多元函数微分学6.6隐函数的微分法
隐函数的微分法
确认隐函数的存在性.下面来探讨隐函数存在定理，并根
据多元复合函数的求导法则来导出隐函数的导数公式，
本节中的定理不作严格证明，仅给出推导过程.
一、一个方程的情形
定 理1
（一元函数存在定理）设函数F(x,y)满足如下条件： （1）在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数. （2） F(x0,y0)=0，Fy(x0,y0)≠0. 则方程F(x,y)=0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个 连续且具有连续导数的函数y=f(x)，且满足条件y0=f(x0)，并有
同理,可得
二、方程组的情形
引例说明为方便起见，取V,T为自变量，于是 S=S(V,T),E=E(V,T).因此有
将上式代入
，得
二、方程组的情形
再由状态方程
整理可得
又由
可得
化简得 此结果表明，气体的内能仅是温度的函数，与体积无关.
谢谢聆听
一、一个方程的情形
定理推导
将z=f(x,y)代入F(x,y,z)=0,得F［x,y,f(x,y)］≡0,将等式 两端分别对x和y求导，应用复合函数求导法则得
因为Fz连续，且Fz(x0,y0,z0)≠0,所以存在点(x0,y0,z0)的一个 邻域，在这个邻域内Fz≠0，于是得
一、一个方程的情形
【例2】
设
解 设Fx,y,z=ez－z+xy－3,则
于是
Fx=y,Fz=ez－1,
一、一个方程的情形
【例3】
设z=z(x,y)是由方程f(y－x,yz)=0所确定的隐函数，其 中f有二阶连续偏导数，求
解 方程两边同时对x求偏导,得
即
，再一次对x求偏导得
一、一个方程的情形
隐函数的微分法
隐函数的微分法隐函数的微分法是微积分中的重要内容，它用于求解由一个或多个变量之间的关系所定义的隐函数的导数。
隐函数可以表示为F(某,y)=0的形式，其中某和y是变量，F是一个含义良好的函数。
隐函数的微分法可以用来求解隐函数的导数，进而研究隐函数的性质和求解相关的问题。
在计算隐函数导数时，我们可以利用偏导数的概念。
根据隐函数的定义，我们可以将F(某,y)=0表示为F(某,y(某))=0，即将y表示为某的函数。
然后对等式两边同时对某求偏导数，可以得到：∂F/∂某 + ∂F/∂y 某 dy/d某 = 0然后解出dy/d某，即可得到隐函数的导数。
在应用求导法则时，我们可以利用链式法则来处理含有隐函数的导数计算问题。
链式法则可以表示为：dF/d某 = (∂F/∂某) + (∂F/∂y) 某 (dy/d某)通过应用链式法则，我们可以把对隐函数的导数转化为对显函数的导数的计算，从而求解出隐函数的导数。
此外，我们还可以利用隐函数的微分形式进行求解。
根据全微分公式，我们可以将隐函数的微分形式表示为：dF = (∂F/∂某) 某 d某 + (∂F/∂y) 某 dy = 0然后解出dy/d某，即可得到隐函数的导数。
隐函数的微分法在求解实际问题中具有广泛的应用。
它可以帮助我们求解曲线的切线及法线，提供关于曲线上点的切线斜率和切线方程的信息；在物理学中，它可以用于求解速度、加速度等问题；在经济学中，它可以用于分析边际效应及最优化问题。
综上所述，隐函数的微分法是微积分中的重要内容，它通过隐函数的定义和求导法则的应用，可以帮助我们求解隐函数的导数，并在实际问题中提供有用的信息。
通过对隐函数的导数的求解，我们可以研究隐函数的性质、求解相关的问题，并应用于具体的实际问题中。
《隐函数的微分》课件
隐函数的微分性质
隐函数在其定义域内可能呈现出单调递增或单调递减的性质。通过求导数并判断其符号，可以确定隐函数的单调性。如果导数大于零，则函数单调递增；如果导数小于零，则函数单调递减。
隐函数的单调性可以通过求导数并判断其符号来确定。
通过求一阶导数可以判断函数的单调性，而通过求二阶导数可以判断函数的凹凸性。
THANKS
THANK YOU FOR YOUR WATCHING
用d/dx表示一阶导数，d²/dx²表示二阶导数，以此类推。
意义
高阶导数可以揭示函数在某点的局部性质，如曲线的弯曲程度、拐点等。
对于复合函数，高阶导数的计算需要使用链式法则。例如，若y=f(u)，u=g(x)，则y的n阶导数为f(u)的n阶导数乘以g(x)的n阶导数的n次方。
