.隐函数微分法
隐函数的微分法
确认隐函数的存在性.下面来探讨隐函数存在定理，并根
据多元复合函数的求导法则来导出隐函数的导数公式，
本节中的定理不作严格证明，仅给出推导过程.
一、一个方程的情形
定 理1
（一元函数存在定理）设函数F(x,y)满足如下条件： （1）在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数. （2） F(x0,y0)=0，Fy(x0,y0)≠0. 则方程F(x,y)=0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个 连续且具有连续导数的函数y=f(x)，且满足条件y0=f(x0)，并有
同理,可得
二、方程组的情形
引例说明为方便起见，取V,T为自变量，于是 S=S(V,T),E=E(V,T).因此有
将上式代入
，得
二、方程组的情形
再由状态方程
整理可得
又由
可得
化简得 此结果表明，气体的内能仅是温度的函数，与体积无关.
谢谢聆听
一、一个方程的情形
定理推导
将z=f(x,y)代入F(x,y,z)=0,得F［x,y,f(x,y)］≡0,将等式 两端分别对x和y求导，应用复合函数求导法则得
因为Fz连续，且Fz(x0,y0,z0)≠0,所以存在点(x0,y0,z0)的一个 邻域，在这个邻域内Fz≠0，于是得
一、一个方程的情形
【例2】
设
解 设Fx,y,z=ez－z+xy－3,则
于是
Fx=y,Fz=ez－1,
一、一个方程的情形
【例3】
设z=z(x,y)是由方程f(y－x,yz)=0所确定的隐函数，其 中f有二阶连续偏导数，求
解 方程两边同时对x求偏导,得
即
，再一次对x求偏导得
一、一个方程的情形
隐函数的微分法
dx +
(
z
dz
F1 F2 y x
z x
y2 F1 F2 y x
z y
) F1 F2
dy
z z F F F F 1 2 2 2 1 2 y z z y 故 x y x x F1 F2 F1 F2 x y y x y x F1 F2 F1 F2 z ( ) xy( ) y x y x F1 F2 y x
( F , G ) Fu Fv J Gu Gv ( u, v )
称为函数F，G 的雅可比( Jacobi )行列式.
定理8.9 设函数
满足:
的某一邻域内具有连续偏
① 在点
导数；
② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 , G ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ;
Fx z 注 在公式 中， x Fz
Fx : 将 F ( x , y , z )中的y , z暂视为常数，
对x求偏导数；
Fz : 将 F ( x , y , z )中的x , y暂视为常数，
对z求偏导数；
例2
设z 3 xyz a , 求z x 及z xy .
用此法求导 时，要注意 z是x, y的 函数！
具有连续偏导数的函数
u u( x , y ) , v v( x , y ),
且有
1 u 1 ( F ,G ) Fu Fv x J ( x, v ) Gu Gv 1 u 1 ( F ,G ) Fu Fv y J ( y, v ) Gu Gv
Fx Fv G x Gv
的某一邻域内可
唯一确定一个函数 z = f (x , y)满足 ,
隐函数微分法
它满足条件 z 0 = f ( x 0 , y 0 ) ，并有 Fy Fx ∂z ∂z =− =− ， Fz Fz ∂y ∂x
②
定理的证明从略，仅就公式②作如下推导： 定理的证明从略，仅就公式②作如下推导：
将 z= f ( x , y ) 代入 F ( x , y , z )= 0 ， =
x 2y dz = − dx − dy , 3z 3z
x ∂z , 故 =− 3z ∂x 2y ∂z . =− 3z ∂y
1 ∂z x ∂ 2z ∂ ∂z x 2y 2xy = ( ) = − ⋅ (− 2 ) ⋅ = (− ) =− 3 . 2 3 ∂x∂y ∂y ∂x 3z z ∂y 3z 9z
F x = 2 x ， F y = 4 y ， Fz = 6 z ，
Fx 2x x ∂z 故 =− =− =− , ∂x Fz 6z 3z
Fy 4y 2y ∂z . =− =− =− Fz 6z 3z ∂y
直接法 解法 2：直接法
在 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 4 两边分别对 x 和 y 求偏导, 注意 z 是 x、y 的函数，得 、 的函数，
作
业
5.3（ 习 题 5.3（P.46） ）
19.（1）； 20（2）（4）； ）（4 21.
