多元函数微分学练习题及答案
第9章 多元函数微分法及其应用(题库)答案
C ）.
x 1 y 1 z 1 1 2 3
第 9 章 多元函数微分法及其应用（题库）答案
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C.
x 1 y 1 z 1 1 2 3
D.
x 1 y 2 z 3 1 1 1
C ）.
28.（8-6）曲面 xyz 6 在点 1, 2,3 处的切平面方程是（ A. 6 x 3 y 2 y 1 0 C. 6 x 3 y 2 z 18 0
t
22.（8-4）设 z uv sin t ，而 u e ， v cos t ，求 解：
dz z du z dv z vet u sin t cos t et cos t sin t cos t . dt u dt v dt t
2 2
B.
x 2 y 1 ＝＝ 4 2
z4 －1
D. 2 x y 4 z 6 0 C ）.
31.（8-6）旋转抛物面 z x y 1 在点 2,1, 4 处法线方程为（ A. 4 x 2 2 y 1 z 4 0 C. B.
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dz . dt
第 9 章 多元函数微分法及其应用（题库）答案
23.（8-5）已知方程 x y 1 0 在点 0,1 的某邻域内能唯一确定一个单值可导且 x 0
2 2
时
y 1 的隐函数 y f x ，求这函数的一阶导数在 x 0 的值
z . x
z 2x 3y x
2
z x
2
x 1 y 2
2 1 3 2 8 .
z . y
多元函数微分学的应用习题及详细解答
（x, y) 0 下的极值点，下列选项正确的是（ D ）。
A.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0 C.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0
B.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0 D.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0
x 1 y 2 z 1. 1 1 1
5.已知曲面 z x2 y2 z2 上点 P 处的切平面 x 2y 2z 0 平行，求点 P 的坐标以及曲
面在该点的切平面方程。
解：曲面在点 P 处的法向量为 n Fx, Fy, Fz 2x, 2y, 2z 1 ，依题意，n 1, 2, 2 ，
(0, 0) 处取得极小值的一个充分条件是（ A ）。
A. f (0) 1, f (0) 0 C. f (0) 1, f (0) 0
B. f (0) 1, f (0) 0 D. f (0) 1, f (0) 0
(5)设 f (x, y)与（x, y) 均为可微函数，且y (x, y) 0,已知（x0, y0)是f (x, y)在约束条件
在何处？
解：行星表面方程为 x2 y2 z2 36 .令 L 6x y2 xz 60 (x2 y2 z2 36) ，求
解方程组 6 z 2x 0 ， 2 y 2 y 0 ， x 2z 0 ，则可得驻点
x
y
z
(4, 4, 2), ( 3, 0,3), (0, 0, 6) ，结合题意易知 H 在 (4, 4, 2) 处最小，且最小值为 12.
2x a2
2y b2
y
0,
y
b2 a2
x y
所以在点
a, 2
b 2
考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷2(题后含答案及解析)
考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．考虑二元函数的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x0，y0)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“P→Q”表示可由性质P推出性质Q，则有A．②→③→①．B．③→②→①．C．③→④→①．D．③→①→④．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学2．设有三元方程xy－zlny＋exz＝1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程A．只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z＝z(x，y)．B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y＝y(x，z)和z＝z(x，y)．C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数z＝x(y，x)和z＝z(x，y)．D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x＝x(y，z)和y＝y(x，2)．正确答案：D 涉及知识点：多元函数微分学3．已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且，则A．点(0，0)不是f(x，y)的极值点．B．点(0，0)是f(x，y)的极大值点．C．点(0，0)是f(x，y)的极小值点．D．根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学4．设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，则下列结论正确的是A．f(x0，y)在y＝y0处的导数等于零．B．f(x0，y)在y＝y0处的导数大于零．C．f(x0，y)在y＝y0处的导数小于零．D．f(x0，y)在y＝y0处的导数不存在．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学填空题5．设z＝ex－f(x－2y)，且当y＝0时，z＝x2，则＝________。
第八章 多元函数微分自测题及答案
第八章 多元函数微分学自测题及解答一、选择题1．若函数) ,(y x f 在点) ,( y x 处不连续，则( C )（A ）) ,(lim y x f y y x x→→必不存在； （B ）) ,( y x f 必不存在；（C ）) ,(y x f 在点) ,( y x 必不可微；（D ）) ,( y x f x 、) ,( y x f y 必不存在。
2．考虑二元函数) ,(y x f 的下面4 条性质： ①函数) ,(y x f 在点) ,( y x 处连续；②函数) ,(y x f 在点) ,( y x 处两个偏导数连续； ③函数) ,(y x f 在点) ,( y x 处可微；④函数) ,(y x f 在点) ,( y x 处两个偏导数存在。
