高数-隐函数偏导数的求法及其应用
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隐函数方程组求偏导数
探究隐函数方程组的求偏导数方法隐函数方程组求偏导数是高等数学中的重点之一。
在应用数学、物理、化学等领域中，经常会涉及到多元函数的求导问题。
本文将探究隐函数方程组的求偏导数方法，给出具体的操作步骤和应用案例。
我们先来回顾一下隐函数方程组的概念。
隐函数方程组是指一组方程，其中每个方程都包含多个变量，但是其中只有一些变量是显式出现的，其余变量是隐含的。
例如，下面这组方程就可以看作是一个隐函数方程组：x + y + z = 10x^2 + y^2 + z^2 = 30这个方程组中，x、y、z三个变量的每个方程中都有出现，但是其中只有x和y是显式出现的，z是隐含的。
在这种情况下，我们可以用偏导数的概念来求出z对x、y的偏导数。
下面我们就来介绍求解方法。
假设有一个隐函数方程组：F(x, y, z) = 0G(x, y, z) = 0H(x, y, z) = 0我们要求z对x、y的偏导数，可以按照下面的方法进行：1. 对于某个变量t，若t在某个方程中显式出现，则对该方程求偏导数，可得到关于t的偏导数。
2. 对于某个变量t，若t在某个方程中隐含出现，则分别对三个方程求偏导数，得到：∂F/∂x * ∂G/∂y * ∂H/∂z + ∂G/∂x * ∂H/∂y * ∂F/∂z + ∂H/∂x * ∂F/∂y * ∂G/∂z- ∂F/∂x * ∂H/∂y * ∂G/∂z - ∂G/∂x * ∂F/∂y * ∂H/∂z - ∂H/∂x *∂G/∂y * ∂F/∂z3. 将求得的上式带入下面的式子中：∂z/∂x = - (∂F/∂x * ∂H/∂y * ∂G/∂z + ∂G/∂x * ∂F/∂y * ∂H/∂z + ∂H/∂x * ∂G/∂y * ∂F/∂z) / ( ∂F/∂x * ∂G/∂y * ∂H/∂z + ∂G/∂x * ∂H/∂y * ∂F/∂z + ∂H/∂x * ∂F/∂y * ∂G/∂z)同理，可得：∂z/∂y = - (∂F/∂y * ∂H/∂x * ∂G/∂z + ∂G/∂y * ∂F/∂x * ∂H/∂z + ∂H/∂y * ∂G/∂x * ∂F/∂z) / ( ∂F/∂x * ∂G/∂y * ∂H/∂z + ∂G/∂x * ∂H/∂y * ∂F/∂z + ∂H/∂x * ∂F/∂y * ∂G/∂z)4. 按照上述方法，逐步求得z对x、y的偏导数值。
隐函数的偏导数课件
约束条件下的最优化
在有约束条件下求解最优化问题时，偏导数可以帮助我们找到满足约束条件的解。
微分方程中的偏导数应用
求解微分方程
在求解微分方程时，通过求偏导数可 以将微分方程转化为代数方程组，从 而简化求解过程。
微分方程的稳定性
通过求偏导数可以分析微分方程的稳 定性，例如判断系统是否会趋于稳定 或发散。
导数可以得到切线的斜率。
02 03
隐函数偏导数的计算方法
隐函数偏导数的计算方法包括高阶偏导数的计算、复合函数的偏导数计 算、全微分的计算等。这些方法在计算过程中需要遵循一定的规则和步 骤，以确保计算的正确性。
隐函数偏导数的应用
隐函数偏导数在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。例如，在求 解微分方程、优化问题、曲线和曲面的拟合等方面都需要用到隐函数偏 导数。
隐函数的偏导数的未来研究方向
隐函数偏导数的性质研究
目前对于隐函数偏导数的性质研究还不够深入，未来可以进一步研 究隐函数偏导数的性质，如连续性、可微性等。
隐函数偏导数的计算方法的改进
目前对于隐函数偏导数的计算方法还有许多需要改进的地方，未来 可以进一步优化计算方法，提高计算的效率和准确性。
隐函数偏导数的应用拓展
隐函数的偏导数课件
• 引言 • 隐函数的偏导数计算方法 • 隐函数的偏导数的几何意义 • 隐函数的偏导数的应用 • 总结与展望
01
