高等数学 隐函数求导
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例3 解
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练习 设
由方程
确定 , 求
解: 方程两边对 x 求导, 得
ey y y x y 0
①
再求导, 得
e y y2 (e y x) y 2 y 0
②
当 x 0 时, y 1, 故由 ① 得
再代入 ② 得
y(0) 1
e
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内容小结
1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数
3. 参数方程求导法 求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
Байду номын сангаас
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思考与练习
1. 设
由方程
且 存在，求
确定,
解: 方程两边对x 求导, 得
dx tp
3
5、设 xy e x y,则dy =________. dx
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二、求下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数d 2 y ：
dx 2
1、
；
2、
；
3、x y y x ( x > 0，y > 0).
三、用对数求导法则求下列函数的导数： 1、y x x2；
2、y
x 2(3 x)4 ； ( x 1)5
数，则dy =________. dx (1,1)
2、曲线 x 3 y 3 xy 7在点（1，2）处的切线方程 是___________.
3、曲线
x y
t t
cos t sin t
在t
p
2
处的法线方程________.
4、已知
x
et
cos
t
,则 dy
=______；dy
=______.
y e t sin t dx
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例2. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导
x 8
2 9
y
y
0
y
x2
y
3 2
3
9 x 16 y
x2
y
3 2
3
3 4
故切线方程为 y 3 3 3 (x 2)
2
4
即
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练习：求由方程
确定的隐函数
的一阶导数 二阶导数
解: 方程两边对 x 求导，得
注意 : 已知
对谁求导?
?
x
例7. 设
x f (t) y t f (t)
f
(t)
,
且
f
(t)
0,求
d2 dx
y
2
.
解:
d y dx
t f (t) f (t)
t,
d2 y d x2
1
f (t)
练习:
求 dy , d2y . dx dx2
解:
dy dx
1; t
d2 y d x2
1
t 2t
1 t3
d2 y d x2
d (dy) dx dx
d dt
(
d d
y x
)
ddtx ddxt
(t)(t) (t)(t)
2 (t)
(t )
(t
)
(t) (t 3 (t )
)
(t
)
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例5 解
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例6 解
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所求切线方程为
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例4. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导
1 y
y
cos
x
ln
x
sin x
x
y xsin x(cos x ln x sin x ) x
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求 解:
的导数 .
(cos x ln x sin x) x
y xsin x(cos x ln x sin x ) x
第四节
第二章
隐函数和参数方程求导
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数
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一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 . （隐函数的显化）
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 ,
隐函数求导方法:
但此隐函数不能显化 .
两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )
(含导数 y的方程)
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例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数
解: 方程两边对 x 求导
确定的隐函数
得 5y4 d y 2 d y 1 21x6 0 dx dx
dy dx
1 21x6 5y4 2
因x=0时y=0, 故
5、exx yex
y
y
.
二、1、
；
2、-2csc2 ( x y) cot 3 ( x y)； 3、 y(ln y 1)2 x(ln x 1)2 .
xy(ln y 1)3
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三、1、 x x2 1 (2 ln x 1)；
2、
x
2(3 ( x 1)5
x)4
[
3、 y x sin x 1 e x .
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四、求下列参数方程所确定的函数的二阶导数d 2 y ： dx 2
1、
x y
a cos t b sin t
；
2、
x y
f tf
(t ) (t )
f (t)
设 f (t)存在且不为零 .
五、求由参数方程 x ln(1 t 2 ) 所确定的函数的 y t arctan t
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又如,
两边取对数 对 x 求导
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二、由参数方程所确定的函数的导数
例如
消去参数
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
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若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
(t) 0 时, 有
dy dx
dy dt d t dx
2(
1 x
2)
3
4
x
x
5
]； 1
1
3
、 2
x sin x
1
e
x
[
1 x
cot
x
ex 2(1 e
x
] )
.
四、1、 b ； a 2 sin 3 t
2、
f
1 (t
. )
五、t 2 1. 4t
六、2
1 x2
.
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第五节 目录 上页 下页 返回 结束
思考题
1. 设 解: 方法1
求其反函数的导数 .
