多元函数微分学练习题完整版

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《多元函数微分学》练习题参考答案

解：在 L 上任取一点 P ( x, y ),
f (x , y ) = 0
考虑 d = ( x − x0 ) + ( y − y0 ) 在条件 f ( x, y ) = 0 下的极值问题作 F = ( x − x 0 ) + ( y − y 0 ) + λ f ( x , y ) ，则
' ⎧ ⎪ F x = 2(x − x 0 ) + λ f 'x ( x , y ) = 0 ， ⎨ ' ⎪ ⎩F y = 2( y − y 0 ) + λ f 'y (x , y ) = 0 2 2 2 2 2
P87-练习 4 设 z = f ( xy,
x y ) + g ( ) ，其中 f 有二阶连续偏导数， g 有二阶导数，求 y x
∂2z ．（2000） ∂x∂y
解: 根据复合函数求偏导公式
∂z 1 y = f1′ ⋅ y + f 2′ ⋅ + g ′ ⋅ (− 2 ) , ∂x y x
24
∂2 z ∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ ⎛ 1 y ⎞ = ⎜ ⎟ = ⎜ f1′ ⋅ y + f 2′ ⋅ + g ′ ⋅ ( − 2 ) ⎟ ∂x∂y ∂y ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ y x ⎠ x 1 1 x y 1 = f1′ + y[ f11′′ x + f12′′ ⋅ (− 2 )] − 2 f 2′ + [ f 21′′ x + f 22′′ ⋅ (− 2 )] − g ′′ ⋅ 3 − g ′ ⋅ 2 y y y y x x 1 x y 1 = f1′ + xyf11′′ − 2 f 2′ − 3 f 22′′ − 3 g ′′ − 2 g ′ y y x x

多元函数微分学练习题及答案

三. 设Lx, y, z, ln x ln y 3ln z (x2 y2 z2 5R2 )
求得此函数定义域内唯一的稳定点R，，R 3R ，也是所求函数的最大值点，所求最大值为f R, R, 3R ln 3 3R5 .
ln x ln y 3ln z ln 3 3R5
u y xf2 ( xz xyz y ) f 3
.
3、f x ( x, y)
(
x
2 xy 3 2 y2
)2
,
x
2
0, x 2 y 2 0
y2
0 ,
f y (x,
y)
x2(x2 (x2
y2 y2 )2
)
,
x2
o, x 2 y 2 0
y2
0
五、(
f1
f2 )dx
y (z) 1
f2 (z) dy. y (z) 1
六、 xe2 y fuu e y fuy xe y f xu f xy e y fu.
4、1； 5、必要条件,但不是充分条件； 6、可微；
7、 2 f (v )2 f 2v ； v 2 y v y 2
8、
9 2
a
3
；
9、(1,2)；10、 1 ； 8
二、(1)当 x y 0时,在点( x, y)函数连续；
(2)当 x y 0时,而( x, y)不是原点时,
则( x, y)为可去间断点,(0,0)为无穷间断点.
4、lim( x 2 y )2 x2 y2 ( ). x0 y0
5、函数 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续,且两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )存在是 f ( x, y)在该点可微

