高等数学(第43-44课)强化
大学数学强化提升课教案
课程名称：高等数学授课班级：XX级XX班授课时间：每周二第5节授课教师：[教师姓名]教学目标：1. 通过本课程的学习，使学生熟练掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法。
2. 培养学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
3. 提高学生的数学素养，为后续专业课程学习打下坚实基础。
教学内容：1. 微积分基本概念与性质2. 多元函数微分学3. 多元函数积分学4. 线性代数基本概念与性质5. 线性方程组与矩阵6. 特征值与特征向量7. 傅里叶变换与拉普拉斯变换8. 微分方程与差分方程教学过程：一、导入1. 回顾中学数学知识，激发学生对高等数学的兴趣。
2. 引导学生思考高等数学在实际问题中的应用。
二、教学环节1. 微积分基本概念与性质- 介绍极限、导数、积分的基本概念和性质。
- 通过实例讲解极限、导数、积分的应用。
2. 多元函数微分学- 介绍多元函数偏导数、全微分、方向导数等概念。
- 讲解多元函数的极值、条件极值问题。
3. 多元函数积分学- 介绍二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分等概念。
- 讲解多元函数积分的计算方法。
4. 线性代数基本概念与性质- 介绍向量、矩阵、行列式等基本概念。
- 讲解线性方程组、矩阵的秩、逆矩阵等概念。
5. 特征值与特征向量- 介绍特征值、特征向量的概念。
- 讲解特征值、特征向量的计算方法。
6. 傅里叶变换与拉普拉斯变换- 介绍傅里叶变换、拉普拉斯变换的基本概念。
- 讲解傅里叶变换、拉普拉斯变换的应用。
7. 微分方程与差分方程- 介绍微分方程、差分方程的基本概念。
- 讲解微分方程、差分方程的解法。
三、课堂练习1. 每节课结束后，布置适量的课后练习题，巩固所学知识。
2. 定期组织课堂讨论，引导学生积极思考、交流。
四、教学评价1. 通过课堂提问、课后作业、期中考试、期末考试等方式，评价学生的学习成果。
2. 针对学生的学习情况，及时调整教学策略，提高教学效果。
教学总结：本课程通过系统讲解高等数学的基本概念、基本理论和基本方法，使学生掌握高等数学的核心知识，提高学生的数学素养。
09考研高等数学强化讲义(第四章)全
新东方考研高等数学电子教材主讲：汪诚义欢迎使用新东方在线电子教材教材说明：本教案是针对新东方在线使用的内部讲义，本讲义按章节提供。
根据老师的意见，例题的解题步骤不给提供，在课件的板书上有显示，学员自己可以先做题目再听 老师的讲解效果会更好。
严禁翻印、在网上任意传播！第四章 常微分方程§4．1 基本概念和一阶微分方程（甲）内容要点一、基本概念1．常微分方程和阶 2．解、通解和特解 3．初始条件4．齐次线性方程和非齐次线性方程例1．x y e xy y xsin '3''=++为二阶、线性、非齐次方程，如果要求0)0(',1)0(==y y ，这就是初始条件，从而得到特解。
例2．xe y y yy =++sin )'(''2为二阶非线性方程二、变量可分离方程及其推广 1．()()()()0≠=y Q y Q x p dxdyC dx x p y Q dy+=⎰⎰)()(2．齐次方程：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy 令,u x y =则,,dx du x u dx dy xu y +==代入后得 )(u f dxdu x u =+，则C x C xdxu u f du +=+=-⎰⎰ln )(三、一阶线性方程及其推广 1．()()x Q y x P dxdy=+ 通解])([)()(C dx e x Q e y dxx p dx x p +⎰⎰=⎰- 2．()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy（数学三不考，数一、二要考） )()(1x Q y x P dxdy y =+--αα )()(1111x Q y x P dxdy =+---ααα令z y=-α1 则为一阶线性方程四、全微分方程及其推广（数学一） 1．()()0,,=+dy y x Q dx y x P ，满足yPx Q ∂∂=∂∂ 2．()()0,,=+dy y x Q dx y x P ，y P x Q ∂∂≠∂∂但存在()y x R ,，使()()yRP x RQ ∂∂=∂∂五、差分方程（数学三）（乙）典型例题例1．求dxdyxy dx dy xy =+22的通解。
10考研高等数学强化讲义(第三章)全
第三章 一元函数积分学§3. 1 不定积分（甲）内容要点一、基本概念与性质1．原函数与不定积分的概念设函数()x f 和()x F 在区间I 上有定义，若()()x f x F ='在区间I 上成立。
则称()x F 为()x f 在区间I 的原函数，()x f 在区间I 中的全体原函数成为()x f 在区间I 的不定积分，记为()⎰dx x f 。
原函数：()()⎰+=C x F dx x f其中⎰称为积分号，x 称为积分变量，()x f 称为被积分函数，()dx x f 称为被积表达式。
2．不定积分的性质 设()()⎰+=C x F dx x f ，其中()x F 为()x f 的一个原函数，C 为任意常数。
