山西省太原市2012届高三高考模拟考试(一)数学文试题(附答案)

太原市2012年高三年级模拟考试（一）
数 学 试 题（文）
注意事项：
1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题和答题卡上。

2．回答第I 卷时，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

3．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试题上无效。

4．回答第Ⅱ卷时，须用0,5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡相对应的答题区域内，
写 在本试题上无效。

5．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

参考公式：
样本数据n x x x ,,21的标准差
锥体体积公式
])()()[(12
2221x x x x x x n
S n -++-+-=
Sh V 3
1=
其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式
球的表面积、体积公式
Sh V =
3
2
3
4,4R V R S ππ=
=
其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合{2,5},{4,5A B ==
，则()U C A B =
（ ）
A ．{1，3}
B ．{1，2，3，4}
C ．{2，4，5}
D ．{5}
2．已知复数z 满足(1)2,i z z -=则等于
（ ）
A ．1-i
B ．-1-i
C ．-1+i
D ．1+i
3．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递减的函数是
（ ）
A ．2y x =
B ．||1y x =+
C ．lg ||y x =-
D ．||2x y =
4．设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是
（ ） A ．4 B ．6
C ．8
D ．12
5．若右图表示的程序框图输出的S 是62，则条件①可以是（ ）
A ．4n ≤
B ．5n ≤
C ．6n ≤
D ．7n ≤
6．已知α是第二象限角，且3sin()5
πα+=-
，则tan 2α的
值为
（ ）
A ．247
- B ．
45
C ．237
-
D ．83
-
7．右图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲
的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为
（ ）
A ．25
B ．710
C ．
45
D ．
910
8．已知某三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形， 侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱 锥的体积等于 （ ）
A ．
12 B ．
3
C ．4
D ．3
9．已知双曲线
222
2
1(0,0)x y a b a
b
-
=>>，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M ，
N 两点，O 为坐标原点，若O M O N ⊥，则双曲线的离心率为 （ ）
A ．
12
-+
B ．
12
+C ．
12
-+
D ．
12
+
10．函数1
31
()()2
x
f x x =-的零点所在的一个区间是
（ ）
A ．1(0,)3
B ．11
(,)32
C ．1
(,1)2
D ．（1，2）
11．已知函数①sin cos ,y x x =+②cos y x x =，则下列结论正确的是
（ ）
A ．两个函数的图象均关于点(,0)4
π
-
成中心对称
B ．两个函数的图象均关于直线4
x π
=-成轴对称
C ．两个函数在区间(,)44
ππ
-
上都是单调递增函数
D ．两个函数的最小正周期相同
12．如图，平面四边形ABCD 中，AB=AD=CD=1，BD BD C D =
⊥，将其沿对角线
BD 折成四面体'A B C D -，使平面'A BD ⊥平面BCD ，若四面体'A B C D -顶点在同
一个球面上，则该球的表面积为 （ ）
A ．3π
B ．
2
C ．4π
D ．
4
第II 卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作
答。

第
22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量(1,),(1,)a n b n ==-，若2a b b +与垂直，则n= 。

14．已知函数3,1,
(),1,
x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩若()2f x =，则x= 。

15．若实数x ，y 满足不等式组2240x y x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪-≥⎩
，则23z x y =+的最小值是 。

16．在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
且222,b c bc a +=+=
，
则A B C ∆面积的最大值是 。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分） 已知等比数列{}n a 的前n 项和为*
2,.n n S c n N =+∈
（1）求实数c 的值和数列{}n a 的通项公式；
（2）若21n n b S n =++，求数列{}n b 的前n 项和.n T
18．（本小题满分12分） 如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 1上的点，且满足
1(0).D P PA λλ=>
（1）当1λ=时，求证：D P ⊥平面ABC 1D 1；
（2）当λ变化时，三棱锥D —PBC 1的体积是否为定值？若是，求出其体积；若不是，请说明理由。

19．（本小题满分12分） 某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其
结果（人数分布）如下表：
（1）在35~50岁年龄段的专业技术人员中用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；
（2）在这个公司的专业技术要员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为5,39
求,x y 的值。

20．（本小题满分12分）
已知椭圆222
2
:
1(0)x y E a b a
b
+
=>>，其焦点为F 1，F 2，离心率为
2
，直线
:220l x y +-=与x 轴、y 轴分别交于点A ，B 。

（1）若点A 是椭圆E 的一个顶点，求椭圆的方程；
（2）若线段AB 上存在点P ，满足|PF 1|+|PF 2|=2a ，求a 的取值范围。

21．（本小题满分12分） 已知函数1()2ln ()()f x x k x k R x
=+-
∈。

（1）当1k =-时，求函数()y f x =的单调区间；
（2）证明：当1k ≤-时，对所有的01x x >≠且都有
2
1()01
f x x <-成立。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分，作
答时请把 答题卡上所选题目后的方框涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，直线AB 经过⊙O 上一点C ，且OA=OB ，CA=CB ，⊙O 交直线OB 于E 、D ，
连结EC ，CD 。

（1）求证：直线AB 是⊙O 的切线； （2）若1tan ,2
C E
D ∠=
⊙O 的半径为3，求OA 的长。

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线221:1C x y +=，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线
:(2c o s s in )
6.
l ρθθ+=
（1）将曲线C 1倍和2倍后得到曲线C 2，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程；
（2）在曲线C 2上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数()|2|2.f x x a a =-+
（1）若不等式()6f x ≤的解集为{|64}x x -≤≤，求实数a 的值；
（2）在（I ）的条件下，若不等式2()(1)5f x k x ≤--的解集非空，求实数k 的取值范围。