D1习题课—高数高等数学课件PPT
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《高数复习》课件
3 掌握解题技巧
学习一些常用的解题技巧，如应用合适的代数运算、化简复杂表达式等，以解决更具挑 战的数学问题。
典型例题讲解
极限
通过解析典型的极限题目，了解 极限的计算方法和性质，增加对 极限概念的理解和应用能力。
积分
通过讲解经典的积分题目，提供 不同的积分计算方法和技巧，帮 助学生掌握积分的运算。
微分方程
总结和答疑
课程总结
对本次复习课程进行总结，强调重点内容和易错题，以及给出备考建议和考试注意事项。
答疑时间
为学生提供答疑时间，回答学生在课程中遇到的问题，并提供进一步的辅导和指导。
《高数复习》PPT课件
高数复习的目的是帮助学生系统地回顾高等数学知识，并为即将到来的考试 做准备。这份PPT将覆盖复习的重点、解题技巧和例题讲解等内容。
适用于谁？
大学生及相关专业学生
此PPT适用于正在学习高等数 学以及相关专业的大学生， 可以帮助他们等数学考试的人 士
若你正在准备高等数学考试， 这份PPT可以帮助你复习重点 内容，提供解题技巧，以增 加你的考试得分。
对高等数学感兴趣的人
即使你不是学习高等数学的 学生，但对于数学有兴趣， 这个PPT也可帮助你理解高等 数学中的概念与公式。
复习重点：概念和公式
1
重要概念
回顾高等数学中的重要概念，如导数、积分、微分方程等，深入理解它们的含义和应用。
通过解决各类型微分方程问题， 加深对微分方程理论和解题方法 的理解和掌握。
习题讲解和练习
1
习题讲解
解析习题中可能遇到的难点，探讨解题
自我练习
2
思路和方法，并解答学生在习题中遇到 的疑问。
为学生提供一些练习题，供学生在课后
学习一些常用的解题技巧，如应用合适的代数运算、化简复杂表达式等，以解决更具挑 战的数学问题。
典型例题讲解
极限
通过解析典型的极限题目，了解 极限的计算方法和性质，增加对 极限概念的理解和应用能力。
积分
通过讲解经典的积分题目，提供 不同的积分计算方法和技巧，帮 助学生掌握积分的运算。
微分方程
总结和答疑
课程总结
对本次复习课程进行总结，强调重点内容和易错题，以及给出备考建议和考试注意事项。
答疑时间
为学生提供答疑时间，回答学生在课程中遇到的问题，并提供进一步的辅导和指导。
《高数复习》PPT课件
高数复习的目的是帮助学生系统地回顾高等数学知识，并为即将到来的考试 做准备。这份PPT将覆盖复习的重点、解题技巧和例题讲解等内容。
适用于谁？
大学生及相关专业学生
此PPT适用于正在学习高等数 学以及相关专业的大学生， 可以帮助他们等数学考试的人 士
若你正在准备高等数学考试， 这份PPT可以帮助你复习重点 内容，提供解题技巧，以增 加你的考试得分。
对高等数学感兴趣的人
即使你不是学习高等数学的 学生，但对于数学有兴趣， 这个PPT也可帮助你理解高等 数学中的概念与公式。
复习重点：概念和公式
1
重要概念
回顾高等数学中的重要概念，如导数、积分、微分方程等，深入理解它们的含义和应用。
通过解决各类型微分方程问题， 加深对微分方程理论和解题方法 的理解和掌握。
习题讲解和练习
1
习题讲解
解析习题中可能遇到的难点，探讨解题
自我练习
2
思路和方法，并解答学生在习题中遇到 的疑问。
为学生提供一些练习题，供学生在课后
高等数学习题课.ppt
n1
n u 其中第 项 n 叫做级数的一般项．
我们要特别指出：上述级数的定义只是一个形式上的定义。
怎样理解无穷级数中无穷多个数量相加呢？联系上面关于计算圆的
面积的例子，我们可以从有限项的和出发，观察它们的变化趋势，
由此来理解无穷多个数量相加的含义．
2019-11-27
感谢你的阅读
7
我们把级数(1)的前 n 项的和
概念．
s 定义2
如果级数
n1
u
n的部分和数列
lim
n
sn
s,
{s
n
}
有极限，即
则称无穷级数收敛，这时极限 叫做该级数的和，并写成
s un u1 u2 un ;
n1
{s } 如果部分和数列 2019-11-27
n
没有极限，则称无穷级数 un 发散．
xi xi1
,
max
1in
xi
,
则有
n
n
A ΔAi f (i )Δxi ,
i 1
i 1
oa
y f (x)
x xi1 i
-11-27
0 i1
f (i ) Δxi
感谢你的阅读 a
f (x)dx.