则（1）()()⎰+='C x F dx x F 或()()⎰+=C x F x dF 或⎰+=+C x F C x F d )(])([ （2）()[]()x f dx x f ='⎰或()[]()dx x f dx x f d =⎰（3）()()⎰⎰=dx x f k dx x kf （4）()()[]()()⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f3．原函数的存在性一个函数如果在某一点有导数，称为可导；一个函数有不定积分，称为可积。
原函数存在的条件：比连续要求低，连续一定有原函数，不连续有时也有原函数。
可导要求比连续高。
⎰-dx ex这个不定积分一般称为积不出来，但它的积分存在，只是这个函数的积分不能用初等函数表示出来设()x f 在区间I 上连续，则()x f 在区间I 上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数，例如()⎰dx x 2sin ，()⎰dx x 2cos ，⎰dx x x sin ，⎰dx x x cos ，⎰x dx ln ，⎰-dxe x 2等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。
关于在高等数学教学中渗透思政元素的一点思考
进 ，就会距离梦想越来越近。
2.3.3 函数的连续性——欲速则不达
在 学 习 函 数 的 连 续 性 时 ，首 先 利 用 定 义 中 的 表 达 式 △lxim→ a Δy = 0 ，用直观的语言解释连续的本质特征 ：若自变 量改变很微小 ，则函数值的变化也很微小。进而延伸到生
活实际 ，引导学生去发现自然界中的连续变化现象 ，如人的
DOI：10.16871/ki.kjwhc.2021.06.024
摘 要 把思想政治工作贯穿教育教学全过程是当下高等 院校教学改革的一个重要目标。高等数学作为面向大一新 生开设的一门课程，对于引导学生树立正确“三观”和高尚 道德情操起着重要作用。但高等数学课程内容高度的抽象 性和理论性，对在教学中挖掘和运用思政元素提出了很大 的挑战。该文从四个方面分析和探讨如何在高等数学教学 中融入思政教育元素。 关键词 高等数学；教学改革；思政元素 Some Thoughts on Infiltrating Ideological and Political El⁃ ements in Higher Mathematical Teaching // WANG Yan‐ gling Abstract It is an important goal of current teaching reform in colleges and universities to put ideological and political educa‐ tion through the whole process of teaching. Higher mathematics as a course for freshmen plays an important role in guiding stu‐ dents to establish correct“three views”and noble moral feeling. However, how to excavate and use its ideological and political elements in teaching is also facing a greater challenge, due to its high abstract and theoretical content. This paper will analyze and discuss how to integrate the elements of ideological and political education into higher mathematics teaching from four aspects. Key words higher mathematics;reform in education;ideological and political elements
数学强化每章总结知识点
数学强化每章总结知识点第一章：代数代数是数学的一个重要分支，主要研究数的计算、数与数量关系的表示和运算等。
代数包括整式、方程、不等式等内容。
在代数这一章中，学生将学习整式的加减乘除、因式分解、方程的解法等知识。
这些知识是数学学习的基础，对于理解后续更加复杂的数学知识和问题解决具有重要意义。
1.1 整式整式是由常数和变量经过有限次的加减乘除和乘方运算得到的代数式，整式分为单项式和多项式两种。
学生需要掌握整式的加减乘除运算法则，以及整式的化简和合并同类项的方法。
1.2 因式分解因式分解是将一个多项式分解成若干个不可约的因式的乘积，可以应用在解方程、求导等各种数学问题中。
因式分解的方法有公因式提取法、配方法、分组分解法等，学生需要熟练掌握这些方法。
1.3 方程的解法方程是含有未知数的等式，在数学应用中具有广泛的意义。
方程的解法包括一元一次方程的解法、二元一次方程的解法、一元二次方程的解法等。
学生需要掌握每种类型方程的解法，并能够应用到实际问题中解决。
