平行四边形及特殊平行四边形-性质及判定
平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定
平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定平行四边形，这个词听起来就很神秘，好像是一种超能力似的。
其实，平行四边形就是我们生活中常见的那种四边形，只不过它的对边是平行的而已。
那么，平行四边形有什么特殊的性质呢？今天，我们就来一起探讨一下平行四边形的奥秘。
我们来了解一下什么是平行四边形。
平行四边形，顾名思义，就是有两组对边分别平行的四边形。
这就像我们的手一样，有五根手指，其中大拇指和食指、中指、无名指和小指分别平行。
这里的平行是指它们永远不会相交。
这也是平行四边形的一个基本性质：对角线互相平分。
那么，平行四边形有什么特殊的性质呢？其实，平行四边形还有一个非常重要的性质，那就是它的面积可以相等。
你可能会觉得这个性质很奇怪，因为我们知道，矩形和正方形的面积是相等的，但是其他的四边形却不是这样。
但是，平行四边形却不同，只要它的两组对边的长度相等，那么它的面积就一定相等。
这就像是我们的钱包一样，只要里面的钱数相等，不管它是什么形状，我们都觉得很公平。
接下来，我们再来说说平行四边形的判定方法。
其实，判定一个四边形是不是平行四边形并不难，只需要满足两个条件就行了：一是它的对边平行；二是它的对角线互相平分。
只要这两个条件都满足了，那么这个四边形就是平行四边形。
这就像是我们在考试的时候，只要答对了题目的两个要点，就可以得到满分。
那么，平行四边形还有什么特殊的性质呢？其实，平行四边形还有一个非常重要的性质，那就是它的周长可以相等。
你可能会觉得这个性质很难理解，但是只要你掌握了前面提到的面积相等的性质，那么你就很容易理解这个性质了。
因为周长和面积都是表示一个图形的大小，所以只要它们的大小相等，那么它们的形状也一定是相似的。
这就像是我们在买东西的时候，只要价格合适，我们就会觉得这个商品很好。
我们再来说说平行四边形的应用。
其实，平行四边形在我们的日常生活中有很多应用。
比如说，我们在建房子的时候，会用到很多平行四边形的知识。
特殊平行四边形的性质和判定总结
平行四边形有一组领边相等_菱形
性质：
判定
周长
面积
菱形具有平行四边形的所有性质
边
四条边相等的四边形是菱形
边长×4
对角线积的一半或底×高
菱形的四条边都相等
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
对角线
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
3.正方形：
对角线互相垂直的矩形是正方形
对角线相等的菱形是正方形
对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
一．平行四边形的性质及判定：
特殊的平行四边形：1.矩形：
平行四边形_有一个角是直角_矩形
性质：
判定
周长
面积
矩形具有平行四边形的所有性质
角
有一个角是直角的平行四边形是矩形
邻边之和的二倍
底×高
矩形的四个角都是直角
有三个角是直角的四边形是矩形
矩形的对角线相等
对角线
对角线相等的平行四边形是矩形
对角线互相平分且相等的四边形是矩形
性质：
判定：
周长
面积
平行四边形的对边平行且相等
边
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
邻边之和的二倍
底×高
平行四边形的对角相等
两组对边分别相等
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
平行四边形的邻角互补
角
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线
对角线互相平分的四边形是平行四边形
平行四边形有一组邻边相等且有一个角是直角___正方形
性质：
判定：
平行四边形的性质与判定
平行四边形的性质与判定一、平行四边形的性质1.对边平行且相等：平行四边形的对边分别平行且相等。
2.对角相等：平行四边形的对角线互相平分，且对角线交点将平行四边形分为两个相等的三角形，这两个三角形的角相等。
3.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，即平行四边形的对角线交点是对角线中点的两倍。
4.相邻角互补：平行四边形的相邻角互补，即它们的和为180度。
5.对边角相等：平行四边形的对边角相等，即平行四边形的对边上的角相等。
6.对角线所在的平行线间的距离相等：平行四边形的对角线所在的平行线间的距离相等。
二、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形。
5.相邻角互补的四边形是平行四边形。
6.对边角相等的四边形是平行四边形。
7.对角线所在的平行线间的距离相等的四边形是平行四边形。
8.矩形：矩形是四个角都是直角的平行四边形。
9.菱形：菱形是四条边都相等的平行四边形。
10.正方形：正方形是四个角都是直角且四条边都相等的平行四边形。
四、平行四边形的应用1.计算平行四边形的面积：平行四边形的面积可以通过底边长乘以高得到。
2.证明平行四边形的性质：利用平行四边形的性质证明四边形的形状或关系。
3.解决实际问题：应用平行四边形的性质解决生活中的实际问题，如设计图形、计算面积等。
知识点：__________习题及方法：1.习题：已知ABCD是平行四边形，AB=6cm，AD=4cm，求BC和CD 的长度。
答案：BC和CD的长度分别为6cm和4cm。
解题思路：根据平行四边形的性质，对边相等，所以BC=AD=4cm，CD=AB=6cm。
2.习题：在平行四边形ABCD中，∠B=60°，求∠D的度数。
答案：∠D的度数为120°。
解题思路：根据平行四边形的性质，相邻角互补，所以∠D=180°-∠B=120°。
平行四边形的定义,性质及判定方法
平行四边形的定义,性质及判定方法(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--一、平行四边形知识结构及要点小结平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边开形是平行四边形。
性质：1、平行四边形的两组对边分别平行。
2、平行四边形的两组对边分别相等3、平行四边形的两组对角分别相等4、平行四边形的两条对角线互相平分。