引言
隐函数的概念
隐函数
如果一个函数$y$在某个变量$x$的某 个邻域内，不能单独地显式地表示为 $x$的函数，则称$y$为$x$的隐函数。
常见的隐函数形式
$F(x, y) = 0$，其中$F(x, y)$是一个 二元函数。
隐函数与偏导数的应用
在有约束条件下求解最优化问题时，偏导数可以帮助我们找到满足约束条件的解。
微分方程中的偏导数应用
求解微分方程
在求解微分方程时，通过求偏导数可 以将微分方程转化为代数方程组，从 而简化求解过程。
微分方程的稳定性
通过求偏导数可以分析微分方程的稳 定性，例如判断系统是否会趋于稳定 或发散。
导数可以得到切线的斜率。
02 03
隐函数偏导数的计算方法
隐函数偏导数的计算方法包括高阶偏导数的计算、复合函数的偏导数计 算、全微分的计算等。这些方法在计算过程中需要遵循一定的规则和步 骤，以确保计算的正确性。
隐函数偏导数的应用
隐函数偏导数在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。例如，在求 解微分方程、优化问题、曲线和曲面的拟合等方面都需要用到隐函数偏 导数。
隐函数的偏导数的未来研究方向
隐函数偏导数的性质研究
目前对于隐函数偏导数的性质研究还不够深入，未来可以进一步研 究隐函数偏导数的性质，如连续性、可微性等。
隐函数偏导数的计算方法的改进
目前对于隐函数偏导数的计算方法还有许多需要改进的地方，未来 可以进一步优化计算方法，提高计算的效率和准确性。
隐函数偏导数的应用拓展
隐函数的偏导数课件
• 引言 • 隐函数的偏导数计算方法 • 隐函数的偏导数的几何意义 • 隐函数的偏导数的应用 • 总结与展望
01
引言
隐函数的概念
隐函数
如果一个函数$y$在某个变量$x$的某 个邻域内，不能单独地显式地表示为 $x$的函数，则称$y$为$x$的隐函数。
常见的隐函数形式
$F(x, y) = 0$，其中$F(x, y)$是一个 二元函数。
隐函数与偏导数的应用
高数隐函数偏导数的求法及其应用-文档资料
0
f
u
(
x y
1)
fv ( xz
yz x), y
整理得 x fu xzfv ,
y
fu yzfv
把 y 看成x, z 的函数对z 求偏导数得
1
y
fu
( z
1)
y fv ( xy xz z ),
整理得 y 1 fu xyfv . z fu xzfv
1、二元函数极值的定义
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于( x0 , y0 ) 的点( x, y) ： 若满足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数 在 ( x0 , y0 ) 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数在( x0 , y0 ) 有极
可能极值点，
先构造函数F ( x, y) f ( x, y) ( x, y)，
其中 为某一常数，可由
f f
x y
( (
x, x,
y) y)
x y
( (
x, x,
y) y)
0, 0,
( x, y) 0.
解出 x, y, ，其中x, y 就是可能的极值点的坐标.
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：
小值；
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
2、多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件）
设函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )具有偏导数，且 在点( x0 , y0 )处有极值，则它在该点的偏导数必 然为零： f x ( x0 , y0 ) 0， f y ( x0 , y0 ) 0 .
