一、和、差、积、商的求导法则 资料邮电大学.ppt
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函数的求导法则.
例3 f ( x ) x 4cos x sin 2 , 求f ( 2 ).
3 '
f ( x ) ( x 4cos x sin ) ( x ) (4cos x ) (sin )' 2 2 3 x 2 4sin x
' 3 '
3 '
'
2 3 所以f ' ( ) 3 ( )2 4sin 4 2 2 2 4
f1 ( x ) f 2 ( x )
f i( x ) f k ( x );
例1 解
求 y 2x 5x 3x 7 的导数.
3 2
y' (2 x 3 5 x 2 3 x 7)' (2 x 3 )' (5 x 2 )' (3 x)' 7'
2( x 3 )' 5( x 2 )' (3 x)' 2 3 x 2 5 2 x 3 6 x 2 10 x 3
推论
(1) [ f i ( x )] f i( x );
i 1 i 1 n n
(2) [Cf ( x )] Cf ( x );
(3) [ f i ( x )] f1 ( x ) f 2 ( x )
i 1 n
fn ( x) f n( x )
n n i 1 k 1 k i
'
(1 tan x)' (1 tan x) (1 tan x)(1 tan x)' | (1 tan x)2
sec2 (1 tan x) (1 tan x)( sec 2 x) (1 tan x)2
和、差、积、商的求导法则
且 (ay) ayln a 0 , 在 Ix (0,) 内,有
(loga x) (a1y)
1 a y ln a
1. x ln a
特别地 (lnx) 1 .
x
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三、复合函数的求导法则
定理 如果函 u数 (x)在点 x0可导 , 而yf(u)
同理可得 (cx o) tcs2x c.
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例4 求ysexc的导. 数
解 y(sex)c( 1 )
coxs
(cosx) cos2 x
sin x cos 2 x
se x tc a x .n
同理可得 (c x )s c cx scc x o . t
2sinxcoxs1 x
2co2xsln x1si2n x. x
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例3 求ytaxn的导. 数 解 y(tax)n (six n)
coxs (sx i)n cc o x o 2 ssxsixn (cx o ) s co2scxo2ssxin2 x co12sxse2cx 即(tx a ) n se 2x.c
n3xn1co xns fn1[ n(sx in)n] n1(sx in)n f[ n(sx in)n] (sx in)n.
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五、双曲函数与反双曲函数的导数
(six n ) hcoxsh(cox)sh sin xh tanxhsinxh
第二节函数的和、差、积、商的求导法则
(loga
x)
1 (a y )
1 a y ln a
1. x ln a
特别地
(ln x) 1 . x
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三、常数和基本初等函数的导数公式
(1) (C ) 0;
(2) ( x ) x 1 ( 0);
(3) (sinx) cos x;
(4) (cos x) sin x;
(5) (tan x) sec2 x;
v( x0 x) v( x0 ) x
lim
u( x0
x) x
u( x0 )
v( x0 )
u( x0 )
v( x0
x) x
v( x0 )
x 0
v( x0 x) v( x0 )
u( x0 )
v( x0 ) u( x0 ) [v( x0 )]2
v( x0 )
f ( x) 在 x0 处可导且(3)成立.
(1) [u( x) v( x)] / x x0 u( x0 ) v( x0 );
(2) [u( x) v( x)] / x x0 u( x0 ) v( x0 ) u( x0 ) v( x0 );
(
3)
[
u( v(
x) x)
]
/
x
x
0
u( x0 ) v( x0 ) u( x0 ) v( x0 ) v2( x0 )
8/21
例5 求 y arcsin x 的导数.
解
y sin x 在
Ix
(
2
,
2
)
内单调、可导
,
且 (sin x) cos x 0, 在 I y (1,1) 内有
(arcsin y) 1 (sin x)
微积分一导数的基本公式与运算法则PPT课件
解 y 1 (3x2) 6x
1(3x2)2
19x4
第21页/共40页
例13. 求函数y ( x )n的导数. 2x 1
解 yn( x )n1( x ) 2x1 2x1
n(
x )n1 2x1
2x12x (2x1)2
nxn1 (2x1)n1
例14. 求函数y x a2 x2的导数. 2
解解 y 1[x a2x2 x( a2x2)] 2
引例2 已知y (3x 1)2，求y.
y [(3x 1)2 ]
(9x2 6x 1)
18 x 6
y sin10x
y (3x 1)100
?