方法2 等式两边同时对 y 求导
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2. 设
,求
解：方程组两边同时对 t 求导, 得
dy d x t0
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一、填空题：
练习题
1、设 x 3 2x 2 y 5 xy 2 5 y 1 0确定了 y 是 x 的函
二阶导数 d 2 y . dx 2
六、设 f ( x)满足 f ( x) 2 f ( 1 ) 3 ，求 f ( x) . xx
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练习题答案
一、1、 4 ； 3
2、 x 11 y 23 0
3、p
2
x
y
p
2
0；
4、sin t cos t
cos sin
t t
,2
3；
dy dt
1 dx
(t) (t )
(t) 0时, 有
dt
dx dx d t dy dt dy
dx dt
1 dy
(t) (t)
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
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若上述参数方程中
二阶可导, 且
则由它确定的函数
可求二阶导数 .
x (t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
y(0)
1 e2
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对数求导法
观察函数 y
方法:
(x 1)(x 2) , (x 3)(x 4)
y xsinx.
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
--------对数求导法 适用范围:
对数求导法，可用来求幂指函数和多个因子连乘积
函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导
f (x3 y3)(3x2 3y2 dy ) 3cos 3x 6 dy 0
dx
dx
cos 3x f (x3 y3) x2 f (x3 y3) y2 2
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解 解得
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作业
P82 1(2)(3) ; 2 ; 4 (2) (4) ; 5 (1) (2); 6 (2) ; 8
dy 2 dx 2 cos y
d( 2 ) dx 2 cos y
2sin y y (2 cos y)2
例3 解
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练习 设
由方程
确定 , 求
解: 方程两边对 x 求导, 得
ey y y x y 0
①
再求导, 得
e y y2 (e y x) y 2 y 0
②
当 x 0 时, y 1, 故由 ① 得
再代入 ② 得
y(0) 1
e
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内容小结
1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数
3. 参数方程求导法 求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
Байду номын сангаас
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思考与练习
1. 设
由方程
且 存在，求
确定,
解: 方程两边对x 求导, 得
dx tp
3
5、设 xy e x y,则dy =________. dx
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二、求下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数d 2 y ：
dx 2
1、
；
2、
；
3、x y y x ( x > 0，y > 0).
三、用对数求导法则求下列函数的导数： 1、y x x2；
2、y
x 2(3 x)4 ； ( x 1)5
数，则dy =________. dx (1,1)
2、曲线 x 3 y 3 xy 7在点（1，2）处的切线方程 是___________.
3、曲线
x y
t t
cos t sin t
在t
p
2
处的法线方程________.
4、已知
x
et
cos
t
,则 dy
=______；dy
=______.
y e t sin t dx
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例2. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导
x 8
2 9
y
y
0
y
x2
y
3 2
3
9 x 16 y
x2
y
3 2
3
3 4
故切线方程为 y 3 3 3 (x 2)
2
4
即
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练习：求由方程
确定的隐函数
的一阶导数 二阶导数
解: 方程两边对 x 求导，得
注意 : 已知
对谁求导?
?
x
例7. 设
x f (t) y t f (t)
f
(t)
,
且
f
(t)
0,求
d2 dx
y
2
.
解:
d y dx
t f (t) f (t)
t,
d2 y d x2
1
f (t)
练习:
求 dy , d2y . dx dx2
解:
dy dx
1; t
d2 y d x2
1
t 2t
1 t3
d2 y d x2
d (dy) dx dx
d dt
(
d d
y x
)
ddtx ddxt
(t)(t) (t)(t)
2 (t)
(t )
(t
)
(t) (t 3 (t )
)
(t
)
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例5 解
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例6 解
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所求切线方程为
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例4. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导
1 y
y
cos
x
ln
x
sin x
x
y xsin x(cos x ln x sin x ) x
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求 解:
的导数 .
(cos x ln x sin x) x
y xsin x(cos x ln x sin x ) x
第四节
第二章
隐函数和参数方程求导
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数
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一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 . （隐函数的显化）
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 ,
隐函数求导方法:
但此隐函数不能显化 .
两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )
(含导数 y的方程)
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例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数
解: 方程两边对 x 求导
确定的隐函数
得 5y4 d y 2 d y 1 21x6 0 dx dx
dy dx
1 21x6 5y4 2
因x=0时y=0, 故
5、exx yex
y
y
.