判定方法：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
5、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。
定理；三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
二、解题方法及技巧小结：证明线段相等或角相等的问题用过去所学的全等知识也可完成，但相对比而言，应用平行四边形的性质求证较为简单。
另外平行四边形对角线是很重要的基本图形，应用它的性质解题可开辟新的途径。
特殊的平行四边形知识结构及要点小结矩形：定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
性质：1、具有平行四边形的所有性质。
2、矩形有四个角都是直角。
3、矩形有对角线相等。
4、矩形是轴对称图形，有两条对称轴。
判定方法：1、定义2、对角线相等的平行四边形是矩形。
3、有三个角是直角的四边形是矩形。
菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。
性质；1、具有平行四边形所有性质。
2、菱形有四条边都相等。
3、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角4、菱形是轴对称图形。
判定方法：1、定义2、对角线互相垂直的平行四边形3、四边相等的四边形正方形：定义；一组邻边相等的矩形性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质判定：1、定义2、有一个内角是直角的菱形3、对角线相等的菱形4、对角线互相垂直的矩形解题方法及技巧小结菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形。
平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定
平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定平行四边形是指四边形的对边两两平行，同时对边长度相等的四边形。
平行四边形具有一些特殊的性质和判定条件，下面将对这些内容进行详细介绍。
一、平行四边形的定义平行四边形是指四边形的对边两两平行，且对边长度相等。
二、平行四边形的性质1. 对边性质：平行四边形的对边是平行的，即任意两条对边之间的夹角相等。
2. 对角性质：平行四边形的对角线相互平分，即任意一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形。
3. 同位角性质：平行四边形的同位角相等，即相对于平行四边形的两组对边所夹的角分别相等。
4. 邻补角性质：平行四边形的邻补角之和为180度，即相邻的内角互为补角。
三、特殊四边形的判定1. 矩形的判定：一个四边形如果同时满足对角线相等，内角为直角，则为矩形。
2. 正方形的判定：一个四边形如果同时满足对边相等，内角为直角，则为正方形。
3. 菱形的判定：一个四边形如果同时满足对边相等，对角线相等，则为菱形。
4. 长方形的判定：一个四边形如果同时满足对边相等，内角不是直角，则为长方形。
四、判定方法的应用案例例如，我们需要判断一个四边形ABCD是否是平行四边形。
首先，我们可以通过测量四边形的对边长度来判断，如果AB=CD，且AD=BC，则可以初步判定为平行四边形。
其次，我们可以判断四边形的内角，如果∠A = ∠C，且∠B = ∠D，则可以进一步确认为平行四边形。
如果我们需要判断一个四边形是否是矩形、正方形、菱形或长方形，具体的判定方法如下：1. 矩形的判定方法：a. 测量对边的长度，如果AB=CD且AD=BC，则为矩形。
b. 测量内角，如果∠A=∠B=∠C=∠D=90度，则为矩形。
2. 正方形的判定方法：a. 测量对边的长度，如果AB=BC=CD=AD，则为正方形。
b. 测量内角，如果∠A=∠B=∠C=∠D=90度，则为正方形。
3. 菱形的判定方法：a. 测量对边的长度，如果AB=BC=CD=AD，则为菱形。
2024年中考复习-重难点04 平行四边形与特殊平行四边形(解析版)
重难点04平行四边形与特殊平行四边形考点一：平行四边形平行四边形的性质和判定属于难度不大，但是考察性比较多的一个考点，并且可综合性也比较强，特别是平行四边形的存在性问题，常常和函数结合出大题考察。
题型01多边形相关易错点：n边形内角和公式：（n-2）×180°【中考真题练】1．（2023•北京）正十二边形的外角和为（）A．30°B．150°C．360°D．1800°【分析】本题考查多边形的外角和问题，多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等于360°．【解答】解：因为多边形的外角和为360°，所以正十二边形的外角和为：360°．故选：C．2．（2023•湘西州）一个七边形的内角和是（）A．1080°B．900°C．720°D．540°【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．【解答】解：（7﹣2）×180°＝900°，故选：B．3．（2023•绵阳）蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的对称轴有（）A．4条B．5条C．6条D．9条【分析】根据轴对称定义画出正六边形的对称轴即可．【解答】解：如图，正六边形的对称轴有6条．故答案为：C．4．（2023•湖北）若正n边形的一个外角为72°，则n＝5．【分析】根据正多边形的性质及其外角和为360°列式计算即可．【解答】解：∵正n边形的一个外角为72°，∴n＝360÷72＝5，故答案为：5．5．（2023•长春）如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B'，折痕为AF，则∠AFB'的大小为45度．【分析】由多边形的内角和及轴对称的性质和三角形内角和可得出结论．【解答】解：∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，∴∠B＝∠BAE＝108°，由图形的折叠可知，∠BAM＝∠EAM＝∠BAE＝54°，∠BAF＝∠FAB'＝∠BAM＝27°，∠AFB'＝∠AFB＝180°﹣∠B﹣∠BAF＝180°﹣108°﹣27°＝45°．故答案为：45．6．