4
又如，我国古代数学家刘徽所提出的“割圆术”，即计算圆的面积
n0
q 叫做几何级数(又称为等比级数)，其中 a 0， 叫做级数的公比．
试讨论级数(3)的收敛性．
解 如果 q 1，则根据等比数列前 n 求和公式，得
sn
a
aq
aqn1
《高数基础知识》课件
05
CHAPTER
空间解析几何
空间直角坐标系是描述空。
空间直角坐标系
在空间直角坐标系中，点的位置可以用三个坐标来表示，这三个坐标分别对应于三个坐标轴。
点的坐标表示
在空间解析几何中，向量可以用三个坐标来表示，这三个坐标分别对应于三个坐标轴上的分量。
平面与直线的交点
如果一条直线和一个平面相交，那么它们的交点可以用直线和平面的方程联立求解得到。
平面与平面的交线
如果两个平面相交，那么它们的交线可以用两个平面的方程联立求解得到。
06
CHAPTER
多项式函数与插值法
多项式的定义
多项式是数学中一个基本概念，由一个或多个项通过加法或减法组合而成。
多项式的根
总结词
详细描述
总结词
掌握极限的四则运算法则，理解极限运算的基本方法
详细描述
极限的四则运算法则包括加减乘除和复合运算，是研究函数极限行为的基础。极限运算的基本方法包括利用极限的四则运算法则、等价无穷小替换、洛必达法则等，这些方法可以帮助我们求解各种极限问题，并进一步研究函数的性质和变化规律。
03
CHAPTER
样条插值法的应用
THANKS
感谢您的观看。
详细描述
总结词
高数的发展历程
详细描述
高数的发展可以追溯到17世纪，随着微积分学的发展，高数逐渐形成并完善。在18世纪和19世纪，高数的发展取得了巨大的进步，许多数学家如欧拉、高斯等都为高数的发展做出了杰出的贡献。
总结词
高数在日常生活和科学中的应用
详细描述
高数在日常生活和科学中有着广泛的应用。例如，在物理学中，高数被用于描述和解决力学、电磁学、光学等领域的问题；在经济学中，高数被用于研究金融、投资、贸易等问题；在工程学中，高数被用于设计、分析、优化各种系统和结构。
CHAPTER
空间解析几何
空间直角坐标系是描述空。
空间直角坐标系
在空间直角坐标系中，点的位置可以用三个坐标来表示，这三个坐标分别对应于三个坐标轴。
点的坐标表示
在空间解析几何中，向量可以用三个坐标来表示，这三个坐标分别对应于三个坐标轴上的分量。
平面与直线的交点
如果一条直线和一个平面相交，那么它们的交点可以用直线和平面的方程联立求解得到。
平面与平面的交线
如果两个平面相交，那么它们的交线可以用两个平面的方程联立求解得到。
06
CHAPTER
多项式函数与插值法
多项式的定义
多项式是数学中一个基本概念，由一个或多个项通过加法或减法组合而成。
多项式的根
总结词
详细描述
总结词
掌握极限的四则运算法则，理解极限运算的基本方法
详细描述
极限的四则运算法则包括加减乘除和复合运算，是研究函数极限行为的基础。极限运算的基本方法包括利用极限的四则运算法则、等价无穷小替换、洛必达法则等，这些方法可以帮助我们求解各种极限问题，并进一步研究函数的性质和变化规律。
03
CHAPTER
样条插值法的应用
THANKS
感谢您的观看。
详细描述
总结词
高数的发展历程
详细描述
高数的发展可以追溯到17世纪，随着微积分学的发展，高数逐渐形成并完善。在18世纪和19世纪，高数的发展取得了巨大的进步，许多数学家如欧拉、高斯等都为高数的发展做出了杰出的贡献。
总结词
高数在日常生活和科学中的应用
详细描述
高数在日常生活和科学中有着广泛的应用。例如，在物理学中，高数被用于描述和解决力学、电磁学、光学等领域的问题；在经济学中，高数被用于研究金融、投资、贸易等问题；在工程学中，高数被用于设计、分析、优化各种系统和结构。
高等数学完整版详细 ppt课件
h
lim f(0h)f(0)lim h 1,
h 0
h
h h 0
y y x
o
x
f(0h )f(0 ) h
lim
lim1.
h 0
h
h h 0
即 f (0 )f (0 ), 函y数 f(x)在 x0点不 . 可
四、导数的几何意义
y
f (x0 )表示曲线y f (x) 在点M(x0, f (x0 ))处的 切线的斜率,即
4
4
2. 2
例3 求函 yx数 n(n为正 )的 整导 .数数
解 (xn)lim (xh)nxn
h 0
h
li[n m n 1 x n (n 1 )x n 2 h h n 1 ]nxn1
h 0
2 !