二、1、
；
2、-2csc2 ( x y) cot 3 ( x y)； 3、 y(ln y 1)2 x(ln x 1)2 .
xy(ln y 1)3
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三、1、 x x2 1 (2 ln x 1)；
2、
x
2(3 ( x 1)5
x)4
[
3、 y x sin x 1 e x .
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四、求下列参数方程所确定的函数的二阶导数d 2 y ： dx 2
1、
x y
a cos t b sin t
；
2、
x y
f tf
(t ) (t )
f (t)
设 f (t)存在且不为零 .
五、求由参数方程 x ln(1 t 2 ) 所确定的函数的 y t arctan t
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又如,
两边取对数 对 x 求导
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二、由参数方程所确定的函数的导数
例如
消去参数
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
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若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
(t) 0 时, 有
dy dx
dy dt d t dx
2(
1 x
2)
3
4
x
x
5
]； 1
1
3
、 2
x sin x
1
e
x
[
1 x
cot
x
ex 2(1 e
x
] )
.
四、1、 b ； a 2 sin 3 t
2、
f
1 (t
. )
五、t 2 1. 4t
六、2
1 x2
.
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第五节 目录 上页 下页 返回 结束
思考题
1. 设 解: 方法1
求其反函数的导数 .
方法2 等式两边同时对 y 求导
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2. 设
,求
解：方程组两边同时对 t 求导, 得
dy d x t0
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一、填空题：
练习题
1、设 x 3 2x 2 y 5 xy 2 5 y 1 0确定了 y 是 x 的函
二阶导数 d 2 y . dx 2
六、设 f ( x)满足 f ( x) 2 f ( 1 ) 3 ，求 f ( x) . xx
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练习题答案
一、1、 4 ； 3
2、 x 11 y 23 0
3、p
2
x
y
p
2
0；
4、sin t cos t
cos sin
t t
,2
3；
dy dt
1 dx
(t) (t )
(t) 0时, 有
dt
dx dx d t dy dt dy
dx dt
1 dy
(t) (t)
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
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若上述参数方程中
二阶可导, 且
则由它确定的函数
可求二阶导数 .
x (t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
y(0)
1 e2
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对数求导法
观察函数 y
方法:
(x 1)(x 2) , (x 3)(x 4)
y xsinx.
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
--------对数求导法 适用范围:
对数求导法，可用来求幂指函数和多个因子连乘积
函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导
f (x3 y3)(3x2 3y2 dy ) 3cos 3x 6 dy 0
dx
dx
cos 3x f (x3 y3) x2 f (x3 y3) y2 2
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解 解得
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作业
P82 1(2)(3) ; 2 ; 4 (2) (4) ; 5 (1) (2); 6 (2) ; 8
dy 2 dx 2 cos y
d( 2 ) dx 2 cos y
2sin y y (2 cos y)2
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高等数学---隐函数
3. 参数方程求导法 转化 极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
相关变化率之间的关系式
再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
设 为切线倾角, 则
抛射体轨迹的参数方程
速度的水平分量 速度的方向
垂直分量
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
达到最高点的时刻
高度
落地时刻
抛射最远距离
例6. 设由方程
确定函数
求
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
故
三、相关变化率
为两可导函数
之间有联系
之间也有联系
可用对数求导法求导 :
注意: 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数
两边对 x 求导
又如,
两边取对数 对 x 求导
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
时, 有
时, 有
(此时看成 x 是 y 的函数 )
若上述参数方程中 则由它确定的函数
利用新的参数方程
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
,可得
注意 : 已知
?
例4. 设
,且
求
解: 练习: P109 题8(1) 解:
例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速 度大小:
速度的水平分量为
Байду номын сангаас垂直分量为
故抛射体速度大小
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
相关变化率之间的关系式
再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
设 为切线倾角, 则
抛射体轨迹的参数方程
速度的水平分量 速度的方向
垂直分量
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
达到最高点的时刻
高度
落地时刻
抛射最远距离
例6. 设由方程
确定函数
求
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
故
三、相关变化率
为两可导函数
之间有联系
之间也有联系
可用对数求导法求导 :
注意: 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数
两边对 x 求导
又如,
两边取对数 对 x 求导
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
时, 有
时, 有
(此时看成 x 是 y 的函数 )
若上述参数方程中 则由它确定的函数
利用新的参数方程
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
,可得
注意 : 已知
?