则下面结论正确的是（ A ）（A ）②⇒③⇒①；（B ）③⇒②⇒①；（C ）③⇒④⇒①； D ）③⇒①⇒④。
3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 0 0 ,),(2222242y x y x y x yx y x f ，则在)0 ,0(点处（ C ）（A ）连续，偏导数存在； （B ）连续，偏导数不存在； （C ）不连续，偏导数存在； （D ）不连续，偏导数不存在。
解：取2x y =，∵0)0,0(21lim),(lim 4440002=≠=+=→→=→f x x xy x f x x y x ,∴)0,0(f 在)0 ,0(点处不连续，而0)0,0()0,0(==y x f f 。
故应选（C ） 4．设z y x u =，则=∂∂)2,2,3(yu （ C ）（A ）3ln 4； （B ）3ln 8； （C ）3ln 324； （D ）3ln 162。
5．若函数),(y x f 在区域D 内具有二阶偏导数：22x f ∂∂，22y f ∂∂，y x f ∂∂∂2，xy f∂∂∂2， 则（ D ） （A ）必有xy f y x f ∂∂∂=∂∂∂22； （B ）),(y x f 在D 内必连续； （C ）),(y x f 在D 内必可微； （D ）以上结论都不对。
多元函数微分学复习题及答案
多元函数微分学复习题及答案一、选择题1. 极限lim x y x y x y →→+00242= （提示：令22y k x =）（ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0或122、设函数f x y x y y xxy xy (,)sin sin=+≠=?1100，则极限lim (,)x y f x y →→00= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于23、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=?222222000，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，200(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续(D) 除（0,0）点外处处连续4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ） (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件5、设u y x =arctan ，则??u x= （ B ）(A)xx y 22+(B) -+y x y 22 (C) yx y 22+(D)-+xx y 226、设f x y yx(,)arcsin=，则f x '(,)21= （ A ）（A ）-14（B ）14 （C ）-12 （D ）127、设yxz arctan =，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）（A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）22vu uv +- 8、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ） (A) x +32(B) x -32(C) 21x + (D) -+21x 9、设z y x =，则()(,)z x zy+=21 （ A ） (A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 110、设z xye xy =-，则z x x x'(,)-= （ D ） (A)-+2122x x e x () (B)2122x x e x ()- (C)--x x e x ()122 (D)-+x x e x ()12211、曲线x t y t z t ===24sin ,cos ,在点(,,)202π处的法平面方程是（C ）(A) 242x z -=-π (B) 224x z -=-π (C) 42y z -=-π (D) 42y z -=π12、曲线45x y y z ==,,在点(,,)824处的切线方程是（A ）(A)842204x z y --=-= (B)x y z +==+122044 (C) x y z -=-=-85244 (D)x y z -=-=351413、曲面x z y x z cos cos +-=ππ22在点ππ2120,,-?? ???处的切平面方程为（D ）（A ）x z -=-π1 （B ）x y -=-π1 （C ）x y -=π2 （D ）x z -=π214、曲面x yz xy z 2236-=在点(,,)321处的法线方程为（A ）（A ）x y z +=--=--58531918 （B ）x y z -=-=--3823118（C ）83180x y z --= （D ）831812x y z +-=15、设函数z x y =-+122，则点 (,)00是函数 z 的（ B ）（A ）极大值点但非最大值点（B ）极大值点且是最大值点（C ）极小值点但非最小值点（D ）极小值点且是最小值点16、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 000(,)处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）（A ）点P 0是函数z 的极大值点（B ）点P 0是函数z 的极小值点（C ）点P 0非函数z 的极值点（D ）条件不够，无法判定 17、函数f x y z z (,,)=-2在222421x y z ++=条件下的极大值是（ C ）(A) 1 (B) 0 (C)-1 (D) -2 二、填空题 1、极限lim sin()x y xy x →→0π= .答：π2、极限lim ln()x y x y e x y→→++01222= .答：ln 23、函数z x y =+ln()的定义域为 .答：x y +≥14、函数z xy=arcsin 的定义域为 .答：-≤≤11x ，y ≠05、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++?? ? 22，则f kx ky (,)=.答：k f x y 2?(,)6、设函数f x y xyx y(,)=+，则f x y x y (,)+-=.答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-Q ）7、设f x y x y x y A x y (,)ln()//=-?+<+≥??11212222222，要使f x y (,)处处连续，则A=.