即(xn)nn x 1.
更一般地 (x ) x 1 . ( R )
例如,
y x
f(x0)
0( x 0 ) y f(x 0 ) x x
l x 0 i y m l x 0 i [ f m ( x 0 ) x x ] 0
函f(数 x )在x 0连 点 . 续
注意: 该定理的逆定理不成立.
★ 连续函数不存在导数举例
1. 函 数 f(x)连 续 ,若f(x0)f(x0)则 称x0点 为函f(数 x)的角,函 点数在角点 . 不
xx0
切线 MT的斜率为 ktan lim f(x)f(x0). x x0 xx0
二、导数的定义
定义 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量 x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
高等数学课件--D1习题课
取 则
f ( x) M1 ,
x [ X , X ]
y M 1 f (x)
A
X O
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M max A , A , M1 f ( x) M , x ( , )
2012-10-12 高等数学课件
X
返回 结束
x
例5. 设 f (x) 在 对任意的
提示:
x0
lim f ( x x) lim [ f ( x) f (x)]
x0
f ( x) f (0) f ( x 0) f (x)
阅读与练习 P65 题 1 , 3(2) ;
2012-10-12
P74 题 *6
高等数学课件
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P74 题*6. 证明: 若 f (x) 在 ( , ) 内连续, lim f ( x)
(a x)
2
相同
0 , (3) f ( x) x , x0 与 ( x) f [ f ( x)] x0
相同
2012-10-12 高等数学课件
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2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么?
(1) y 1 sin x 1
不是 是
lim
t 0
2 t (t 2 ) lim πt t 0 π
2012-10-12
高等数学课件
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(3) lim
x 0
1 x 1 x
cot x lim (1 2 x ) cot x
x 0
1 x
1
ln (1
2x ) 1 x
完整高数课件一ppt
y
y f (x)
f (x1)
f (x2 )
o
x
I
3．函数的奇偶性:
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为偶函数 ;
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o
x
x
偶函数
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为奇函数 ;
( x), ( x) 1
10 当( x) 1时,
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x 2 1 1,
x 1; 0 x 2;
20 当( x) 1时,
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x 2 1 1,
综上所述
f
(t)
__________ ,
f (t 2 1) __________.
2、若(t )
1,
x
3
sin x , x
,
3
则( ) =_________，( ) =_________.
6
3
3、不等式 x 5 1的区间表示法是_________.
4、设 y x 2 ,要使 x U ( 0, )时， y U ( 0,2) ,
a
a
a x
点a的去心的邻域,
记作
U
0
(a
).
U (a) { x 0 x a }.
4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
y f (x)
f (x1)
f (x2 )
o
x
I
3．函数的奇偶性:
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为偶函数 ;
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o
x
x
偶函数
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为奇函数 ;
( x), ( x) 1
10 当( x) 1时,
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x 2 1 1,
x 1; 0 x 2;
20 当( x) 1时,
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x 2 1 1,
综上所述
f
(t)
__________ ,
f (t 2 1) __________.
2、若(t )
1,
x
3
sin x , x
,
3
则( ) =_________，( ) =_________.
6
3
3、不等式 x 5 1的区间表示法是_________.
4、设 y x 2 ,要使 x U ( 0, )时， y U ( 0,2) ,
a
a
a x
点a的去心的邻域,
记作
U
0
(a
).
U (a) { x 0 x a }.