例4. 设
,且
求
解: 练习: P109 题8(1) 解:
例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速 度大小:
速度的水平分量为
Байду номын сангаас垂直分量为
故抛射体速度大小
《高等数学》课件5第五节 隐函数的求导公式 ppt
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数,
② F( x0 , y0 , z0 ) 0,
③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
则方程 F( x, y, z) 0在点
某一邻域内可唯一确定
一个连续且具有连续偏导数的函数 z = f (x , y) ,
满足
并有
z Fx , x Fz
定理证明从略.
它满足条件 y(0) 1, 且
dy Fx x .
dx Fy y y = y (x)
d2 y dx 2
d dx
(
x) y
y
x
y2
y
y
x( y2
x) y
1 y3
,
dy 0,
dx x0
y1
d2 y dx2 x0 1.
y1
II. F( x, y, z) 0
定理2. 若函数 F ( x, y, z) 满足:
zz
zz
fu du fv dv 0
x fu d( z )
fv
d( y ) z
0
f1
(
z
d
x z2
x
dz
)
f2
(
zd
y
z2
y
dz
)
0
x f1 y f2 z2
dz
f1d x f2 d y z
dz z f1 d x z f2 d y
x f1 y f2
x f1 y f
z z F1 , x x F1 y F2
F ( x, G( x,
y, u, v) y, u, v)
0 0
有隐函数组
则
GF
对 x 求导
Fx
高等数学上24隐函数的导数对数求导法由参数方程所确定函数的导数
结束
若函数 xy ((tt))二阶可 , 导
d2 y dx2
d (dy) dx dx
d ((t)) dt dt (t) dx
d2y dx 2
d dt
(t ) ( t )
dx
dt
(t)( t) 2( t)(t)(t)1 (t)
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x a(t sint) y a(1cost)
x a cos3 t
y
a
sin 3
t
2
2
2
x3 y3 a3
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x2 y2 axa x2 y2
a(1cost)
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ea
a
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结束
例8 一汽球从离5开 0m 0处 观离 察地 员面铅
上升 ,其速率 14m 0为 /mi.当 n 气球高 50m 度 0时,为
观察员视线的 率仰 是角 多 ? 增 少加
解 设t时 刻 ,气球上升h高 ,观度 察为 员 视 线
的 仰 角 ,则 为
tan h （相关方程）
500
四、隐函数的导数 对数求导法 由参数方程所确定函数的导数
隐函数的导数 对数求导法由参数 方程所确定函数的导数
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1、隐函数的导数 P102
定义: 设在方程 F(x, y) 0中,当x取某区 间内的任意值 , 相时应地总有满足这的方程 唯一y的值存,在 那么就说方F程 (x, y) 0在 该区间内确定了一函个数y隐 f (x).
高等数学9_6隐函数求导
导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x)
两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x 0
ex cos
y y
x
(0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d2y dx2
x 0 3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2 . 若函数 F(x, y, z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F(x0 , y0, z0 ) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0 ) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数
z Fx , z Fy x Fz y Fz
化简得
x f dy
F2 dy 消去d y 可得 dz .
dx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第六节 隐函数的求导方法
一、由一个方程所确定的隐函数 的求(偏)导公式
二、由方程组所确定的隐函数组 的求(偏)导法则
三、全微分法
本节讨论 :
1) 方程（组）在什么条件下才能确定隐函数 . 2) 在方程（组）能确定隐函数时,研究其连续 性、可微性及求(偏)导方法问题 .
