多元函数微分学习题课
6-8多元函数微分学习题课
x0
x
此极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对x 的
偏导数，记为
z x
，f x x0 x
z ，
x x0
x
x x0 y y0
或
f x ( x0 ,
y0 ).
y y0
y y0
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对y
的偏导数， 为
某邻域存在；
z
（3）
f
x
(
x,
y)x
f
y
(
x
,
y)y
,
(x)2 (y)2
当 (x)2 (y)2 0时是无穷小量.
小结三:
由一个方程确定的隐函数的求导法: 1 公式法:F(x,y,z)确定了z=z(x,y),则 z Fx , z Fy .
x Fz y Fz 2 解方程法:方程两边同时对x或者y求导,由复合函数求导法则 解出 z , z .
数，则复合函数 z f [ (t ), (t )] 在对应点t 可
导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
dt
如果u ( x, y)及v ( x, y)都在点( x, y)
具有对x 和y 的偏导数，且函数z f (u,v) 在对应
法线方程为 x x0 y y0 z z0 .
Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
15、方向导数
定义 函数的增量 f ( x x, y y) f ( x, y) 与
9-11 多元函数微分学的应用习题课
二、题型练习 （一）几何应用 （二）极值和最值
二、题型练习 （一）几何应用 （二）极值和最值
u例9 求由方程 x2 + y2 + z2 - xz - yz + 2x + 2 y + 2z = 0 所确定的隐函数z=z(x,y)的极值. u例10 求函数 z = x2 + y2 - xy在区域 x + y £ 1上的 最大值和最小值. u例11 求函数z = 3x2 + 3y2 - x3在区域 x2 + y2 £ 16上的 最大值和最小值. u例12 求函数 u = sin x + sin y - sin( x + y) 在区域
u例2 在曲面 z = xy 上求一点，使这点处的法线垂直于平面 x + 3y + z + 9 = 0并写出这法线的方程. u例3 试证曲面 x + y + z = a(a > 0)上任何点处的切平面 在各坐标轴上的截距之和等于a. u例4 证明螺旋线 x = a cos t, y = a sin t, z = bt上任一点处的切
:
ìF ( x, îíG(x,
y, y,
z) z)
= =
0 0
æ ç
! i
! j
! k
ö ÷
切向量 T = ç Fx Fy Fz ÷
çç è
G
x
Gy
Gz
÷÷ ø
(x0, y0, z0 )
3. 曲面的切平面与法线 1) 隐式情况 .
法向量 n = (Fx (x0 , y0 , z0 ) , Fy (x0 , y0 , z0 ) , Fz (x0 , y0 , z0 ))
多元函数微分法习题课
z
x
y
2z + y + λ yz = 0
解方程组
2z + x + λxz = 0
2(x + y) + λxy = 0 xyz −V0 = 0
4 得唯一驻点 x = y = 2z = 3 2V0 , λ = 3 −V 2
0
由题意可知合理的设计是存在的, 因此 , 当高为 3 V0 , 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省. 思考: 思考 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? x 提示: 提示 利用对称性可知, x = y = z = 3 V0 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示: 提示 F = 2(xz + yz) + 2 x y + λ (x yz −V0 ) 长、宽、高尺寸相等 .
2 2
2. 设 3. 在曲面 平面
求 上求一点 , 使该点处的法线垂直于 并写出该法线方程 . 的切平面
4. 在第一卦限内作椭球面
使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.
4
z
y
例4. 求原点到曲线 的最短距离。 的最短距离。
x 2 + ( y − 1) 2 + z 2 = 4 Γ: x + y + z = 1
习题课
多元函数微分法
一、 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用
一、 基本概念
1. 多元函数的定义、极限 、连续 • 定义域及对应规律 • 判断极限不存在及求极限的方法 • 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的关系 连续性 方向导数存在 偏导数存在 可微性
多元函数微分习题课
x
x
z
y
x
( ) du
dx
=
f1 +
f2 cos x −
1 f3 ϕ3
2 xϕ1 + esin xϕ2 cos x
十.设u = f ( x, y,z),ϕ( ) x2,ey,z = 0, y = sinx,
其中 f ,ϕ 都具有一阶连续偏导数,且 ∂ϕ ≠ 0 ,求 du .