（2023•淮安）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到△ABC，则tan∠ACB的值是．【分析】以BH，HG，GD为边，作正六边形BHGDFE，，连接BD，DE，AD，由正六边形性质可得C，B，E共线，A，D，E共线；而∠BDE＝∠EDG﹣∠BDG＝90°﹣60°＝30°，∠DBE＝∠DBH＝60°，即有∠DEB＝90°，即∠AEC＝90°，设正六边形的边长为m，则BD＝2BE＝2m＝BC，故DE＝BE ＝m＝AD，CE＝BC+BE＝3m，从而tan∠ACB＝＝＝．【解答】解：以BH，HG，GD为边，作正六边形BHGDFE，，连接BD，DE，AD，如图：由正六边形性质可知∠HBC＝60°，∠HBE＝120°，∴∠HBC+∠HBE＝180°，∴C，B，E共线；由正六边形性质可得∠KDG＝120°＝∠AKD，AK＝DK，∴∠ADK＝30°，∴∠ADG＝∠KDG﹣∠ADK＝90°，同理∠EDG＝∠FDG﹣∠FDE＝120°﹣30°＝90°，∴∠ADG+∠EDG＝180°，∴A，D，E共线；∵∠BDE＝∠EDG﹣∠BDG＝90°﹣60°＝30°，∠DBE＝∠DBH＝60°，∴∠DEB＝90°，即∠AEC＝90°，设正六边形的边长为m，则BD＝2BE＝2m＝BC，∴DE＝BE＝m＝AD，CE＝BC+BE＝3m，∴AE＝2m，∴tan∠ACB＝＝＝；故答案为：．【中考模拟练】1．（2024•恩施市校级一模）若一个多边形每一个内角都为144°，则这个多边形是（）边形．A．6B．8C．10D．12【分析】根据多边形的内角与外角的关系可求解外角的度数，再利用多边形的外角和可求解．【解答】解：∵一个多边形每一个内角都为144°，∴外角为180°﹣144°＝36°，∴多边形的边数为360°÷36°＝10，故选：C．2．（2024•江城区一模）小聪利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走6米后向左转θ，接着沿直线前进6米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了72米，θ的度数为（）A．30°B．36°C．60°D．72°【分析】小聪第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形．计算这个正多边形的边数和外角即可．【解答】解：∵第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，∴多边形的边数为：72÷6＝12．根据多边形的外角和为360°，∴他每次转过的角度θ＝360°÷12＝30°．故选：A．3．（2024•巧家县模拟）一个多边形外角和是内角和的．则这个多边形的边数是（）A．10B．11C．12D．13【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意列得方程，解方程即可．【解答】解：设这个多边形的边数为n，则（n﹣2）•180°＝360°，解得：n＝12，即这个多边形的边数为12，故选：C．4．（2024•子洲县校级二模）工人师傅选用三种规格的边长都是1m的正多边形地砖铺地．他先用两块正六边形地砖和一块正方形地砖铺成如图所示的图形，若再用一块正多边形地砖无缝隙不重叠地铺在∠AOB 处，则选用的这块正多边形地砖的周长是12米．【分析】根据题意得到∠AOB的大小，结合多边形内角和列式求解即可得到答案．【解答】解：∵一块正六边形和一块正方形地砖绕着点O进行的铺设，∴，∴设这块正多边形地砖的边数是n，∴（n﹣2）×180°＝n×150°，解得：n＝12，∵选用三种规格的边长都是1m的正多边形地砖铺地，∴这块正多边形地砖的周长＝12×1＝12（米），故答案为：12．5．（2024•西安一模）如图，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成一个大五边形，则图中∠BAC＝36°．【分析】根据多边形的内角和公式计算正五边形的内角，然后计算∠BAC即可．【解答】解：∵正五边形的内角为：＝108°，∴∠BAC＝360°﹣108°×3＝36°．故答案为：36．题型02平行四边形的判定和性质易错点01：平行四边形的性质都很重要，有很多的角相等和边相等，都要多加重视；易错点02：平行四边形的判定方法比较多，其中定义法后期的可综合性很强解题大招01：平行四边形问题常转化为全等三角形来思考；解题大招02：坐标平面内有3个定点，找第4个点形成平行四边形的基本步骤①设第4个点的坐标；②以3个定点组成的3条线段为对角线分类讨论；③以中心对称图形的性质为等量关系列式求解；【中考真题练】1．（2023•成都）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（）A．AC＝BD B．OA＝OC C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BCD【分析】利用平行四边形的性质一一判断即可解决问题．【解答】解：A、错误．平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，不合题意；B、正确．因为平行四边形的对角线互相平分，符合题意；C、错误．平行四边形的对角线不一定垂直，不合题意；D、错误．平行四边形的对角相等，但邻角不一定相等，不合题意；故选：B．2．（2023•海南）如图，在▱ABCD中，AB＝8，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，交边AD于点E，连接CE，若AE＝2ED，则CE的长为（）A．6B．4C．D．【分析】由平行四边形的性质得∠D＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝8，AD∥BC，再证∠ABE＝∠AEB，则AE＝AB＝8，过点E作EF⊥CD于点F，则∠FED＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质得DF＝ED＝2，则EF＝2，CF＝6，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝8，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝8，∵AE＝2ED，∴2ED＝8，∴ED＝4，如图，过点E作EF⊥CD于点F，则∠EFC＝∠EFD＝90°，∴∠FED＝90°﹣∠D＝90°﹣60°＝30°，∴DF＝ED＝2，∴EF＝＝＝2，CF＝CD﹣DF＝8﹣2＝6，∴CE＝＝＝4，故选：C．