高数课件 11.4隐函数微分法
隐函数微分法
它满足条件 z 0 = f ( x 0 , y 0 ) ，并有 Fy Fx ∂z ∂z =− =− ， Fz Fz ∂y ∂x
②
定理的证明从略，仅就公式②作如下推导： 定理的证明从略，仅就公式②作如下推导：
将 z= f ( x , y ) 代入 F ( x , y , z )= 0 ， =
x 2y dz = − dx − dy , 3z 3z
x ∂z , 故 =− 3z ∂x 2y ∂z . =− 3z ∂y
1 ∂z x ∂ 2z ∂ ∂z x 2y 2xy = ( ) = − ⋅ (− 2 ) ⋅ = (− ) =− 3 . 2 3 ∂x∂y ∂y ∂x 3z z ∂y 3z 9z
F x = 2 x ， F y = 4 y ， Fz = 6 z ，
Fx 2x x ∂z 故 =− =− =− , ∂x Fz 6z 3z
Fy 4y 2y ∂z . =− =− =− Fz 6z 3z ∂y
直接法 解法 2：直接法
在 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 4 两边分别对 x 和 y 求偏导, 注意 z 是 x、y 的函数，得 、 的函数，
作
业
5.3（ 习 题 5.3（P.46） ）
19.（1）； 20（2）（4）； ）（4 21.
y− x 1 1 Fy = 2 , − ⋅ = 2 2 2 y 2 x x +y x +y 1+ ( ) x y
Fx x + y dy . =− = dx Fy x − y
定理4 隐函数存在定理 2 定理 4（隐函数存在定理2）
满足下列条件： 设三元函数 F ( x , y , z ) 满足下列条件： 三元函数
隐函数及其微分法
y (3,3) 22
y x2 y2 x
1.
33 (,)
22
所求切线方程为 y 3 ( x 3) 即 x y 3 0.
2
2
法线方程为 y 3 x 3 即 y x, 显然通过原点.
2
2
例3 设 x4 xy y4 1, 求y在点(0,1)处的值 .
至于隐函数求二阶导数，与上同理
在 dy g( x, y)两边再对 x求导 dx
d2y dx2
G(
x,
y,
y)
再将 dy g( x, y)代入 dx
例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dy dx dx
. x0
解 方程两边对 x求导,
y x dy e x e y dy 0
1 2x 2 yy x2 y2 2 x2 y2
yx y x yy
dy x y dx x y
d2y dx2
d dx
x x
y y
(1
y)( x
y) (x ( x y)2
y)(1
y)
2xy 2 y
例13 设曲线Γ由极坐标方程r=r(θ)所确定，试求该
曲线上任一点的切线斜率，并写出过对数螺线
r e上点
(e
2
,
)
处的切线的直角坐标方程
2
解 由极坐标和直角坐标的变换关系知
x r( )cos
y
r(
)sin
dy
第八章 隐函数的微分法
Fz′( x , y , z ) ≠ 0 ,
∂F ∂z = − ∂x , ∂F ∂x ∂z
公 式
2 2
则 Fx ( x , y ) = x + y , F ( x , y ) = y − x , y x2 + y2 x2 + y2
Fx dy x+ y =− . =− dx Fy y− x
微积分
多元隐函数 的导数
一个方程确定 的隐函数 方程组确定 的隐函数
微积分
二. 由一个方程确定 的隐函数的求导法
∂F = − 2 + ez , ∂z
故
∂F − xy − xy − ye ∂z ye ∂x = − =− z = z ∂F ∂x −2+e e −2 ∂z
( e − 2 ≠ 0)
z
微积分
例
设 F ( x + y + z , xyz ) = 0 确定 z = z ( x, y ),