∂z
dx
解法二:用微分形式不变性:
(A). f ( x, y) 在 P 点连续; (B). f ( x, y) 在 P 点必可微;
(C). lim x → x0
f
( x,
y0 )
及 lim y→ y0
f
( x0 ,
y)
都存在;
(D). lim f ( x, y) 存在. x → y→ y0
答:(C)
三.求由方程 xyz + x2 + y2 + z2 = 2 所确定的函 数 z = z ( x, y) 在点(1,0,−1) 处的全微分dz .
答:dz = dx − 2dy
四.设 z = z ( x , y ) 定义在全平面上 (1).若 ∂z ≡ 0 ,试证 z = f ( y ) ,其中 f ( y )
∂x
是任意待定的函数; (2).若 ∂ 2 z ≡ 0 ,试证 z = f ( x ) + g ( y ) ,其
∂x∂y
中 f ( x ), g ( y ) 是可导的待定函数.
;
有二阶连续偏导数,
解: z y = x4 f1 + x2 f2 , z yy = x5 f11 + 2 x3 f12 + xf22
大学高数第八章 多元函数微分学习题解课后参考答案及知识总结
第8章多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念内容概要课后习题全解习题8-1★1.设222(,)xy f x y x y =+，求(1,)y f x。
解：222222(1,)1()yy xy x f y x x y x==++★2. 已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy +-。
解： 2(,,)()()xyxf x y x y xy x y xy +-=++★★3.设()z x y f x y =++-，且当0y =时，2z x =，求()f x 。
解：将0y =代入原式得： 20(0)x x f x =++- ，故 2()f x x x =-4.求下列函数的定义域： ★（1）2ln(21)zy x =-+解：要使表达式有意义，必须 2210y x -+>∴ 所求定义域为 2{(,)|210}D x y y x =-+>★（2）z=解：要使表达式有意义，必须0x ≥， ∴{(,)|D x y x =≥★★（3）u=解：要使表达式有意义，必须11-≤≤∴{(,,)|D x y z z =≤≤★★★（4）z = 解：要使表达式有意义，必须 222224010ln(1)0ln1x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨⎪--≠=⎩∴ 222{(,)|01,4}D x y x y y x =<+≤≤★★（5）ln()z y x =-+解：要使表达式有意义，必须220010y x x x y ⎧->⎪≥⎨⎪-->⎩∴ 22{(,)|1,0}D x y x y x y =+<≤<5.求下列极限：★（1）10y x y →→知识点：二重极限。
思路：(1,0)为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。
解：1ln 2ln 21y x y →→== ★★（2）00x y →→知识点：二重极限。
思路： 应用有理化方法去根号。
习题课多元函数微分学
下列选项正确的是( )
提示: 设
()
代入()得
D
(2006考研)
作业(4-13)
而
所以 f 在点(0,0)不可微 !
二、多元函数微分法
显示结构
隐式结构
1. 分析复合结构
自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数
自变量与因变量由所求对象判定
2. 正确使用求导法则
“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”
注意正确使用求导符号
3. 利用一阶微分形式不变性
练习题
1. 设函数 f 二阶连续可微, 求下列函数的二阶偏导数
2. P134 题12
解答提示:
第 1 题
P134 题12 设
求
提示:
①
②
利用行列式解出 du, dv ：
代入①即得
求曲线在切线及法平面
(关键: 抓住切向量)
求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量)
2. 极值与最值问题
故
6. 在第一卦限内作椭球面
的切平面
使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.