3．（2023•泸州）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E 是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥DC，AB＝CD，OD＝OB，可得∠CDP＝∠APD，根据DP平分∠ADC，可得∠CDP＝∠ADP，从而可得∠ADP＝∠APD，可得AP＝AD＝4，进一步可得PB的长，再根据三角形中位线定理可得EO＝PB，即可求出EO的长．【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，OD＝OB，∴∠CDP＝∠APD，∵DP平分∠ADC，∴∠CDP＝∠ADP，∴∠ADP＝∠APD，∴AP＝AD＝4，∵CD＝6，∴AB＝6，∴PB＝AB﹣AP＝6﹣4＝2，∵E是PD的中点，O是BD的中点，∴EO是△DPB的中位线，∴EO＝PB＝1，故选：A．4．（2023•邵阳）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（）A．AD＝BC B．∠ABD＝∠BDC C．AB＝AD D．∠A＝∠C【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A不符合题意；B、∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∴不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项B不符合题意；C、由AB∥CD，AB＝AD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项C不符合题意；D、∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠ABC+∠A＝180°，∴AD∥BC，又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；故选：D．5．（2023•聊城）如图，在▱ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF．若AD＝8，CE＝5，则四边形BFCE的面积为24．【分析】先根据平行四边形的性质得出AD＝BC＝8，再由EF是线段BC的垂直平分线得出EF⊥BC，OB＝OC＝BC＝4，根据勾股定理求出OE的长，再由CF∥BE可得出∠OCF＝OBE，故可得出△OCF＝S△BCE+S△BFC即可得出结论．≌△OBE，OE＝OF，利用S四边形BFCE【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝8，∴AD＝BC＝8，∵由EF是线段BC的垂直平分线，∴EF⊥BC，OB＝OC＝BC＝4，∵CE＝5，∴OE＝＝＝3．∵CF∥BE，∴∠OCF＝∠OBE，在△OCF与△OBE中，，∴△OCF≌△OBE（ASA），∴OE＝OF＝3，＝S△BCE+S△BFC∴S四边形BFCE＝BC•OE+BC•OF＝×8×3+×8×3＝12+12＝24．故答案为：24．6．（2023•西宁）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD的延长线上，且BE＝DF，连接EF与AC 交于点M，连接AF，CE．（1）求证：△AEM≌△CFM；（2）若AC⊥EF，，求四边形AECF的周长．【分析】（1）直接利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定方法分析得出答案；（2）利用菱形的判定与性质得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥DC，AB＝DC（平行四边形的对边平行且相等），∴∠AEM＝∠CFM（两直线平行，内错角相等），∵BE＝DF，∴AB+BE＝CD+DF即AE＝CF，在△AEM和△CFM中∴△AEM≌△CFM（AAS）；（2）解：∵AE＝CF AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），又∵AC⊥EF，∴▱AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），∴AE＝EC＝CF＝AF（菱形的四条边都相等），∴菱形AECF的周长＝．7．（2023•无锡）如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF．求证：（1）△CEF≌△AED；（2）四边形DBCF是平行四边形．【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到AE＝CE，DE∥BC，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论．【解答】证明：（1）∵点D、E分别为AB、AC的中点，∴AE＝CE，在△CEF与△AED中，，∴△CEF≌△AED（SAS）；（2）由（1）证得△CEF≌△AED，∴∠A＝∠FCE，∵点D、E是AB、AC的中点，∴DE∥BC，即DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形．8．（2023•株洲）如图所示，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G、F分别为BH、CH的中点．（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；（2）DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长度．【分析】（1）由三角形中位线定理得DE∥BC，DE＝BC，GF∥BC，GF＝BC，则DE∥GF，DE＝GF，再由平行四边形的判定即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得DG＝EF＝2，再由勾股定理求出BG的长即可．