∂ z ∂z , , 其中, F ∈ C1. 求 ∂x ∂ y
微积分
三、 如 果 函 数 f ( x , y , z ) 对 任 何 t 恒 满 足 关 系 式 f ( tx , ty , tz ) = t k f ( x , y , z ) ,则称函数 f ( x , y , z ) 为 次齐次函数,试证: k 次齐次函数,试证:k 次齐次函数满足方程 ∂f ∂f ∂f x +y +z = kf ( x , y , z ) . ∂x ∂y ∂z ∂2z 四、设 z 3 − 3 xyz = a 3 , 求 . x∂ ∂ x∂y 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数: 五、求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数: z = x 2 + y 2 dy dz ,求 1 、设 2 ,求 , . dx dx x + 2 y 2 + 3 z 2 = 20 u = f ( ux , v + y ) ∂u ∂v 2 、设 ，求 , . 2 ∂x ∂x v = g( u − x , v y ) 具有一阶连续偏导数） （其中 f , g 具有一阶连续偏导数）
《隐函数的微分》课件
隐函数的微分性质
隐函数在其定义域内可能呈现出单调递增或单调递减的性质。通过求导数并判断其符号，可以确定隐函数的单调性。如果导数大于零，则函数单调递增；如果导数小于零，则函数单调递减。
隐函数的单调性可以通过求导数并判断其符号来确定。
通过求一阶导数可以判断函数的单调性，而通过求二阶导数可以判断函数的凹凸性。
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用d/dx表示一阶导数，d²/dx²表示二阶导数，以此类推。
意义
高阶导数可以揭示函数在某点的局部性质，如曲线的弯曲程度、拐点等。
对于复合函数，高阶导数的计算需要使用链式法则。例如，若y=f(u)，u=g(x)，则y的n阶导数为f(u)的n阶导数乘以g(x)的n阶导数的n次方。
链式法则
对于多项式函数，可以使用乘法法则和加法法则来计算高阶导数。
详细描述
在数学中，极值点是指函数取得局部最大值或最小值的点，而最值点是指函数在整个定义域内的最大值或最小值点。对于隐函数，我们可以通过求二阶导数来判断其在极值点和最值点的性质。如果二阶导数大于零，说明函数在极值点处取得局部最小值；如果二阶导数小于零，说明函数在极值点处取得局部最大值。同时，我们还需要考虑一阶导数的符号变化，以确定最值点是最大值还是最小值。
在科学、工程和经济学等领域中，隐函数的微分也有广泛的应用。
在解决微分问题时，我们经常需要用到隐函数的微分。
隐函数的求导法则
总结词
链式法则是隐函数求导的核心法则，用于处理复合函数的情况。
详细描述
链式法则是隐函数求导的重要法则之一，它指出如果一个函数y是另一个函数u的复合函数，即y=f(u)，u=g(x)，那么dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
第二章 隐函数与参量函数微分法
( x + 1)3 x − 1 1 1 2 [ ∴ y′ = + − − 1] 2 x x + 1 3( x − 1) x + 4 ( x + 4) e
例7 求 y =
(x −1)(x − 2) 的 数 导 (x − 3)(x − 4)
解 这函数的定义域
x > 4, 2 < x < 3, x < 1
两边对 x 求导得
1 a1 a2 an ⋅ y′ = + +L+ y x − a1 x − a2 x − an a1 a2 an y′ = y[ ] + + L+ x − a1 x − a2 x − an
例10 解
y 设 y = xsin x (x > 0), 求 ′.
