多元函数微分学自测题

第九章多元函数微分学自测题
一、 填空题
1．已知22),(y x x
y y x f -=+ ，则f(x ,y)= （ ）。

2．)
sin(11lim 00xy xy y x -+→→=（ ）. 3．设xy y x z -+=1arctan ，则y
x z ∂∂∂2＝（ ）. 4． 设函数x y z arctan
=,则dz ＝（ ）． 5.由方程2222=+++z y x xyz 确定的函数z =z （x ,y ）,在点（1，0，-1）处的全微分dz =（ ）．
6.y xe z 2=在点)0,1(1M 处沿从点)0,1(1M 到点)1,2(2-M 的方向的方向导数（ ）．
7.设z =),(y x f 具有一阶连续偏导数，则梯度grad ),(y x f =（ ）．； z =),(y x f 沿梯度方向的方向导数为（ ）． 。

8． 设函数),(y x z z =由函数y z z x ln =确定，则x
z ∂∂＝（ ）． 9. 求球面62
22=++z y x 在点（1，2，1）处的切平面方程（ ）． 10 函数f(x,y)=(6x-x 2)(4y-y 2)的极值点有（ ）． 二、 单项选择题
1. 设2y z
x e u -=，则z
u ∂∂＝（ ） A. 2y z
x e --； B.2y z
x xe --； C. 22y z x e y x --； D. 22y z
x e y x - ２．二元函数),(),(00y x y x f z 在点=可导（偏导数存在）与可微的关系是（ ）．
A. 可导必可微；
B. 可导一定不可微 ；
C.可微不一定可导；
D.可微必可导．
3．函数其它)0,0(),(0),(22≠⎩⎨⎧=+y x y x f y
x xy 在（0，0）处 （ ）
A. 连续，偏导数存在；
B. 连续，偏导数不存在；
C. 不连续，偏导数存在；
D. 不连续，偏导数不存在。

4.函数z x y y x u 642822++-=在原点沿向量{}1,3,2=a
方向的方向导数为（ ） A.148- B.148 C.143 D.14
3- 5.函数xy z =，原点（０，０）（ ）.
Ａ．不是驻点； Ｂ．是驻点但非极值点；
Ｃ．是驻点且为极大值点； Ｄ．是驻点且为极大值点．
6.方程ln 1xz xy z y e -+=，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程（ ）.
A ．只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =；
B ．可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y =；
C ．可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y =；
D ．可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =.
7. 曲线22231
x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩，在点(1,1,1)处的切向量T =（ ）.
A ．(1,1,1)；
B ．(1,0,1)-；
C ．(1,1,1)-；
D ．(1,1,1)-．
三、计算题
1. 设函数)sin ,2(x y y x f z -=，求y
x z ∂∂∂2． ２．设),,,(y x u f z = y
xe u = ．其中f 具有连续的二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2． 3.数),(y x f 具有一阶连续偏导数，)1,1(f =1，b f a f ='=')1,1(,)1,1(21
)]},(,[,{)(x x f x f x f x =ϕ，求)1();1(ϕϕ'
4. 由方程0),(=++x z y y z x F 所确定，其中F 为可微函数，求： y
z y x z x ∂∂+∂∂。

5. 曲面632222
=++z y x 在点)1,1,1(P 处指向外侧的法向量，求函数
z
y x u 2
286+=在点P 处沿方向的方向导数。

6. 32=+-xy e z z 在点（1，2，0）的切平面方程
7.⎩
⎨⎧=--+=++030z ay x b y x 在平面π上，而平面π与曲面22y x z +=相切于点)5,2,1(-，求a ，b 的值.
8.求2
2324y xy x x z -+-=的极值.
9. 求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积．
10.三角形的周长为2P ，求出这样的三角形当它绕着自己的一边旋转时所生成的体体积最大。

答案
一、填空题
1. 2(1)1x y y
-+； 2. 12；3. 0；4. 22ydx xdy x y -++；5.22ydx xdy x y -++ 6. 2-
7. ((,),(,))x y f x y f x y 8. z x z
+ 9. 260x y z ++-=；10. （3,2）
二、选择题
1.C ；
2. D ；
3.C ；
4.B ；
5.B ；
6.D ；
7.B
二、计算题
1. 11
122222(2sin cos )cos sin cos f x y x f y x xf xf '''''''-+-++. 2. 211
1321231y y y y xe f e f xe f f e f '''''''''++++. 3. 23(1)1;(1)a ab ab b ϕϕ'==+++.
4. xy z -.
5.
117 . 6. 240x y +-=. 7. 5,2a b =-=-。

8. 在（0,0）点达到极大值(0,0)0f =).
9.
3
. 10. 当三边长分别是313,,424
p p p 时，旋转体体积最大，最大体积为3
12p π
部分较难题解答提示
三 、解答题
3. )]},(,[,{)(x x f x f x f x =ϕ
(1){1,[1,(1,1)]}f f f ϕ={1,[1,1]}{1,1}1f f f ===.
1(){,[,(,)]}
x f x f x f x x ϕ''=21212{,[,(,)]}{[,(,)][,(,)][(,)(,)]}f x f x f x x f x f x x f x f x x f x x f x x '''''+++ (1)[()]a b a b a b ϕ'=+++23a ab ab b =+++. 4. z x ∂∂1221211z F F x F F y x
''-=-''+，z y ∂∂1221211z F F y F F y x ''-+=-''+ y z y x z x ∂∂+∂∂=2212121212x yF zyF xzF xy F xF yF xF yF ''''--+=--''''
++=xy z =-+. 7. 过已知直线的平面束方程为
(3)0x y b x ay z λ++++--=。

即 (1)(1)30x a y z b λλλλ+++-+-=。

（1）
而过(1,2,5)-，曲面2
2y x z +=切平面的法向量是 (1,2,5)(2,2,1)|(2,4,1)n x y -=-=--
所以 11241
a λλλ++-==--，得1, 5.a λ==- 又因为平面过点(1,2,5)-，带入（1）式得 2.
b =-
10. 设三角形的三边分别是,,x y z .不妨设绕AC 边旋转，见图，AC 边上的高记为h ，面积是S ，于是
C
==
2 yh S
旋转体的体积为 214()()().33p p x p y p z V yh p y
ππ---== 其中 2x y z p ++=。

考虑求 ln()ln()ln()ln U p x p y p z y =-+-+--
在条件2x y z p ++=的驻点。

令ln()ln()ln()ln (2)F p x p y p z y x y z p λ=-+-+--+++-
解方程组 10x F p x
λ=-+=- 110y F p y y
λ=--+=- 10z F p z
λ=-+=- 20F x y z p κ=++-= 得31,42
x z p y p ===。

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