高数隐函数偏导数的求法及其应用
隐函数性质
隐函数具有连续性、可微性等性质， 这些性质使得我们可以对其进行微积 分运算。
偏导数定义及几何意义
偏导数定义
偏导数是指多元函数中，一个自变量变化而其余自变量保持不变时，因变量相对于该自变量的变化率 。
偏导数几何意义
偏导数在几何上表示多元函数在某一点处沿某一坐标轴方向的变化率，即切线斜率。
隐函数存在定理
04
隐函数偏导数在物理中的应用
速度、加速度与位移关系
隐函数偏导数在描述质点运动学中的速度、加速度与位移关系时具有重要作用。
通过求解隐函数的偏导数，可以得到质点在各个方向上的速度分量，进而求得质点 的合速度。
同样地，通过对速度进行偏微分，可以得到质点在各个方向上的加速度分量，从而 了解质点的运动状态。
收益函数
收益函数表示产量与收益之间的关系。通过求隐函数的收 益函数偏导数，可以得到边际收益，即增加一单位产量所 引起的总收益的变动。这些边际量在经济学中对于分析生 产者的行为和市场均衡具有重要意义。
06
总结与展望
隐函数偏导数求解方法总结
直接法
通过对方程两边同时求偏导数，得到包含未知偏导数的等式， 然后解出未知偏导数。这种方法适用于较简单的隐函数方程。
03
隐函数偏导数在几何中的应用
切线斜率与法线斜率
切线斜率
隐函数在某点的切线斜率可以由该点的偏导数求得。对于二元隐函数 $F(x,y)=0$，在点$(x_0,y_0)$处的切线斜率为$frac{F_x(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)}$。
法线斜率
法线是与切线垂直的直线，因此法线的斜率与切线的斜率互为负倒数。在点 $(x_0,y_0)$处的法线斜率为$frac{F_y(x_0,y_0)}{F_x(x_0,y_0)}$。
隐函数具有连续性、可微性等性质， 这些性质使得我们可以对其进行微积 分运算。
偏导数定义及几何意义
偏导数定义
偏导数是指多元函数中，一个自变量变化而其余自变量保持不变时，因变量相对于该自变量的变化率 。
偏导数几何意义
偏导数在几何上表示多元函数在某一点处沿某一坐标轴方向的变化率，即切线斜率。
隐函数存在定理
04
隐函数偏导数在物理中的应用
速度、加速度与位移关系
隐函数偏导数在描述质点运动学中的速度、加速度与位移关系时具有重要作用。
通过求解隐函数的偏导数，可以得到质点在各个方向上的速度分量，进而求得质点 的合速度。
同样地，通过对速度进行偏微分，可以得到质点在各个方向上的加速度分量，从而 了解质点的运动状态。
收益函数
收益函数表示产量与收益之间的关系。通过求隐函数的收 益函数偏导数，可以得到边际收益，即增加一单位产量所 引起的总收益的变动。这些边际量在经济学中对于分析生 产者的行为和市场均衡具有重要意义。
06
总结与展望
隐函数偏导数求解方法总结
直接法
通过对方程两边同时求偏导数，得到包含未知偏导数的等式， 然后解出未知偏导数。这种方法适用于较简单的隐函数方程。
03
隐函数偏导数在几何中的应用
切线斜率与法线斜率
切线斜率
隐函数在某点的切线斜率可以由该点的偏导数求得。对于二元隐函数 $F(x,y)=0$，在点$(x_0,y_0)$处的切线斜率为$frac{F_x(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)}$。
法线斜率
法线是与切线垂直的直线，因此法线的斜率与切线的斜率互为负倒数。在点 $(x_0,y_0)$处的法线斜率为$frac{F_y(x_0,y_0)}{F_x(x_0,y_0)}$。
隐函数偏导数
隐函数偏导数在微积分中，隐函数偏导数是一个非常重要的概念。
隐函数偏导数直接关系到一些高等数学领域的研究，如微分方程、多元函数的极值等。
本文将介绍隐函数偏导数的基本概念、应用以及举例说明。
一、基本概念在数学中，隐函数是指两个或两个以上的变量之间存在着某种依赖关系，但是这种依赖关系无法直接表述为某个固定的函数。
举个例子，如下方程：x^2 + y^2 = 1该方程无法求解为 y = f(x) 的形式，但是 x 和 y 之间的关系是存在的。
因此，我们称 x 和 y 之间的关系为隐函数。
对于这个方程，我们可以对其进行求导，以得到 x 和 y 之间的偏导数：2x + 2y(dy/dx) = 0通过求解这个方程，我们可以得到 dy/dx 的值。
这就是隐函数偏导数的基本概念。
隐函数偏导数是指在某个方程中，存在两个或两个以上的变量，其中一个变量对另外一个变量求导的结果，称为这个方程的隐函数偏导数。
二、应用隐函数偏导数在微积分中有着广泛的应用。
其中一个应用是用来求解多元函数的极值。
我们可以通过求偏导数来确定多元函数的极值。
在某些情况下，多元函数无法用显式函数来表达，而是需要用隐函数的形式。
在这种情况下，我们需要使用隐函数偏导数来求解多元函数的极值。
另一个应用是在微分方程中。
微分方程是一种形式为 y' = f(x, y) 的方程，其中 y 是未知的函数。
在某些情况下，微分方程是无法用显式函数来表达的，而需要使用隐函数的形式。
在这种情况下，我们需要使用隐函数偏导数来确定 y 的导数。
三、举例说明为了更好地理解隐函数偏导数的概念，我们来看一个具体的例子。