y− x 1 1 Fy = 2 , − ⋅ = 2 2 2 y 2 x x +y x +y 1+ ( ) x y
Fx x + y dy . =− = dx Fy x − y
定理4 隐函数存在定理 2 定理 4（隐函数存在定理2）
满足下列条件： 设三元函数 F ( x , y , z ) 满足下列条件： 三元函数
高等数学之隐函数微分法
解法二: 将 z 视为 x , y 的函数,方程两边分别对 x , y 求偏导 (过程略，同学们试试)
例2.设 y = f ( x, t ),而 t 是由 ϕ ( x, t ) = 0 所确定的函数,
dy 且 ϕ ( x, t ) 可微.求 dx
x y t x
dy ∂f ∂f dt ∴ = + ⋅ dx ∂x ∂t dx
定理2 (二元隐函数存在定理) 设F(x,y,z) 在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 的某邻域内具有连续偏导数,且
F ( x0 , y0 , z0 ) = 0, Fz ' ( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0, 则方程F(x,y,z)=0在该邻域
内恒能惟一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z=f(x,y),满足 z0 = f ( x0 , y0 ), 并有: ∂z = − Fx ' , ∂z = − Fy '
∂2z 求 ∂x 2
F ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 − 4 z
∴
Fx ' = 2 x, Fz ' = 2 z − 4
∂z F' x =− x = ∂x Fz ' 2 − z ∂z (2 − z ) + x ∂2z ∂ x ∂x = ( ) = (2 − z ) 2 ∂x 2 ∂x 2 − z
∂x Fz ' ∂y Fz '
证:因为
F [ x, y, f ( x, y )] ≡ 0
两边分别对 x,y 求偏导:
Fy '+ Fz '⋅ ∂z =0 ∂y
Fx '+ Fz '⋅
隐函数的微分法
隐函数的微分法隐函数的微分法是微积分中的重要内容，它用于求解由一个或多个变量之间的关系所定义的隐函数的导数。
隐函数可以表示为F(某,y)=0的形式，其中某和y是变量，F是一个含义良好的函数。
隐函数的微分法可以用来求解隐函数的导数，进而研究隐函数的性质和求解相关的问题。
在计算隐函数导数时，我们可以利用偏导数的概念。
根据隐函数的定义，我们可以将F(某,y)=0表示为F(某,y(某))=0，即将y表示为某的函数。
然后对等式两边同时对某求偏导数，可以得到：∂F/∂某 + ∂F/∂y 某 dy/d某 = 0然后解出dy/d某，即可得到隐函数的导数。
在应用求导法则时，我们可以利用链式法则来处理含有隐函数的导数计算问题。
链式法则可以表示为：dF/d某 = (∂F/∂某) + (∂F/∂y) 某 (dy/d某)通过应用链式法则，我们可以把对隐函数的导数转化为对显函数的导数的计算，从而求解出隐函数的导数。
此外，我们还可以利用隐函数的微分形式进行求解。
根据全微分公式，我们可以将隐函数的微分形式表示为：dF = (∂F/∂某) 某 d某 + (∂F/∂y) 某 dy = 0然后解出dy/d某，即可得到隐函数的导数。
隐函数的微分法在求解实际问题中具有广泛的应用。
它可以帮助我们求解曲线的切线及法线，提供关于曲线上点的切线斜率和切线方程的信息；在物理学中，它可以用于求解速度、加速度等问题；在经济学中，它可以用于分析边际效应及最优化问题。
综上所述，隐函数的微分法是微积分中的重要内容，它通过隐函数的定义和求导法则的应用，可以帮助我们求解隐函数的导数，并在实际问题中提供有用的信息。
通过对隐函数的导数的求解，我们可以研究隐函数的性质、求解相关的问题，并应用于具体的实际问题中。
05 第五节 隐函数微分法
05 第五节隐函数微分法隐函数微分法是一种在方程中含有多个变量时，用一个变量的导数表示另一个变量的导数的方法。