答：-ln28、设f x y x y x y x y Ax y (,)tan()(,)(,)(,)(,)=++≠=22220000，要使f x y (,)在（0，0）处连续，则A= .答：19、函数221x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点10、函数f x y x yyx (,)cos =-122的间断点为 .答：直线y x =±及x =011、设z x y y =-+sin()3，则z xx y ===21_________ .答：3cos512、设f x y x y (,)=+22，则f y (,)01= _________ .答：113、设u x y z x y z(,,)=?? ???，则)3,2,1(d u =_________ .答：38316182d d ln d x y z --14、设u x x y =+22，则在极坐标系下，ur= _________ .答：0 15、设u xy y x =+，则??22u x = _________.答：23yx16、设u x xy =ln ，则2u x y = ___________ .答：1y17、函数y y x =()由12+=x y e y 所确定，则d d y x = ___________ .答：22xye x y - 18、设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则zy= _______ .答：2112xyz xy-- 19、由方程xyz x y z +++=2222所确定的函数z z x y =(,)在点（1，0，－1）处的全微分d z = _________ .答：d d x y -220、曲线x t y t z t ===23213,,在点(,,)1213处的切线方程是_________.答：x y z -=-=-12221321、曲线x te y e z t e t t t ===232222,,在对应于 t =-1点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x 22、曲面xe y e z e ey z x ++=+223321在点(,,)210-处的法线方程为_________ . 答：e ze y x 22212=-+=- 23、曲面arctan y xz 14+=π在点(,,)-210处的切平面方程是_________.答：y z +=2124、设函数z z x y =(,)由方程123552422x xy y x y e z z +--+++=确定，则函数z的驻点是_________ .答：（－1，2）27、函数z x y x y =----2346122的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数f x y x xy y ax by (,)=+++++22236在点 (,)11-处取得极值，则常数a =_________， b =_________.答：a =0，b =426、函数f x y z x (,,)=-22在x y z 22222--=条件下的极大值是_______答：-4 三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图图图图图2、求极限lim sin x y y xxy →→+-0211.解：lim sin x y y xxy →→+-0211=?++→→limsin ()x y y x xy xy 00211= 43、求极限lim sin()x y x y x y xy →→-+0023211. 解：原式=lim ()sin()x y x y x y x y xy →→-++0 232211=-++?→→limsin()x y x y xy xy 002111=-124、求极限lim x y xxye xy→→-+0416 . 解：lim x y xxye xy →→-+0416=++-→→lim ()x y x xye xy xy 0416= -85、设u x y y x =+sin cos ，求 u u x y ,.解：u y y x x =-sin sin u x y x y =+cos cos6、设z xe ye y x =+-，求z z x y ,. 解：z e ye x y x =--z xe e y y x =+-7、设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求z x zy,（其中x y +≠0）. 解一：原式两边对x 求导得yz x x zxz y +++=0，则??z x z y y x =-++同理可得：??z y z x y x =-++ 解二：xy xz F F y z xy yz F F x z x y y x ++-=-=++-=-=, 8、求函数z x xy y x y =-++-+23243122的极值.解：由z x y z x y x y=-+==-+-=43403430，得驻点(,)-10074334>=--==yy yxxy xx z z z z D z xx =>40，函数z 在点(,)-10处取极小值z (,)-=-101.9、设z e x y =+32，而x t y t ==cos ,2，求d d z t. 解：d d (sin )()zte t e t x y x y =-+++3223232=-++(sin )3432t t e x y10、设z y xy x =ln()，求z x z y,. 解：z y y xy xy x x x =?+ln ln 1 z xy xy yy y x x =+-11ln() 11、设u a x a x yz a =->+ln ()0，求d u . 解：u x a a ax x yz =-+-ln 1，??u y a z a x yz =?+ln ，??u zya a x yz =+lnd (ln )d ln (d d )u a a ax x a a z y y z x yz x yz =-+++-+112、求函数z x y e xy =++ln()22的全微分.解：z x x ye x y e z y y xe x y e xyxyxyxy=+++=+++222222,[]d ()d ()d z x y ex ye x y xe y xyxy xy =+++++12222 四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？解：设水池的长、宽、高分别为x y z ,,米.水池底部的单位造价为a . 则水池造价()S xy xz yz a =++44 且xyz =128令 ()L xy xz yz xyz =+++-44128λ由 =-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得 x y z ===82由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ?，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'?=-+=?'=-++=??'=+-=?，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>?=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元.五、证明题 1、设)11(yx e z +-= 求证zyz y x z x 222=??+??证明：因为2)11(1x e x z y x ?=??+- 2)11(1ye y z y x ?=??+- 所以z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=??+??+-+-2、证明函数nx e y t kn sin 2-=满足关系式22x y k ty ??=??证明：因为nx e kn kn nx e ty t kn tkn sin )(sin 2222?-=-??=??--nxne x yt kn cos 2-=?? nx e n xyt kn sin 2222--=??nx e kn xy k t kn sin 2222--=??所以22xy k t y ??=??3、设z xy xF (u ) 而xyu =F (u )为可导函数证明xyz yz y x z x +=??+证明：y z y x z x +])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ??'+?+??'++=)]([)]()([u F x y u F x y u F y x '+?+'-+=xy xF (u )xy z xy。
多元函数微分学单元测试题及答案解析
多元函数微分学单元测试题A一、选择题1. 极限24200limy x y x yy x x +→→= （ ）A.等于0；B.不存在；C.等于 12；D.存在且不等于0或12. 2.设),(b a f y '存在，则yy b a f y b a f y ),(),(lim 0--+→= （ ）A.),(b a f y '；B. 0； C . 2),(b a f y '； D.21),(b a f y '. 3. 若函数) ,(y x f 在点) ,(00y x 处不连续，则 ( ) A.) ,(lim 00y x f y y x x →→必不存在； B.) ,(00y x f 必不存在；C. ) ,(y x f 在点) ,(00y x 必不可微；D.) ,(), ,(0000y x f y x f y x 必不存在.4.函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( ) A. 充分而不必要条件; B. 必要而不充分条件; C. 必要而且充分条件; D. 既不必要也不充分条件.5.函数xy xyz +=arcsin的定义域是 （ ） A.{}0,|),(≠≤x y x y x ； B.{}0,|),(≠≥x y x y x ；C.{}0,0|),(≠≥≥x y x y x {}0,0|),(≠≤≤⋃x y x y x ；D.{}{}0,0|),(0,0|),(<<⋃>>y x y x y x y x .6、函数22(,)ln()f x y x y =-的定义域是（ ）(A) 220x y +>； （B ）220x y ->； （C ）220x y +<； （D ）220x y -<.7、二元函数333()z x y x y =+--的极值点是 （ D ） A 、（1，2） B 、（1，-2） C 、（-1，2） D 、（-1，-1） 二、判断题1. 点集E 的内点必属于E. （ ）2. 设y x z ln 2+=，则yx x z 12+=∂∂. （ ） 3. 若函数),(y x f z =在),(00y x P 处的两个偏导数),(00y x f x 与),(00y x f y 均存在，则该函数在P 点处未必连续 （ ）4.二阶混合偏导数与求偏导的次序无关 （ ）5.具有偏导数的函数的驻点必定是极值点. （ ） 6、若(,)(,)xy yx f x y f x y 和都在点00(,)x y 连续，则0000(,)(,)xy yx f x y f x y =。
多元函数微分习题
33、求函数 z = x 2 + y 2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点 ( 2, 2 + 3 ) 的方向的方向导数。 34、求函数 z = ln( x + y ) 在抛物线 y 2 = 4 x 上的点(1,2)处沿着这抛物线在该点处偏向 x 轴正向的切线方向的方向导数.
11、验证 y = e
− kn 2 t
sin nx 满足:
∂y ∂2 y =k 2 . ∂t ∂x
12、求下列函数的全微分： (1) z =
y x2 + y2
;(2) u =
y z x + − x y z
答案：（1） .dz =
− x ( ydx − dy ) (x 2 + y 2 )3
;
(3).df (1,1,1) = dx − dy ( 2).dz = −(
答案: ∆z = −0.119, dz = −0.125. 14、求下列复合函数的一阶偏导数或全导数: （1） 设 z = u 2 + v 2 , 而 u = x + y , v = x − y , 求 : （2） 设 z = u 2 ln v ，而 u =
∂z ∂z , ∂x ∂y
x ∂z ∂z . , v = 3 x − 2 y ，求 , y ∂x ∂y
答案:
π . 4
9、设 T=2 π
l , g
y x
求证:
l
∂T ∂T +g = 0. ∂l ∂g
∂2z ; ∂x∂y
10、(1) z = arctan ， 求:
∂2z 1 − 2 xy 答案： 2 = 2 ∂x (x + y 2 )2
多元函数微分学习题及详细解答
C. 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数 x x( y, z) 和 z z(x, y)
D. 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数 x x( y, z) 和 y y(x, z)
3.证明：函数 f (x, y) xy 在点 O(0, 0) 处可微。
证明：由定义，
f
x
(0,
0)
lim
x0
（f x, 0) x
f
(0, 0)
0
4.设
z
xy＋f
(u),
，u
y x
，f
(u)
为可微函数，求:
x
z x
y
z y
解： z x
y
xf
(u)
y x2
f (u)
f (u)
y
y x
f (u)
z x xf (u) 1 x f (u).
