第6章多元函数微分学6-10(隐函数及其微分法)

2 z 2 2 2 例 2. 设 x y z 4 z 0 , 求 2 . x 解法1 利用隐函数求导 z x z z 2x 2z 4 0 x 2 z x x
再对 x 求导
2
z 2 1 ( ) x
2z 4 2 0 x
解法2 利用公式 设 F ( x, y , z ) x 2 y 2 z 2 4 z 则 Fx 2x , Fz 2z 4

x x Fx z z2 2 z x Fz
两边对 x 求偏导
2z x ( ) 2 x 2 z x
(2 z ) 2 x 2 (2 z )3
例3. 设F( x , y)具有连续偏导数, 已知方程 解法1 利用偏导数公式.
确定的隐函数, 则
z F1 z y x x F1 y F2 x ( 2 ) F1 ( 2 ) F2
注意: (1) 证明从略, 求导公式推导如下:
F[ x, y, f ( x, y)] 0,
z Fx Fz 0, x
z Fy Fz 0, y
又 Fz 0,
z Fx , x Fz
Fy z . y Fz
( 2) 若 Fx 0, 则
解: 令 F ( x, y ) sin y e x y 1, 则
① Fx e x y, Fy cos y x 连续 ,
x
② F (0,0) 0 ,
③ Fy (0,0) 1 0
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
导的隐函数 且
x Fx dy e y cos y x x 0, y 0 d x x 0 Fy x 0
解法2 微分法. 对方程两边求微分:
x y d( ) 0 F1 d( ) F2 z z z d x xd z zd y y d z F1 ( ) )0 F ( 2 2 2 z z dy F1d x F2 xF1 y F2 d z z z2 z d y) dz (F1d x F2 x F1 y F2
( F , G ) Fu J Gu (u, v)
Fv Gv
称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
定理3. 设函数 ① 在点
满足: 的某一邻域内具有连续偏
导数；
② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 , G( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ; ③J
导数
Fx dy dx Fy
(隐函数求导公式)
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
则
两边对 x 求导
在
的某邻域内 Fy 0
Fx dy dx Fy
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还有
二阶导数 :
Fx Fy
d y Fx Fx d y ( ) ( ) 2 x Fy y Fy d x dx
代入所证等式的左边即可得结论.
z 解法2 0 x 1 1 z y x 0 等式两边对x求偏导得： F1, F2 1 z z 2 x x x
z 1 z 1 z z 即F1(1 ) F2 ( 2) 0 x y x x x x
d y dx 2 x 0
2
d ex y ( ) d x cos y x

( e x y)(cos y x) (e x y )( sin y y 1)
( cos y x )
2
3
x0 y0 y 1
导数的另一求法 — 利用隐函数求导
确定了两个一元函数. 确定了两个二元函数.
x x ( u, v ) 3. y y( u, v ) z z ( u, v )
确定了一个以u,v为中间变量 x,y为自变量的二元函数.
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
u u ( x, y ) F ( x, y , u , v ) 0 v v ( x, y ) G ( x, y, u, v) 0 由 F、G 的偏导数组成的行列式
Fy x , y Fx
Fz x . z Fx
(3) 也可求二阶偏导.
方程确定的隐函数及求导习例
2 z 2 2 2 例2 设x y z 4 z 0, 求 2 . x
z x y 例5 设z f ( x y z , xyz), 求 , , . x y z
内容小结 思考题
一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1. 设函数 在点 P( x , y ) 的某一邻域内满足
0 0
① 具有连续的偏导数;
② F ( x0 , y0 ) 0 ;
③ Fy ( x0 , y0 ) 0
则方程 的某邻域内可唯一确定一个 并有连续 单值连续函数 y = f (x) , 满足条件


2
x y x
Fy2
2
Fx x Fy Fy x Fx Fy2
2 3 Fy

Fx y Fy Fy y Fx
Fx ( ) Fy
Fx x Fy 2 Fx y Fx Fy Fy y Fx
例1. 验证方程 可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域
并求
dy d2 y , dx x 0 dx 2 x 0
sin y e x x y 1 0, y y( x)
两边对 x 求导
y
x0
x
e y cos y x (0,0)
两边再对 x 求导
sin y ( y) 2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d y 3 2 x0 dx
2
定理2.
若 (1) F ( x , y, z )在U ( P0 , )内有连续偏导数 ; ( 2) F ( x0 , y0 , z0 ) 0; ( 3) Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0;
则 (1) F ( x , y, z ) 0在U ( P0 , )内唯一确定了单值 连续函数 z f ( x , y ), 且z0 f ( x0 , y0 ); Fy z Fx z ( 2)有连续偏导数 , . x Fz y Fz
z z z f1 (1 ) f2 ( yz xy ), x x x
z f1 yzf 2 ; x 1 f1 xyf 2
x 求 时, x为函数, y, z为自变量. y z f ( x y z , xyz ), 两边对y求偏导得
Fx Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G x Gv x J ( x, v ) Gu Gv Fy Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G y Gv y J ( y, v ) Gu Gv Fu Fx 1 v 1 ( F , G ) Fu Fv Gu G x x J ( u, x ) Gu Gv Fu Fy 1 v 1 ( F , G ) 定理证明略.仅 Fu Fv Gu G y J ( u, y ) 推导偏导数公 y Gu Gv 式如下：
z
z
F1 1 z
z y ( y2 ) F1 ( x2 ) F2
z z
1 F2 z
z F2 x F1 y F2
故
Fx z z z z (F1d x dz dx d y F 2d y) x F1 y F2 x x y Fz
y 1 f1 xyf 2 . z f1 xzf2
解法3 利用两边全微分也可得到所求.
二、方程组所确定的隐函数组及其导数
在此举例说明求偏导的方法, 方程组确定的隐函数 一般有以下几种情形:
F ( x , y, z ) 0 1. G ( x , y, z ) 0 F ( x , y, u, v ) 0 2. G ( x , y, u, v ) 0
z z 解法1 令 ( x , y , z ) F x , y y x 1 z z x F1, F2 F1 2 F2 x 2 x z z 2 y F1, F2 y 2 F1 F2 y 1
z F x , y y
1 z z 1 z z 同理可得F1( 2 ) F2 (1 )0 y y y x y y
代入所证等式左边即可得结论成立.
z x y 例5 设z f ( x y z , xyz), 求 , , . x y z
1 1 1 y z F1, F2 F1 F2 1 y x x
2 z x y( zF2 x F1) , x z x ( xF1 yF2 )
y x ( zF1 y 2 F2 ) z y z y( xF1 yF2 )
Fy f1 xzf2 x ; f1 yzf2 y Fx
Fz y f1 xyf2 1 1 f1 xyf2 . z Fy f1 xzf2 f1 xzf2
z 求 时, z为函数, x , y为自变量. 解法2 x z f ( x y z , xyz ), 两边对x求偏导得
x 0 f1 ( 1) f2 ( xz yz x ), y y
x f1 xzf2 ; y f1 yzf 2
y 求 时, y为函数, x , z为自变量. z z f ( x y z , xyz ), 两边对z求偏导得
y y 1 f1 ( 1) f2 ( xy xz ), z z