(完整版)多元函数微积分复习试题

多元函数微积分复习题一、单项选择题1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的（ D )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ).(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( C ).A. 若0lim x xy y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处zx∂∂和z y ∂∂都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处zx∂∂和z y ∂∂存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ∂∂和22z y ∂∂都存在, 则. 22z x ∂∂=22zy ∂∂.5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ).A. 可微(指全微分存在)⇔可导(指偏导数存在)⇒连续;B. 可微⇒可导⇒连续;C. 可微⇒可导, 或可微⇒连续, 但可导不一定连续;D. 可导⇒连续, 但可导不一定可微.6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 25．已知三点M （1，2，1），A （2，1，1），B （2，1，2），则→→•AB MA = （ C ） (A) -1； (B) 1； (C) 0 ； (D) 2；6．已知三点M （0，1，1），A （2，2，1），B （2，1，3），则||→→+AB MA =（ B ）(A);2-(B) (C)2; (D)-2;7．设D 为园域222x y ax +≤ (0)a >, 化积分(,)DF x y d σ⎰⎰为二次积分的正确方法是_____D____.A. 20(,)aa adx f x y dy -⎰⎰B. 202(,)adx f x y dy ⎰C. 2cos 0(cos ,sin )a a ad f d θθρθρθρρ-⎰⎰D. 2cos 202(cos ,sin )a d f d πθπθρθρθρρ-⎰⎰8．设3ln 1(,)x Idx f x y dy =⎰⎰, 改变积分次序, 则______.I= BA. ln30(,)y e dy f x y dx ⎰⎰B. ln330(,)y edy f x y dx ⎰⎰C. ln33(,)dy f x y dx ⎰⎰ D. 3ln 1(,)x dy f x y dx ⎰⎰9．二次积分cos 20(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰可以写成___________. DA. 1(,)dy f x y dx ⎰⎰B. 100(,)dy f x y dx ⎰C. 11(,)dx f x y dy ⎰⎰ D. 10(,)dx f x y dy ⎰10．设Ω是由曲面222x y z +=及2z =所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分(,,)I f x y z dx dy dz Ω=⎰⎰⎰表示为三次积分，________.I = CA ． 22120(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθ⎰⎰⎰B. 22220(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθρ⎰⎰⎰C ． 22222(cos ,sin ,)d d f z dz πρθρρθρθρ⎰⎰⎰D ． 222(cos ,sin ,)d d f z dz πθρρθρθρ⎰⎰⎰11．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d y c a x L ≤≤=,:，则()=⎰Ldx y x P , （ C ）（A ） a （B ） c（C ） 0 （D ） d12．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d x c a y L ≤≤=,:，则()=⎰Ldy y x P , （ C ）（A ） a （B ） c （C ） 0 （D ） d13．设有级数∑∞=1n n u ,则0lim =∞→n n u 是级数收敛的（ D ）(A) 充分条件； (B) 充分必要条件； (C) 既不充分也不必要条件； (D) 必要条件;14．幂级数∑∞=1n n nx 的收径半径R = （ D ）(A) 3 (B) 0 (C) 2 (D) 115．幂级数∑∞=11n n x n的收敛半径=R （ A ）(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 316．若幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R ，则∑∞=+02n n n x a 的收敛半径为（ A ）(A) R (B) 2R(C) R (D) 无法求得17. 若lim 0n n u →∞=, 则级数1n n u ∞=∑( ) DA. 收敛且和为B. 收敛但和不一定为C. 发散D. 可能收敛也可能发散18. 若1n n u ∞=∑为正项级数, 则( B )A. 若lim 0n n u →∞=, 则1n n u ∞=∑收敛 B. 若1n n u ∞=∑收敛, 则21n n u ∞=∑收敛C. 若21n n u ∞=∑, 则1n n u ∞=∑也收敛 D. 若1n n u ∞=∑发散, 则lim 0n n u →∞≠19. 设幂级数1n n n C x ∞=∑在点3x =处收敛, 则该级数在点1x =-处( A )A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不定 20. 级数1sin (0)!n nx x n ∞=≠∑, 则该级数( B )A. 是发散级数B. 是绝对收敛级数C. 是条件收敛级数D. 可能收敛也可能发散二、填空题1．设22(,)sin (1)ln()f x y x y x y =+-+，则 =')1,0(x f ___1___.2．设()()()22ln 1cos ,y x y x y x f +-+=，则)1,0('x f =____0______.3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρsin ,cos ,4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz d d z f dxdydz z y x f ϕρρϕρϕρ,sin ,cos ,,5．柱面坐标下的体积元素 z d d d dv θρρ=6．设积分区域222:D x y a +≤, 且9Ddxdy π=⎰⎰, 则a = 3 。