它的主要思想是将多元函数的某些变量看作常量（约束条件），然后将剩余的变量用其他变量的导数来表示。
这种方法在自然科学、工程技术以及经济学等领域中得到广泛应用。
一、隐函数微分法的基本思想我们考虑一个二元函数 $z=f(x,y)$，假设在某一点 $(x_0,y_0)$ 处，方程$F(x,y,z)=0$ 成立，这个方程可以看做是 $z$ 对 $x$ 和 $y$ 的隐函数。
我们要求在这个点上，$z$ 对 $x$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 的值。
首先，我们可以对方程两边求导，得到：$$\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}=0$$于是，我们得到了两个方程：下面，我们通过一个例子来说明隐函数微分法的具体步骤。
假设我们要求以下方程的$\frac{dy}{dx}$：$$x^2+y^2=9$$我们可以将它看作是 $y$ 对 $x$ 的隐函数，并将它表示为 $F(x,y)=x^2+y^2-9=0$。
然后，我们对这个方程两边求导：$$\frac{\partial F}{\partial x}=2x$$将这三个式子带入到基本式中：这个结果说明了什么？实际上，这意味着在 $x^2+y^2=9$ 的曲线上，$y$ 和 $x$ 的变化率是无穷大的。
这是因为曲线的斜率在 $x=\pm \sqrt{2}$ 的点处无穷大。
隐函数微分法有广泛的应用，特别是在自然科学、工程技术以及经济学等领域中。
下面，我们举几个例子，展示隐函数微分法的实际应用。
1. 科学研究中的应用隐函数微分法在科学研究中的应用十分广泛。
例如，当我们研究一个物理系统时，通常会涉及到多个变量之间的关系。
隐函数微分法
一、由方程F(x,y)=0所确定的
隐函数y=y(x)的求导公式
二、由方程F(x,y,z)=0所确定的 隐函数z=z(x,y)的偏导数公式
一 、由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=y(x)的求
导公式
则方若程函F(x数,yF)=(x0,在y)点在P点0的P0一(x0个,y0邻)处域的内偏，导确数定了Fy一P0 个 0隐， 函数y=y(x)，并假定y(x)可导，F(x,y)可微，那么如何 求 dy 呢？利用二元复合函数的求导法则导出隐函数
a z b z 1. x y
证 令u=x–az，v=y–bz，得
u 1, u 0, u a,
x y
z
v 0, v 1, v b. x y z
Fx
Fu
u x
Fv
v x
Fu ,
Fy
Fu
u y
Fv
v y
得 Fx 2x, Fy 2ez , Fz 2x 2 yez.
所以
z x
Fx Fz
2
x
2x 2
ye
z
x yez
, x
z y
Fy Fz
2
2e x2
z
ye
z
ez z yez
,
因此
dz
x yez
dx x
z
ez yez
dy.
例6 设F(x–ax,y–bz)=0(a,b为常数)，F(u,v)为可微函 数，Fz 0 ，证明由方程所确定的函数z=z(x,y)满足方程
隐函数微分法
F ( x, y,u, v) 0 则由方程组 在点 P 的某一邻域内能确定 G( x, y,u, v) 0
一组连续且具有一阶连续偏导数的函数
u u ( x, y), v v ( x, y), 满足 u u ( x , y ),v v ( x , y ),
定理 4 设 （1） F ( x, y,u, v),G( x, y,u, v) 在点 P( x , y ,u , v ) 的某个邻 域内具有对各个变量的连续偏导数； （2） F ( x , y ,u , v ) 0, G( x , y ,u , v ) 0, Jacobi 行列式
例5 设u f ( x, y, z ), y g (sin x), z z ( x) 由方程
( x , e , z ) 0 确定, 其中f , 具有一阶连续 du
2 y
偏导数，g可导，且
z
0, 求
dx
.
