隐函数微分法
隐函数的微分法
确认隐函数的存在性.下面来探讨隐函数存在定理，并根
据多元复合函数的求导法则来导出隐函数的导数公式，
本节中的定理不作严格证明，仅给出推导过程.
一、一个方程的情形
定 理1
（一元函数存在定理）设函数F(x,y)满足如下条件： （1）在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数. （2） F(x0,y0)=0，Fy(x0,y0)≠0. 则方程F(x,y)=0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个 连续且具有连续导数的函数y=f(x)，且满足条件y0=f(x0)，并有
同理,可得
二、方程组的情形
引例说明为方便起见，取V,T为自变量，于是 S=S(V,T),E=E(V,T).因此有
将上式代入
，得
二、方程组的情形
再由状态方程
整理可得
又由
可得
化简得 此结果表明，气体的内能仅是温度的函数，与体积无关.
谢谢聆听
一、一个方程的情形
定理推导
将z=f(x,y)代入F(x,y,z)=0,得F［x,y,f(x,y)］≡0,将等式 两端分别对x和y求导，应用复合函数求导法则得
因为Fz连续，且Fz(x0,y0,z0)≠0,所以存在点(x0,y0,z0)的一个 邻域，在这个邻域内Fz≠0，于是得
一、一个方程的情形
【例2】
设
解 设Fx,y,z=ez－z+xy－3,则
于是
Fx=y,Fz=ez－1,
一、一个方程的情形
【例3】
设z=z(x,y)是由方程f(y－x,yz)=0所确定的隐函数，其 中f有二阶连续偏导数，求
解 方程两边同时对x求偏导,得
即
，再一次对x求偏导得
一、一个方程的情形
隐函数微分法
例3.设有方程F(xy,y+z,xz)=0,其中F可微，求
z x
,
z y
.
解：由题意可知z是x，y的函数，对方程两边关于x
求导，得
F1
'
y
F2
'
z x
F3
'
z
x
z x
0
解得 z = yF1 ' zF3 ' . x F2 ' xF3 '
类似，对y求导得
v 1 (F,G) x J (u, x )
同样可得
u 1 (F,G) y J ( y , v )
v 1 (F,G) y J (u , y )
定理3. 设函数
满足:
① 在点 导数；
的某一邻域内具有连续偏
② F(x0 , y0,u0, v0 ) 0, G(x0 , y0,u0, v0 ) 0;
y y (x)
z
z
(x)
假设F,G可微且y, z可导，求y’(x)和z’(x).
将y y x, z z x 代入方程组，得
F x, y x, z x 0
G
x,
y
x
,
z
x
0
由G称复通Fxx为合常F函，GF、y数y我yyG链们''的Jx式x把雅法由可(GF则(Fx比zFz,,z，zG、y('')对)GxJxxa的求cGFo偏xx导0b0i导得)GF行数yy：列组式成.的行列式
z z
隐函数的微分法
dx +
(
z
dz
F1 F2 y x
z x
y2 F1 F2 y x
z y
) F1 F2
dy
z z F F F F 1 2 2 2 1 2 y z z y 故 x y x x F1 F2 F1 F2 x y y x y x F1 F2 F1 F2 z ( ) xy( ) y x y x F1 F2 y x
( F , G ) Fu Fv J Gu Gv ( u, v )
称为函数F，G 的雅可比( Jacobi )行列式.
定理8.9 设函数
满足:
的某一邻域内具有连续偏
① 在点
导数；
② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 , G ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ;
Fx z 注 在公式 中， x Fz
Fx : 将 F ( x , y , z )中的y , z暂视为常数，
对x求偏导数；
Fz : 将 F ( x , y , z )中的x , y暂视为常数，
对z求偏导数；
例2
设z 3 xyz a , 求z x 及z xy .