(完整版)多元函数微分学测试题及答案

第8章测试题1.),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数且在),(00y x 处有极值是 0),(00=y x f x 及0),(00=y x f y 的（）条件．A ．充分B ．充分必要C ．必要D ．非充分非必要2.函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂及z y ∂∂在点(,)x y 存在且连续是 (,)f x y 在该点可微分的（）条件．A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件3. 设(,)z f x y =的全微分dz xdx ydy =+，则点（0，0）是（）A 不是(,)f x y 连续点B 不是(,)f x y 的极值点C 是(,)f x y 的极大值点D 是(,)f x y 的极小值点4. 函数22224422,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在（0，0）处（ C ）A 连续但不可微B 连续且偏导数存在C 偏导数存在但不可微D 既不连续，偏导数又不存在5.二元函数22((,)(0,0),(,)0,(,)(0,0)⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩x y x yf x y x y 在点(0,0)处( A). A ．可微,偏导数存在 B ．可微,偏导数不存在C ．不可微,偏导数存在D ．不可微,偏导数不存在6.设),(),,(y x v v v x f z ==其中v f ,具有二阶连续偏导数. 则=∂∂22y z( ). (A)222y v v f y v y v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂； (B)22y vv f∂∂⋅∂∂；(C)22222)(y v v fy v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂； (D)2222y v v f y v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂.7.二元函数33)(3y x y x z --+=的极值点是( ).(A) (1,2)； (B) (1.-2)； (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). 8.已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且223(,)(0,0)(,)lim 1()x y f x y xy x y →-=+，则下述四个选项中正确的是（）.A ．点(0,0)是(,)f x y 的极大值点B ．点(0,0)是(,)f x y 的极小值点C ．点(0,0)不是(,)f x y 的极值点D ．根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点10.设函数(,)z z x y =由方程z y z x e -+=所确定，求2z y x ∂∂∂ 11.设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求 z z x y x y ∂∂-∂∂ 12.设222x y z u e ++=，而2sin z x y =，求u x ∂∂11.设(,,)z f x y x y xy =+-，其中f 具有二阶连续偏导数，求 2,z dz x y ∂∂∂.13.求二元函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值14.22在椭圆x +4y =4上求一点，使其到直线2360x y +-=的距离最短.第8章测试题答案1.A2.A3.D4.C5.A6.C7.D8.C 8. ()()3(1)z y z y e e ---9. 2122z z x y x y f f x y y x∂∂-=-∂∂ 10.2222(12sin )x y z u xe z y x++∂=+∂11.123123231113223233 ()(),()()dz f f yf dx f f xf dyzf f x y f f x y f xyf x y=+++-+∂=+++-+-+∂∂12.极小值11(0,)f ee-=-13. r h==14. 83(,)55。

(完整版)多元函数微分法及其应用习题及答案

第八章多元函数微分法及其应用(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，xy z∂∂∂2 ，则在D 上，xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。

(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的条件。

2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23y x z∂∂∂。

5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。

6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。

7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。

8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？9．求方程1222222=++cz b y a x 所确定的函数z 的偏导数。

10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。

11．设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂。

12．设x y e e xy =+，求dxdy 。

13．设()y x f z ,=是由方程03=+-xy z e z确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂，y x z ∂∂∂2。

高等数学第九章多元函数微分学试题及答案

第九章多元函数微分学§9.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。

二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。

例如 221y x z --=，1:22≤+y x D ，此二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是 xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。

2．三元函数与n 元函数()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。

条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。

二、二元函数的极限设函数),(y x f 在区域D 内有定义，),(000y x P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的0>ε，总存在0>δ，当),(y x P 满足δ<-+-=<20200)()(0y y x x PP 时，恒有ε<-A y x f ),(成立。

则记以()A y x f y y x x =→→,lim 0或()()()A y x f y x y x =→,lim00,,。

称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值A ，否则称为极限不存在。

值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。

（完整版）高等数学（同济版）多元函数微分学练习题册.doc

（完整版）高等数学（同济版）多元函数微分学练习题册.doc第八章多元函数微分法及其应用第一作一、填空：1. 函数 z ln(1 2 )y x23x y 的定义域为x12. 函数 f (x, y, z) arccosz的定义域为y 2x 23. 设 f ( x, y) x 2 y 2 , (x) cos x, ( x) sin x, 则f [ (x), (x)].sin xy .4. lim xx 0二、（）： 1. 函数1的所有断点是 :sin x sin y(A) x=y=2n π（ n=1,2,3,?）；(B) x=y=n π (n=1,2,3, ?) ； (C) x=y=m π (m=0, ±1，± 2，? )；(D) x=n π ,y=m π (n=0, ± 1，± 2，?，m=0,± 1,± 2,? )。

答：（）sin 2( x 2 y 2 , x 2y 22. 函数 f (x, y)x 2 y 2在点（ 0， 0）：2 ,x 2 y 2（ A ）无定；（B ）无极限；（ C ）有极限但不；（ D ）。