假设有一条曲线，其方程是：y^3 - 3xy + x^3 = 0我们可以对其求偏导数，以求出斜率：3y^2 (dy/dx) - 3y + 3x^2 = 0通过求解该方程，我们得到：dy/dx = (y - x^2) / y^2这就是该曲线在每个点处的斜率。
我们可以通过此来确定曲线的特性，例如是否存在极值点。
《隐函数的偏导数》课件
03
在工程学中，偏导数可以用来 优化设计，例如机械设计、建 筑设计等。
未来研究方向
01
02
随着科学技术的不断发展，偏导数的研究也在不断深入。未来，偏导 数可能会在更广泛的领域得到应用，例如人工智能、机器学习等。
未来研究的方向可能包括如何更好地理解偏导数的性质和行为，如何 将偏导数的理论应用到实际问题中，以及如何将偏导数与其他数学工 具相结合，以更好地解决实际问题。
THANKS
隐函数的偏导数可以用来求解函数的 极值问题。
详细描述
通过求解偏导数等于0的点，可以找 到函数可能的极值点，再进一步分析 这些点的函数值来确定是否为极值点 。
04
实际应用举例
经济模型中的应用
隐函数的偏导数在经济模型中有着广泛的应用，例如在研究供需关系、价格形成机制、成本最小化等 问题时，需要用到隐函数的偏导数来求解最优化问题。
《隐函数的偏导数》ppt课件
目录
• 引言 • 隐函数的偏导数计算方法 • 隐函数的偏导数在几何上的意义 • 实际应用举例 • 总结与展望
01
引言
隐函数的概念
03
隐函数
如果一个函数$y$在某种条件下，只能通 过另一个函数$x$来表示，则称$y$为隐 函数。
举例
$z = f(x, y)$，当$z = 0$时，$y$就是关 于$x$的隐函数。
链式法则的应用
链式法则在计算复合函数的导数时非常有用，特别是当内层 函数和外层函数都比较复杂时。通过链式法则，我们可以将 复合函数的导数分解为两个步骤：先对内层函数求导，再对 外层函数求导，然后将两个导数相乘。
隐函数求导法则
隐函数求导法则
对于一个由$y=f(x)$定义的隐函数，其导数可以通过对等式两边同时对$x$求导得到。具体来说，如 果$y=f(x)$，则$frac{dy}{dx}=frac{d}{dx}f(x)$。
9.6隐函数的偏导数
F(x, y, u, v) = 0 有隐函数组 设方程组 G(x, y, u, v) = 0
则
两边对 x 求导得
∂u 这是关于 , ∂x
∂u ∂v Fx + Fu ⋅ + Fv ⋅ = 0 ∂x ∂x Gx + Gu ⋅ ∂u + Gv ⋅ ∂v = 0 ∂x ∂x ∂v 的线性方程组 , 在点P 的某邻域内 ∂x
称为F、G 的雅可比 Jacobi )行列式. 雅可比( 雅可比
定理9.10 设函数 ① 在点 变量的连续偏导数；
满足: 的某一邻域内具有对各个
② F(x0 , y0 , u0 , v0 ) = 0, G(x0 , y0 , u0 , v0 ) = 0;
∂(F, G) ③J = P ∂(u, v)
则
Fx = y + z, Fy = x + z , Fz = y + x
从而
Fy Fx ∂z y + z ∂z x+z =− =− , =− =− . ∂x Fz y + x ∂y Fz y+z
∂2 z 例3. 设 x2 + y2 + z 2 − 4z = 0, 求 2 . ∂x 解法1 解法 利用隐函数求导 ∂z x ∂z ∂z = 2x + 2z − 4 = 0 ∂x 2− z ∂x ∂x
∂z =− y ∂y ′ F′ ⋅ (− x ) + F2 ⋅ (− 2 ) 1 2
z z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
′ z F2 ⋅ 1
′ z F2 = ′ x F′ + y F2 1
故
Fx z ∂z ∂z ∂z (F′dx + F2dy) dz = dx + dy = = −′ 1 ′ x F′ + y F2 ∂ x ∂x ∂y Fz 1
高数 隐函数偏导数的求法及其应用23页PPT
45、自己的饭量自己知道。——苏联
高数 隐函数偏导数的求法及其应用
1、合法而稳定的权翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
高数 隐函数偏导数的求法及其应用
1、合法而稳定的权翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
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把 x 看成z , y 的函数对y 求偏导数得
x x 0 f u ( 1) f v ( xz yz ), y y
整理得
x f u xzfv , f u yzfv y
z 求偏导数得 把 y 看成 x, z 的函数对
y y 1 f u ( 1) f v ( xy xz ), z z
x z 2 z ( 2 z ) x x ( 2 z ) x 2 z 2 2 x ( 2 z )2 (2 z )
( 2 z )2 x 2 . 3 (2 z )
z x y 例 4 设 z f ( x y z , xyz ) ，求 ， ， . x y z z 思路：把 z 看成 x , y 的函数对x 求偏导数得 ， x
例7
将正数 12 分成三个正数 x , y , z 之和 使得 3 2 u x y z 为最大.