等式两边取对数得
ln y = sin x ⋅ ln x
⇒
例9
xy ln y − y 2 y′ = xy ln x − x 2
a1 a2 an
dy 设 y = (x − a1) (x −a2) L x − an) 求 ( dx 解 两边取对数得
ln y = a1 ln( x − a1 ) + a2 ln( x − a2 ) + L + an ln( x − an )
2( x 2 + y 2 ) = ( x − y )3
例5 求证抛物线
x+ y = a
上任一点的切线
在两坐标轴上的截距之和等于a
证
方程 x +
y = a两边对 x求导得
1 dy + =0 2 x 2 y dx
dy y ⇒ =− dx x 故曲线上任一点 ( x0 , y0 ) 处切线的斜率为 y0 dy =− k= x = x0 x0 dx y0 ( x − x0 ) 切线方程为 y − y0 = − x0
《高等数学之隐函数》课件
在物理学中的应用
在物理学中，隐函数被广泛应用于描 述物理量之间的关系，例如，热传导 方程、电磁场方程等。
隐函数还可以用于解决一些物理问题 ，例如，求解微分方程、确定物理量 的变化规律等。
THANKS 感谢观看
进一步研究隐函数的重要基础。
03 隐函数的求导法则
链式法则
链式法则
当一个函数嵌套在另一个函数中时， 链式法则用于求导。具体来说，如果 有一个复合函数 y = f(g(x))，则 dy/dx = (dy/dg) * (dg/dx)。
举例
假设 y = sin(x^2)，则 dy/dx = cos(x^2) * 2x。
隐函数还可以用于解决一些几何问题，例如，确定某一点的切线或者求某一点的 法向量等。
在经济学中的应用
在经济学中，隐函数被广泛应用于成 本函数、收益函数、需求函数等，这 些函数描述了经济变量之间的关系， 例如，成本函数描述了生产一定数量 的产品所需要的成本。
隐函数还可以用于解决一些经济学问 题，例如，最大化利润、最小化成本 等。
隐函数和显函数的转换
有时候可以将隐函数转换为显函数，或者将显函数 转换为隐函数，这需要使用例如在某些情况下更 加灵活和适用，但是它也有一些缺点，例如 求解比较困难。
隐函数的几何意义
隐函数的几何意义
隐函数可以用几何图形来表示，通过求解方程可以得到因变量和 自变量之间的关系，并且可以用图形来表示这种关系。
隐函数的图像
隐函数的图像通常是曲线或者曲面，可以通过绘制图像来更好地理 解隐函数的性质和特点。
隐函数的应用
通过几何意义可以更好地理解隐函数的实际应用，例如在物理和工 程领域中可以通过求解隐函数来找到某些物理量的关系。
02 隐函数定理
隐函数微分法
( x0 , y 0 ,u 0 , v0 )
1 ( F1 , F2 ) J ( x, v) 1 ( F1 , F2 ) J ( y, v)
( x0 , y 0 ,u 0 , v0 ) ( x0 , y 0 ,u 0 , v0 )
,
v x v y
( x0 , y 0 , u 0 , v0 ) ( x0 , y 0 , u 0 , v0 )
1 ( F1 , F2 ) J (u , x ) 1 ( F1 , F2 ) J (u , y )
( x0 , y 0 , u 0 , v0 ) ( x0 , y 0 , u 0 , , v0 )
,
作
业
习 题 5.3（P.46）
②
定理的证明从略，仅就公式②作如下推导：
将 z f ( x , y ) 代 入 F ( x , y ,z ) 0 ，
∵ F [ x , y , f ( x , y )] 0 ，
F
F y Fz z x 0 ，
∴ F x Fz
z x
0 ，
x y z x y
∵ Fz 连 续 ， 且 F z ( x 0 , y 0 ,z 0 ) 0 ，
2 2 2
4 两边全微分 , 得
2 x d x 4 yd y 6 zd z 0 ,
dz
故
2
x 3z
x
dx
2y 3z
dy ,
2y 3z
z x
3z
,
z y
.
z x 1 z x 2y 2 xy ( ) ( ) ( ) . 2 2 3 xy y x 3 y 3 z 3z z 9z
.隐函数微分法
第五节 隐函数微分法教学目的：(1) 了解隐函数存在定理的条件与结论；(2) 会求隐函数的导数和偏导数。
教学重点：方程、方程组确定的二元隐函数的偏导数或全微分计算。
教学难点：方程、方程组确定的二元隐函数的偏导数或全微分计算。
教学方法：讲练结合 教学时数：2课时一、一个方程的情形1.(,)0F x y =定理5.1 （隐函数存在定理1） 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内满足： ①具有连续的偏导数(,),(,)x y F x y F x y ， ②00(,)0F x y =， ③00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点00(,)P x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值且具有连续导数的函数()y f x =，它满足条件00()y f x =，并有yx F Fdx dy -=. （1）说明：1）定理的条件是充分的，如方程330y x -=在原点(0,0)不满足条件③, 但它仍能确定唯一单值连续且可导函数y x =2）若③换成00(,)0x F x y ≠，则确定隐函数(),x x y =在点00(,)x y 可导, 且.y xF dxdy F =- 定理的证明从略，仅对公式（1）作如下推导：设方程(,)0F x y =在点00(,)P x y 的某一邻域内确定一个具有连续导数的隐函数()y f x =，则有恒等式 (,())0,F x f x ≡两边对x 求导，得 0,x ydyF F dx +=由00(,)0y F x y ≠，得yx F F dx dy -=。