答：（）三、求 lim2xy 4 .x 0 xyya四、明极限 limx 2 y 22 不存在。

2 2xx y ( x y)y 0第二节作业一、填空题：1 sin( x2 y), xy 01. 设 f ( x, y)xy ,则 f x (0,1) .x 2 ,xy2. 设 f (x, y)x ( y 1) arcsinx, 则 f x ( x,1).y二、选择题（单选）：设 z 2x y 2 , 则 z y 等于 :( A) y 2 x y 2 ln 4; (B) (x y 2 ) 2 y ln 4; (C ) 2 y( x y 2 ) e x y 2 ;(D ) 2 y 4 x y 2 .答：（）三、试解下列各题：1. 设 z ln tan x , 求 z, z .2. 设 z arctan y, 求2z .y x yxx y四、验证 rx 2 y 2 z 2 满足2r2r2r 2 .x 2 y 2 z 2r第三节作业一、填空题：1. 函数 zy 当x 2, y时的全增量z全微分值x 1, x 0.1, y0.2dz.y2. 设z e x , 则dz.二、选择题（单选）：1. 函数 z=f(x,y) 在点 P 0（ x 0,y 0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的：（ A ）充分条件；（ B ）充要条件；（ C ）必要条件；（ D ）无关条件。

(完整版)多元函数微分学及其应用习题解答

(((x 2 + y 2 ≤ 1, x+ y }(1- (t + 4) 2 解：令 t=xy ， lim = lim= lim 2=- t →0 t →0习题 8-11. 求下列函数的定义域：(1) z =解： x -x - y ；y ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ D ={x, y ) y ≥ 0, x ≥ y }x(2) z = ln( y - x) +；1 - x2 - y 2解： y - x ≥ 0, x ≥ 0,1 - x 2 - y 2 ⇒ D ={ x , y ) y > x ≥ 0 且 x2+ y 2 < 1}(3) u = R 2 - x 2 - y 2- z 2 +1x 2 + y 2+ z 2 - r 2(R > r > 0) ；解： 0 ≤ R 2 - x 2 - y 2 - z 2，0 < x 2 + y 2 + z 2 - r 2 ⇒⇒ D = {x , y , z ) r 2< x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2}(4) u = arccoszx 2 + y 2。

解：z2 2 ≠ 0 ⇒ D = {x, y ) z ≤x 2 + y 2 且 x 2 + y 2≠ 02. 求下列多元函数的极限:：(1) lim ln( x + e y )x →1 x 2 + y 2y →0；解： limx →1y →0ln( x + e y ) x 2 + y 2 = ln(1+ 1)1= ln 2(2) lim 2 - xy + 4x →0xy y →0；1- 2 - xy + 4 2 t + 4 1 x →0xy t 1 4 y →01 / 28x →0 y →0x →0lim x +y = , m 不同时,极值也不同,所以极限不存在。

(3) lim sin xyx →0x y →5；sin xy sin xy解： lim = 5lim = 5x →0 x 5xy →5y →01 - cos( x2 + y 2 ) (4) lim( x 2 + y 2 )e x 2 y 2；x →0 y →0解：Q 1 - cos( x 2 + y 2 ) = 2(sinx 2 + y 2 2)2 ,∴ l im x →0 y →01 - cos( x2 + y 2 ) 1= 2 ⋅ ⋅ 0 = 0( x 2 + y 2 )e x 2 y 2 2(5) lim( x 2 + y 2 ) xy 。