2 2 Fx 3 x y z 0 3 F 2 x yz 0 y 3 2 F x y 0 z x y z 12
z Fx ， x Fz
Fy z . y Fz
z 例 3 设 x y z 4 z 0 ，求 2 . x
2 2 2
2
2 2 2 F ( x , y , z ) x y z 4z , 解 令
则 Fx 2 x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
2、多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件） 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数，且 在点 ( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该点的偏导数必 然为零： f x ( x0 , y0 ) 0 ， f y ( x0 , y0 ) 0 .
解 令 F ( x , y , z ) x 3 y 2 z ( x y z 12) ,
则
解得唯一驻点(6,4,2) ，
故最大值为 umax 6 4 2 6912.
3 2
四、小结
多元函数的极值
（取得极值的必要条件、充分条件）
拉格朗日乘数法
思考题
若 f ( x 0 , y ) 及 f ( x , y 0 ) 在( x 0 , y 0 ) 点均取得 极值， 则 f ( x , y ) 在点( x 0 , y0 ) 是否也取得极值？
f y ( x 0 , y0 ) 0 ， 又 f x ( x 0 , y0 ) 0 , 令 f xx ( x0 , y0 ) A ， f xy ( x0 , y0 ) B ， f yy ( x0 , y0 ) C ，
则 f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下： （1） AC B 0 时具有极值，
2 2
整理得
y 1 f u xyfv . f u xzfv z
1、二元函数极值的定义
设函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于( x0 , y0 ) 的点( x , y ) ： 若满足不等式 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ，则称函数 在 ( x 0 , y0 ) 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ，则称函数在( x0 , y0 ) 有极 小值；
1 当 z 2 6 时， A 0 , 4
所以z f (1,1) 6 为极大值.
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤：
第一步 解方程组 f x ( x , y ) 0,
f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点. 注意：驻点 极值点
例如, 点(0,0) 是函数z xy 的驻点， 但不是极值点.
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
定理 2（充分条件） 设函数 z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数，
解 将方程两边分别对 x , y 求偏导
2 x 2 z z x 2 4z x 0 2 y 2 z zy 2 4 zy 0
由函数取极值的必要条件知, 驻点为 P (1,1) ,
将上方程组再分别对 x , y 求偏导数,
1 A z , xx |P 2 z
2
当 A 0 时有极大值， 当 A 0 时有极小值；
2 （2） AC B 0 时没有极值；
（3） AC B 0 时可能有极值,也可能没有极值，
2
还需另作讨论．
例4
求由方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y
4 z 10 0 确定的函数z f ( x , y ) 的极值
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内
外，并无其他条件.
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法 要找函数 z f ( x , y ) 在条件 ( x , y ) 0 下的 可能极值点， 先构造函数 F ( x , y ) f ( x , y ) ( x , y ) ， 其中 为某一常数，可由
2
1 |P B z C zyy , xy |P 0, 2 z
所以 z f (1,1) 2 为极小值；
1 0 ( z 2) ,函数在P 有极值. 故 B AC 2 (2 z ) 将 P (1,1) 代入原方程, 有 z1 2, z2 6 , 1 当 z1 2 时， A 0 , 4
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 AC B 的符号，再判定是否是极值.
2
x y 0 因为lim 2 2 x x y 1 y
即边界上的值为零.