用此法求导 时，要注意 z是x, y的 函数！
具有连续偏导数的函数
u u( x , y ) , v v( x , y ),
且有
1 u 1 ( F ,G ) Fu Fv x J ( x, v ) Gu Gv 1 u 1 ( F ,G ) Fu Fv y J ( y, v ) Gu Gv
Fx Fv G x Gv
的某一邻域内可
唯一确定一个函数 z = f (x , y)满足 ,
隐函数微分法
它满足条件 z 0 = f ( x 0 , y 0 ) ，并有 Fy Fx ∂z ∂z =− =− ， Fz Fz ∂y ∂x
②
定理的证明从略，仅就公式②作如下推导： 定理的证明从略，仅就公式②作如下推导：
将 z= f ( x , y ) 代入 F ( x , y , z )= 0 ， =
x 2y dz = − dx − dy , 3z 3z
x ∂z , 故 =− 3z ∂x 2y ∂z . =− 3z ∂y
1 ∂z x ∂ 2z ∂ ∂z x 2y 2xy = ( ) = − ⋅ (− 2 ) ⋅ = (− ) =− 3 . 2 3 ∂x∂y ∂y ∂x 3z z ∂y 3z 9z
F x = 2 x ， F y = 4 y ， Fz = 6 z ，
Fx 2x x ∂z 故 =− =− =− , ∂x Fz 6z 3z
Fy 4y 2y ∂z . =− =− =− Fz 6z 3z ∂y
直接法 解法 2：直接法
在 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 4 两边分别对 x 和 y 求偏导, 注意 z 是 x、y 的函数，得 、 的函数，
作
业
5.3（ 习 题 5.3（P.46） ）
19.（1）； 20（2）（4）； ）（4 21.
y− x 1 1 Fy = 2 , − ⋅ = 2 2 2 y 2 x x +y x +y 1+ ( ) x y
Fx x + y dy . =− = dx Fy x − y
定理4 隐函数存在定理 2 定理 4（隐函数存在定理2）
满足下列条件： 设三元函数 F ( x , y , z ) 满足下列条件： 三元函数
高等数学之隐函数微分法
解法二: 将 z 视为 x , y 的函数,方程两边分别对 x , y 求偏导 (过程略，同学们试试)
例2.设 y = f ( x, t ),而 t 是由 ϕ ( x, t ) = 0 所确定的函数,
dy 且 ϕ ( x, t ) 可微.求 dx
x y t x
dy ∂f ∂f dt ∴ = + ⋅ dx ∂x ∂t dx
定理2 (二元隐函数存在定理) 设F(x,y,z) 在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 的某邻域内具有连续偏导数,且
F ( x0 , y0 , z0 ) = 0, Fz ' ( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0, 则方程F(x,y,z)=0在该邻域
内恒能惟一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z=f(x,y),满足 z0 = f ( x0 , y0 ), 并有: ∂z = − Fx ' , ∂z = − Fy '
∂2z 求 ∂x 2
F ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 − 4 z
∴
Fx ' = 2 x, Fz ' = 2 z − 4
∂z F' x =− x = ∂x Fz ' 2 − z ∂z (2 − z ) + x ∂2z ∂ x ∂x = ( ) = (2 − z ) 2 ∂x 2 ∂x 2 − z
∂x Fz ' ∂y Fz '
证:因为
F [ x, y, f ( x, y )] ≡ 0
两边分别对 x,y 求偏导:
Fy '+ Fz '⋅ ∂z =0 ∂y
Fx '+ Fz '⋅
隐函数的微分法
隐函数的微分法隐函数的微分法是微积分中的重要内容，它用于求解由一个或多个变量之间的关系所定义的隐函数的导数。
隐函数可以表示为F(某,y)=0的形式，其中某和y是变量，F是一个含义良好的函数。
隐函数的微分法可以用来求解隐函数的导数，进而研究隐函数的性质和求解相关的问题。