【解答】（1）证明：∵点D、E分别为AB、AC的中点，点G、F分别为BH、CH的中点，∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，GF∥BC，GF＝BC，∴DE∥GF，DE＝GF，∴四边形DEFG为平行四边形；（2）解：∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG＝EF＝2，∵DG⊥BH，∴∠DGB＝90°，∴BG＝＝＝，即线段BG的长度为．【中考模拟练】1．（2024•雁塔区校级二模）如图，已知平行四边形ABCD中A、C、D三点的坐标，则点B的坐标为（）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣3，﹣1）D．（﹣2，﹣1）【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC＝4，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵A（﹣1，2），D（3，2），∴AD＝4＝BC，∵C（2，﹣1），∴B（﹣2，﹣1），故选：D．2．（2024•韶关模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB＝4，BC＝3，则EC等于（）A．1B．1.5C．2D．3【分析】根据平行四边形的性质及AE为角平分线可得：BC＝AD＝DE＝6，又有CD＝AB＝8，可求EC 的长．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝3．CD∥AB，∵∠DAB的平分线AE交CD于E，∴∠DAE＝∠BAE，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠BAE，∴∠DAE＝∠AED．∴ED＝AD＝3，∴EC＝CD﹣ED＝4﹣3＝1．故选：A．3．如图，已知点P，Q分别是四边形ABCD的边AB，CD上的点，有如下条件：①AP＝CQ；②∠APD＝∠CQB；③AB∥CD；④四边形ABCD是平行四边形．则根据已知及下列条件的组合不能得到四边形BQDP是平行四边形的是（）A．①和④B．①和③C．②和③D．②和④【分析】根据平行四边形的判定进行证明即可．【解答】解：添加的条件为①和④，证明如下；∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB∥CD，AB＝CD．∵AP＝CQ，∴AB﹣AP＝DC﹣CQ，即PB＝DQ．又PB∥DQ，∴四边形BQDP是平行四边形．故A不符合题意；添加条件为①和③，不能证明四边形BQDP是平行四边形；故B选项符合题意；添加的条件为②和③，证明如下：∵AB∥CD，∴∠CQB＝∠ABQ．∵∠APD＝∠CQB，∴∠ABQ＝∠APD，∴DP∥QB，∴四边形BQDP是平行四边形．故选项C不符合题意，添加的条件为②和④，证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠CQB＝∠ABQ，∵∠APD＝∠CQB．∴∠ABQ＝∠APD，∴DP∥QB，∴四边形BQDP是平行四边形．故选项D不符合题意，故选：B．4．（2024•河西区模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝18，BC＝30．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°，连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为6．【分析】由题意可知EF是梯形ABCG的中位线．根据梯形中位线定理可知，，求出CG的长，再根据平行四边形的性质得AB＝CD＝18，即可求解最终结果．【解答】解：∵E是边BC的中点，且∠BFC＝90°，BC＝30，∴Rt△BCF中，，∵EF∥AB，AB∥CG，∴F是边AG的中点．∴EF是梯形ABCG的中位线．∴（AB+CG），∵AB＝18，∴CG＝2EF﹣AB＝12．在▱ABCD中，CD＝AB＝18．DG＝CD﹣CG＝18﹣12＝6，故答案为：6．5．（2024•东安县一模）如图，在▱ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，连接AE，EF，CF分别交对角线BD于点G，H，I，若△ABE的面积为6，则图中阴影部分的面积为10．【分析】由平行四边形的性质推出△FHD≌△EHB（ASA），得到FH＝EH，判定四边形ABEF是平行四边形，推出EF＝AB，AB∥EF，由△EGH∽△AGB，推出GE：AG＝EH：AB＝1：2，得到AG：AE＝2：3，因此S△ABG＝S△ABE＝×6＝4，由△EGH∽△AGB，推出＝＝，得到S△EGH＝1，＝1，由△ABG≌△CDI（AAS），得到S△CDI＝S△ABG＝4，于是得到阴影的面积＝4×2+1×2因此S△FHI＝10．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∵E，F分别是BC，AD的中点，∴FD＝BE，AF＝BE，∵AD∥BC，∴∠FDH＝∠HBE，∠DFH＝∠BEH，∵FD＝EB，∴△FHD≌△EHB（ASA），∴FH＝EH，∵E，F分别是BC，AD的中点，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EF＝AB，AB∥EF，∵EH＝FE，∴EH＝AB，∵EH∥AB，∴△EGH∽△AGB，∴GE：AG＝EH：AB＝1：2，∴AG：AE＝2：3，＝S△ABE＝×6＝4∴S△ABG∵△EGH∽△AGB，∴＝＝，＝1，∴S△EGH＝1，∴S△FHI∵AB∥CD，∴∠ABG＝∠CDI，∵∠AGB＝∠EGH，∠CID＝∠FIH，∵AB＝CD，∴△ABG≌△CDI（AAS），＝S△ABG＝4，∴S△CDI∴阴影的面积＝4×2+1×2＝10．故答案为：10．6．（2024•浙江一模）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点．某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：甲方案乙方案分别取AO，CO的中点E，F作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F请回答下列问题：（1）以上方案能得到四边形BEDF为平行四边形的是甲方案或乙方案，选择其中一种并证明，若不能，请说明理由；＝6，求▱ABCD的面积．