提示: 设切点为
用拉格朗日乘数法可求出
则切平面为
所指四面体体积
V 最小等价于 f ( x, y, z ) = x y z 最大,
故取拉格朗日函数
7. 设
均可微, 且
在约束条件(x, y) 0下的一个极值点,
第九章
习题课
一、 基本概念
二、多元函数微分法
三、多元函数微分法的应用
多元函数微分法
一、 基本概念
连续性
偏导数存在
方向导数存在
吉林大学 微积分BII 习题课 多元函数微分法
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令 x a2 a2 2 2 2 0 Fx 2 x x a b2 b2 y 2 2 2 0 Fy 2 y y b
唯一驻点
c2 c2 z 2 2 2 0 Fz 2 z z c
由实际意义可知
为所求切点 .
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y2 2 f 22 ) x
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设 提示: 由 z uv , 得 z u v v u x x x
求
①
z
②
z u v v u y y y
u u
u v x yx y
由 x e cos v, y e sin v , 得
d x eu cos v d u eu sin v d v d y eu sin v d u eu cos v d v
提示: 设所求点为
y0
利用 得
x0
1
法线垂直于平面 点在曲面上
y0 x0 1 1 3 1 z0 x0 y0
x0 3 , y0 1 , z0 3
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2. 在第一卦限内作椭球面
的切平面
使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.
提示: 设切点为
Fz 2( x y 2 z 2)(2) 0
z x2 y2
1 1 1 解此方程组得唯一驻点 x , y , z . 4 4 8 由实际意义最小值存在 , 故
7 4 6
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练习题：
1. 在曲面 平面 上求一点 , 使该点处的法线垂直于 并写出该法线方程 . 则法线方程为
9、多元函数微分习题课(1)
2z 其中f 具有二阶连续偏导数， z = f (e x sin y , x 2 + y 2 ), 其中 具有二阶连续偏导数，求 4、 设 、 xy z = e x sin yf1′ + 2 xf 2′ 解 x
2z ′′ ′′ ′′ = f11e 2 x sin y cos y + 2e x ( y sin y + x cos y ) f12 + 4 xyf 22 + f1′e x cos y xy
x0 y0 z0 . 6abc
u=xyz（x>0，y>0，z>0）在条件( 于是问题转化为求函数 u=xyz（x>0，y>0，z>0）在条件(1)下的 最大值问题. 最大值问题. F(x,y,z)=xyz＋ x,y,z)=xyz 令 F(x,y,z)=xyz＋λ( a
x + b y + c z 1 )，解方程组
2、 由方程 xyz + 、
x 2 + y 2 + z 2 = 2 所确定的函数 z=z(x, y)
在点（ 在点（1,0,－1）处的全微分 dz = dx － ） [利用全微分 由方程得 利用全微分] 利用全微分 因此，在点 因此，在点(1,0,-1)处 处
2dy
1 x + y +z
2 2 2
yzdx + xzdy + xydz +
在曲面上， 因 P0 在曲面上，即 a x 0 + b y 0 + c z 0 = 1 ，
(2)
a b c x+ y+ z =1 将它代入( 可化切平面方程为， 将它代入(2)式，可化切平面方程为， x0 y0 z0
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多元函数微分学习题课
1．已知)(),(22y x y x y x y x f ++-=-+ϕ，且x x f =)0,(，求出),(y x f 的表达式。
2．（1）讨论极限y x xy y x +→→00lim 时，下列算法是否正确？解法1：0111lim 00=+=→→x
y y x 原式；解法2：令kx y =，01lim 0=+=→k
k x x 原式；解法3：令θcos r x =，θsin r y =，0sin cos cos sin lim 0=+=→θθθθr r 原式。
（2）证明极限 y x xy y x +→→0
0lim 不存在。
3．证明 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=00
)1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上处处连续。
4. 试确定 α 的范围，使 0|)||(|lim 22)0,0(),(=++→y
x y x y x α。
