多元函数微分学习题

第七章 多元函数微分学

【内容提要】

1.空间解析几何基础知识

三条相互垂直的坐标轴Ox 、Oy 、Oz 组成了一个空间直角坐标系。 空间直角坐标系下两点间的距离公式为： 平面方程：0Ax By Cz D +++=

二次曲面方程：

2220Ax By Cz Dxy Eyz Fzx Gx Hy Iz K +++++++++= 球面方程：()()()2

2

02

02

0R

z z y y x x =-+-+-

圆柱面方程：2

22R y x =+

椭球面方程：()222

2221,,0x y z a b c a b c ++=>，

椭圆抛物面方程：22

22,(,0)x y z a b a b

+=>

双曲抛物面方程：22

22,(,0)x y z a b a b

-=>

单叶双曲面图方程：122

2222=-+c

z b y a x (a ，b ，c ＞0)

双叶双曲面方程：222

2221,(,,0)x y z a b c a b c +-=->

椭圆锥面方程：222

2220,(,,0)x y z a b c a b c

+-=>

2.多元函数与极限

多元函数的定义：在某一过程中，若对变化范围D 的每一对值(,)x y ，在变域M 中存在z 值，按一定对应法则f 进行对应，有唯一确定的值，则称f 为集合D 上的二元函数，

记为

,x y 称为自变量，D 称为定义域，z 称为因变量。(,)x y 的对应值记为(,)f x y ，称为函数

值，函数值的集合称为值域。

多元函数的极限：设函数(,)f x y 在开区间（或闭区间）D 内有定义，000(,)P x y 是D 的内点或边界点。如果对于任意给定的正数e ，总存在正数d ，使得对于适合不等式 的一切点(,)P x y D Î，都有

成立，则称常数A 为函数(,)f x y 当00,x

x y y 时的极限，记作

多元函数的连续性：设函数(,)z f x y =在区域D 内有定义，点000(,)P x y 是D 的内点或边界点且0P D Î。如果

则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续。

3.多元函数的偏导数与全微分

偏导数：设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y 而x 在

0x 处有增量x D 时，相应地函数有增量

如果极限

存在，则称此极限为函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对x 的偏导数， 记作

0y y x x x z

==∂∂， 00y y x x x f ==∂∂， 0

y y x x x

z ==， 或),(00y x f x

同理，如果极限00000

(,)(,)

lim

y f x y y f x y y

D ?+D -D

存在，则称此极限为函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对y 的偏导数， 记作

00

x x y y z y

==∂∂，

00

x x y y f y

==∂∂， 00

x x y

y y z ==， 或00(,)y f x y

4.二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的偏导数的几何意义

00(,)x f x y 是过曲面(,)z f x y =上点00000(,,(,))M x y f x y 的曲线

在点0M 处的切线x T 对x 轴的斜率。

5．二阶偏导数

),()(22y x f x z x z x xx

=∂∂=∂∂∂∂，),()(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=∂∂∂∂，

),()(2y x f x y z y z x yx

=∂∂∂=∂∂∂∂，),()(22y x f y z y z y yy

=∂∂=∂∂∂∂。

如果函数(,)z f x y =的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及y

x z ∂∂∂2在区域D 内连续， 那么

在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。

6.全微分

如果函数(,)z f x y =在点(,)f x y 的全增量

可表示为

其中A 、B 不依赖于x D 、y D 而仅与x 、y 有关，则称函数(,)z f x y =在点(,)f x y 可微分， 而称A x B y D +D 为函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分，记作dz ，即

如果函数(,)z f x y =的偏导数

x z ∂∂、y

z ∂∂在点(,)x y 连续，则函数在该点可微分。

7.复合函数微分法

复合函数的中间变量均为一元函数的情形

如果函数()u t j =及()v t y =都在点t 可导，函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数，则复合函数((),())z f t t j y =在点t 可导，且有

复合函数的中间变量均为多元函数的情形

如果函数u ??(x ? y )? v ??(x ? y )都在点(x ? y )具有对x 及y 的偏导数? 函数z ?f (u ? v )在对应点(u ? v )具有连续偏导数? 则复合函数z =f [j (x ? y )， (x ? y )]在点(x ? y )的两个偏导数存在? 且有

8. 全微分形式不变性

无论z 是自变量u 、v 的函数或中间变量u 、v 的函数，它的全微分形式是一样的,这

个性质叫做全微分形式不变性。

9. 隐函数微分法

在点00(,)x y 的某邻域内，若函数(,)F x y 有连续的偏导数x F ¢、y F '，且00(,)0F x y =，则在),(00y x F y '≠0时，方程(,)0F x y =确定唯一的、有连续导数的函数()y f x =，满足00()y f x =及(,())0F x f x =。

这个定理称为隐函数存在定理。隐函数存在定理给出了隐函数求导的方法，即

由(,)0F x y =，两边全微分得0d d ='+'y F x F y x ， 由y F '≠0，得到隐函数的导数为

y

x F F x y

''-=d d 。 10. 二元函数的极值

设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于

00(,)x y 的点(,)x y ，都有

00(,)(,)f x y f x y <（或00(,)(,)f x y f x y >）

则称函数在点00(,)x y 有极大值(或极小值)00(,)f x y 。

极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。

设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 具有偏导数，且在点00(,)x y 处有极值，则有

00(,)0x f x y =，00(,)0y f x y =

设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数， 又