4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
高等数学课件完整
要点二
二重积分的性质
二重积分具有一些基本性质，如线性性、可加性、保号性 等。这些性质在求解二重积分时非常有用。
07 无穷级数
常数项级数的概念与性质
常数项级数的定义
由一系列常数按照一定顺序排列并加上正负号组 成的无穷序列。
收敛与发散
常数项级数可能收敛于一个有限值，也可能发散 至无穷大或不存在。
级数的基本性质
特点
高等数学具有抽象性、严谨性和 应用广泛性等特点，需要学生具 备较强的逻辑思维能力和数学基 础。
高等数学的重要性
培养逻辑思维能力
高等数学的学习有助于培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学 素养和解决问题的能力。
为后续课程打下基础
高等数学是许多后续课程的基础，如物理学、工程学、经济学等， 掌握高等数学有助于学生更好地理解和应用这些学科的知识。
不定积分的性质
不定积分具有线性性、 可加性、常数倍性等基 本性质，这些性质在求 解积分时非常有用。
基本积分公式
掌握基本积分公式是求 解不定积分的基础，如 幂函数、指数函数、三 角函数等的基本积分公 式。
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分学中的另一个重 要概念，它表示函数在某个区
间上的积分值。定积分记为 ∫[a,b]f(x)dx，其中a和b是积
函数的性质
函数具有有界性、单调性、奇偶性、周 期性等重要性质，这些性质对于研究函 数的图像和变化规律具有重要意义。
极限的概念与性质
1 2 3
极限的定义
极限是描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势 的重要工具，它可以通过不同的方式定义，如数 列极限、函数极限等。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保号性、四则运算法 则等重要性质，这些性质对于求解极限问题和证 明极限定理具有重要作用。
高等数学第三版第一章课件(每页16张幻灯片)
第一章 函数与极限§1 函数 §2 初等函数 §3 数列的极限 §4 函数的极限 §5 无穷小与无穷大 §6 极限运算法则 §7 极限存在准则 两个重要极限 §8 无穷小的比较 §9 函数的连续性与间断 §10连续函数的运算与性质第一节 函数一、实数与区间 二、领域 三、函数的概念 四、函数的特性一、实数与区间1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.∀ a , b ∈ , 且a < b.a∈ M, a∉ M, A = { a1 , a 2 , , a n }有限集{ x a < x < b} 称为开区间, 记作 (a , b )o a x b { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间, 记作 [a , b] o aM = { x x所具有的特征 } 无限集数集分类: N----自然数集 Q----有理数集 数集间的关系: Z----整数集 R----实数集N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R.bx{ x a ≤ x < b} 称为半开区间, 记作 [a , b ) { x a < x ≤ b} 称为半开区间, 记作 (a , b] [a ,+∞ ) = { x a ≤ x } ( −∞ , b ) = { x x < b}o a o x x二、邻域有限区间常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母 a, b, c 等表示常量, 用字母 x, y, t 等表示变量. 例三、函数的概念圆内接正多边形的周长设a与δ是两个实数 , 且δ > 0.数集{ x x − a < δ }称为点 a的δ邻域 ,点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .b ( −∞ , +∞ ) = { x −∞ < x < +∞ } =U δ (a ) = { x a − δ < x < a + δ }. δ δ无限区间区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.a a−δ a+δ o x 点a的去心δ 邻域 , 记作U δ0 (a ), 或 U (a , δ ).π S n = 2 nr sin n n = 3 ,4 ,5 ,S3S4S5圆内接正n 边形S6Oπ nr)Uδ (a ) = { x 0 < x − a < δ }.o定义:设 x 和 y 是两个变量, D 是给定的数集，如果对于每个数 x ∈ D , 变量 y 按照一定法则总函数的两要素: 定义域与对应法则.有唯一的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数， 记作因变量x ((D对应法则fx0 )f ( x0 )y = f ( x)自变量数集D叫做这个函数的定义域 自变量Wy)因变量看右图： 如果自变量在定义域 内任取一个数值时，对应 的函数值总是只有一个， 这种函数叫做单值函数， 否则叫做多值函数．y分段函数：在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的Wy⋅ ( x, y)x式子来表示的函数。
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(1) y 1 sin x 1
不是
(2)
y max sin x , cos x ,
x
[
0,
π 2
]
是
(3) y arcsin u , u 2 x2 不是
cos x , 提示: (2) y
sin x ,
0
x
π 4
π 4
x
π 2
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3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ?
lim ex b x0 (x a)(x 1)
lim
x0
(
x
a)( ex
x b
1)
a 1b
0
a 0,b1
为可去间断点 , lim ex b 极限存在 x1 x (x 1)
lim(ex b) 0
x1
b limex e
x1
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例4. 设 f (x) 定义在区间
y1 ⑷
Ox
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4. 设 f (x) ex2 , f [(x)] 1 x , 且(x) 0, 求 (x)
及其定义域 .