（2）若EF＝2AE，S△AED【分析】（1）甲方案，由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，则∠BAE＝∠DCF，由AO＝CO，E、F分别是AO、CO的中点，得AE＝CF，可证明△ABE≌△CDF，得BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，所以∠BEF＝∠DFE，则BE∥DF，即可证明四边形BEDF是平行四边形；乙方案，由BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，得BE∥DF，∠AEB＝∠CFD＝90°，由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，则∠BAE＝∠DCF，可证明△ABE≌△CDF，得BE＝DF，即可证明四边形BEDF 是平行四边形；（2）由AO＝CO，AE＝CF，推导出OE＝OF，则EF＝2AE＝2OE，所以OE＝AE＝CF＝OF，则S△ABC ＝4S△AED＝24，所以S▱ABCD＝48．＝S△ADC【解答】解：（1）甲方案，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF，∵O是对角线AC的中点，∴AO＝CO，∵E、F分别是AO、CO的中点，∴AE＝AO，CF＝CO，∴AE＝CF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，∵∠BEF＝180°﹣∠AEB，∠DFE＝180°﹣∠CFD，∴∠BEF＝∠DFE，∴BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形．乙方案，证明：∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，∴BE∥DF，∠AEB＝∠CFD＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，∴四边形BEDF是平行四边形．（2）解：由（1）得△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∴AO﹣AE＝CO﹣CF，∴OE＝OF，∴EF＝2OE，∵EF＝2AE，∴2OE＝2AE，∴OE＝AE＝CF＝OF，＝S△ADC＝4S△AED＝4×6＝24，∴S△ABC∴S▱ABCD＝2×24＝48，∴▱ABCD的面积是48．题型03中心对称与三角形中位线解题大招01：判断中心对称图形图象时，可以把试卷直接头尾颠倒看，还一样的那个就是中心对称图形；解题大招02：三角形的中位线的性质既可以提供线段间的数量关系，也可以提供线段的位置关系；数量关系可以用来求长度，位置关系常用来求角度；【中考真题练】1．（2023•菏泽）剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：A．2．（2023•宜昌）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、B、C都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：D．3．（2023•陕西）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF．连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BC＝6，则线段CM的长为（）A．B．7C．D．8【分析】根据三角形中中位线定理证得DE∥BC，求出DE，进而证得△DEF∽BMF，根据相似三角形的性质求出BM，即可求出结论．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC＝×6＝3，∴△DEF∽△BMF，∴＝＝＝2，∴BM＝，CM＝BC+BM＝．故选：C．4．（2023•盐城）在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，BC＝10cm，则DE的长为5cm．【分析】由三角形中位线定理可直接求解．【解答】解：∵D，E分别为边AB，AC的中点，BC＝10cm，∴DE＝BC＝5cm，故答案为：5．5．（2023•陕西）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在AD的延长线上，且DE＝2，过点E作直线l分别交边CD，AB于点M，N．若直线l将▱ABCD的面积平分，则线段CM的长为．【分析】依据题意，连接AC交l于点O，由直线l将▱ABCD的面积平分，从而O为AC的中点，结合平行四边形的性质可得△AON≌△COM，进而AN＝CM，再由AN∥DM有＝，求出AN，故而可以得解．【解答】解：连接AC交l于点O．∵直线l将▱ABCD的面积平分，AC为▱ABCD的对角线，∴O为AC的中点，为平行四边形的中心．∴OA＝OC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴∠NAO＝∠MCO，＝．又∠AON＝∠COM，∴△AON≌△COM（ASA）．∴AN＝CM．∴＝．又ED＝2，AD＝4，AB＝3，∴＝．∴CM＝．故答案为：．6．（2023•湖州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC ＝10，AD＝12，求BD，DE的长．【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出AB＝13，【解答】解∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴，∵BC＝10，∴BD＝5，∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，∵AD＝12，∴，∵E为AB的中点，D点为BC的中点，∴．【中考模拟练】1．（2024•扶沟县一模）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．2．（2024•秦都区校级模拟）如图，点O是菱形ABCD的对称中心，连接OA、OB，OA＝4，OB＝6，EF 为过点O的一条直线，点E、F分别在AD、BC上，则图中阴影部分的面积为（）A．24B．16C．18D．