一、由一个方程所确定的隐函数的求导公式
dy dx
Fx x 0 Fy
x
0
ex y cos y x
d2y dx2 x 0
d ( ex y ) dx cos y x
x 0, y 0
( ex y)(cos y x) (ex y)(sin y y 1)
隐函数的求导法则
隐函数的求导法则在高等数学中，人们经常要研究使用函数表示不明确的关系的问题。
具有x和y两个自变量的方程通常也称为隐函数。
在这种情况下，求导的方法与单变量函数的情况有所不同。
假设我们有一个方程f(x,y)=0代表一个隐函数。
如果我们将y表示为x的函数，那么我们可以使用求导规则计算dy/dx。
我们用y=f(x)来代表意味着y是x的函数，在这种情况下，我们可以将原始方程看成f(x,f(x))=0。
现在我们需要将它们进行求导：通过链式法则，我们得到：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx = 0解决方程，我们可以得到dy/dx：dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y)这就是隐函数的求导法则。
现在我们来看几个例子。
例子1：考虑方程x^2+y^2 = 1，代表一个圆形。
假设我们需要求通过点(0.5,0.866)的圆的斜率。
我们可以通过对方程隐式地求导来解决这个问题。
从方程中得到：2x + 2y * dy/dx = 0这个时候，我们用点(0.5,0.866)代入求导公式：dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y) = -x/y = -0.577例子2：考虑方程x^2+y^2+z^2 = 1，代表一个球。
假设要求通过点(0.5, 0.866, 0)的球的切平面。
我们如何确定这个平面的法向量？这里我们可以思考什么会构成法向量：从点(0.5, 0.866, 0)向球的中心(0,0,0)所成的向量，然后我们将这个向量投影在切平面上。
我们可以通过隐函数求导的方法来找到它的方向。
从方程中得到：2x + 2y * dy/dx + 2z * dz/dx = 0我们需要知道dz/dx的值，但只有两个自变量，我们该怎么办？我们可以再次隐式地求导。
我们有这样的等式：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx + ∂f/∂z * dz/dx = 0将方程放入这个等式，我们得到：(1) + y * dy/dx + z * dz/dx = 0然后再用我们之前求出的dy/dx代替，得到：(1) + y * (-x/y) + z * dz/dx = 0然后代入我们想要的点，我们得到：dz/dx = -x * z/y = (-0.5) * 0/0.866 = 0现在我们知道了dz/dx = 0。
高等数学 第八章 第4节 隐函数的求导公式
求导， 将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
∂u xv − yu , = 2 2 ∂y x + y
∂v xu + yv . =− 2 2 x +y ∂y
18
x + y + z = 0 du 例6 u = sin xy , 且 2 2 2 , 求 . dz x + y + z = 1
解 : 方程组对 求导 方程组对z
1(1)(3),2,3,4
B组 组
1,3
思考题
x y 为可微函数， 已知 = ϕ ( ) ，其中ϕ 为可微函数， z z ∂z ∂z 求x + y =? ∂x ∂y
22
思考题解答
1 则 Fx = ， z −x y (− y ) y 1 Fy = −ϕ ′( ) ⋅ , Fz = 2 − ϕ ′( ) ⋅ 2 , z z z z z y − zϕ ′ ( ) Fy ∂z ∂z Fx z z , =− = , =− = Fz x − yϕ ′( y ) Fz x − yϕ ′( y ) ∂y ∂x z z
F ( x , y , u( x , y ), v ( x , y )) = 0 ∴ G ( x , y , u( x , y ), v ( x , y )) = 0 方程组对x 方程组对 求偏导
∂u ∂v Fx + Fu ∂x + Fv ∂x = 0 G + G ∂u + G ∂v = 0 u v x ∂x ∂x
19
三、小结
（分以下几种情况） 隐函数的求导法则 分以下几种情况）
(1) F ( x , y ) = 0
( 2) F ( x , y , z ) = 0
高等数学 2-6隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数、相关变化率
上式两边对 x求导得
y′ 1 1 2 = + − −1 y x + 1 3( x − 1) x + 4
∴ y′ =
( x + 1)3 x − 1 1 1 2 [ + − − 1] 2 x ( x + 4) e x + 1 3( x − 1) x + 4
sin x ( x > 0), 求y′. 例 5设 y = x
三、由参数方程所确定的函数的导数
x = ϕ (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系, 称此为 y = ψ (t ) 由参数方程所确定的函数.
例如
x = 2t , x ⇒ t = 消去参数 t 2 2 y = t ,
x2 1 x ∴ y′ = x ∴ y = t 2 = ( )2 = 2 4 2
7
dy = dx
ห้องสมุดไป่ตู้
t =t0
=
(2) 炮弹在 t 0时刻沿 x, y轴方向的分速度为 dx dt dy vy = dt vx =
t =t 0
= (v0t cos α )′ t =t0 = v0 cos α = (v0t sin α − 1 2 gt )′ t =t0 = v0 sin α − gt 0 2
4000
600
解： 设时刻 t水深为h(t ), 水库内水量为V (t ), 则
V (t ) = 4000 3h 2
6
上式两边对t求导得
Q
dV dh = 8000 3h ⋅ dt dt
dV = 28800米 3 / 小时, ∴当h = 20米时, dt dh ≈ 0.104米 / 小时 dt
五、小结 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率; 解法: 通过建立两者之间 的关系, 用链式求导法求解.