5. 设 ⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠+++=000)sin(||),(22222222y x y x y x y x xy y x f ，讨论
（1）),(y x f 在)0,0(处是否连续？ （2）),(y x f 在)0,0(处是否可微？
6. 设F ( x , y )具有连续偏导数, 已知方程0),(=z y z x F ，求dz 。
7. 设),,(z y x f u =有二阶连续偏导数, 且t x z sin 2=，)ln(y x t +=，求x u ∂∂，y
x u ∂∂∂2。
8. 设)(u f z =，方程⎰+
=x y t d t p u u )()(ϕ确定u 是y x ,的函数，其中)(),(u u f ϕ可微，)(),(u t p ϕ'连续，且 1)(≠'u ϕ，求 y
z x p x z y p ∂∂+∂∂)()(。
9. 设22v u x +=，uv y 2=，v u z ln 2=，求y
z x z ∂∂∂∂,。
10.设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数 , 又函数)(x y y =及)(x z z =分别由下两式确定：
2=-xy e xy ，dt t t e z
x x ⎰-=0sin ，求dx
du 。
11. 若可微函数 ),(y x f z = 满足方程 y
z x z y x '='，证明：),(y x f 在极坐标系里只是ρ的函数。
12. 在变换 22,y x v x u -== 下，求下面方程的解 0=∂+∂y
x x y 。
13. 求常数c b a ,,的值，使函数 232
),,(z cx byz axy z y x f ++= 在点)1,2,1(-处沿z 轴正方向的方向导数
有最大值64。
14. 设函数 z y x z y x f +=2),,(， (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 ⎪⎩
⎪⎨⎧=-== 12 32t z t y t x 在该点切线方向的方向导数；
(2) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处的梯度与 (1) 中切线方向的夹角 θ 。
15. 直线L ：⎩⎨⎧=--+=++0
30z ay x b y x ，在平面π上，而π与曲面22y x z +=相切于)5,2,1(-，求b a ,之值。
16. 已知椭球面 2222a yz xy z y x =++++，)0(>a ，
（1）求椭球面上z 坐标为最大和最小的点； （2）求椭球面在xoy 面上的投影区域的边界曲线。
17. 求两球面25222=++z y x 与1)8(222=-++z y x 的公切面方程，使该公切面在x 轴和y 轴的上半
轴上的截距相等。
18. 试求椭圆124522=++y xy x 的长轴和短轴之长。
19. 当n 个正数n x x x ,,21之和为常数时，求它们的乘积开n 次方的最大值，并由此证明
)(12121n n n x x x n
x x x ++≤ 。
20．已知两平面曲线0),(=y x f ，0),(=y x g ，),(βα和),(ηξ分别为两曲线上的点，试证：如果这两
点是这两曲线上相距最近或最远的点，则 ),(),(),(),(ηξηξβαβαηβξαy x y x g g f f ''=''=--。
21．设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为
}75|),{(22≤-+=xy y x y x D ，小山的高度函数为 xy y x y x h +--=2275),(。
（1）设),(00y x M 为区域D 的一点，问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向
导数的最大值为),(00y x g ，试写出),(00y x g 的表达式。
（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀岩的起点。
也就是说，要在D 的的边界线752
2=-+xy y x 上找出使（1）中的),(y x g 达到最大值的点。
试确定攀岩起点的位置。
22．已知平面上两定点 A ( 1 , 3 ), B ( 4 , 2 ) ，试在椭圆 )0,0(,14
9≥≥=+y x 圆周上求一点 C ，使△ABC 面积 S △ 最大 。
23．求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者。
24．求平面上以d c b a ,,,为边的面积最大的四边形，试列出其目标函数和约束条件。
25．设 ),(y x z z =是由方程 181026 222=--++y x z yz xy 确定的隐函数。
已知3)3 ,9( =z ，求
),(y x z z =在 )3 ,9( 点带Peano 型余项的二阶Taylor 公式，判断 ),( y x z z =在 )3 ,9( 点是否取得 极值。