8.6.2隐函数微分法
y− x 1 1 Fy = 2 , − ⋅ = 2 2 2 y 2 x x +y x +y 1+ ( ) x y
Fx x + y dy . =− = dx Fy x − y
理4 隐 数 在 理2 定 4（ 函 存 定 2） 理 理
满足下列条件： 设三元函数 F ( x , y , z ) 满足下列条件： 三元函数
将方程组两边对 y 求导 ，得
∂v ∂u x −v− y =0 ∂y ∂y , ∂u ∂v u + y +x =0 ∂y ∂y
− y x −u xv − yu ∂u ; = = 2 2 x − y ∂y x + y y x v
x v y −u xu + yv ∂v . = =− 2 2 ∂y x − y x +y y x
= 一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z= f ( x , y ) ，
它满足条件 z 0 = f ( x 0 , y 0 ) ，并有 Fy Fx ∂z ∂z =− =− ， Fz Fz ∂y ∂x
②
定理的证明从略，仅就公式②作如下推导： 定理的证明从略，仅就公式②作如下推导：
将 z= f ( x , y ) 代入 F ( x , y , z )= 0 ， =
Fy Fx ∂z ∂z ∴ =− ， =− . Fz Fz ∂x ∂y
可推广到三个自变量以上的情况. 定理 3 可推广到三个自变量以上的情况.
∂z ∂z ∂ 2z 例 3．设 x 2 + 2 y 2 + 3z 2 =4 ，求 ， ， . ∂x ∂y ∂x∂y
公式法 解法 1：公式法
设 F ( x , y , z ) = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 − 4,
aF1 bF2 ∂z ∂z 故 a +b = + = 1. ∂x ∂ y aF1 + bF2 aF1 + bF2
xu − yv = 0 例 5 ． 求出方程组 所确定的隐函数的 yu + xv = 1
∂u ∂v ∂u ∂v , , . 偏导数 , ∂x ∂ x ∂ y ∂ y
解法 1 分析： ：将方程组两边对 x 求导 ，得 为自变量， 分析：所求偏导数表明 u, v 为因变量， x, y 为自变量，
（1）在点 P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) 的某一邻域内具有连续的偏导 数 Fx ,F y ,Fz ； （2） F ( x 0 , y 0 ,z 0 ) = 0 ； （3） Fz ( x 0 , y 0 ,z 0 ) ≠ 0 ； 则方程 F ( x , y ,z )= 0 在点 P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) 的某一邻域内恒能唯
函数 y= y ( x ) ，且 =
Fx dy x 2x =− =− =− . dx Fy 2y y
y 例2． 求由方程 ln x 2 + y 2 = arctan 所确定的隐函数 x dy y= y( x ) 的导数 . = dx
1 y 2 2 解：设 F ( x , y ) = ln( x + y ) − arctan ， 2 x x 1 y x+ y Fx = 2 , − ⋅ (− 2 ) = 2 2 2 y x +y x x +y 1 + ( )2 x
8. 6. 2 隐函数的微分法
定理3（隐函数存在定理 ） 定理 （隐函数存在定理1）
满足下列条件： 设二元函数 F ( x , y ) 满足下列条件： 二元函数 的某一邻域内连续； （1） Fx ( x , y ), F y ( x , y ) 在点 P ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域内连续； （3 （2） F ( x 0 , y 0 ) = 0 ； 3） F y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 ， （ 则方程 F ( x , y )= 0 在点 P ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域内恒能唯一 确定一个单值连续且具有连续导数的函数 y= f ( x ) ，它 = 满足 y 0 = f ( x 0 ) ，并有
法则解之， 用 Cramer 法则解之 ， 得
−u − y xu + yv ∂u − v x ; =− 2 = 2 x −y ∂x x +y y x
x −u y −v yu − xv ∂v . = = 2 2 ∂x x − y x + y y x
∂u ∂v x ∂y − y ∂y = v , ∂u ∂v y + x = −u ∂y ∂y
xu − yv = 0 解法 2：将方程组 两边求全微分得到 yu+ xv =1
xdu − ydv = − udx + vdy udx + xdu − vdy − ydv = 0 , , 即 ydu + xdv = −( vdx + udy ) udy + ydu + vdx + xdv = 0
Fx dy . =− dx Fy
①
定理的证明从略，仅就公式①作如下推导： 定理的证明从略，仅就公式①作如下推导：
把 y= f ( x ) 代入方程 F ( x , y ) = 0 ，得 F [ x , f ( x )]≡ 0 ， =
dy 求导， 两端对 x 求导，得 F x + F y ⋅ = 0， dx
F x = 2 x ， F y = 4 y ， Fz = 6 z ，
Fx 2x x ∂z 故 =− =− =− , ∂x Fz 6z 3z
Fy 4y 2y ∂z . =− =− =− Fz 6z 3z ∂y
直接法 解法 2：直接法
在 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 4 两边分别对 x 和 y 求偏导, 注意 z 是 x、y 的函数，得 、 的函数，
∂v yu − xv ; 故 = 2 2 ∂x x + y
∂v xu + yv . =− 2 2 ∂y x +y
作
业
习 题 六（P135） ）
）（4 8（1）； 9（1）（4）； ）（2 10（1）（2）； 11（1）；
12 ；13（2）； 14（2）.