y
x
故
x
z x
y z y
x
f
(u)
y
f
(u) x
y
yx
f (u)
xf (u) xy yf (u) xy yf (u)
（3）如果函数 f (x, y) 在点 0, 0 处连续，那么下列命题正确的是（ B ）
A.若极限 lim f (x, y) 存在，则 f (x, y) 在点 0,0 处可微
x0 x y
y0
B.
若极限 lim x0
f (x, y) 存在，则 x2 y2
f (x, y) 在点 0, 0 处可微
y0
2 ，求
f
xx
(0,0,1),f
yz
(0,
1,0),f
zzx
(2,0,1)
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三. 设Lx, y, z, ln x ln y 3ln z (x2 y2 z2 5R2 )
求得此函数定义域内唯一的稳定点R，，R 3R ， 也是所 求函数的最大值点， 所求最大值为f R, R, 3R ln 3 3R5 .
ln x ln y 3ln z ln 3 3R5
u y xf2 ( xz xyz y ) f 3
.
3、f x ( x, y)
(
x
2 xy 3 2 y2
)2
,
x
2
0, x 2 y 2 0
y2
0 ,
f y (x,
y)
x2(x2 (x2
y2 y2 )2
)
,
x2
o, x 2 y 2 0
y2
0
五、(
f1
f2 )dx
y (z) 1
f2 (z) dy. y (z) 1
六、 xe2 y fuu e y fuy xe y f xu f xy e y fu.
4、1； 5、必要条件,但不是充分条件； 6、可微；
7、 2 f (v )2 f 2v ； v 2 y v y 2
8、
9 2
a
3
；
9、(1,2)；10、 1 ； 8
二、(1)当 x y 0时,在点( x, y)函数连续；
(2)当 x y 0时,而( x, y)不是原点时,
则( x, y)为可去间断点,(0,0)为无穷间断点.
4、lim( x 2 y )2 x2 y2 ( ). x0 y0
5、函数 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续,且两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )存在是 f ( x, y)在该点可微
的( ).
6、设
f
( x,
y)
( x 2
y2 )sin
3、
f
( x,
y)
x
2
y2
0
x2 y2 0 . x2 y2 0
五、设u f ( x, z),而z( x, y)是由方程z x y (z)所 确的函数,求du .
六、设 z (u, x, y), u xe y,其中 f 具有连续的二阶偏导1、C(C 为常数)； 2、（A）1 x 2 y 2 4； 3、 x (1 y)2 y
xyz3 3 3R5,故 x2 y2 z6 27R10
令 x2 a, y2 b, z2 c, 又知 x2 y2 z2 5R2
则
abc3
27
a
b
c
5
a
0, b
0, c
0
5
四、1、
z x (ln y) x ln y1 ,
zy
ln x y
x ln y
2、ux
f1
yf
.
2
( yz xyzx ) f3 ,
f x, y, z ln x ln y 3ln z 的最大值，并利用所得结果
证明不等式
abc3 27( a b c)5 (a 0,b 0, c 0). 5
四、求下列函数的一阶偏导数:
1、 z xln y ；
2、u f ( x, xy, xyz), z ( x, y)；
x2 y
一. 填空:
练习题
1、设在区域D上函数 f 存在偏导数，且 fx f y 0
则在D上，f（x, y）（ ）
2 、 二 元 函 数 z ln 4 arcsin 1 的 定 义 域 是
x2 y2
x2 y2
( ).
3、设 f ( xy, x ) ( x y)2,则 f ( x, y) ( ). y
9、二元函数 z 3( x y) x 3 y 3的极值点是( ). 10、函数u sin x sin y sin z满足
x y z ( x 0, y 0, z 0)的条件极值是
2 ( ).
二、讨论函数 z
x x3
y y3
的连续性，并指出间断点类型.
三、在球面 x2 y2 z2 5R2 (x 0, y 0, z 0)上，求函数
x2
1
y2
,
0, x 2 y 2 0
则在原点(0,0)处 f ( x, y)( ).
x2 y2 0
7、设 z f ( x, v), v v( x, y)其中 f , v 具有二阶连续偏
导数.则 2 z ( ). y 2
8、曲面 xyz a 3 (a 0)的切平面与三个坐标面所围 成的四面体的体积 V=( ).