1 1 1 z( , ) , 2 2 2
1 1 1 z( , ) , 2 2 2
1 1 所以最大值为 ，最小值为 . 2 2
一、一个方程的情形
1. F ( x , y ) 0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且 F ( x 0 , y0 ) 0 ， F y ( x0 , y0 ) 0 ，则方程 F ( x , y ) 0 在点 P ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数 y f ( x ) ，它满足条件 y0 f ( x0 ) ，并 有
f x ( x , y ) x ( x , y ) 0, f y ( x , y ) y ( x , y ) 0, ( x , y ) 0. 解出 x , y , ，其中x , y 就是可能的极值点的坐标.
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况： 要找函数u f ( x , y , z , t ) 在条件 ( x , y , z , t ) 0 ， ( x , y , z , t ) 0 下的极值， 先构造函数F ( x , y , z , t ) f ( x , y , z , t ) 1 ( x , y , z , t ) 2 ( x , y , z , t ) 其中1 , 2 均为常数，可由 偏导数为零及条件解出 x , y , y x dx Fy
2. F ( x , y , z ) 0
隐函数存在定理 2 设函数F ( x , y , z ) 在点P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ， Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 ，则方程F ( x , y , z ) 0 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内恒能唯一确 定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z f ( x , y ) ，它满足条件 z0 f ( x0 , y0 ) ， 并有
dy Fx . dx Fy
隐函数的求导公式
dy y 例 2 已知ln x y arctan ，求 . x dx
2 2
y 解 令 F ( x , y ) ln x y arctan , x
2 2
x y y x 则 Fx ( x , y ) 2 , Fy ( x , y ) 2 , 2 2 x y x y
解
x 把 x 看成z , y 的函数对y 求偏导数得 ， y y 把 y 看成 x , z 的函数对z 求偏导数得 . z 令 u x y z , v xyz,
则 z f ( u, v ),
把z 看成x, y 的函数对x 求偏导数得
z z z f u (1 ) f v ( yz xy ), x x x z f u yzfv , 整理得 x 1 f u xyfv
思考题解答
不是.
例如 f ( x , y ) x y ,
2 2
2 ( 0,0) 取极大值; 当 x 0 时， f ( 0, y ) y 在
(0,0) 取极小值; 当 y 0 时， f ( x ,0) x 在
2
(0,0) 不取极值. 但 f ( x, y) x y 在
x x 0 f u ( 1) f v ( xz yz ), y y
整理得
x f u xzfv , f u yzfv y
z 求偏导数得 把 y 看成 x, z 的函数对
y y 1 f u ( 1) f v ( xy xz ), z z
x z 2 z ( 2 z ) x x ( 2 z ) x 2 z 2 2 x ( 2 z )2 (2 z )
( 2 z )2 x 2 . 3 (2 z )
z x y 例 4 设 z f ( x y z , xyz ) ，求 ， ， . x y z z 思路：把 z 看成 x , y 的函数对x 求偏导数得 ， x
例7
将正数 12 分成三个正数 x , y , z 之和 使得 3 2 u x y z 为最大.
2 2 Fx 3 x y z 0 3 F 2 x yz 0 y 3 2 F x y 0 z x y z 12
z Fx ， x Fz
Fy z . y Fz
z 例 3 设 x y z 4 z 0 ，求 2 . x
2 2 2
2
2 2 2 F ( x , y , z ) x y z 4z , 解 令
则 Fx 2 x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
2、多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件） 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数，且 在点 ( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该点的偏导数必 然为零： f x ( x0 , y0 ) 0 ， f y ( x0 , y0 ) 0 .
解 令 F ( x , y , z ) x 3 y 2 z ( x y z 12) ,
则
解得唯一驻点(6,4,2) ，
故最大值为 umax 6 4 2 6912.
3 2
四、小结
多元函数的极值
（取得极值的必要条件、充分条件）
拉格朗日乘数法
思考题
若 f ( x 0 , y ) 及 f ( x , y 0 ) 在( x 0 , y 0 ) 点均取得 极值， 则 f ( x , y ) 在点( x 0 , y0 ) 是否也取得极值？
f y ( x 0 , y0 ) 0 ， 又 f x ( x 0 , y0 ) 0 , 令 f xx ( x0 , y0 ) A ， f xy ( x0 , y0 ) B ， f yy ( x0 , y0 ) C ，
则 f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下： （1） AC B 0 时具有极值，
2 2
整理得
y 1 f u xyfv . f u xzfv z
1、二元函数极值的定义
设函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于( x0 , y0 ) 的点( x , y ) ： 若满足不等式 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ，则称函数 在 ( x 0 , y0 ) 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ，则称函数在( x0 , y0 ) 有极 小值；
1 当 z 2 6 时， A 0 , 4
所以z f (1,1) 6 为极大值.