在计算隐函数导数时，我们可以利用偏导数的概念。
根据隐函数的定义，我们可以将F(某,y)=0表示为F(某,y(某))=0，即将y表示为某的函数。
然后对等式两边同时对某求偏导数，可以得到：∂F/∂某 + ∂F/∂y 某 dy/d某 = 0然后解出dy/d某，即可得到隐函数的导数。
在应用求导法则时，我们可以利用链式法则来处理含有隐函数的导数计算问题。
链式法则可以表示为：dF/d某 = (∂F/∂某) + (∂F/∂y) 某 (dy/d某)通过应用链式法则，我们可以把对隐函数的导数转化为对显函数的导数的计算，从而求解出隐函数的导数。
此外，我们还可以利用隐函数的微分形式进行求解。
根据全微分公式，我们可以将隐函数的微分形式表示为：dF = (∂F/∂某) 某 d某 + (∂F/∂y) 某 dy = 0然后解出dy/d某，即可得到隐函数的导数。
隐函数的微分法在求解实际问题中具有广泛的应用。
它可以帮助我们求解曲线的切线及法线，提供关于曲线上点的切线斜率和切线方程的信息；在物理学中，它可以用于求解速度、加速度等问题；在经济学中，它可以用于分析边际效应及最优化问题。
综上所述，隐函数的微分法是微积分中的重要内容，它通过隐函数的定义和求导法则的应用，可以帮助我们求解隐函数的导数，并在实际问题中提供有用的信息。
通过对隐函数的导数的求解，我们可以研究隐函数的性质、求解相关的问题，并应用于具体的实际问题中。
05 第五节 隐函数微分法
05 第五节隐函数微分法隐函数微分法是一种在方程中含有多个变量时，用一个变量的导数表示另一个变量的导数的方法。
它的主要思想是将多元函数的某些变量看作常量（约束条件），然后将剩余的变量用其他变量的导数来表示。
这种方法在自然科学、工程技术以及经济学等领域中得到广泛应用。
一、隐函数微分法的基本思想我们考虑一个二元函数 $z=f(x,y)$，假设在某一点 $(x_0,y_0)$ 处，方程$F(x,y,z)=0$ 成立，这个方程可以看做是 $z$ 对 $x$ 和 $y$ 的隐函数。
我们要求在这个点上，$z$ 对 $x$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 的值。
首先，我们可以对方程两边求导，得到：$$\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}=0$$于是，我们得到了两个方程：下面，我们通过一个例子来说明隐函数微分法的具体步骤。
假设我们要求以下方程的$\frac{dy}{dx}$：$$x^2+y^2=9$$我们可以将它看作是 $y$ 对 $x$ 的隐函数，并将它表示为 $F(x,y)=x^2+y^2-9=0$。
然后，我们对这个方程两边求导：$$\frac{\partial F}{\partial x}=2x$$将这三个式子带入到基本式中：这个结果说明了什么？实际上，这意味着在 $x^2+y^2=9$ 的曲线上，$y$ 和 $x$ 的变化率是无穷大的。
这是因为曲线的斜率在 $x=\pm \sqrt{2}$ 的点处无穷大。
隐函数微分法有广泛的应用，特别是在自然科学、工程技术以及经济学等领域中。
下面，我们举几个例子，展示隐函数微分法的实际应用。
1. 科学研究中的应用隐函数微分法在科学研究中的应用十分广泛。
例如，当我们研究一个物理系统时，通常会涉及到多个变量之间的关系。
隐函数微分法
一、由方程F(x,y)=0所确定的
隐函数y=y(x)的求导公式
二、由方程F(x,y,z)=0所确定的 隐函数z=z(x,y)的偏导数公式
一 、由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=y(x)的求
导公式
则方若程函F(x数,yF)=(x0,在y)点在P点0的P0一(x0个,y0邻)处域的内偏，导确数定了Fy一P0 个 0隐， 函数y=y(x)，并假定y(x)可导，F(x,y)可微，那么如何 求 dy 呢？利用二元复合函数的求导法则导出隐函数
a z b z 1. x y
证 令u=x–az，v=y–bz，得
u 1, u 0, u a,
x y
z
v 0, v 1, v b. x y z
Fx
Fu
u x
Fv
v x
Fu ,
Fy
Fu
u y
Fv
v y
得 Fx 2x, Fy 2ez , Fz 2x 2 yez.