dy . dx
处处连续， 解：设 F ( x , y )= x 2 + y 2 −1 ，则 Fx = 2 x ， F y = 2 y 处处连续，
当 y ≠ 0 时， F y = 2 y ≠ 0 ，由定理 1 知，只要 ( x , y ) ≠ ( ±1, 0),
方程 x 2 + y 2 − 1 = 0 在点 ( x , y ) 的某邻域内能确定唯一的隐
x 2y dz = − dx −ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdy , 3z 3z
x ∂z , 故 =− 3z ∂x 2y ∂z . =− 3z ∂y
1 ∂z x ∂2z ∂ ∂z x 2y 2xy = ( ) = − ⋅ (− 2 )⋅ = (− ) =− 3 . 2 3 ∂x∂y ∂y ∂x 3z z ∂y 3z 9z
例 4．设 z= z( x, y ) 是由方程 F ( x − az, y − bz)= 0 所确定 = ∂z ∂z 的隐函数， 为常数， 的隐函数，其中 a, b 为常数，证明 a + b =1 . ∂x ∂ y
− udx + vdy − y − (vdx + udy ) x − ( xu + yv )dx + ( xv − yu)dy du = , = 2 2 x −y x +y y x
xu + yv ∂u ; 故 =− 2 2 ∂x x +y
∂u xv − yu . = 2 2 ∂y x + y
x − udx + vdy y − (vdx + udy ) − ( xv + yu)dx − ( xu + yv )dy , = dv = 2 2 x −y x +y y x
∂z 2 x + 6z = 0, ∂x
∂z 4 y + 6z = 0, ∂x
解得 x ∂z =− , 3z ∂x 2y ∂z . =− 3z ∂y
解法 3：全微分法 全微分法
在方程 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 4 两边全微分 , 得
2 xdx + 4 ydy + 6 zdz = 0,
∂u = x v 故 u= u( ∂, y ) ， v=v( x, y ) ∂u − y ∂v = − u u+ x −y = 0 = x . ∂x ∂x ∂x , 即 ∂x , ∂u ∂v ∂u ∂v y +v+ x =0 y +x =−v ∂x ∂x ∂x ∂x
证：设 ϕ ( x , y , z ) = F ( x − az , y − bz ) ，则
ϕ x = F1 ， ϕ y = F2 ， ϕ z = − aF1 − bF2 ，
ϕy ϕx F1 ∂z F2 ∂z , =− = =− = , ∂x ϕ z aF1 + bF2 ∂ y ϕ z aF1 + bF2
∵ F y 连续，且 F y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 ， 连续，
x F y x
的某个邻域， ∴存在点 ( x 0 , y 0 ) 的某个邻域，在该邻域内 F y ≠ 0 ，
Fx dy ∴ . =− dx Fy
例 1．方程 x 2 + y 2 −1= 0 在哪些点的某邻域内能够确定唯一 在隐函数存在时， 的隐函数 y= y( x ) ？在隐函数存在时， 求 =
x ∵ F [ x , y , f ( x , y )]≡ 0 ， F y x z ∂z ∂z ∴ F x + Fz ⋅ = 0 ， F y + Fz ⋅ = 0 ， y ∂x ∂x
Fx x + y dy . =− = dx Fy x − y
理4 隐 数 在 理2 定 4（ 函 存 定 2） 理 理
满足下列条件： 设三元函数 F ( x , y , z ) 满足下列条件： 三元函数
将方程组两边对 y 求导 ，得
∂v ∂u x −v− y =0 ∂y ∂y , ∂u ∂v u + y +x =0 ∂y ∂y
− y x −u xv − yu ∂u ; = = 2 2 x − y ∂y x + y y x v
x v y −u xu + yv ∂v . = =− 2 2 ∂y x − y x +y y x
= 一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z= f ( x , y ) ，
它满足条件 z 0 = f ( x 0 , y 0 ) ，并有 Fy Fx ∂z ∂z =− =− ， Fz Fz ∂y ∂x
②
定理的证明从略，仅就公式②作如下推导： 定理的证明从略，仅就公式②作如下推导：
将 z= f ( x , y ) 代入 F ( x , y , z )= 0 ， =
Fy Fx ∂z ∂z ∴ =− ， =− . Fz Fz ∂x ∂y
可推广到三个自变量以上的情况. 定理 3 可推广到三个自变量以上的情况.