12【分析】先算出菱形的面积，再算出四边形ABFE的面积，因为阴影部分的面积＝四边形ABFE的面积，求得三角形ABO的面积，可得阴影部分的面积．﹣S△ABO【解答】解：连接OC、OD，，∵点O是菱形ABCD的对称中心，∴AC⊥BD，O是AC与BD的交点，∴CO＝AO＝4，DO＝BO＝6，∴AC＝8，BD＝12，∵EF为过点O的一条直线，∴四边形ABFE的面积＝四边形CDEF的面积＝菱形ABCD的面积，∵菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝48，∴四边形ABFE的面积＝24，，S△ABO＝×AO×BO＝12，∵阴影部分的面积＝四边形ABFE的面积﹣S△ABO∴阴影部分的面积＝12，故选：D．3．（2024•东平县校级一模）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的角平分线，AE⊥CE 于点E，连接DE．若AB＝7，DE＝1，则AC的长度是（）A．4B．4.5C．5D．5.5【分析】延长CE，交AB于点F，通过ASA证明△EAF≌△EAC，根据全等三角形的性质得到AF＝AC，EF＝EC，根据三角形中位线定理得出BF＝2，即可得出结果．【解答】解：延长CE，交AB于点F．∵AE平分∠BAC，AE⊥CE，∴∠EAF＝∠EAC，∠AEF＝∠AEC，在△EAF与△EAC中，，∴△EAF≌△EAC（ASA），∴AF＝AC，EF＝EC，又∵D是BC中点，∴BD＝CD，∴DE是△BCF的中位线，∴BF＝2DE＝2．∴AC＝AF＝AB﹣BF＝7﹣2＝5；故选：C．4．（2024•东明县一模）如图，△ABC称为第1个三角形，它的周长是1，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成第3个三角形，以此类推，则第2024个三角形的周长为（）A．B．C．D．【分析】找出每一个新的三角形周长是上一个三角形周长的即可判断．【解答】解：△ABC周长为1，∵每条中位线均为其对边的长度的，∴第2个三角形对应周长为；第3个三角形对应的周长为；第4个三角形对应的周长为；…以此类推，第n个三角形对应的周长为；∴第2024个三角形对应的周长为，即，故选：B．5．（2024•张店区一模）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，E，F分别为边AC，BC上的点，M，N分别为EF，AB的中点．若AE＝BF＝2，则MN的长为．【分析】连接BE，取BE的中点H，连接MH、NH，根据勾股定理的逆定理得到∠C＝90°，根据三角形中位线定理得到MH＝BF＝1，NH＝AE＝1，∠MHN＝90°，再根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：如图，连接BE，取BE的中点H，连接MH、NH，∵AC2+BC2＝32+42＝25，AB2＝52＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠C＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵M，N，H分别为EF，AB，BE的中点，∴MH为△BEF的中位线，NH为△ABE的中位线，∴MH＝BF＝1，MH∥BF，NH＝AE＝1，NH∥AE，∴∠EHM＝∠EBF，∠HNB＝∠A，∵∠EHN＝∠HNB+∠ABE＝∠A+∠ABE，∴∠MHN＝∠EHM+∠EHN＝∠EBF+∠A+∠ABE＝90°，∴MN＝＝，故答案为：．6．（2023•杭州二模）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点，若AE ＝AD，DF＝2．（1）求证：DE为∠ADF的角平分线；（2）求BD的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠AED＝∠ADE，根据三角形中位线定理得到DF∥AE，根据平行线的性质得到∠AED＝∠FDE，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）根据三角形中位线定理得到AE＝2DF＝4，求得AD＝4，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE，∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，∴DF是△ACE的中位线，∴DF∥AE，∴∠AED＝∠FDE，∴∠ADE＝∠FDE，∴DE为∠ADF的角平分线；（2）解：∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，∴AE＝2DF＝4，∵AE＝AD，∴AD＝4，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，∴BD＝AC＝AD＝4．考点二：矩形矩形是特殊平行四边形中比较重要的两个图形，也是几何图形中难度比较大的几个图形之一。
平行四边形的定义,性质及判定方法
一、平行四边形知识结构及要点小结平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边开形是平行四边形。
性质：1、平行四边形的两组对边分别平行。
2、平行四边形的两组对边分别相等3、平行四边形的两组对角分别相等4、平行四边形的两条对角线互相平分。
判定方法：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
5、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。
定理；三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
二、解题方法及技巧小结：证明线段相等或角相等的问题用过去所学的全等知识也可完成，但相对比而言，应用平行四边形的性质求证较为简单。
另外平行四边形对角线是很重要的基本图形，应用它的性质解题可开辟新的途径。
特殊的平行四边形知识结构及要点小结矩形：定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
性质：1、具有平行四边形的所有性质。
2、矩形有四个角都是直角。
3、矩形有对角线相等。
4、矩形是轴对称图形，有两条对称轴。
判定方法：1、定义2、对角线相等的平行四边形是矩形。
3、有三个角是直角的四边形是矩形。
菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。
性质；1、具有平行四边形所有性质。
2、菱形有四条边都相等。
3、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角4、菱形是轴对称图形。
判定方法：1、定义2、对角线互相垂直的平行四边形3、四边相等的四边形正方形：定义；一组邻边相等的矩形性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质判定：1、定义2、有一个内角是直角的菱形3、对角线相等的菱形4、对角线互相垂直的矩形解题方法及技巧小结菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形。
它们的性质既有区别又有联系，它们的判定方法虽然不同，但有许多相似之处，因此要用类比的思想，将学到的知识总结出相关规律。
平行四边形的定义,性质及判定方法
一、平行四边形知识结构及要点小结之迟辟智美创作平行四边形界说：有两组对边分别平行的四边开形是平行四边形.性质：1、平行四边形的两组对边分别平行.2、平行四边形的两组对边分别相等3、平行四边形的两组对角分别相等4、平行四边形的两条对角线互相平分.判定方法：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形.2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形.3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.4、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.5、两组对角分别相等的四边形是平行四边形.三角形中位线界说：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线.定理；三角形的中位线平行于三角形的第三边，且即是第三边的一半.二、解题方法及技巧小结：证明线段相等或角相等的问题用过去所学的全等知识也可完成，但相比较而言，应用平行四边形的性质求证较为简单.另外平行四边形对角线是很重要的基本图形，应用它的性质解题可开辟新的途径.特殊的平行四边形知识结构及要点小结矩形：界说：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.性质：1、具有平行四边形的所有性质.2、矩形有四个角都是直角.3、矩形有对角线相等.4、矩形是轴对称图形，有两条对称轴.判定方法：1、界说2、对角线相等的平行四边形是矩形.3、有三个角是直角的四边形是矩形.菱形：界说：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.性质；1、具有平行四边形所有性质.2、菱形有四条边都相等.3、菱形的两条对角线互相垂直，而且每一条对角线平分一组对角4、菱形是轴对称图形.判定方法：1、界说2、对角线互相垂直的平行四边形3、四边相等的四边形正方形：界说；一组邻边相等的矩形性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质判定：1、界说2、有一个内角是直角的菱形3、对角线相等的菱形4、对角线互相垂直的矩形解题方法及技巧小结菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形.它们的性质既有区别又有联系，它们的判定方法虽然分歧，但有许多相似之处，因此要用类比的思想，将学到的知识总结出相关规律.。
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平行四边形
判定：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（3）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；
(5) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
性质：（1）平行四边形的两组对边分别相等且平行
（2）平行四边形的两组对角分别相等
（3）平行四边形的邻角互补
（4）平行四边形的对角线互相平分
矩形
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
2.性质：
（1）矩形的四个角都是直角
（2）矩形的对角线相等
（3）具备平行四边形的性质
3.判定：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）
（2）对角线相等的平行四边形是矩形
（3）三个角是直角的四边形是矩形
菱形
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2.性质：
（1）菱形的四条边都相等
（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（3）具备平行四边形的性质
3.判定：
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
（3）四边相等的四边形是菱形
（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形
正方形
1.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
2.性质：
（1）四个角都是直角
（2）四条边都相等
（3）对角线互相垂直平分且相等
（4)既具有平行四边形的性质，还具备矩形和菱形的性质
3.判定：
（1）对角线相等的菱形是正方形。
（2）有一个角为直角的菱形是正方形。
（3）对角线互相垂直的矩形是正方形。
（4)一组邻边相等的矩形是正方形。
（5）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
（6）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。
（7）对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。
（8）一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。
（9）既是菱形又是矩形的四边形是正方形。