隐函数的求导公式例１验证方程0122=-+y x 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导且0=x 时1=y 的隐函数()y f x =，并求这函数的一阶和二阶导数在0=x 的值.解：令1),(22-+=y x y x F ，则 ,2x F x =,2y F y =,0)1,0(=F ,02)1,0(≠=y F依定理知方程0122=-+y x 在点)1,0(的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且0=x 时1=y 的函数)(x f y =．函数的一阶和二阶导数为y x F F dx dy -= ,yx -= ,00==x dx dy222y y x y dx y d '--=2y y x x y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=,13y -=.1022-==x dx y d例2 已知x yy x arctan ln22=+，求dxdy .解：令,arctan ln ),(22xy y x y x F -+= 则,),(22y x y x y x F x ++=,),(22yx xy y x F y +-= 所以y x F F dx dy -= .xy y x -+-= 2.(,,)0F x y z =定理5.2（隐函数存在定理2） 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内满足： ①具有连续的偏导数， ②000(,,)0F x y z =， ③000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点000(,,)P x y z 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =，它满足条件000(,)z f x y =，并有z x F F x z -=∂∂， zy F F y z-=∂∂. 定理的证明从略，偏导公式与一元隐函数类似，请自己推导.例3 设04222=-++z z y x ，求22xz∂∂.解：令,4),,(222z z y x z y x F -++=则,2x F x = ,42-=z F z,2z x F F x z z x -=-=∂∂ 22xz ∂∂2)2()2(z x z xz -∂∂+-=2)2(2)2(z z xx z --⋅+-= .)2()2(322z x z -+-=例4 设),(xyz z y x f z ++=，求x z ∂∂，y x ∂∂，zy∂∂. 思路：把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得xz∂∂，把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得x z ∂∂，把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得zy ∂∂. 解：令,z y x u ++= ,xyz v = 则),,(v u f z = 把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得x z ∂∂)1(x z f u ∂∂+⋅=),(xzxy yz f v ∂∂+⋅+ 整理得x z∂∂,1vu v u xyf f yzf f --+=把x 看成y z ,的函数对y 求偏导数得 )1(0+∂∂⋅=y x f u ),(yxyz xz f v ∂∂+⋅+ 整理得yx∂∂ ,v u v uyzf f xzf f ++-= 把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得 )1(1+∂∂⋅=z y f u ),(zyxz xy f v ∂∂+⋅+ 整理得zy ∂∂.1v u vu xzf f xyf f +--=二、方程组的情形(,,)01.(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩为了叙述方便，引入雅可比（Jacobi ）行列式：(,)(,)xy xy F F F G G G x y ∂=∂，(,,)(,,)xy z x y z x y zF F F FGH G G G x y z H H H ∂=∂定理5.3（隐函数存在定理3） 设(,,)F x y z 、(,,)G x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内满足：①具有对各个变量的一阶连续偏导数，②000(,,)0F x y z =，000(,,)0G x y z = ③000(,,)(,)0(,)x y z F G x y ∂≠∂，则方程组 (,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩在点000(,,)P x y z 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数()()y y x z z x =⎧⎨=⎩，它们满足条件00()y y x =,00()z z x =，并有(,)(,),(,)(,)x z x zy z yzF F FG G G dy x z F G F F dxy z G G ∂∂=-=-∂∂(,)(,).(,)(,)yx y x y z yzF F FG G G y x dz F G F F dxy z G G ∂∂=-=-∂∂2. (,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩ 定理5.4（隐函数存在定理4） 设(,,,)F x y u v 、(,,,)G x y u v 在点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内满足：①具有对各个变量的一阶连续偏导数，②0000(,,,)0F x y u v =，0000(,,,)0G x y u v = ③0000(,,,)(,)0(,)x y u v F G u v ∂≠∂，则方程组(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v =⎧⎨=⎩在点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩，它们满足条件000(,)u u x y =,v v =000(,)x y ，并有(,)1,(,)F G u x J x v ∂∂=-∂∂ (,)1(,)F G v x J u x ∂∂=-∂∂， (,)1,(,)F G u y J y v ∂∂=-∂∂ (,)1.