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多元函数微分学练习题 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
第五章（多元函数微分学）练习题
一、填空题
1. (,)(0,0)sin()lim
x y xy y →= ． 2. 22
(,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1(,)(0,0)lim [1sin()]xy
x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩
则(0,1)x f = ．
5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ．
6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ．
7.
设u =d u = ．
8.
若(,)f a a x ∂=∂
，则x a →= ． 9.
设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为．
10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为．
11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z
l ==∂=∂ ．
12. 曲线cos ,sin ,tan 2
t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是．
14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为．
15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是．
16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是．
17. 曲线2226,2
x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,2,1)-处切线的方向向量s = ．
18. 设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由方程z y x e z y x --+=+确定的隐函数，则=)1,1,0(x f ．
二、选择题
1. 设0x 是n R ⊂E 的孤立点，则0x 是E 的（）
(A)聚点； (B)内点； (C)外点； (D)边界点．
2. 设0x 是n R ⊂E 的内点，则0x 是E 的（）
(A)孤立点； (B)边界点； (C)聚点； (D)外点．
3. 设22
2, (,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩
，则(0,0)y f =( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 1-
4. 若),(y x f 在),(00y x =0x 的两个偏导数)(0x x
f ∂∂，)(0x y f ∂∂存在，则 ( ） (A)f 在0x 可微； (B)f 在0x 连续；
(C)f 在0x 存在任何方向的方向导数； (D)f 在0x 关于x 与y 皆连续．
5. 二元实值函数),(y x f 的两个偏导数x
f ∂∂，y f ∂∂在),(00y x =0x 连续是f 在0x 可微的( ) (A) 充分条件 (B) 必要条件
(C) 充要条件 (D) 既不是充分也不是必要的条件
6. 函数22223u x y xz y =+-+-在点(1,1,2)-处的方向导数的最大值为（）
(A)； (B) (C)；
7. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是( )
(A) (0,0) (B) (2,2) (C) (2,0) (D) (0,2)
8. 设),(y x f z =在),(00y x =0x 可微,z ∆是f 在0x 的全增量,则在0x 处有 ( ）
(A)dz z =∆； (B)y x f x f z y x ∆'+∆'=∆)()(00x ；
(C)dy f dx f z y x )()(00x x '+'=∆； (D)))()((),(22y x dz z ∆+∆=+=∆ρρο．
9. 设)(22z x yf z x -=+（其中f 可微），且能确定隐函数),(y x f z =，则=∂∂+∂∂y z y x z z
（）
(A) )()(22z x f z y y x -'++； (B) x ；
(C) )()2(22z x f xz y y x -'++； (D) z ．
10. 设方程)()(22y x F y x F y +++=能确定隐函数)(x f y =（其中F 可微），且
1)4(,2
1)2(,2)0(='='=F F f ，则=')0(f （） (A) 71； (B)71-； (C)41-； (D)3
1-． 11. 曲面1=xyz 上平行于平面03=+++z y x 的切平面方程是（）
(A)03=-++z y x ； (B)02=-++z y x ；
(C)01=-++z y x ； (D)0=++z y x ．
三、计算与证明题
1. 设(,)w f x y z xyz =++，f 具有二阶连续偏导数，求2,w w x x z
∂∂∂∂∂． 2. 设函数(,)z z x y =是由方程2222(,)0F z x z y --=所确定的隐函数，其中(,)F u v 具有一阶连续偏导数，试求表达式11z z x x y y
∂∂+∂∂． 3. 设函数(,)()x y z f xy g y x =+，f 具有二阶连续偏导数，g 二阶连续可导，求2z x y
∂∂∂． 4. 设函数(), ()y y x z z x ==由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+=确定，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dz dx
．
5. 设(,,)u u x y z =由方程222222(,,)0F u x u y u z ---=所确定，求证： 1111u u u x x y y z z u
∂∂∂++=∂∂∂． 6. 设方程222()z x y z yf y
++=能确定隐函数(,)z z x y =，求证： 222()22z z x y z xy xz x y
∂∂--+=∂∂． 7. 求函数23z x y y =+-的极值．
8. 求函数22(2)x z e x y y =++的极值．
9. 在平面320x z -=上求一点，使它与点(1,0,1)A ，(2,2,3)B 的距离平方和为最小．
10. 求原点到曲线22
1
z x y x y z ⎧=+⎨++=⎩的最长和最短距离．
11. 设⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f ，证明：),(y x f 在点(0 0)并不连续，但存在两个偏导数．
12.设函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++= 0
, 0, 0 , ),(222222y x y x y x xy y x f 证明：f 在(0,0)连续但不可微. 13.设函数 22
22322222 , 0 ,(,)()0 , 0
x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪⎪=⎨+⎪+=⎪⎩ 证明：f 在(0,0)连续但不可微.
14.设函数
2
22
22
22
, 0 ,
(,)
0 ,0
x y
x y
x y
f x y
x y
⎧
+≠
⎪
+
=⎨
⎪+=
⎩
证明：f在(0,0)连续，偏导数存在但不
可微．。