第17页/共40页
四、复合函数的导数
设u(x)在点x处可导 yf(u)在对应点u处可导 则复合函 数yf[(x)]在点x处也可导，且其导数为
基本导数公式
1 (c)0
2. (xu ) ' uxu1 (u为任意实数)
3 (ax)axln a (ex)ex
4
(loga
x)
1 xln
a
(ln x) 1 x
5 (sinx)cosx (tanx)sec2x
(cosx)sinx (cotx)csc2x
(secx)secxtanx
(cscx)cscxcotx
(sin x)cos x sin x(cos x)
cos2 x
sin2 x cos2 x cos2 x
1 cos2
x
sec2
x
第8页/共40页
1 (c)0
2. (xu ) ' uxu1 (u为任意实数)
3 (ax)axln a (ex)ex
4
(log
函数的和差积商的导数PPT多媒体教学课件
解：g(x) (x3 3 x2 6x) 2
(x3) ( 3 x2 ) (6x) 3x2 3x 6 2
法则3:两个函数的积的导数，等于
第一个函数的导数乘以第二个函数
加 乘 上第一个函数 以第二个函数
的导数
[ f (x)g(x)] f (x)g(x) f (x)g(x).
例2：(1)求函数h(x) x sin x的导数. (2)求函数f (x) 2x ln x的导数.
创作背景
• 南宋时期，宋江起义的故事，便开始在 群众中流传。宋元时，女真、蒙古贵族 先后南侵，广大人民处于阶级和民族双 重压迫之下。他们把自己的生活经验和 美好理想，寄寓于“劫富济贫”、“扶 危济困”的起义英雄形象中。于是关于 水浒的故事，便越流传越丰富。元末明 初施耐庵等人在表现水浒故事的话本、 杂剧等多种艺术形式创作的基础上，加 工编写成了《水浒传》。
• 3.2.2 函数的和、差、积、 商的导数
知识回顾：
基本求导公式: (1)C 0(C为常数)
(2)(x )' x 1(为常数）
(3)(a x )' a xlna(a 0,且a 1)
(4)(log a x)'
1 xlnaБайду номын сангаас
(a
0,且a
1)
(5)(ex )' ex
(6)(lnx) ' 1 x
[ f (x) g(x)] f (x) g(x).
法则2:
[Cf (x)] Cf (x).(C为常数)
例1. (1)求函数f (x) x2 sin x的导数.
解：f (x) (x2 sin x)
(x2 ) (sin x) 2x cosx
(2)求函数g(x) x3 3 x2 6x 2的导数. 2
(x3) ( 3 x2 ) (6x) 3x2 3x 6 2
法则3:两个函数的积的导数，等于
第一个函数的导数乘以第二个函数
加 乘 上第一个函数 以第二个函数
的导数
[ f (x)g(x)] f (x)g(x) f (x)g(x).
例2：(1)求函数h(x) x sin x的导数. (2)求函数f (x) 2x ln x的导数.
创作背景
• 南宋时期，宋江起义的故事，便开始在 群众中流传。宋元时，女真、蒙古贵族 先后南侵，广大人民处于阶级和民族双 重压迫之下。他们把自己的生活经验和 美好理想，寄寓于“劫富济贫”、“扶 危济困”的起义英雄形象中。于是关于 水浒的故事，便越流传越丰富。元末明 初施耐庵等人在表现水浒故事的话本、 杂剧等多种艺术形式创作的基础上，加 工编写成了《水浒传》。
• 3.2.2 函数的和、差、积、 商的导数
知识回顾：
基本求导公式: (1)C 0(C为常数)
(2)(x )' x 1(为常数）
(3)(a x )' a xlna(a 0,且a 1)
(4)(log a x)'
1 xlnaБайду номын сангаас
(a
0,且a
1)
(5)(ex )' ex
(6)(lnx) ' 1 x
[ f (x) g(x)] f (x) g(x).
法则2:
[Cf (x)] Cf (x).(C为常数)
例1. (1)求函数f (x) x2 sin x的导数.