∂z ∂z ∂ 2z 例 3．设 x 2 + 2 y 2 + 3z 2 =4 ，求 ， ， . ∂x ∂y ∂x∂y
公式法 解法 1：公式法
设 F ( x , y , z ) = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 − 4,
aF1 bF2 ∂z ∂z 故 a +b = + = 1. ∂x ∂ y aF1 + bF2 aF1 + bF2
xu − yv = 0 例 5 ． 求出方程组 所确定的隐函数的 yu + xv = 1
∂u ∂v ∂u ∂v , , . 偏导数 , ∂x ∂ x ∂ y ∂ y
解法 1 分析： ：将方程组两边对 x 求导 ，得 为自变量， 分析：所求偏导数表明 u, v 为因变量， x, y 为自变量，
（1）在点 P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) 的某一邻域内具有连续的偏导 数 Fx ,F y ,Fz ； （2） F ( x 0 , y 0 ,z 0 ) = 0 ； （3） Fz ( x 0 , y 0 ,z 0 ) ≠ 0 ； 则方程 F ( x , y ,z )= 0 在点 P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) 的某一邻域内恒能唯
函数 y= y ( x ) ，且 =
Fx dy x 2x =− =− =− . dx Fy 2y y
y 例2． 求由方程 ln x 2 + y 2 = arctan 所确定的隐函数 x dy y= y( x ) 的导数 . = dx
1 y 2 2 解：设 F ( x , y ) = ln( x + y ) − arctan ， 2 x x 1 y x+ y Fx = 2 , − ⋅ (− 2 ) = 2 2 2 y x +y x x +y 1 + ( )2 x
8. 6. 2 隐函数的微分法
定理3（隐函数存在定理 ） 定理 （隐函数存在定理1）
满足下列条件： 设二元函数 F ( x , y ) 满足下列条件： 二元函数 的某一邻域内连续； （1） Fx ( x , y ), F y ( x , y ) 在点 P ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域内连续； （3 （2） F ( x 0 , y 0 ) = 0 ； 3） F y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 ， （ 则方程 F ( x , y )= 0 在点 P ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域内恒能唯一 确定一个单值连续且具有连续导数的函数 y= f ( x ) ，它 = 满足 y 0 = f ( x 0 ) ，并有
法则解之， 用 Cramer 法则解之 ， 得
−u − y xu + yv ∂u − v x ; =− 2 = 2 x −y ∂x x +y y x
x −u y −v yu − xv ∂v . = = 2 2 ∂x x − y x + y y x
∂u ∂v x ∂y − y ∂y = v , ∂u ∂v y + x = −u ∂y ∂y
xu − yv = 0 解法 2：将方程组 两边求全微分得到 yu+ xv =1
xdu − ydv = − udx + vdy udx + xdu − vdy − ydv = 0 , , 即 ydu + xdv = −( vdx + udy ) udy + ydu + vdx + xdv = 0
Fx dy . =− dx Fy
①
定理的证明从略，仅就公式①作如下推导： 定理的证明从略，仅就公式①作如下推导：
把 y= f ( x ) 代入方程 F ( x , y ) = 0 ，得 F [ x , f ( x )]≡ 0 ， =
dy 求导， 两端对 x 求导，得 F x + F y ⋅ = 0， dx
F x = 2 x ， F y = 4 y ， Fz = 6 z ，
Fx 2x x ∂z 故 =− =− =− , ∂x Fz 6z 3z
Fy 4y 2y ∂z . =− =− =− Fz 6z 3z ∂y
直接法 解法 2：直接法
在 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 4 两边分别对 x 和 y 求偏导, 注意 z 是 x、y 的函数，得 、 的函数，
∂v yu − xv ; 故 = 2 2 ∂x x + y
∂v xu + yv . =− 2 2 ∂y x +y
作
业
习 题 六（P135） ）
）（4 8（1）； 9（1）（4）； ）（2 10（1）（2）； 11（1）；
12 ；13（2）； 14（2）.
dy . dx
处处连续， 解：设 F ( x , y )= x 2 + y 2 −1 ，则 Fx = 2 x ， F y = 2 y 处处连续，
当 y ≠ 0 时， F y = 2 y ≠ 0 ，由定理 1 知，只要 ( x , y ) ≠ ( ±1, 0),
方程 x 2 + y 2 − 1 = 0 在点 ( x , y ) 的某邻域内能确定唯一的隐
x 2y dz = − dx −ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdy , 3z 3z
x ∂z , 故 =− 3z ∂x 2y ∂z . =− 3z ∂y
1 ∂z x ∂2z ∂ ∂z x 2y 2xy = ( ) = − ⋅ (− 2 )⋅ = (− ) =− 3 . 2 3 ∂x∂y ∂y ∂x 3z z ∂y 3z 9z
例 4．设 z= z( x, y ) 是由方程 F ( x − az, y − bz)= 0 所确定 = ∂z ∂z 的隐函数， 为常数， 的隐函数，其中 a, b 为常数，证明 a + b =1 . ∂x ∂ y
− udx + vdy − y − (vdx + udy ) x − ( xu + yv )dx + ( xv − yu)dy du = , = 2 2 x −y x +y y x
xu + yv ∂u ; 故 =− 2 2 ∂x x +y
∂u xv − yu . = 2 2 ∂y x + y
x − udx + vdy y − (vdx + udy ) − ( xv + yu)dx − ( xu + yv )dy , = dv = 2 2 x −y x +y y x
∂z 2 x + 6z = 0, ∂x
∂z 4 y + 6z = 0, ∂x
解得 x ∂z =− , 3z ∂x 2y ∂z . =− 3z ∂y
解法 3：全微分法 全微分法
在方程 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 4 两边全微分 , 得
2 xdx + 4 ydy + 6 zdz = 0,
∂u = x v 故 u= u( ∂, y ) ， v=v( x, y ) ∂u − y ∂v = − u u+ x −y = 0 = x . ∂x ∂x ∂x , 即 ∂x , ∂u ∂v ∂u ∂v y +v+ x =0 y +x =−v ∂x ∂x ∂x ∂x
证：设 ϕ ( x , y , z ) = F ( x − az , y − bz ) ，则
ϕ x = F1 ， ϕ y = F2 ， ϕ z = − aF1 − bF2 ，
ϕy ϕx F1 ∂z F2 ∂z , =− = =− = , ∂x ϕ z aF1 + bF2 ∂ y ϕ z aF1 + bF2
∵ F y 连续，且 F y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 ， 连续，
x F y x
的某个邻域， ∴存在点 ( x 0 , y 0 ) 的某个邻域，在该邻域内 F y ≠ 0 ，
Fx dy ∴ . =− dx Fy
例 1．方程 x 2 + y 2 −1= 0 在哪些点的某邻域内能够确定唯一 在隐函数存在时， 的隐函数 y= y( x ) ？在隐函数存在时， 求 =
x ∵ F [ x , y , f ( x , y )]≡ 0 ， F y x z ∂z ∂z ∴ F x + Fz ⋅ = 0 ， F y + Fz ⋅ = 0 ， y ∂x ∂x
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隐函数的微分法
( z x2 F1) F2
dx +
(
z
dz
F1 F2 y x
z x
y2 F1 F2 y x
z y
) F1 F2
dy
z z F F F F 1 2 2 2 1 2 y z z y 故 x y x x F1 F2 F1 F2 x y y x y x F1 F2 F1 F2 z ( ) xy( ) y x y x F1 F2 y x
( F , G ) Fu Fv J Gu Gv ( u, v )
称为函数F，G 的雅可比( Jacobi )行列式.