高等数学第8章五节隐函数的求导公式最终
d y x y x y y y x y . dx y x
3
引例:已知
e
x y
xy 0 确定 y y( x ), 求 y( x )
e
x y
(1 y) (y xy) 0
注意此方程能确定一个一元函数，是在y可导的前 提下进行的． 并不一定都能确定一元 函数．
10
练习P102 2
y dy 已知 ln x y arctan , 求 . x dx
2 2
解
公式法
令 F ( x , y ) ln x 2 y 2 arctan y , x x y y x , Fy ( x , y ) 2 , 则 Fx ( x , y ) 2 2 2 x y x y x y dy Fx . y x dx Fy
x2 y2 z2 解 法一 公式法 令 F ( x , y , z ) 2 2 2 1 a b c 2x 2z 则 Fx 2 , F y 2 y , Fz a b2 c2
z c x 2 , x a z
2
c y z 2 b z y
2
( z 0)
在求Fx , Fy, Fz时, 将F(x, y, z)看作是 x, y, z的三个自变量的函数.
能确定
dy 一个隐函数y = f (x), 并求 . dx
x y 记 证 F ( x, y ) xy e e , 则
Fx ( x , y ) y e x 与Fy ( x , y ) x e y
隐函数存在定理1
隐函数 y = f (x), 且
x dy Fx ye . y dx Fy xe
dy Fx ( x , y ) dy Fx . 或简写: dx Fy ( x , y ) dx Fy
3
引例:已知
e
x y
xy 0 确定 y y( x ), 求 y( x )
e
x y
(1 y) (y xy) 0
注意此方程能确定一个一元函数，是在y可导的前 提下进行的． 并不一定都能确定一元 函数．
10
练习P102 2
y dy 已知 ln x y arctan , 求 . x dx
2 2
解
公式法
令 F ( x , y ) ln x 2 y 2 arctan y , x x y y x , Fy ( x , y ) 2 , 则 Fx ( x , y ) 2 2 2 x y x y x y dy Fx . y x dx Fy
x2 y2 z2 解 法一 公式法 令 F ( x , y , z ) 2 2 2 1 a b c 2x 2z 则 Fx 2 , F y 2 y , Fz a b2 c2
z c x 2 , x a z
2
c y z 2 b z y
2
( z 0)
在求Fx , Fy, Fz时, 将F(x, y, z)看作是 x, y, z的三个自变量的函数.
能确定
dy 一个隐函数y = f (x), 并求 . dx
x y 记 证 F ( x, y ) xy e e , 则
Fx ( x , y ) y e x 与Fy ( x , y ) x e y
隐函数存在定理1
隐函数 y = f (x), 且
x dy Fx ye . y dx Fy xe
dy Fx ( x , y ) dy Fx . 或简写: dx Fy ( x , y ) dx Fy
隐函数求导
隐函数求导隐函数求导是高等数学中的一种求导方法，用于求解含有隐含变量的函数的导数。
通常来说，给定一个方程，如果它不能够被显式地表示为y=f(x)的形式，那么我们就需要使用隐函数求导的方法来求解它的导数。
隐函数求导的基本思想是在方程两边同时求导，然后根据链式法则和隐函数导数定理进行推导，最后得到隐函数的导数表达式。
让我们以一个简单的例子来说明隐函数求导的过程。
假设有一个方程：x² + y² = 1。
这是一个圆的方程，但无法明确地表示y关于x的函数形式。
首先，我们对方程两边同时求导。
对于x²，我们可以直接得到导数为2x。
而对于y²，由于y是一个关于x的隐函数，我们需要使用隐函数求导的方法来求解。
这里我们使用隐函数导数定理，即(dy/dx) = - (dy/dx) / (dx/dy)。