第二章：几何几何是研究空间形状和大小、位置关系以及变换规律的数学学科。
在几何这一章中，学生将学习到点、直线、平面、多边形、圆等图形的性质，以及图形的面积、周长、体积等相关知识。
2.1 点、线、面点是几何的基本对象，线和面是由点构成的。
学生需要理解点、线、面的概念和性质，以及它们在平面和空间中的表示方法。
2.2 多边形和圆多边形是由若干条线段首尾相接构成的图形，圆是平面上所有到圆心距离相等的点的集合。
学生需要掌握多边形和圆的性质，以及它们的相关计算方法。
2.3 面积和周长面积和周长是几何图形的重要特征，求解面积和周长是解决实际问题的基础。
学生需要掌握各种常见几何图形的面积和周长的计算方法，以及应用到不同问题中的技巧。
2.4 体积和表面积体积和表面积是三维图形的重要特征，求解体积和表面积同样是解决实际问题的基础。
学生需要熟练掌握各种常见三维图形的体积和表面积的计算方法，并能够应用到各种问题中解决。
最新-2021学年高中数学人教B版 选修44课件：第1章 11 直角坐标系平面上的伸缩变换 精品
＝x2＋(y－ 23a)2＋(x＋a2)2＋y2＋(x－a2)2＋y2 ＝3x2＋3y2－ 3ay＋54a2＝3x2＋3(y－ 63a)2＋a2≥a2，
当且仅当
x＝0，y＝
3 6a
时，等号成立，
∴所求最小值为 a2，此时 P 点坐标为 P(0， 63a)是正△ABC 的中心.
类型二 用坐标法解决实际问题 我国海军第五批护航编队由“广州”号导弹驱逐舰，“微山湖”号
3.将点 P(－2,2)变换为点 Q(－6,1)的伸缩变换公式为( ) 【导学号：62790000】
A.X＝13x Y＝2y
B.X＝12x Y＝3y
X＝3x C.Y＝12y
X＝3x D.Y＝2y
【解析】 将XY＝＝1－6 与yx＝＝2－2 代入到公式
φ：XY＝＝bayx
中，有－ 1＝6＝ b·2a，·－2，
【尝试解答】 (1)设点 A′(X，Y). 由伸缩变换 φ：X2Y＝＝3yx
X＝3x， 得到Y＝12y. 又已知点 A(13，－2). 于是 X＝3×13＝1，Y＝12×(－2)＝－1. ∴变换后点 A′的坐标为(1，－1).
(2)设曲线 C′上任意一点 Q(X，Y)，
将x＝13X y＝2Y
代入 x2－6y42 ＝1，得X92－46Y42＝1，
[思考·探究] 1.如何根据几何图形的几何特征建立恰当的坐标系？
【提示】 ①如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；②如果 图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；③若题目有已知长度的线段，以线段 所在的直线为 x 轴，以端点或中点为原点.
建系原则：使几何图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上.
2.如何理解点的坐标的伸缩变换？
【解】 设曲线 C 上任意一点 M(x，y)，经过变换后对应点 M′(X，Y).
高等数学第二章课后习题答案
第二章 导数与微分1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设200200(1)(1)10(1)10'(1)lim lim1020lim lim(1020)20x x x x f x f x f x xx x x x∆→∆→∆→∆→-+∆--∆---==∆∆∆-∆==∆-=-∆2. 下列各题中均假定()0x f '存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表示什么, 并将答案填在括号内。
⑴ ()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim（0'()f x -）； ⑵ ()=→∆xx f x 0lim （'(0)f ）， 其中()()存在；且0,00f f '= ⑶ ()()=--+→hh x f h x f h 000lim（02'()f x ）.3. 求下列函数的导数：⑴ ='=y x y ,4则34x ⑵ ='=y x y ,32则1323x -⑶ ='=y xy ,1则3212x -- ⑷ ='=y x x y ,53则115165x 4． 求曲线. 21,3 cos 程处的切线方程和法线方上点⎪⎭⎫⎝⎛=πx y'sin ,'()32y x y π=-=-所以切线方程为1()223y x π-=--2(1)03y +-+=班级 姓名学号法线方程为1)23y x π-=-化简得3)0x π+-= 5. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0 001sin 2x x xx y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)01lim sin 0(0)()x f x f x→===因为有界量乘以无穷小 所以函数在0x =处连续因为 20001s i n(0)(0)1l i m l i m l i ms i n 0x x x x f x f x x x xx∆→∆→∆→∆+∆-==∆=∆∆∆ 所以函数在0x =处可导.6. 已知()()()()是否存在？