定理8.9 设函数
满足:
的某一邻域内具有连续偏
① 在点
导数；
② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 , G ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ;
Fx z 注 在公式 中， x Fz
Fx : 将 F ( x , y , z )中的y , z暂视为常数，
对x求偏导数；
Fz : 将 F ( x , y , z )中的x , y暂视为常数，
对z求偏导数；
例2
设z 3 xyz a , 求z x 及z xy .
用此法求导 时，要注意 z是x, y的 函数！
具有连续偏导数的函数
u u( x , y ) , v v( x , y ),
且有
1 u 1 ( F ,G ) Fu Fv x J ( x, v ) Gu Gv 1 u 1 ( F ,G ) Fu Fv y J ( y, v ) Gu Gv
Fx Fv G x Gv
的某一邻域内可
唯一确定一个函数 z = f (x , y)满足 ,
dx +
(
z
dz
F1 F2 y x
z x
y2 F1 F2 y x
z y
) F1 F2
dy
z z F F F F 1 2 2 2 1 2 y z z y 故 x y x x F1 F2 F1 F2 x y y x y x F1 F2 F1 F2 z ( ) xy( ) y x y x F1 F2 y x
( F , G ) Fu Fv J Gu Gv ( u, v )
称为函数F，G 的雅可比( Jacobi )行列式.
定理8.9 设函数
满足:
的某一邻域内具有连续偏
① 在点
导数；
② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 , G ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ;
Fx z 注 在公式 中， x Fz
Fx : 将 F ( x , y , z )中的y , z暂视为常数，
对x求偏导数；
Fz : 将 F ( x , y , z )中的x , y暂视为常数，
对z求偏导数；
例2
设z 3 xyz a , 求z x 及z xy .
用此法求导 时，要注意 z是x, y的 函数！
具有连续偏导数的函数
u u( x , y ) , v v( x , y ),
且有
1 u 1 ( F ,G ) Fu Fv x J ( x, v ) Gu Gv 1 u 1 ( F ,G ) Fu Fv y J ( y, v ) Gu Gv
Fx Fv G x Gv
的某一邻域内可
唯一确定一个函数 z = f (x , y)满足 ,
隐函数及其微分法
y (3,3) 22
y x2 y2 x
1.
33 (,)
22
所求切线方程为 y 3 ( x 3) 即 x y 3 0.
2
2
法线方程为 y 3 x 3 即 y x, 显然通过原点.
2
2
例3 设 x4 xy y4 1, 求y在点(0,1)处的值 .
至于隐函数求二阶导数，与上同理
在 dy g( x, y)两边再对 x求导 dx
d2y dx2
G(
x,
y,
y)
再将 dy g( x, y)代入 dx
例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dy dx dx
. x0
解 方程两边对 x求导,
y x dy e x e y dy 0
1 2x 2 yy x2 y2 2 x2 y2
yx y x yy
dy x y dx x y
d2y dx2
d dx
x x
y y
(1
y)( x
y) (x ( x y)2
y)(1
y)
2xy 2 y
例13 设曲线Γ由极坐标方程r=r(θ)所确定，试求该
曲线上任一点的切线斜率，并写出过对数螺线
r e上点
(e
2
,
)
处的切线的直角坐标方程
2
解 由极坐标和直角坐标的变换关系知
x r( )cos
y
r(
)sin
dy
隐函数的微分法
隐函数的微分法隐函数的微分法是微积分中的重要内容，它用于求解由一个或多个变量之间的关系所定义的隐函数的导数。
隐函数可以表示为F(某,y)=0的形式，其中某和y是变量，F是一个含义良好的函数。
隐函数的微分法可以用来求解隐函数的导数，进而研究隐函数的性质和求解相关的问题。
在计算隐函数导数时，我们可以利用偏导数的概念。
根据隐函数的定义，我们可以将F(某,y)=0表示为F(某,y(某))=0，即将y表示为某的函数。
然后对等式两边同时对某求偏导数，可以得到：∂F/∂某 + ∂F/∂y 某 dy/d某 = 0然后解出dy/d某，即可得到隐函数的导数。
在应用求导法则时，我们可以利用链式法则来处理含有隐函数的导数计算问题。
链式法则可以表示为：dF/d某 = (∂F/∂某) + (∂F/∂y) 某 (dy/d某)通过应用链式法则，我们可以把对隐函数的导数转化为对显函数的导数的计算，从而求解出隐函数的导数。
此外，我们还可以利用隐函数的微分形式进行求解。
根据全微分公式，我们可以将隐函数的微分形式表示为：dF = (∂F/∂某) 某 d某 + (∂F/∂y) 某 dy = 0然后解出dy/d某，即可得到隐函数的导数。
隐函数的微分法在求解实际问题中具有广泛的应用。