将方程x² + y² = 1两边同时对x求导，得到2x + 2y(dy/dx) = 0。
然后解出(dy/dx)，得到(dy/dx) = -x/y。
这样，我们就得到了方程y² = 1 - x²的导数表达式(dy/dx) = -x/y。
通过这个例子，我们可以总结出求解隐函数导数的一般步骤：1. 对于给定的隐函数方程，通常是一个关于x和y的方程，需要对方程两边同时求导。
2. 对于显式函数，可以直接求导；而对于隐函数部分，需要使用隐函数导数定理求解。
3. 使用隐函数导数定理对隐函数部分进行求导时，需要注意使用链式法则，并考虑到隐函数对x的依赖关系。
4. 解出隐函数导数的表达式。
上述步骤只是隐函数求导的一般思路，实际应用中可能会遇到更加复杂的情况。
因此，我们需要根据具体问题的特点和条件来确定使用何种求导方法。
在实际问题中，隐函数求导的应用非常广泛。
例如，当我们研究物理学中的运动问题时，经常会遇到含有时间和位置的方程，这时就需要使用隐函数求导的方法来求解速度和加速度等相关物理量的变化率。
高等数学：第九讲 隐函数的导数
2. 隐函数求导的关键是搞清楚y是x的函数，碰到只含有x的 函数，正常求导；碰到含有y的函数，先对y求导，再乘以y 对x的导数y′。
3. 在隐函数导数的结果中，既含有自变量x，又含有因变量y， 通常不能也无须求得只含自变量的表达式.
谢谢
即 ey .y′ -2y .y′+(y+x y′) =0 从中解出y，得
y y' 2y xey
因为y是x的函数，
z
所以ey是x的复合函数. y
记z e y , 求 dz .
dy
dy dx
ey
y
03 小结
1. 显函数求导的四则运算法则和复合函数求导法则对于 隐函数的导数同样成立。
02 隐函数的求导法则
F(x, y) 0 方程两边对 x 求导
d F(x, y) 0 dx
将方程中的y视为x 的函数y( x)(隐函数)
得到含导数 y 的方程 ，从而解出 y .
例题：
设方程 ey-y2+xy=0确定函数 y = y(x)，求 y.
解 方程两边对x求导，得 (ey)′ - (y2 )′+ (xy )′=(0)′，
隐函数的导数
目录
01 隐函数的定义
02 隐函数的求导法则
03
小结
01 隐函数的定义
对应法则的显性和隐性 函数
显函数 隐函数
01 隐函数的定义
形如 y f (x) 的函数，称为显函数。 例如 y sin x，y x3 ex 都是显函数。 特点：方程的左边是因变量，右边是关于自变量的表达式。
隐函数
定义 若如由果方二程元方F (程x,Fy)(x, 0y)可确0 可定确y 定是 yx 是的函x 的数函, 则数称, 此则函称数
3. 在隐函数导数的结果中，既含有自变量x，又含有因变量y， 通常不能也无须求得只含自变量的表达式.
谢谢
即 ey .y′ -2y .y′+(y+x y′) =0 从中解出y，得
y y' 2y xey
因为y是x的函数，
z
所以ey是x的复合函数. y
记z e y , 求 dz .
dy
dy dx
ey
y
03 小结
1. 显函数求导的四则运算法则和复合函数求导法则对于 隐函数的导数同样成立。
02 隐函数的求导法则
F(x, y) 0 方程两边对 x 求导
d F(x, y) 0 dx
将方程中的y视为x 的函数y( x)(隐函数)
得到含导数 y 的方程 ，从而解出 y .
例题：
设方程 ey-y2+xy=0确定函数 y = y(x)，求 y.
解 方程两边对x求导，得 (ey)′ - (y2 )′+ (xy )′=(0)′，
隐函数的导数
目录
01 隐函数的定义
02 隐函数的求导法则
03
小结
01 隐函数的定义
对应法则的显性和隐性 函数
显函数 隐函数
01 隐函数的定义
形如 y f (x) 的函数，称为显函数。 例如 y sin x，y x3 ex 都是显函数。 特点：方程的左边是因变量，右边是关于自变量的表达式。
隐函数
定义 若如由果方二程元方F (程x,Fy)(x, 0y)可确0 可定确y 定是 yx 是的函x 的数函, 则数称, 此则函称数