2.4隐函数微分法

高等数学AⅠ吉林大学数学学院 金今姬第二章多元函数的微分学及其应用一、偏导数二、全微分三、复合函数的微分法四、隐函数微分法五、方向导数与梯度六、多元微分学的几何应用七、多元函数的Taylor公式与极值问题§4隐函数微分法4.1 由方程式确定的隐函数的微分法4.2 由方程组确定的隐函数的微分法4.3 Jacobi行列式的性质本节讨论 :1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .例如, 方程0122=−+y x 除了(-1,0),(1,0)外, 能确定隐函数;在(-1,0),(1,0)的任何邻域内,y 都有两个值2) 在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .所以不能确定隐函数;21x y −±=4.1 由方程式确定的隐函数的微分法定理4.1 设函数),(00y x P ),(y x F ;0),(00=y x F 则(1)方程00),(x y x F 在点=单值连续函数 y = f (x ) ,,)(00x f y =(2)函数y = f (x )在点x 0的某邻域内具有连续的偏导数，yx F F x y −=d d (隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：① 具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足),(00≠y x F y ②满足并且()[],0,≡x f x F))(,(≡x f x F 两边对 x 求导0d d ≡∂∂+∂∂xy y F x F yx F F x y −=d d 0≠y F ,0),()(所确定的隐函数为方程设==y x F x f y 在),(00y x 的某邻域内则在定理条件中0),(00≠y x F y 是重要的，由此条件及F y 的连续性，使在点P 0的某邻域U(P 0)内有0),(00≠y x F y 这样，对该邻域内固定的x ，按满足F (x,y )=0为对应法则,必对应唯一的y 值，从而保证了隐函数的存在性.从而在该邻域内对固定的x ，F (x,y )关于y 是严格单调的.若F ( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,=22d d xy 2yxx y y x x F F F F F −−=3222yxy y y x y x y x x F F F F F F F F +−−=yx F F −)(y x F F y −∂∂+)(2yx y x y y y y x F F F F F F F −−−二阶导数 :)(y x F F x −∂∂x yx x y d d 则还有隐函数存在定理可推广到三元以及三元以上 方程的情形:定理4.2 设函数),,(000z y x P ),,(z y x F ;0),,(000=z y x F 则(1)方程P z y x F 在点0),,(=单值连续函数z= f (x,y ) ,,),(000z y x f =(2)函数y = f (x )在点P 的某邻域内具有连续的偏导数，,z x F F x z −=∂∂① 具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足),,(000≠z y x F z ②满足并且.zy F F y z −=∂∂)),(,,(≡y x f y x F 两边对 x 求偏导x F zx F F x z −=∂∂z y F F y z −=∂∂同样可得,0),,(),(所确定的隐函数是方程设==z y x F y x f z 则z F +xz ∂∂0≡0),,(000≠z F z y x 的某邻域内在例4.1 验证方程122=+y x 在点(0,1)的某邻域内可确定一个单值可导隐函数,)(x f y =解: 令,1),(22−+=y x y x F ,0)1,0(=F ,2x F x =连续 ,由隐函数存在定理知,2)1,0(=y F 0≠①,)(x f y =一个隐函数 则y F y 2=②在(0,1) 的某邻域内方程能确定且并求()().,'''x f x f ()y x F F x f −='y x −=()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=y x dx d x f ''2'y xy y −=2yy x x y ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=322y x y +−=31y −=)(,122x y y y x ==+两边对 x 求导两边再对 x 求导导数的另一求法— 利用隐函数求导22'=+yy x 0222''2'=++yy y yx y −='y y y 2'''1+−=yy x y 2''1⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−=322y x y +−=31y −=例4.2 设,04222=−++z z y x 解1: 令,4),,(222z z y x z y x F −++=当求.22xz∂∂042),,(≠−=z z y x F z 时，z x F F x z −=∂∂422−−=z x ,2zx −=22x z ∂∂⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∂∂=z x x 2()()222z x zx z −∂∂+−=()().22322z x z −+−=解2：利用隐函数求导422=∂∂−∂∂+xzx z z x z x z −=∂∂2 22z x x z −=∂∂2+22)(2x z ∂∂222xz z ∂∂+0422=∂∂−x z 2)(1x z ∂∂+322)2()2(z x z −+−=再对 x 求导例4.2 设,04222=−++z z y x 求.22xz∂∂例4.3 设解：视u 为x,y,z 的函数，对该方程两端关于y 求偏导数,得(),0,,,2=−−u y z x y x F 其中F 是 类函数,且()2C ,0'4≠F 求.22yu ∂∂(),02'4'2=−+y u y F F .2'4'2FFy u y +=对上式再对y 求偏导数,注意到仍然是x,y,x-z,'4'2,F