它可以帮助我们求解曲线的切线及法线，提供关于曲线上点的切线斜率和切线方程的信息；在物理学中，它可以用于求解速度、加速度等问题；在经济学中，它可以用于分析边际效应及最优化问题。
综上所述，隐函数的微分法是微积分中的重要内容，它通过隐函数的定义和求导法则的应用，可以帮助我们求解隐函数的导数，并在实际问题中提供有用的信息。
通过对隐函数的导数的求解，我们可以研究隐函数的性质、求解相关的问题，并应用于具体的实际问题中。
第八章 隐函数的微分法
因为 F ( x , y , z ) ∈ C 1 (U( x0 , y0 , z0 )) , Fz′( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0 , 由连续函数性质 ∃ U(( x0 , y0 )) ,其中 故
Fz′( x , y , z ) ≠ 0 ,
∂F ∂z = − ∂x , ∂F ∂x ∂z
公 式
2 2
则 Fx ( x , y ) = x + y , F ( x , y ) = y − x , y x2 + y2 x2 + y2
Fx dy x+ y =− . =− dx Fy y− x
微积分
多元隐函数 的导数
一个方程确定 的隐函数 方程组确定 的隐函数
微积分
二. 由一个方程确定 的隐函数的求导法
∂F = − 2 + ez , ∂z
故
∂F − xy − xy − ye ∂z ye ∂x = − =− z = z ∂F ∂x −2+e e −2 ∂z
( e − 2 ≠ 0)
z
微积分
例
设 F ( x + y + z , xyz ) = 0 确定 z = z ( x, y ),
∂ z ∂z , , 其中, F ∈ C1. 求 ∂x ∂ y
微积分
三、 如 果 函 数 f ( x , y , z ) 对 任 何 t 恒 满 足 关 系 式 f ( tx , ty , tz ) = t k f ( x , y , z ) ,则称函数 f ( x , y , z ) 为 次齐次函数,试证: k 次齐次函数,试证:k 次齐次函数满足方程 ∂f ∂f ∂f x +y +z = kf ( x , y , z ) . ∂x ∂y ∂z ∂2z 四、设 z 3 − 3 xyz = a 3 , 求 . x∂ ∂ x∂y 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数: 五、求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数: z = x 2 + y 2 dy dz ,求 1 、设 2 ,求 , . dx dx x + 2 y 2 + 3 z 2 = 20 u = f ( ux , v + y ) ∂u ∂v 2 、设 ，求 , . 2 ∂x ∂x v = g( u − x , v y ) 具有一阶连续偏导数） （其中 f , g 具有一阶连续偏导数）
Fz′( x , y , z ) ≠ 0 ,
∂F ∂z = − ∂x , ∂F ∂x ∂z
公 式
2 2
则 Fx ( x , y ) = x + y , F ( x , y ) = y − x , y x2 + y2 x2 + y2
Fx dy x+ y =− . =− dx Fy y− x
微积分
多元隐函数 的导数
一个方程确定 的隐函数 方程组确定 的隐函数
微积分
二. 由一个方程确定 的隐函数的求导法
∂F = − 2 + ez , ∂z
故
∂F − xy − xy − ye ∂z ye ∂x = − =− z = z ∂F ∂x −2+e e −2 ∂z
( e − 2 ≠ 0)
z
微积分
例
设 F ( x + y + z , xyz ) = 0 确定 z = z ( x, y ),
∂ z ∂z , , 其中, F ∈ C1. 求 ∂x ∂ y
微积分
三、 如 果 函 数 f ( x , y , z ) 对 任 何 t 恒 满 足 关 系 式 f ( tx , ty , tz ) = t k f ( x , y , z ) ,则称函数 f ( x , y , z ) 为 次齐次函数,试证: k 次齐次函数,试证:k 次齐次函数满足方程 ∂f ∂f ∂f x +y +z = kf ( x , y , z ) . ∂x ∂y ∂z ∂2z 四、设 z 3 − 3 xyz = a 3 , 求 . x∂ ∂ x∂y 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数: 五、求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数: z = x 2 + y 2 dy dz ,求 1 、设 2 ,求 , . dx dx x + 2 y 2 + 3 z 2 = 20 u = f ( ux , v + y ) ∂u ∂v 2 、设 ，求 , . 2 ∂x ∂x v = g( u − x , v y ) 具有一阶连续偏导数） （其中 f , g 具有一阶连续偏导数）
隐函数的偏微分法
2023
隐函数的偏微分法
https://
REPORTING
2023
目录
• 引言 • 隐函数的基本概念 • 偏微分法的基本概念 • 隐函数的偏微分法 • 隐函数偏微分法的扩展和深化 • 总结与展望
2023
PART 01
引言
REPORTING
主题简介