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤：
第一步 解方程组 f x ( x , y ) 0,
f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点. 注意：驻点 极值点
例如, 点(0,0) 是函数z xy 的驻点， 但不是极值点.
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
定理 2（充分条件） 设函数 z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数，
解 将方程两边分别对 x , y 求偏导
2 x 2 z z x 2 4z x 0 2 y 2 z zy 2 4 zy 0
由函数取极值的必要条件知, 驻点为 P (1,1) ,
将上方程组再分别对 x , y 求偏导数,
1 A z , xx |P 2 z
2
当 A 0 时有极大值， 当 A 0 时有极小值；
2 （2） AC B 0 时没有极值；
（3） AC B 0 时可能有极值,也可能没有极值，
2
还需另作讨论．
例4
求由方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y
4 z 10 0 确定的函数z f ( x , y ) 的极值
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内
外，并无其他条件.
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法 要找函数 z f ( x , y ) 在条件 ( x , y ) 0 下的 可能极值点， 先构造函数 F ( x , y ) f ( x , y ) ( x , y ) ， 其中 为某一常数，可由
2
1 |P B z C zyy , xy |P 0, 2 z
所以 z f (1,1) 2 为极小值；
1 0 ( z 2) ,函数在P 有极值. 故 B AC 2 (2 z ) 将 P (1,1) 代入原方程, 有 z1 2, z2 6 , 1 当 z1 2 时， A 0 , 4
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 AC B 的符号，再判定是否是极值.
2
x y 0 因为lim 2 2 x x y 1 y
即边界上的值为零.
1 1 1 z( , ) , 2 2 2
1 1 1 z( , ) , 2 2 2
1 1 所以最大值为 ，最小值为 . 2 2
一、一个方程的情形
1. F ( x , y ) 0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且 F ( x 0 , y0 ) 0 ， F y ( x0 , y0 ) 0 ，则方程 F ( x , y ) 0 在点 P ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数 y f ( x ) ，它满足条件 y0 f ( x0 ) ，并 有
f x ( x , y ) x ( x , y ) 0, f y ( x , y ) y ( x , y ) 0, ( x , y ) 0. 解出 x , y , ，其中x , y 就是可能的极值点的坐标.
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况： 要找函数u f ( x , y , z , t ) 在条件 ( x , y , z , t ) 0 ， ( x , y , z , t ) 0 下的极值， 先构造函数F ( x , y , z , t ) f ( x , y , z , t ) 1 ( x , y , z , t ) 2 ( x , y , z , t ) 其中1 , 2 均为常数，可由 偏导数为零及条件解出 x , y , y x dx Fy
2. F ( x , y , z ) 0
隐函数存在定理 2 设函数F ( x , y , z ) 在点P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ， Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 ，则方程F ( x , y , z ) 0 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内恒能唯一确 定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z f ( x , y ) ，它满足条件 z0 f ( x0 , y0 ) ， 并有
dy Fx . dx Fy
隐函数的求导公式
dy y 例 2 已知ln x y arctan ，求 . x dx
2 2
y 解 令 F ( x , y ) ln x y arctan , x
2 2
x y y x 则 Fx ( x , y ) 2 , Fy ( x , y ) 2 , 2 2 x y x y
解
x 把 x 看成z , y 的函数对y 求偏导数得 ， y y 把 y 看成 x , z 的函数对z 求偏导数得 . z 令 u x y z , v xyz,
则 z f ( u, v ),
把z 看成x, y 的函数对x 求偏导数得
z z z f u (1 ) f v ( yz xy ), x x x z f u yzfv , 整理得 x 1 f u xyfv
思考题解答
不是.
例如 f ( x , y ) x y ,
2 2
2 ( 0,0) 取极大值; 当 x 0 时， f ( 0, y ) y 在
(0,0) 取极小值; 当 y 0 时， f ( x ,0) x 在
2
(0,0) 不取极值. 但 f ( x, y) x y 在