又及求 0 ,0 0 ,0 2f f f x x x x x f '''⎩⎨⎧<-≥=-+ 2'00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f hh +→+→++-==='00(0)(0)(0)limlim 1h h f h f hf hh -→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠ '(0)f ∴不存在7. ()(). , 0 0sin x f x x x x x f '⎩⎨⎧≥<=求已知当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==;班级 姓名学号当0x =时'00(0)(0)(0)limlim 1h h f h f hf hh +→→+-===＋＋ '00(0)(0)sin (0)limlim 1h h f h f h f h h-→-→+-===－ '(0)1f ∴=综上，cos ,0'()1,0x x f x x <⎧=⎨≥⎩8. 求下列函数的导数：（1）;54323-+-=x x x y （2）;1227445+-+=x xx y 2222222232242222csc cot (1)2csc 2'(1)2(1)csc cot 4csc (1)23(3)(3ln )(2ln )(2)'(3ln )(94)ln 32(3ln )x x x x xy x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x -+-=+-+-=+++-++=+-+-+=+ 2'364y x x =-+652'20282y x x x ---=--+ （3）;3253xx e x y +-= （4）;1sec tan 2-+=x x y2'152ln 23x x y x e =-+ 2'2s e c s e c t a ny x x x =+班级 姓名学号（5）;log 3lg 2ln 2x x x y +-= （6）()();7432x x y -+=123'ln10ln 2y x x x =-+ '422y x =--（7）;ln x xy =（8）;cos ln 2x x x y = 21ln 'x xx y x-= 221'2ln cos cos ln sin y x x x x x x x x x =+- 21ln x x-= 22l n c o s c o s l n s i n x x x x x x x x =+- （9）;1csc 22xxy +=2222csc cot (1)2csc 2'(1)x x x x xy x -+-=+ 2222(1)csc cot 4csc (1)x x x x xx -+-=+ （10）.ln 3ln 223x x x x y ++=2232223(3)(3ln )(2ln )(2)'(3ln )x x x x x x x x y x x ++-++=+ 4222(94)ln 32(3ln )x x x x x xx x -+-+=+ 9. 已知. ,cos 21sin 4πϕϕρϕϕϕρ=+=d d 求因为1s i n c o s s i n2d d ρϕϕϕϕϕ=+-班级 姓名学号所以4222422284d d πϕρπϕ==+-=+10. .1轴交点处的切线方程与写出曲线x xx y -= 令0y =，得11x x ==-或 因为2'1y x -=+， 所以 11'2,'2x x y y ==-==曲线在(1,0)处的切线方程为2(1)y x =-，即220x y --=； 曲线在(1,0)-处的切线方程为2(1)y x =+，即220x y -+=。
武忠祥高等数学强化课教材
武忠祥高等数学强化课教材《武忠祥高等数学强化课教材》正文：封面上方：武忠祥高等数学强化课教材封面下方：作者：***第一页（空白页）目录：1. 强化课简介2. 前言3. 第一章极限与连续3.1 极限的引入3.2 极限的性质3.3 无穷小量与无穷大量...4. 第二章微分与导数4.1 导数的定义4.2 基本导数公式4.3 高阶导数与高阶导数公式...5. 第三章积分与定积分5.1 积分的引入5.2 不定积分与定积分的概念和性质 ...6. 第四章微分方程6.1 一阶微分方程及其解法...7. 第五章无穷级数...8. 第六章空间解析几何和变量变线 ...9. 第七章多元函数及其应用...（以此类推，列出所有章节和小节）（在每个小节的开头，以一段话简短介绍该小节的主要内容，例如：）3. 第一章极限与连续3.1 极限的引入极限是高等数学中的重要概念之一，它在揭示函数性质和计算中有着广泛的应用。
本节将引入极限的概念，从数列极限和函数极限两个方面进行详细讲解，帮助学生全面理解极限的概念及其特性。
（在每个小节的结尾，以一段话总结该小节的重点内容，例如：）4. 第二章微分与导数4.1 导数的定义导数作为微积分的核心概念，具有重要的几何和物理意义。
本节详细介绍导数的定义及其几何意义，并通过大量的例题演示导数的计算方法，帮助学生掌握导数的概念与计算技巧。
（在每个章节的结尾，以一段话概括该章节的主要内容，例如：）第三章积分与定积分本章主要介绍积分与定积分的概念、计算方法和应用。
通过对不定积分与定积分的详细讲解，以及一些典型应用问题的实例分析，使学生理解积分的几何意义和应用背景，掌握定积分的计算技巧。
结尾（空白页）。