隐函数是一类特殊的函数，其输出是一个或多个函数，而不是具体的数值。偏微 分法是研究函数在某一点的切线斜率或更一般地研究函数在某一点的附近的行为 的方法。
偏微分法
在数学分析中，偏微分法是研究 多变量函数的一种方法，通过偏 微分法可以分析多变量隐函数的 性质和变化规律。
扩展应用
多变量隐函数的偏微分法在经济 学、物理学、工程学等领域有广 泛的应用，例如在最优控制、最 优化理论、流体动力学等领域。
非线性隐函数的偏微分法
非线性隐函数
非线性隐函数是指函数关系是非线性的，即函数的输出值与输入值 不成正比。
隐函数的偏微分法是数学分析中的一个重要概念，它涉及到对隐函数的导数和偏 导数进行计算和分析。
主题的重要性
在科学和工程领域中，许多问题都需要用 到隐函数的偏微分法。例如，在物理、化 学、生物、经济和金融等领域中，经常需 要用到偏微分方程来描述各种现象。
隐函数的偏微分法是解决这些问题的 关键工具之一，它可以帮助我们更好 地理解和分析这些现象，从而为实际 问题的解决提供更有力的支持。
偏微分法
对于非线性隐函数，偏微分法同样适用，通过偏微分法可以分析非 线性隐函数的性质和变化规律。
扩展应用
非线性隐函数的偏微分法在解决实际问题中具有广泛的应用，例如 在解决物理问题、优化问题、控制问题等领域。
隐函数偏微分法的数学证明和理论分析
隐函数的偏微分法
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2023
目录
• 引言 • 隐函数的基本概念 • 偏微分法的基本概念 • 隐函数的偏微分法 • 隐函数偏微分法的扩展和深化 • 总结与展望
2023
PART 01
引言
REPORTING
主题简介
隐函数是一类特殊的函数，其输出是一个或多个函数，而不是具体的数值。偏微 分法是研究函数在某一点的切线斜率或更一般地研究函数在某一点的附近的行为 的方法。
偏微分法
在数学分析中，偏微分法是研究 多变量函数的一种方法，通过偏 微分法可以分析多变量隐函数的 性质和变化规律。
扩展应用
多变量隐函数的偏微分法在经济 学、物理学、工程学等领域有广 泛的应用，例如在最优控制、最 优化理论、流体动力学等领域。
非线性隐函数的偏微分法
非线性隐函数
非线性隐函数是指函数关系是非线性的，即函数的输出值与输入值 不成正比。
隐函数的偏微分法是数学分析中的一个重要概念，它涉及到对隐函数的导数和偏 导数进行计算和分析。
主题的重要性
在科学和工程领域中，许多问题都需要用 到隐函数的偏微分法。例如，在物理、化 学、生物、经济和金融等领域中，经常需 要用到偏微分方程来描述各种现象。
隐函数的偏微分法是解决这些问题的 关键工具之一，它可以帮助我们更好 地理解和分析这些现象，从而为实际 问题的解决提供更有力的支持。
偏微分法
对于非线性隐函数，偏微分法同样适用，通过偏微分法可以分析非 线性隐函数的性质和变化规律。
扩展应用
非线性隐函数的偏微分法在解决实际问题中具有广泛的应用，例如 在解决物理问题、优化问题、控制问题等领域。
隐函数偏微分法的数学证明和理论分析
隐函数微分法
第五节 隐函数微分法
一、由方程F(x,y)=0所确定的
隐函数y=y(x)的求导公式
二、由方程F(x,y,z)=0所确定的 隐函数z=z(x,y)的偏导数公式
一 、由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=y(x)的求
导公式
则方若程函F(x数,yF)=(x0,在y)点在P点0的P0一(x0个,y0邻)处域的内偏，导确数定了Fy一P0 个 0隐， 函数y=y(x)，并假定y(x)可导，F(x,y)可微，那么如何 求 dy 呢？利用二元复合函数的求导法则导出隐函数
a z b z 1. x y
证 令u=x–az，v=y–bz，得
u 1, u 0, u a,
x y
z
v 0, v 1, v b. x y z
Fx
Fu
u x
Fv
v x
Fu ,
Fy
Fu
u y
Fv
v y
得 Fx 2x, Fy 2ez , Fz 2x 2 yez.
所以
z x
Fx Fz
2
x
2x 2
ye
z
x yez
, x
z y
Fy Fz
2
2e x2
z
ye
z
ez z yez
,
因此
dz
x yez
dx x
z
ez yez
dy.
例6 设F(x–ax,y–bz)=0(a,b为常数)，F(u,v)为可微函 数，Fz 0 ，证明由方程所确定的函数z=z(x,y)满足方程
一、由方程F(x,y)=0所确定的
隐函数y=y(x)的求导公式
二、由方程F(x,y,z)=0所确定的 隐函数z=z(x,y)的偏导数公式
一 、由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=y(x)的求
导公式
则方若程函F(x数,yF)=(x0,在y)点在P点0的P0一(x0个,y0邻)处域的内偏，导确数定了Fy一P0 个 0隐， 函数y=y(x)，并假定y(x)可导，F(x,y)可微，那么如何 求 dy 呢？利用二元复合函数的求导法则导出隐函数
a z b z 1. x y
证 令u=x–az，v=y–bz，得
u 1, u 0, u a,
x y
z
v 0, v 1, v b. x y z
Fx
Fu
u x
Fv
v x
Fu ,
Fy
Fu
u y
Fv
v y
得 Fx 2x, Fy 2ez , Fz 2x 2 yez.