且
y 1 (F , G ) , x J ( x, z )
z 1 ( F , G ) x J ( y, x )
⑥
x yz 2 dy dz 例3.设 2 1 2 求 , 在（ 1,1, 2）处的值。 2 dx dx x y z 2
F ( x, y,u, v) 0 其他情形：以 为例。 G( x, y,u, v) 0
y f ( x ) ， F ( x, f ( x)) 0, 并有
Fx dy 。 dx Fy
设有F ( x1, x2,
xn , y ) 0,
(1)
若存在y ( x1, x2, 恒等式，即F ( x1, x2,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五节 隐函数微分法教学目的：(1) 了解隐函数存在定理的条件与结论；(2) 会求隐函数的导数和偏导数。
教学重点：方程、方程组确定的二元隐函数的偏导数或全微分计算。
教学难点：方程、方程组确定的二元隐函数的偏导数或全微分计算。
教学方法：讲练结合 教学时数：2课时一、一个方程的情形1.(,)0F x y =定理5.1 （隐函数存在定理1） 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内满足： ①具有连续的偏导数(,),(,)x y F x y F x y ， ②00(,)0F x y =， ③00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点00(,)P x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值且具有连续导数的函数()y f x =，它满足条件00()y f x =，并有yx F Fdx dy -=. （1）说明：1）定理的条件是充分的，如方程330y x -=在原点(0,0)不满足条件③, 但它仍能确定唯一单值连续且可导函数y x =2）若③换成00(,)0x F x y ≠，则确定隐函数(),x x y =在点00(,)x y 可导, 且.y xF dxdy F =- 定理的证明从略，仅对公式（1）作如下推导：设方程(,)0F x y =在点00(,)P x y 的某一邻域内确定一个具有连续导数的隐函数()y f x =，则有恒等式 (,())0,F x f x ≡两边对x 求导，得 0,x ydyF F dx +=由00(,)0y F x y ≠，得yx F F dx dy -=。
隐函数的求导公式例１验证方程0122=-+y x 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导且0=x 时1=y 的隐函数()y f x =，并求这函数的一阶和二阶导数在0=x 的值.解：令1),(22-+=y x y x F ，则 ,2x F x =,2y F y =,0)1,0(=F ,02)1,0(≠=y F依定理知方程0122=-+y x 在点)1,0(的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且0=x 时1=y 的函数)(x f y =．函数的一阶和二阶导数为y x F F dx dy -= ,yx -= ,00==x dx dy222y y x y dx y d '--=2y y x x y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=,13y -=.1022-==x dx y d例2 已知x yy x arctan ln22=+，求dxdy .解：令,arctan ln ),(22xy y x y x F -+= 则,),(22y x y x y x F x ++=,),(22yx xy y x F y +-= 所以y x F F dx dy -= .xy y x -+-= 2.(,,)0F x y z =定理5.2（隐函数存在定理2） 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内满足： ①具有连续的偏导数， ②000(,,)0F x y z =， ③000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点000(,,)P x y z 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =，它满足条件000(,)z f x y =，并有z x F F x z -=∂∂， zy F F y z-=∂∂. 定理的证明从略，偏导公式与一元隐函数类似，请自己推导.例3 设04222=-++z z y x ，求22xz∂∂.解：令,4),,(222z z y x z y x F -++=则,2x F x = ,42-=z F z,2z x F F x z z x -=-=∂∂ 22xz ∂∂2)2()2(z x z xz -∂∂+-=2)2(2)2(z z xx z --⋅+-= .)2()2(322z x z -+-=例4 设),(xyz z y x f z ++=，求x z ∂∂，y x ∂∂，zy∂∂. 思路：把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得xz∂∂，把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得x z ∂∂，把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得zy ∂∂. 解：令,z y x u ++= ,xyz v = 则),,(v u f z = 把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得x z ∂∂)1(x z f u ∂∂+⋅=),(xzxy yz f v ∂∂+⋅+ 整理得x z∂∂,1vu v u xyf f yzf f --+=把x 看成y z ,的函数对y 求偏导数得 )1(0+∂∂⋅=y x f u ),(yxyz xz f v ∂∂+⋅+ 整理得yx∂∂ ,v u v uyzf f xzf f ++-= 把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得 )1(1+∂∂⋅=z y f u ),(zyxz xy f v ∂∂+⋅+ 整理得zy ∂∂.1v u vu xzf f xyf f +--=二、方程组的情形(,,)01.