(,)F G v y J u y ∂∂=-∂∂定理的证明从略，仅推导偏导数公式如下：（同时也提供了一种比较实用的方法）设方程组(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v =⎧⎨=⎩有隐函数组(,),(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩则 (,,(,),(,))0(,,(,),(,))0F x y u x y v x y G x y u x y v x y ≡⎧⎨≡⎩两边对x 求偏导得 00xu v x uv u v F F F x x u v G G G x x ∂∂⎧+⋅+⋅=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+⋅+⋅=⎪∂∂⎩（这是关于u x ∂∂，v x ∂∂的线性方程组）在点P 的某邻域内，系数行列式0,uvu vF F JG G =≠故得(,)1(,)u F G x J x v ∂∂=-∂∂，(,)1(,)v F G x J u x ∂∂=-∂∂ 同理可得(,)1(,)u F G y J y v ∂∂=-∂∂，(,)1(,)v F G y J u y ∂∂=-∂∂ 例5：设22250,23 4.x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩，，求 , dy dzdx dx .解1：直接代入公式；解2：方程两边对x 求导:2220,1230.dy dz x y z dx dxdy dz dx dx ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩即,23 1.dydz y z x dx dxdy dz dxdx ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩ 23y zJ =32.y z =-在0≠J 的条件下， 1323x z u y z x--∂=∂3,32z x y z -=- 2123y x v y z x --∂=∂2,32x y y z -=- 例6：设0=-yv xu ，1=+xv yu ，求x u ∂∂，y u ∂∂，x v ∂∂和yv∂∂. 解1：直接代入公式；解2：运用公式推导的方法，将所给方程的两边对x 求导并移项得,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂vx v x xu y u x v y x ux x y y x J -= ,22y x +=在0≠J 的条件下，x y y x x v y u x u ----=∂∂,22y x yv xu ++-= xy y x v y ux x v ---=∂∂,22y x xv yu +-= 将所给方程的两边对y 求导，用同样的方法可得,22y x yu xv y u +-=∂∂ .22y x yv xu y v ++-=∂∂ 解3：（用全微分法） 方程组两边求全微分，得00udx xdu vdy ydv udy ydu vdx xdv +--=⎧⎨+++=⎩ 即xdu ydv udx vdyydu xdv vdx udy -=-+⎧⎨+=--⎩解得：22221[()()]1[()()]du xu yv dx xv yu dy x y dv yu xv dx xu yv dy x y ⎧=--+-⎪+⎪⎨⎪=-+--⎪+⎩所以，有22,xu yv u x x y +∂=-∂+ ,22y x yu xv y u +-=∂∂ v x ∂∂,22y x xv yu +-=.22y x yv xu y v++-=∂∂ 内容小结:隐函数的求导法则（分以下几种情况）：1.(,)0F x y =；2.(,,)0F x y z =； 3．(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩ 4.⎩⎨⎧==00)v ,u ,y ,x (G )v ,u ,y ,x (F ． 思考题：已知)zy(z x ϕ=，其中ϕ为可微函数，求?y z yx z x =∂∂+∂∂ 解答：z作业: 练习册P16---P19.。
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y),
v
v(
x,
y)
求 u , u , v , v . x y x y
解
：
方程
组两
边对x求
偏导
：
Fx Gx
Fu Gu
u x u x
Fv Gv
v x v x
0 0
即
Fu
u x
Fv
v x
Fx
Gu
u x
Gv
v x
Gx
线性方程组
用消元法或克兰姆法则可解出 u , v . x x
若 J (F ,G) Fu Fv 0, (u,v) Gu Gv
隐函数的求导公式
这里，x, y都是自变量
dy
例1.已知方程 x2 y2 1 确定函数 y y( x)，求 dx x0
解： 令 F ( x, y) x2 y2 1
y1
dy Fx 2x x , dx Fy 2 y y
(x,y都是自变量)
dy 0 dx x0
y1
比较：方程两边对x求导： dy 2x x , dx 2 y y
则 Fx 2x, Fy 2 y, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
z Fy y , y Fz 2 z
解二：方程两边分别对x和y求导：
设2x 2z z 4 z 0, 2y 2z z 4 z 0
x x
y y
例4.设z f ( x y z, xyz)，求 z ，x ，y . x y z
两边对y求导：
这里，x,y都是自变量
Fy ( x,
y,
z)
Fz ( x,
y,
z)
z y
0
z Fy ( x, y, z) y Fz ( x, y, z)
隐函数的求导公式
这里，x,y都是自变量
例3. 设x2 y2 z2 4z 0,求 z , z x y
解一：令 F ( x, y, z) x2 y2 z2 4z,
0
an1 an2 ann
那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以 表为
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
, , xn
Dn D
.