链式法则
对于多项式函数，可以使用乘法法则和加法法则来计算高阶导数。
详细描述
在数学中，极值点是指函数取得局部最大值或最小值的点，而最值点是指函数在整个定义域内的最大值或最小值点。对于隐函数，我们可以通过求二阶导数来判断其在极值点和最值点的性质。如果二阶导数大于零，说明函数在极值点处取得局部最小值；如果二阶导数小于零，说明函数在极值点处取得局部最大值。同时，我们还需要考虑一阶导数的符号变化，以确定最值点是最大值还是最小值。
在科学、工程和经济学等领域中，隐函数的微分也有广泛的应用。
在解决微分问题时，我们经常需要用到隐函数的微分。
隐函数的求导法则
总结词
链式法则是隐函数求导的核心法则，用于处理复合函数的情况。
详细描述
链式法则是隐函数求导的重要法则之一，它指出如果一个函数y是另一个函数u的复合函数，即y=f(u)，u=g(x)，那么dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
隐函数微分法
一、由方程F(x,y)=0所确定的
隐函数y=y(x)的求导公式
二、由方程F(x,y,z)=0所确定的 隐函数z=z(x,y)的偏导数公式
一 、由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=y(x)的求
导公式
则方若程函F(x数,yF)=(x0,在y)点在P点0的P0一(x0个,y0邻)处域的内偏，导确数定了Fy一P0 个 0隐， 函数y=y(x)，并假定y(x)可导，F(x,y)可微，那么如何 求 dy 呢？利用二元复合函数的求导法则导出隐函数
a z b z 1. x y
证 令u=x–az，v=y–bz，得
u 1, u 0, u a,
x y
z
v 0, v 1, v b. x y z
Fx
Fu
u x
Fv
v x
Fu ,
Fy
Fu
u y
Fv
v y
得 Fx 2x, Fy 2ez , Fz 2x 2 yez.
所以
z x
Fx Fz
2
x
2x 2
ye
z
x yez
, x
z y
Fy Fz
2
2e x2
z
ye
z
ez z yez
,
因此
dz
x yez
dx x
z
ez yez
dy.
例6 设F(x–ax,y–bz)=0(a,b为常数)，F(u,v)为可微函 数，Fz 0 ，证明由方程所确定的函数z=z(x,y)满足方程
多元函数微分法及其应用-隐函数的微分法
P
则方程组 F ( x , y , u, v ) = 0 , G ( x , y , u, v ) = 0
在点 ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某一邻域内能唯一确定
一对满足条件 u0 = u( x0 , y0 ) , v0 = v ( x0 , y0 ),
F1′ F2′ F1′ F2′ z( + ) xy ( + ) x x y y = F1′ F2′ + y x
= z xy .
例3 设 xu yv = 0， yu + xv = 1， u u v v 求 ， ， 和 . x y x y 解（方法1）直接套公式 （方法2）复合函数求导法 将所给方程的两边对 x 求偏导数，并移项
Fy z = y Fz
注意公式 里的负号
Fx z 注 在公式 = 中， Fz x
Fx : 将 F ( x , y , z )中的 y , z暂视为常数，
对x 求偏导数；
Fz : 将 F ( x , y , z )中的 x , y暂视为常数，
对z求偏导数；
(二) 由方程组确定的隐函数微分法 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即 u = u( x , y ) F ( x , y , u, v ) = 0 v = v( x , y ) G ( x , y , u, v ) = 0 由 函数F、G 的偏导数组成的行列式
( z x2 ′ F2 F1′ )
(
z
dz =
′ F1′ F2 + y x
z x
dx +
y2 ′ F1′ F2 + y x
z y
′ F1′ F2 )
高等数学第五节多元复合函数与隐函数微分法ppt课件
这就是说，不论x,y是自变量还是中间变量，其微 分形式不变，称为(二元函数)一阶微分的形式不变性.
20
例10 求下列函数的偏导数和全微分.