所以
z x
Fx Fz
2
x
2x 2
ye
z
x yez
, x
z y
Fy Fz
2
2e x2
z
ye
z
ez z yez
,
因此
dz
x yez
dx x
z
ez yez
dy.
例6 设F(x–ax,y–bz)=0(a,b为常数)，F(u,v)为可微函 数，Fz 0 ，证明由方程所确定的函数z=z(x,y)满足方程
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定理5.4（隐函数存在定理4）设 、 在点 的某一邻域内满足：
①具有对各个变量的一阶连续偏导数，
② ，
③ ，
则方程组 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数 ，它们满足条件 , ，并有
，
定理的证明从略，仅推导偏导数公式如下：（同时也提供了一种比较实用的方法）
设方程组 有隐函数组 则
说明：
1）定理的条件是充分的，如方程 在原点 不满足条件③,但它仍能确定唯一单值连续且可导函数
2）若③换成 ，则确定隐函数 在点 可导,且
定理的证明从略，仅对公式（1）作如下推导：
设方程 在点 的某一邻域内确定一个具有连续导数的隐函数 ，则有恒等式
两边对x求导，得 由 ，得 。
例１验证方程 在点 的某邻域内能唯一确定一个单值可导且
.-隐函数微分法
———————————————————————————————— 作者：
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第五节隐函数微分法
教学目的：(1)了解隐函数存在定理的条件与结论；
(2)会求隐函数的导数和偏导数。
教学重点：方程、方程组确定的二元隐函数的偏导数或全微分计算。
将所给方程的两边对 求导，用同样的方法可得
解3：（用全微分法）
方程组两边求全微分，得
即
解得：
所以，有
内容小结:
隐函数的求导法则（分以下几种情况）：
； ；3． 4. ．
思考题：已知 ，其中 为可微函数，求
解答：z
作业:练习册P16---P19.
两边对x求偏导得 （这是关于 ， 的线性方程组）
在点P的某邻域内，系数行列式 故得
，
同理可得 ，
例5：设 ，，求 .
解1：直接代入公式；
解2：方程两边对 求导:
即
ห้องสมุดไป่ตู้在 的条件下，
例6：设 ， ，求 ， ， 和 .
解1：直接代入公式；
解2：运用公式推导的方法，将所给方程的两边对 求导并移项得
在 的条件下，
， .
定理的证明从略，偏导公式与一元隐函数类似，请自己推导.
例3设 ，求 .
解：令 则
例4设 ，求 ， ， .
思路：把 看成 的函数对 求偏导数得 ，把 看成 的函数对 求偏导数得 ，把 看成 的函数对 求偏导数得 .
解：令 则
把 看成 的函数对 求偏导数得
整理得
把 看成 的函数对 求偏导数得
整理得
时 的隐函数 ，并求这函数的一阶和二阶导数在 的值.
解：令 ，则
依定理知方程 在点 的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且 时
的函数 ．函数的一阶和二阶导数为
例2已知 ，求 .
解：令 则
所以
定理5.2（隐函数存在定理2）设函数 在点 的某一邻域内满足：
①具有连续的偏导数，
② ，
③ ，
则方程 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 ，它满足条件 ，并有
教学难点：方程、方程组确定的二元隐函数的偏导数或全微分计算。
教学方法：讲练结合
教学时数：2课时
一、一个方程的情形
定理5.1 （隐函数存在定理1）设函数 在点 的某一邻域内满足：
①具有连续的偏导数 ，
② ，
③ ，
则方程 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值且具有连续导数的函数 ，它满足条件 ，并有
. （1）
把 看成 的函数对 求偏导数得
整理得
二、方程组的情形
为了叙述方便，引入雅可比（Jacobi）行列式：
，
定理5.3（隐函数存在定理3）设 、 在点 的某一邻域内满足：
①具有对各个变量的一阶连续偏导数，
② ，
③ ，
则方程组 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数 ，它们满足条件 , ，并有