(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩为了叙述方便，引入雅可比（Jacobi ）行列式：(,)(,)xy xy F F F G G G x y ∂=∂，(,,)(,,)xy z x y z x y zF F F FGH G G G x y z H H H ∂=∂定理5.3（隐函数存在定理3） 设(,,)F x y z 、(,,)G x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内满足：①具有对各个变量的一阶连续偏导数，②000(,,)0F x y z =，000(,,)0G x y z = ③000(,,)(,)0(,)x y z F G x y ∂≠∂，则方程组 (,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩在点000(,,)P x y z 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数()()y y x z z x =⎧⎨=⎩，它们满足条件00()y y x =,00()z z x =，并有(,)(,),(,)(,)x z x zy z yzF F FG G G dy x z F G F F dxy z G G ∂∂=-=-∂∂(,)(,).(,)(,)yx y x y z yzF F FG G G y x dz F G F F dxy z G G ∂∂=-=-∂∂2. (,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩ 定理5.4（隐函数存在定理4） 设(,,,)F x y u v 、(,,,)G x y u v 在点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内满足：①具有对各个变量的一阶连续偏导数，②0000(,,,)0F x y u v =，0000(,,,)0G x y u v = ③0000(,,,)(,)0(,)x y u v F G u v ∂≠∂，则方程组(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v =⎧⎨=⎩在点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩，它们满足条件000(,)u u x y =,v v =000(,)x y ，并有(,)1,(,)F G u x J x v ∂∂=-∂∂ (,)1(,)F G v x J u x ∂∂=-∂∂， (,)1,(,)F G u y J y v ∂∂=-∂∂ (,)1.(,)F G v y J u y ∂∂=-∂∂定理的证明从略，仅推导偏导数公式如下：（同时也提供了一种比较实用的方法）设方程组(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v =⎧⎨=⎩有隐函数组(,),(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩则 (,,(,),(,))0(,,(,),(,))0F x y u x y v x y G x y u x y v x y ≡⎧⎨≡⎩两边对x 求偏导得 00xu v x uv u v F F F x x u v G G G x x ∂∂⎧+⋅+⋅=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+⋅+⋅=⎪∂∂⎩（这是关于u x ∂∂，v x ∂∂的线性方程组）在点P 的某邻域内，系数行列式0,uvu vF F JG G =≠故得(,)1(,)u F G x J x v ∂∂=-∂∂，(,)1(,)v F G x J u x ∂∂=-∂∂ 同理可得(,)1(,)u F G y J y v ∂∂=-∂∂，(,)1(,)v F G y J u y ∂∂=-∂∂ 例5：设22250,23 4.x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩，，求 , dy dzdx dx .解1：直接代入公式；解2：方程两边对x 求导:2220,1230.dy dz x y z dx dxdy dz dx dx ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩即,23 1.dydz y z x dx dxdy dz dxdx ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩ 23y zJ =32.y z =-在0≠J 的条件下， 1323x z u y z x--∂=∂3,32z x y z -=- 2123y x v y z x --∂=∂2,32x y y z -=- 例6：设0=-yv xu ，1=+xv yu ，求x u ∂∂，y u ∂∂，x v ∂∂和yv∂∂. 解1：直接代入公式；解2：运用公式推导的方法，将所给方程的两边对x 求导并移项得,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂vx v x xu y u x v y x ux x y y x J -= ,22y x +=在0≠J 的条件下，x y y x x v y u x u ----=∂∂,22y x yv xu ++-= xy y x v y ux x v ---=∂∂,22y x xv yu +-= 将所给方程的两边对y 求导，用同样的方法可得,22y x yu xv y u +-=∂∂ .22y x yv xu y v ++-=∂∂ 解3：（用全微分法） 方程组两边求全微分，得00udx xdu vdy ydv udy ydu vdx xdv +--=⎧⎨+++=⎩ 即xdu ydv udx vdyydu xdv vdx udy -=-+⎧⎨+=--⎩解得：22221[()()]1[()()]du xu yv dx xv yu dy x y dv yu xv dx xu yv dy x y ⎧=--+-⎪+⎪⎨⎪=-+--⎪+⎩所以，有22,xu yv u x x y +∂=-∂+ ,22y x yu xv y u +-=∂∂ v x ∂∂,22y x xv yu +-=.22y x yv xu y v++-=∂∂ 内容小结:隐函数的求导法则（分以下几种情况）：1.(,)0F x y =；2.(,,)0F x y z =； 3．(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩ 4.⎩⎨⎧==00)v ,u ,y ,x (G )v ,u ,y ,x (F ． 思考题：已知)zy(z x ϕ=，其中ϕ为可微函数，求?y z yx z x =∂∂+∂∂ 解答：z作业: 练习册P16---P19.。