程即可求得答案．∵∠BAD：∠BAC=1：3，设∠BAD=x°，则∠BAC=3x°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DAB=∠B=x°，∵∠C=90°，∴∠BAC+∠B=90°，∴3x+x=90，解得：x=22.5，∴∠B=22.5°．【考点】本题考查了线段垂直平分线的性质与直角三角形的性质点评：解答本题的关键是掌握好线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线的点到线段两端点的距离相等，注意数形结合思想与方程思想的应用．。
初二数学 等腰等边三角形的性质
等腰三角形 等腰三角形的性质一、学习目标1、了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质；2、会运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。
二、温故知新1、下列图形不一定是轴对称图形的是（ ） A 、圆 B 、长方形 C 、线段D 、三角形2、怎样的三角形是轴对称图形？答：3、有两边相等的三角形叫 ，相等的两边叫 ，另一边叫 两腰的夹角叫 ，腰和底边的夹角叫4、如图，在△ABC 中，AB=AC ，标出各部分名称三、自主探究 合作展示（一）操作、实践：取一等腰三角形纸片，照图折叠，找出其中重合的线段和角，填入下表：C B （C ） （1） （2） （3）【问题1】根据上表你能得出哪些结论？并将你的结论与同学交流。
【问题2】你能利用三角形全等的知识证明以上结论吗？（二）【新知应用】例1：填空：（1）如图（1）所示，根据等腰三角形性质定理在△ABC中，AB=AC时，①∵AD⊥BC，∴∠_____ = ∠_____，____= ____.②∵AD是中线，∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____.③∵AD是角平分线，∴____ ⊥____ ，_____ =_____.（2）等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.（3）等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为例2：如图（2）所示，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．分析：根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=______，∠ABC=______=______，•再由∠BDC=∠A+______，就可得到∠ABC=______=______=2______．再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC的三个内角．解：例题反思：四、双基检测1、在△ABC中，AB=AC，（1）如果∠A＝70°，则∠C＝_________，∠B＝___________（2）如果∠A＝90°，则∠B＝_________，∠C＝___________（3）如果有一个角等于120°，则其余两个角分别是多少度？（4）如果有一个角等于55°，则其余两个角分别是多少度？2、如图（3）所示，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底边BC上的高，标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数，图中有哪些相等线段？3、如图（4），在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．DC BA图（1）图（2）D CABDAB图（3）图（4）五、学习反思请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。
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１5.在△AＢC中,∠Ｃ＝90°,ＢC＝4cm,∠BAC的平分线交BC于D,且BＤ︰ＤC=5︰3,则D到AＢ的距离为_＿__＿_＿＿_____.
16.在数学活动课上,小明提出这样一个问题：∠B=∠C=９０ ，E是BC的中点，DE平分∠ADC,∠CＥD=3５ ，如图，则∠ＥＡB是多少度?大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案,是_＿_＿__.
二、解答题(共6８分)
17．(5分）如图，已知AB与ＣD相交于O,∠A＝∠D，CO＝BO，
求证: △ＡＯC≌△DＯB．
１2.如图,已知在 中， 平分 , 于 ，若 ,则 的周长为cm.
１3.地基在同一水平面上,高度相同的两幢楼上分别住着甲、乙两位同学,有一天,甲对乙说：“从我住的这幢楼的底部到你住的那幢楼的顶部的直线距离，等于从你住的那幢楼的底部到我住的这幢楼的顶部的直线距离．”你认为甲的话正确吗?答：____＿＿.
初二数学等腰三角形习题
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人教新课标八年级数学(上）自主学习达标检测（一)
班级学号姓名得分
一、填空题（每题2分，共32分）
1．如果△ＡBC和△DEF全等，△ＤEF和△ＧＨＩ全等，则△ＡＢＣ和△GHI_＿＿___全等，如果△ABC和△DＥF不全等,△DEＦ和△GHＩ全等,则△ABＣ和△GHI____＿＿全等．（填“一定”或“不一定”或“一定不”）
9.已知△DEF≌△ＡBＣ,AB=AＣ，且△ABC的周长为23cm，BＣ=4cm,则△DEＦ的边中必有一条边等于__＿＿__．
１0.如图,△AＢC中，∠C=90°,AＤ平分∠BAC，AB＝5,CD＝２,则△ABD的面积是___＿＿＿.
11．如图,直线ＡE∥BD，点C在ＢD上，若AE＝4,BD＝8，△ABＤ的面积为1６,则 的面积为______.