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
整理得 y 1 fu xyfv .
z
fu xzfv
续例4. 注意：z f ( x y z, xyz)
解二：令F ( x, y, z) f ( x y z, xyz) z
u x y z, v xyz
则 Fx fu fv yz, Fy fu fv zx,
Fz fu fv xy 1
z Fx fu yzfv , x Fz 1 fu xyfv
x y
Fy Fx
fu fu
xzfv yzf v
,
y Fz 1 fu xyfv .
z Fy
fu xzfv
1.4.2 方程组的情形
由
F ( x, G( x,
y, u, v) y, u, v)
0 0
确定的函数u
u(
x,
xy z ), x
整理得 z fu yzfv , x 1 fu xyfv
续例4. 注意：z f ( x y z, xyz)
求 x : 把 x看成z, y的函数，即
y
z f ( x( y, z) y z, x( y, z) yz)
方程两边对y求导：
0
fu
(x y
1)
fv ( xz
11.4 隐函数的求导公式
11.4.1 由一个方程确定的隐函数 11.4.2 由方程组确定的隐函数
11.4.1 由一个方程确定的隐函数
1. F ( x, y) 0 确定函数 y y( x)
两边对x求导：
Fx ( x, y) Fy ( x, y) y 0
F
x y
x
y Fx ( x, y) Fy(x, y)
dy 0
dx x0 y1
2x 2 y dy 0 dx
（x是自变量 y是x的函数）
例2. 已知ln x2 y2 arctan y ，求 dy . x dx
解： 令 F ( x, y) ln x2 y2 arctan y ,
x
则Fx ( x,
y)
x x2
y y2
,
y x Fy( x, y) x2 y2 ,
如果线性方程组（方程个数=未知量个数）
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
(1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn a11 a12 a1n
的系数行列式不等于零，即 D
a21 a22 a2n
分析：从所求偏导判断自变量。
求 z ，说明z z( x, y)； 求 x ，说明x x( y, z)；
x
y
求 y ，说明y y( x, z) z
解一：令 u x y z, v xyz, 则 z f (u,v),
把z看作x，y的函数，方程两边对x求导：
z x
f
u
(1
z x
)
fv ( yz
yz x ), y
整理得 x fu xzfv ,
y
fu yzfv
续例4. 注意：z f ( x y z, xyz)
求 y z
:
把
y 看成 x,
z 的函数，即
z f ( x y( x, z) z, xy( x, z)z)
方程两边对z求导：
1
f
u
(
y z
1)
fv ( xy
xz y), z
Fx Fv
u Gx Gv 1 (F ,G)
x Fu Fv
J (x,v)
Gu Gv
Fu Fx
v Gu Gx 1 (F ,G)
x Fu Fv
J (u, x)
Gu Gv
方程
组
两
边
对y求
偏
导
：
Fy
G
y
Fu Gu
u y u y
Fv Gv
v y v y
0 0
即
Fu
u y
Fv
v y
Fy
Gu
u y
Gv
v y
G y
若 J (F ,G) Fu Fv 0, (u,v) Gu Gv
Fy Fv
u G y Gv 1 (F ,G)
y Fu Fv
J ( y,v)
Gu Gv
Fu
v Gu Gy 1 (F ,G)
y Fu Fv
J (u, y)
Gu Gv
克兰姆法则
dy Fx x y . dx Fy y x
2. F ( x, y, z) 0 确定函数 z z( x, y)
x
两边对x求导： z
Fx ( x, y, z) Fz ( x, y, z) x 0
Fy z
x y
z Fx ( x, y, z)
隐函数的求导公式
x Fz ( x, y, z)