F u y −2的函数，得()()[]()(),02222'4''44''42''24''22=−+−−++−+yy y y y u F u y u y F F u y F F ''42''24'4'2,2F F FF u y y =−=−其中()()[]()(),02222'4''44''42''24''22=−+−−++−+yy y y y u F u y u y F F u y F F ''42''24'4'2,2F F FF u y y =−=−其中(),022'4''442'4'2''24'4'2''22=−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−yy u F F FF F F F F .212''443'42'2''242'4'2''22'4F FF F F F F F u yy +−+=4.2 由方程组确定的隐函数的微分法隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F ⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u 由 F 、G 的偏导数组成的行列式vu vu G G F F v u G F J =∂∂=),(),(称为F 、G 的雅可比( Jacobi )行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,即定理4.3,0),,(000=z y x F 的某一邻域内具有连续偏导数；设函数),,(000z y x P ),,(,),,(z y x G z y x F 则(1)方程组0),,(,0),,(==z y x G z y x F ③① 在点②内可唯一确定一对一元函数y=y (x ),z=z (x )，他们满足满足:),(),(≠∂∂=Pz y G F P J ;0),,(000=z y x G ,)(00y x y =()()()()0,,(,0),,(≡≡x z x y x G x z x y x F ;)(00z x z =在点P 0的某邻域(2)函数在点x 0的某邻域内是 类函数，并且()1Cdxdy ,zy z y zx z xG G F F G G F F −=dxdz .zyz y x y x y G G F F G G F F −=()()()(),,,,,z y G F z x G F ∂∂∂∂−=()()()(),,,,,z y G F x y G F ∂∂∂∂−=()()⎩⎨⎧≡≡0))(,,(0))(,,(x z x y x G x z x y x F xd dz dx dy ,⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 有隐函数组则两边对 x 求导得,)()(⎩⎨⎧==x z z x y y 设方程组的线性方程组，其系数行列式为⎩⎨⎧dx dy ⋅x d dz ⋅dxdy ⋅x d dz ⋅x F y F +z F +0=x G y G +zG +0=故得这是关于()().,,z y G F J ∂∂=dxdy dxdz ()()()(),,,,,z y G F z x G F ∂∂∂∂−=()()()(),,,,,z y G F x y G F ∂∂∂∂−=定理4.4,0),,,(0000=v u y x F 的某一邻域内具有连续偏设函数),,,(0000v u y x P ),,,(,),,,(v u y x G v u y x F 则方程组0),,,(,0),,,(==v u y x G v u y x F ③),(00y x 在点的单值连续函数),,(,),(y x v v y x u u ==且有偏导数公式 :① 在点②的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:),(),(≠∂∂=Pv u G F P J ;0),,,(0000=v u y x G 导数；,),(000y x u u =),(000y x v v =),(),(1v x G F J x u ∂∂−=∂∂),(),(1v y G F J y u ∂∂−=∂∂),(),(1x u G F J x v ∂∂−=∂∂),(),(1y u G F J y v ∂∂−=∂∂v v vu v u G F G G F F 1−=v v vu v u G F G G F F 1−=u u vu v u G F G G F F 1−=u u vu v u G F G G F F 1−=x x G F y y G F x x G F y y G F例4.4 设θθsin ,cos r y r x ==求=∂∂=),(),(θr G F J 解1：令θθθθcos sin sin cos r r −r=.,,,yx y r x r ∂∂∂∂∂∂∂∂θθ,cos ),,,(x r r y x F −=θθ,sin ),,,(y r r y x G −=θθ=∂∂),(),(θx G F θθcos 0sin 1r r −−=∂∂),(),(θy G F θθcos 1sin 0r r −−=∂∂),(),(x r G F 0sin 1cos θθ−=∂∂),(),(y r G F 1sin 0cos −θθθcos r −=θsin r −=θsin =θcos −=于是当xr ∂∂=∂∂x θ时，()()θ,,1x G F J ∂∂−=θcos =0≠=r J y r ∂∂()()θ,,1y G F J ∂∂−=θsin =()()x r G F J ,,1∂∂−rθsin −==∂∂y θ()()y r G F J ,,1∂∂−rθcos =例4.4 设θθsin ,cos r y r x ==求解2：在方程组两端关于x 求偏导数，并注意r , 是x,y 的函数，得.,,,yx y r x r ∂∂∂∂∂∂∂∂θθθ⎩⎨⎧,sin cos 1x r x r ∂∂−∂∂=θθθ,cos sin 0xr x r ∂∂+∂∂=θθθ解此方程组，当 时，得0≠r x r ∂∂x∂∂θθcos =y r ∂∂θsin =r θsin −=y ∂∂θrθcos =在方程组两端关于y 求偏导数，类似地可得例4.4 设θθsin ,cos r y r x ==求解3：在方程组两端求全微分，由一阶微分形式不变性，得.,,,yx