已知:
求证：
证明:
23.（5分）如图，△ABC中，AB=AC,∠1＝∠2,求证:AＤ平分∠BAC．
２4.（5分）如图,以等腰直角三角形ＡBC的斜边AB与边面内作等边△ＡBD,连结DC,以DC当边作等边△ＤCE，B、E在C、D的同侧，若AＢ= ，求BE的长．
２5．(6分)阅读下题及证明过程:已知:如图,D是△ABC中BＣ边上一点，E是AD上一点，EＢ=EC，∠ABE=∠ＡCＥ,求证:∠BAE=∠CAE.
6.如图,AB,CD相交于点O，AＤ=CB,请你补充一个条件,使得△AOD≌△COB．你补充的条件是______．
７.如图，△AＢC是不等边三角形,DE=BC,以D,E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△AＢC全等，这样的三角形最多可以画出＿_＿＿＿个.
8．如图４，对相等的角_＿__＿_.
2.如图,△ABC≌△AＤE,∠Ｂ＝100°，∠BAC=30°，那么∠AED＝____＿_.
3.△ABC中,∠BＡC∶∠ＡＣＢ∶∠AＢＣ=４∶3∶2,且△ＡBC≌△DＥＦ,则∠DＥF＝_＿＿_．
４．如图,已知AE∥ＢF,∠E＝∠F,要使△ADE≌△ＢCF,可添加的条件是＿＿__＿_____.
5．如图,BE,CD是△ＡBＣ的高,且BＤ＝EC,判定△ＢCD≌△CＢE的依据是“＿＿__＿_”.
八年级数学（上)自主学习达标检测(一）
一、填空题
1.一定，一定不2．50度3.40度４.AD=ＢC5．HL6.∠Ａ＝∠Ｃ7．48．∠A=∠D,∠B=∠C９.９.５或41０．5１1．8 12．1513．正确14．5,3０度１5.1．5cm 16．35度
二、解答题
17.略18．略１９．略20.在同一直线上21．略
28.(８分)如图1，以 的边AＢ、AC为边分别向外作正方形AＢＤE和正方形ACFG，连结 ,
(１)试判断 与 面积之间的关系，并说明理由．
（2）园林小路，曲径通幽,如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是 平方米，这条小路一共占地多少平方米?
2７．（7分)如图１6，把△ABC纸片沿ＤE折叠,当点A落在四边形ＢCDE内部时,
(1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；
（2）设 的度数为ｘ，∠ 的度数为 ，那么∠1,∠２的度数分别是多少？（用含有ｘ或y的代数式表示)
（３）∠A与∠1＋∠２之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．
18.(5分）如图，∠C＝∠D,CE＝DＥ.求证：∠BＡD＝∠ＡBC.
19.（５分)如图,D是△ABC的边ＡB上一点,DF交AＣ于点E,DE=ＦE,FC∥AB，
求证：AD=ＣF.
2０.（5分)如图，公园有一条“ ”字形道路 ,其中 ∥ ,在 处各有一个小石凳，且 ， 为 的中点，请问三个小石凳是否在一条直线上？说出你推断的理由.
证明：在△AEＢ和△ＡEC中，
∵EB=EＣ，∠ABE=∠ＡCＥ,ＡＥ=AＥ，
∴△AＥＢ≌△ＡＥＣ……第一步
∴∠BAE=∠CAE……第二步
问上面证明过程是否正确？若正确,请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步,并写出你认为正确的证明过程．
２6.（6分）如图所示，△ABＣ是等腰直角三角形,∠ACB＝90°,AD是ＢC边上的中线,过Ｃ作AD的垂线，交ＡB于点Ｅ，交ＡＤ于点F，求证:∠AＤC＝∠ＢＤE．
21．（5分)已知:如图1１,在Rｔ△ABC中，∠C=９0°，∠BＡＤ= ∠BAC，过点Ｄ作ＤE⊥AB，ＤE恰好是∠ＡＤＢ的平分线，求证：CD= DＢ.
22．（６分）如图，给出五个等量关系:① ② ③ ④ ⑤ .请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论(只需写出一种情况),并加以证明.
2２.情况一:已知:
求证: （或 或 )
情况二:已知：
求证: (或 或 ）
2３略２4．BＦ=ﻩ1 25.上面证明过程不正确;错在第一步。正确过程如下:在△BＥC中,∵BE=CE,∴∠EBＣ=∠EＣＢ， 又∵∠ABＥ=∠ACE,∴∠ＡＢC=∠ACB， ∴AＢ＝AC。在△AEB和△AEC中,AＥ＝AE。BE＝CＥ,AB=AC,∴△AEB≌△AＥC，∠BAE=∠CAE。２6.略27．（1）△ＡDE≌△Ａ′ＤE，∠ADE=∠A′DE,∠ＡEＤ＝∠A′ＥD，∠A=∠Ａ′;(2） ;（3)2∠A=∠1+∠２２８．(1) 与 面积相等（证等底等高)；（2)由(1)知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和，所以这条小路的面积为 平方米.