所以
z x
Fx Fz
2
x
2x 2
ye
z
x yez
, x
z y
Fy Fz
2
2e x2
z
ye
z
ez z yez
,
因此
dz
x yez
dx x
z
ez yez
dy.
例6 设F(x–ax,y–bz)=0(a,b为常数)，F(u,v)为可微函 数，Fz 0 ，证明由方程所确定的函数z=z(x,y)满足方程
隐函数微分法则
dS S dY S di
Y
i
式中dS為兩種變動量之和，稱為儲蓄函數之全微分式。
(其中第一項為S因為Y改變而變動的部分, 第二項為S
因為i改變而變動的部分. )
當Y變動時，i若保持固定不變（d i =0）。全微分是就會 縮減為偏微分式。
8.2 全微分式
2. 偏彈性（partial elasticities）儲蓄的所得彈性 與儲蓄的利率彈性
w
8.4 全導式
全導式並不令自變數間相互獨立 1. 求全導式（Байду номын сангаасerivative）
y ＝ f (x, w) 其中 x ＝ g (w) w可透過兩種方式影響 y：（1）間接的，即透過函數 g然後f；（2）直接的，透過函數f。 首先全微分y，得全微分式d y = f x d x + f w d w。 兩邊同除以微分式d w，得
也就是，其均衡解可以縮減式明顯表示出。再 將其解經過偏微分後，便可產生所求，比較靜 態式。偏微分的前提，自變數間不存在任何函 數關係。
若模型內加入一般函數，以致無法得到清楚表 示出之縮減式解，比較靜態分析過程就不能如 此迅速達成。此時，需直接由模型內已知方程 式，求得比較靜態導數。
一般函數模型之比較靜態分析
計算由於x之變動所造成y之變動量為何。然而， 微分式dy與dx只應視為無限小之變量。若將相 當之x變動量（∆x）代入，所得之dy僅可作為 對應之y變動量（∆y）的近似值。 例如，x由5變為5.01，得dy ＝ （6×5+7）× （0.01）＝0.37。而y之實際變量∆y ＝ 105.3703 － 105 ＝0.3703。兩者存在0.0003 之誤差。
平均函數
P
P
例2.若需求函數為Q ＝ 100 － 2P，求需求價格 彈性。
8.6(2)多元复合函数的求导法则
解
由 u x 3 y 2 z ，可得
u 3 x 2 y 2 z x 3 y 2 z x x
再由所给方程，利用隐函数导数公式来求 z ． x
设 F ( x , y , z ) x 2 y 2 z 2 3 xyz ，则
Fx 2 x 3 yz ，
Fz 2 z 3 xy
v 1 (F ,G ) y J ( u, y )
u 1 (F ,G ) ， y J ( y, v )
例 16
u 3 xv y u v 设 3 ，求 和 ． x y v yu x
解
此题采用推导公式（1）的方法求解
由所给方程可确定 u, v 是 x , y 的函数，
2
x2 y
2 x )dx
( x cos xy x e
x2 y
2 y )dy 0
x2 y
于是得
dy y cos xy 2 xye 2 x 2 x2 y dx x cos xy x e 2 y
例 14
设 u x 3 y 2 z ，其中 z f ( x , y ) 由方程 u 2 2 2 x y z 3 xyz 0 所确定，求 |(1,1,1) ． x
隐函数存在定理 3 设 F ( x , y , u , v ) 、 G ( x , y , u, v ) 在
点 P ( x0 , y0 , u0 , v0 )的某一邻域内有对各个变量的连
续偏导数，且 F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0,G( x0 , y0 , u0 , v0 )
Fu Fx v 1 (F ,G ) Gu G x x J ( u, x )
§8.6隐函数微分法
yo = f ( xo ) ，并有
Fx dy 。 =− dx Fy
①
定理的证明从略，仅就公式①作如下推导：
把 y = f (x) 代入方程 F ( x, y ) = 0 ，得 F [ x, f ( x)] ≡ 0 ，
dy 两端对 x 求导，得 Fx + F y ⋅ = 0， dx
∵ F y 连续，且 F y ( xo , y o ) ≠ 0 ，
∵在点 P ( xo , yo , uo , vo ) 的某个邻域内 J =
∂u 1 ∂ ( F ,G ) ∂v 1 ∂( F ,G ) ∴ =− 。 , =− ∂x J ∂ ( x, v) ∂x J ∂ (u , x)
Fu Fv
Gu Gv
≠0，
∂u 1 ∂ ( F , G ) ∂v 1 ∂( F ,G ) 同理可得 = − 。 , =− ∂y J ∂ ( y, v) ∂y J ∂ (u, y )
定理2 设 (1) n + 1元函数 F ( x1 , x2 , L , xn , u )在点
P ( x1 , L , xn , u0 )的某邻 域内具有连 续的一阶偏导数 ,
( 2) F ( x1 , L xn , u0 ) = 0, Fu ( x1 , L , xn , u0 ) ≠ 0,
0 0 0 0
Fu Fv ∂( F ,G) J |P = |P = | P ≠ 0, ∂ (u, v) Gu G v