(1) z ( x y)exy
解 dz d[( x y)exy ] ( x y)de xy exyd( x y)
( x y)exy ( y dx x dy) exy(dx dy)
dz z du z dv dx u dx v dx
vuv1 1 uvlnv 1 x x x1 x xlnx
10
情形3 z f (x,v),v v(x, y) 则有
z f f v ; x x v x
z f v y v y
或者 z f (x, y,v),v v(x, y) 则有
z Fx ， z Fy . x Fz y Fz
dz z dx z dy x y
dz
Fx' Fz'
dx
Fy' Fz'
dy
所以
Fx'dx Fy'dy Fz'dz 0
dF( x, y, z) Fx'dx Fy'dy Fz'dz 0
33
例13 设隐函数 z z( x, y) 由 sin z x2 yz 0 确定，
12
课堂 设 z f (u, v, t) uv sint ，其中 u et ， 练习 v cost ，
求全导数 dz . dt
dz f du f dv f 解
dt u dt v dt t
vet usint cos t
et cos t et sint cos t
et (cos t sint ) cos t .
z f f v ; x x v x
隐函数的全微分
隐函数的全微分隐函数的全微分是求解具有隐函数形式的函数的微分。
简单来说，就是将隐函数的微分表示为自变量与因变量的微分之间的关系。
假设有一个隐函数的方程为：F(x, y) = 0其中，x是自变量，y是因变量。
对于给定的x值，我们希望求解相应的y值。
假设此时y是关于x的函数，即y = f(x)。
我们可以对该方程两边同时求导，得到：∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0这就是隐函数的微分方程，其中∂F/∂x表示F对x的偏导数，∂F/∂y 表示F对y的偏导数，dy/dx表示y关于x的导数。
现在，我们可以对该方程进行一些重写和推导，以简化它的形式。
首先，我们将dy/dx的项移到等号的另一边，得到：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)这样，我们就得到了隐函数关于x的导数的表达式。
接下来，我们可以将上式两边同时乘以dx，得到：dy = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y) * dx这是一个全微分的表达式，表示隐函数的微分。
在这个表达式中，右边是一个关于x和y的函数，左边是y的微分。
这意味着我们可以通过给定x值，通过“微小”的dx变化得到相应的“微小”的dy变化。
换句话说，我们可以通过微分的方法求解隐函数的导数。
这个全微分的表达式可以进一步简化。
我们定义一个新的符号，即dy和dx的比值，即：ν = dy/dx这个符号表示y关于x的导数。
将这个符号代入到全微分的表达式中，我们可以得到：dy = ν * dx这个表达式表示了y的微分与x的微分之间的关系。
如果我们已经找到了y关于x的导数ν的表达式，我们就可以通过给定x的值和dx的值，求解相应的dy的值。
而这个过程可以通过微分的方法来进行。
总结一下，隐函数的全微分是通过对隐函数的微分方程进行求解，得到了表示隐函数微分的表达式。
这个表达式可以用于求解隐函数关于自变量的导数。
它对于求解一些复杂的隐函数问题，特别是在物理和工程领域中的应用具有重要意义。
多元函数的隐函数与隐函数微分法
多元函数的隐函数与隐函数微分法隐函数是指在一个方程中，无法显式解出某个变量的函数。
多元函数的隐函数即指在多个变量存在的情况下，无法显式解出某个变量的函数。
隐函数与显函数相对，显函数可以直接通过变量之间的关系式来求得，而隐函数则需要通过方程组来求出。
隐函数在数学和物理学等领域中具有重要作用。
在微积分中，我们常常需要求解多元函数的最值、偏导数、积分等问题，而这些问题往往涉及到隐函数。
因此，研究多元函数的隐函数与隐函数微分法对于深入理解和解决这些问题至关重要。
对于二元函数f(x, y) = 0，若无法通过代数方法直接解出y关于x的表达式，则可以考虑使用隐函数的方法求解。
对于这种情况，我们可以使用隐函数定理来求出隐函数的表达式。
隐函数定理是指在给定条件下，如果一个函数在某点的偏导数存在且不为零，则在该点的邻域内，方程可以表达为一个关于y的函数与x 的函数的形式。
具体而言，设函数F(x, y)在点(x0, y0)的某个含有点(x0, y0)的邻域内连续且具有连续的偏导数，且F(x0, y0) = 0。
若∂F/∂y ≠ 0，则方程F(x, y) = 0在该邻域内能唯一确定一个函数y = f(x)，且在点(x0, y0)的某个含有点(x0, y0)的邻域内，有F(x, f(x)) = 0。
利用隐函数定理，我们可以通过求偏导数来计算出隐函数的微分。
假设有二元函数F(x, y) = 0，并设y = f(x)是与F(x, y) = 0所确定的隐函数。
对该隐函数两边求偏导数，可以得到：∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。
进一步变换，可以得到隐函数的微分公式：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
这个微分公式对于求解多元函数的隐函数非常有用，因为它给出了隐函数的导数与各个变量的偏导数之间的关系。
利用这个微分公式，我们可以根据已知条件来求解隐函数的导数，从而进一步求解相关问题。
总结一下，多元函数的隐函数与隐函数微分法在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Fx 3yz, Fy 3xz, Fz 3z2 3xy,
从而
z x
Fx Fz
yz , z2 xy
z y
Fy Fz
xz z2 xy.