解：f (x) (x2 sin x)
(x2 ) (sin x) 2x cosx
(2)求函数g(x) x3 3 x2 6x 2的导数. 2
函数的和差积商的导数课件
公式
单调递增的导数条件是 f'( ≤ 0。
举例
考虑函数 f(x) = x^2，其导数 f'(x) = 2x。在区间 (0, +∞) 上，f'(x) > 0，因此函数 f(x) 在该区间内单调递增。
利用导数求函数的极值
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
总结词
特殊情况：常数与函数的和的导数
常数与函数的和的导数等于该函数的导数。 如果函数$f(x)$在某点可导，那么$(c + f(x))'$等于$f'(x)$，其中c是任意常数。
03 函数的差的导数
两个函数的差的导数
两个函数的差的导数
设函数$f(x)$和$g(x)$在某区间内可导，则$(f(x) - g(x))'$的导数为$f'(x) g'(x)$。
导数在数学和实际生活中的应用
数学中的应用
导数是微积分的基础，用于研究函数 的极值、单调性、曲线的切线等。
实际生活中的应用
导数在经济学、物理学、工程学等领 域有广泛应用，如成本分析、速度与 加速度计算、最优控制等。
02 函数的和的导数
两个函数的和的导数
01
两个函数和的导数等于两个函数 导数的和。
函数的和差积商的导数课件
目录
• 引言 • 函数的和的导数 • 函数的差的导数 • 函数的积的导数 • 函数的商的导数 • 导数的应用示例
01 引言
导数的定义与意义
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率， 表示函数值随自变量变化的速率 。
导数的意义
导数提供了函数局部的斜率信息 ，有助于理解函数的行为和性质 。
应用举例
《导数的四则运算》PPT课件_OK
x+x2+x3+…+xn的导数.
解：(1) x
x2
x3
xn
x(1
xn) (x
1),
1 x
Pn (
x)
(x
x2
x3
xn
)
(
x xn1 1 x
)
( x xn1 )(1 x) ( x xn1 )(1 x) 1 (n 1)xn nxn1
(1 x)2
(1 x)2
.
(2)Sn [Pn ( x)]
Y=(x+1)(x+2)(x+3)
9
• 猜想:函数f1 (X) ·f2(x) ·f3(x) … fn(x) 的导数
10
讨论函数f 1 (x) + f 2(x)+ f3(x)+… + f n(x) 的导数并证明.
11
例３求曲线y=2x+x3在x= -1处的切线方 程
y=5x+2
12
例 4在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的 切线所对应的切点．
如果直线l是过P和Q的公切线,则①式和②式都是
l的方程.
17
所以
2x1x12
2
2 x22
x2 a
,
消去x2得方程:2x12+2x1+1+a=0.
若判别式△=4－4×2(1+a)=0时,即a=-1/2时解得
x1=-1/2,此时点P与Q重合.
即当a=-1/2时C1和C2有且仅有一条公切线,由①得 公切线方程为y=x-1/4.
y [u( x x) v( x x)] [u( x) v( x)] [u( x x) u( x)] [v( x x) v( x)] u v; y u v ,
和差积商的导数PPT教学课件
孟子也非天生的圣人，他也 有过性格不稳定的幼年，能成为 “亚圣”，多得力于他的母亲。 孟子的母亲是位伟大的女性，她 含辛茹苦坚守志节，抚育儿子， 从慎始、励志、敦品、勉学以至 于约礼、成金，数十年如一日， 毫不放松，既成就了孟子，更为 后世的母亲留下一套完整的教子
方案。
孟母三迁
孟子很小的时候，孟母就十分注意对他的 培养，只要周围的环境对他的成长有不好的影响， 孟母就会立即搬家。起初，孟母带着年幼的孟子 住在一所公墓的附近，孟子看见人家哭哭啼啼埋 葬死人，他也学着玩，孟母心想：“我的孩子住 在这里不合适。”就立刻搬家。他们母子搬到了 集市的附近，孟子看见商人自吹自夸地卖东西赚 钱，他又学着玩，孟母又在心里想：“我的孩子 住在这里也不合适。”就连忙又搬家。最后，孟 母和孟子搬到了学堂的附近，这时，孟子开始学 习礼节并要求上学，孟母这才在心里高兴地说：
8.养心莫善于寡欲
A.修养心性的办法最 好是减少物质欲望 B.仁爱的人所向无敌 C.不要对书本知识不加分析 D.每个人都有同情心 E.做人要有忧患意识
F.爱别人、尊敬别人才 会受到别人的爱与尊敬
G.凡事要有规则约束 H.不将责任推给别人
孔子和孟子的影响
孔子和《论语》
《论语》的成书约在战国之初， 由弟子门人所集。今本《论语》共 二十篇。书中主要记述了孔子及其 弟子的言行，较集中地反映了孔子 的哲学、政治、学术、教育思想等 等，是研究孔子思想学说的最集中、 最重要的文献，儒家的主要经典， 南宋理学家朱熹将《大学》、《中 庸》与《论语》、《孟子》合编为 “四书”，其中《论语》被列于首 位。元明清六百年间，“四书”一
读名言 悟至理 获启发 利于行
孔子名言
1.君子坦荡荡，小人常戚戚
2.己所不欲，匆施于人