F ( x, y , u , v ) = 0 则由方程组 在点 P 的某一邻域内能确定 G ( x, y, u, v) = 0 一组单值连续且具有一阶连续偏导数的函数
u = u ( x, y ), v = v ( x, y ), 满足 u o = u ( xo , yo ), vo = v ( xo , yo ),
Fx dy 。 =− dx Fy
①
定理的证明从略，仅就公式①作如下推导：
把 y = f (x) 代入方程 F ( x, y ) = 0 ，得 F [ x, f ( x)] ≡ 0 ，
dy 两端对 x 求导，得 Fx + F y ⋅ = 0， dx
∵ F y 连续，且 F y ( xo , y o ) ≠ 0 ，
∵在点 P ( xo , yo , uo , vo ) 的某个邻域内 J =
∂u 1 ∂ ( F ,G ) ∂v 1 ∂( F ,G ) ∴ =− 。 , =− ∂x J ∂ ( x, v) ∂x J ∂ (u , x)
Fu Fv
Gu Gv
≠0，
∂u 1 ∂ ( F , G ) ∂v 1 ∂( F ,G ) 同理可得 = − 。 , =− ∂y J ∂ ( y, v) ∂y J ∂ (u, y )
定理2 设 (1) n + 1元函数 F ( x1 , x2 , L , xn , u )在点
P ( x1 , L , xn , u0 )的某邻 域内具有连 续的一阶偏导数 ,
( 2) F ( x1 , L xn , u0 ) = 0, Fu ( x1 , L , xn , u0 ) ≠ 0,
0 0 0 0
Fu Fv ∂( F ,G) J |P = |P = | P ≠ 0, ∂ (u, v) Gu G v
F ( x, y , u , v ) = 0 则由方程组 在点 P 的某一邻域内能确定 G ( x, y, u, v) = 0 一组单值连续且具有一阶连续偏导数的函数
u = u ( x, y ), v = v ( x, y ), 满足 u o = u ( xo , yo ), vo = v ( xo , yo ),
隐函数及其微分法
02 通过建立隐函数模型，可以描述经济变量之间的 非线性关系，并预测未来的发展趋势。
03 隐函数和微分法还可以用于研究其他领域中的非 线性关系，例如生态学和物理学。
解决几何问题
01
02
03
隐函数和微分法可以用 于解决几何问题，例如 确定曲线的形状和性质
。
通过建立隐函数模型， 可以描述几何对象的性 质，例如曲线的曲率、
常数求导法则
若$u$是常数，则$u'=0$。
微分在近似计算中的应用
线性近似
当函数在某点的切线与x轴平行时，可以用切线近似代替函数值。
多项式逼近
通过多项式逼近可以近似表示复杂的函数，并利用微分计算逼近 误差。
无穷小分析
利用微分的基本性质，可以分析无穷小量对函数值的影响。
微分中值定理
拉格朗日中值定理
03
在实际问题中，偏导数和全导数都有广泛的应用，例
如在优化问题、控制论、微分方程等领域。
隐函数求导的几何意义
01
隐函数的几何意义是指通过几何图形的方式表达函数的值和 自变量的关系。
02
对于一个隐函数f(x,y)=0，其求导结果表示该函数在某点处 的切线斜率。
03
在二维空间中，隐函数的几何意义可以理解为曲线在某点处 的切线斜率；在三维空间中，隐函数的几何意义可以理解为 曲面在某点处的切平面斜率。
方向和位置。
隐函数和微分法还可以 用于解决几何问题中的 优化问题，例如最小化 长度、面积或体积等。
04
隐函数的微分性质
微分的基本性质
线性性质
若$u$和$v$可微，则$u+v$和$uv$也可微，且 $(u+v)'=u'+v'$，$(uv)'=u'v+uv'$。
03 隐函数和微分法还可以用于研究其他领域中的非 线性关系，例如生态学和物理学。
解决几何问题
01
02
03
隐函数和微分法可以用 于解决几何问题，例如 确定曲线的形状和性质
。
通过建立隐函数模型， 可以描述几何对象的性 质，例如曲线的曲率、
常数求导法则
若$u$是常数，则$u'=0$。
微分在近似计算中的应用
线性近似
当函数在某点的切线与x轴平行时，可以用切线近似代替函数值。
多项式逼近
通过多项式逼近可以近似表示复杂的函数，并利用微分计算逼近 误差。
无穷小分析
利用微分的基本性质，可以分析无穷小量对函数值的影响。
微分中值定理
拉格朗日中值定理
03
在实际问题中，偏导数和全导数都有广泛的应用，例
如在优化问题、控制论、微分方程等领域。
隐函数求导的几何意义
01
隐函数的几何意义是指通过几何图形的方式表达函数的值和 自变量的关系。
02
对于一个隐函数f(x,y)=0，其求导结果表示该函数在某点处 的切线斜率。
03
在二维空间中，隐函数的几何意义可以理解为曲线在某点处 的切线斜率；在三维空间中，隐函数的几何意义可以理解为 曲面在某点处的切平面斜率。
方向和位置。
隐函数和微分法还可以 用于解决几何问题中的 优化问题，例如最小化 长度、面积或体积等。
04
隐函数的微分性质
微分的基本性质
线性性质
若$u$和$v$可微，则$u+v$和$uv$也可微，且 $(u+v)'=u'+v'$，$(uv)'=u'v+uv'$。