首页 上页 下页 返回 结束
于是
2z xy
( z ) y x
y
( yz ) z2 xy
数的求导法则，得
Fx
Fy
dy dx
0
由于 Fy连续，且 Fy(x 0, y0 ) 0, 所以存在点(x0,y0)
的某个邻域，在此邻域内 Fy 0, 于是得到
dy Fx . dx Fy
首页 上页 下页 返回 结束
例6-28 设方程 sin xy ex y2 确定了y是x的函数，
我们可以根据三元函数F(x,y,z)的性质来断定由方程
F(x,y,z)=0所确定的二元函数z=f(x,y)的存在，以及这个
函数的性质．
首页 上页 下页 返回 结束
定理6-7 设函数F(x,y,z)在点(x0,y0,z0)的某邻域有连续
的偏导数，F(x 0, y0, z0 ) 0, Fz(x 0, y0, z0 ) 0. 则方程
z Fy . y Fz
首页 上页 下页 返回 结束
例6-29 设方程 sin z x2 yz 确定了函数z f (x, y)
求 z 及 z . x y 解 设 F( x , y, z ) sin z x2 yz, 则有
Fx 2xyz, Fy x2z, Fz cos z x2 y.
dy Fx . dx Fy 公式（1）就是隐函数的求导公式．
（1）
定理的证明从略．我们来推导公式（1）．
将方程F(x,y)=0所确定的函数代入方程，得到
F( x , f (x) ) 0,
首页 上页 下页 返回 结束
对 F( x , f (x) ) 0 两边关于x求导．由多元复合函
首页 上页 下页 返回 结束
上式两边分别对x和y求偏导，由多元复合函数的求 导法则，得
Fx
Fz
z x
0,
Fy
Fz
z y
0.
由于 Fz 连续，且 Fz(x 0, y0, z0 ) 0, 故存在点(x0,y0,z0)
的某个邻域，在此邻域内 Fz 0, 于是得到
z Fx , x Fz
6.6 隐函数的微分法
在一元函数微分学中，我们学习了由方程
F(x, y) 0
所确定的隐函数的导数的方法．这一节将列举出隐函 数存在定理，并且根据多元复合函数的求导法则来推 导出隐函数的求导公式．
首页 上页 下页 返回 结束
定理6-6 设函数F(x,y)在点(x0,y0)的某邻域有连续的 偏导数，F(x 0, y0 ) 0，Fy(x 0, y0 ) 0. 则方程F(x,y)=0 在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个具有连续 导数的函数y=f(x) ，它满足y0=f(x0) ，并且
由公式可得
z Fx x Fz
2xyz cos z x2
y
,
z y Fy Fzx2z cos z x2 y .
首页 上页 下页 返回 结束
例6-30 设方程 z3 3xyz 1确定了函数z f (x, y)
求 2z . xy
解 设 F( x , y, z ) z3 3xyz 1, 则有
求 dy .
dx
解 令 F(x , y) sin xy ex y2, 因为
Fx y cos xy ex , Fy x cos xy 2 y.
所以
dy Fx y cos xy ex .
dx Fy x cos xy 2 y
隐函数存在定理还可以推广到多元函数．例如，
F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个
具有连续偏导数的函数z=f(x,y) ，它满足z0=f(x0,y0) ，且
z Fx , x Fz
z Fy . y Fz
（2）
这个定理我们也不作证明，与定理6-6类似，仅对
公式（2）进行推导．
由于 F( x, y , f (x, y) ) 0
(z 2 xy)(z y z ) yz(2z z x)
y
y
(z 2 xy)2
z(z4
2xyz2 x (z2 xy)3
2
y
2
)
.
首页 上页 下页 返回 结束