5.
已知
f
(x)
x f
3, [ f (x
5)],
x8 x8
, 求 f (5) .
6. 设 f (sin x 1 ) csc2 x cos2 x , 求 f (x). sin x
(1) f (x) cos(2 arccos x) 与(x) 2x2 1, x [1,1]
相同
(2)
f
(
x)
ax
, ,
x x
a a
与 ( x)
1
2
a
x
(a x)2
相同
(3)
f
(x)
x0
, ,
x0 x0
与 (x) f [ f (x)]
相同
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2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么?
上 , 且对任意实数
, 若 f (x) 在
连续,
证明 f (x) 对一切 x 都连续 .
提示:
lim f (x x) lim [ f (x) f (x)]
x0
x0
f (x) f (0)
阅读与练习
f (x 0) f (x)
P65 题 1 , 3(2) ; P74 题 *6
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即
故由零点定理知 , 存在
使
即
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例6. 设 f (x) 在
上连续, 且 a c d b , 证明:
必有一点
P74 题*6. 证明: 若 f (x) 在 ( , )内连续, lim f (x)
x
存在, 则 f (x) 必在 ( , )内有界.
证: 令lim f (x) A, 则给定 0, X 0,当 x X
x
时, 有
A f (x) A
又 f (x) C [X , X ] , 根据有界性定理, M1 0 , 使
设函数
为单射, 反函数为其逆映射
f 1 : f (D) D
4. 复合函数
给定函数链 f g
则复合函数为 f g : D f [g(D) ]
5. 初等函数 有限个常数及基本初等函数 经有限次四则运算与
复合而成的一个表达式的函数.
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思考与练习
1. 下列各组函数是否相同 ? 为什么?
取
f (x) M1 , x [X , X ]
y M1 f (x)
M max A , A , M1
A
则
f (x) M , x ( , )
X O X x
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例5. 设 f (x) 在
对任意的
使
上连续 , 且恒为正 , 证明: 必存在一点
证: 令
,则
f (x1) f (x2 ) [ f (x1) f (x2 )]2 0
0, 0, 当 x x0 时, 有
f (x) f (x0 )
2. 函数间断点
第一类间断点 第二类间断点
可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点
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3. 闭区间上连续函数的性质 有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .
例2. 设函数
在 x = 0 连续 , 则 a = 2 , b = e .
令
t
x1 x
,
即
x
1 1t
,
代入原方程得
即
令
1 1 x
uu1 ,
即
画线三式联立
代入上式得 即
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二、 连续与间断
1. 函数连续的等价形式
lim
xx0
f
(x)
f
(x0 )
lim y 0
x0
x x x0 , y f (x0 x) f (x0 )
f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )
(1)
f (x) xx, ,
x0 x0
x2
(2) f (x) 11,,
x0 x0
x2 , x
x0
y⑵
1
O 1 x
y⑶
4
2
O1
x
(3)
f (x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2, 4,
x x
1 1
3
11,,
x 13 x 1
(4)
f
(x)
1 1
x3 x3
, ,
x 0 1 x0
x6 ,
xR
以上各函数都是初等函数 .
(x 1)2 x 1 x 1
6. 设 f (sin x 1 ) csc2 x cos2 x , 求 f (x). sin x
解:
f
(sin
x
1 sin
) x
1 sin 2
x
sin
2
x
1
(sin x 1 )2 3
f (x) x2 3
sin x
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例1. 设
其中
，求
解: 利用函数表示与变量字母的无关的特性 .
提示:
f (0 ) lim a (1 cos x) a
x0
x2
2
f (0 ) lim ln (b x2 ) ln b
x0
a 1 ln b 2
1 cos x ~ 1 x2 2
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例3. 设函数
有无穷间断点
及可去间断点
试确定常数 a 及 b .
解:
为无穷间断点, 所以
4. 解:
xx
由
得 (x) ln(1 x) ,
(x) (x)
x ( , 0]
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5.
已知
f
(x)
x f
3, [ f (x
5)],
x8 x8
,求
f (5) .
解: f (5) f [ f (10) ] f (
) f (7) f [
]
f ( ) f (9) 6
习题课 函数与极限
一、 函数 二、 连续与间断 三、 极限
第一章
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一、 函数
1. 概念 定义: 设
函数为特殊的映射:
定义域 其中 图形:
值域
( 一般为曲线 )
y
y f (x)
O
D
x
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2. 特性
有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性
3. 反函数