y r x r ∂∂∂∂∂∂∂∂θθ⎩⎨⎧,sin cos θθθd r dr dx −=,cos sin θθθd r dr dy +=解此方程组，当时，得0≠r yr∂∂θsin =y ∂∂θrθcos =从而,sin cos dy dx dr θθ+=,cos sin dy rdx r d θθθ+−=x r∂∂x ∂∂θθcos =rθsin −=例4.5 设求解：由题意知，方程组确定了u,v 是x,y,z 的函数，在方程组两端求全微分并加以整理，得.,,zux v x u ∂∂∂∂∂∂⎩⎨⎧,2dz dx dv udu +−=−vdz dy zdv du −=+解此方程组，当 时，得012≠+uz 从而()[]dz v z dy zdx uz du −++−+=121()[]dz uv udy dx uz dv 122121+−++=⎩⎨⎧,2z v u x ++−=.vz u y +=,12+−=∂∂uz z x u ,121+=∂∂uz x v .12+−=∂∂uz v z z u例4.6 设y=f (x,t ),而t 是由方程F (x,y,t )=0确定的x,y 的函数,其中f,F 是 类函数，求解1：设()1C .dxdy (),,y x t ϕ=则有方程式()[]y x x f y ,,ϕ=两端对x 求导，得=dx dy,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+dx dy y x f f t x ϕϕ其中,,ty t x F F y F F x −=∂∂−=∂∂ϕϕ所以=dx dy yf x f f ttx ∂∂−∂∂+ϕϕ1.y t t x t t x F f F F f F f +−=例4.6 设y=f (x,t ),而t 是由方程F (x,y,t )=0确定的x,y 的函数,其中f,F 是 类函数，求解2：联立题中两式，得方程组()1C .dxdy 解此方程组，得dxdy .y t t x t t x F f F F f F f +−=⎩⎨⎧(),0,=−y t x f (),0,,=t y x F 由题意知，此方程组确定了t,y 是x 的函数，在方程组两端关于x 求导，得⎩⎨⎧,0=−+dx dy dx dt f f t x ,0=++dxdt F dxdy F F ty x4.3 Jacobi 行列式的性质性质1 设函数()()n i u u u f z n i i ,,2,1,,,21⋯⋯==在区域内是 类函数，而nR U ⊂()1C ()()n j x x x u n j j ,,2,1,,,21⋯⋯==ϕ在区域 内是 类函数，且当n R X ⊂()1C ()Xx x x n ∈,,,21⋯时，对应点(),,,,21U u u u n ∈⋯则有()()()()()().,,,,,,,,,,,,,,,,,,212121212121n n n n n n x x x u u u u u u z z z x x x z z z ⋯⋯⋯⋯⋯⋯∂∂⋅∂∂=∂∂这个性质可看成是复合函数()()x u u f z ϕ==,求导公式dxdu du dz dx dz ⋅=的推广.性质2 设函数()()n i u u u f y n i i ,,2,1,,,21⋯⋯==()()n j y y y x n j j ,,2,1,,,21⋯⋯==ϕ()().0,,,,,,2121≠∂∂=n n x x x y y y J ⋯⋯并且()()()().1,,,,,,,,,,,,21212121=∂∂⋅∂∂n n n n y y y x x x x x x y y y ⋯⋯⋯⋯这个性质可看成是反函数求导公式1=⋅dydxdx dy 在区域 内是 类函数，且nR X ⊂()1C 则存在它们的 类反函数()1C 的推广.−=∂∂x z1.设F ( x , y )具有连续偏导数,,0),(=zyz x F .d z 求解法1 利用偏导数公式.是由方程设),(y x f z =0),(=z yz x F −=∂∂y z 212F y F x F z ′+′′=211F y F x F z ′+′′=y y z x x z z d d d ∂∂+∂∂=z F 11⋅′⋅′1F )(2zx −⋅′+2F )(2zy −zF 12⋅′确定的隐函数,)d d (2121y F x F F y F x z ′+′′+′=则)()(2221zy zx F F −⋅′+−⋅′已知方程故对方程两边求微分:⋅′1F )d d (d 2121y F x F F y F x zz ′+′′+′=)d d (2z z x x z −z zF y F x d 221′+′z y F x F d d 21′+′=解法2 微分法.0),(=z y z x F )d d (2zzy y z −)(d z x ⋅′+2F 0)(d =z y⋅′1F ⋅′+2F 0=)()(x z z x y y ==及,2=−y x e y x .d d xu 求分别由下列两式确定 :又函数),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数 ,2. 设解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得[]321)sin()(1d d f z x z x e f x y f x u x′−−−+′−′=uzy x x x)()(=′+−′+y x y y x y e yx =x e z x z x −−)sin()1(z ′−,x y y −=′)sin()(1z x z x e z x −−−=′,d sin 0t t t e z x x ∫−=(2001考研)解得因此=′z +x F y F y ′⋅0=′⋅+z F z ⋅′⋅+f x )1(y ′+3. 设)(,)(x z z x y y ==是由方程)(y x f x z +=和0),,(=z y x F 所确定的函数 , 求.d d xz解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得f f x f z y f x ′+=′+′⋅′−xz y F z F y F −=′⋅+′⋅)0(≠⋅′+z y F f x F z y x y F f x F F f x F f x f ⋅′+⋅′−′+=)(=∴x zd d1 zy F F f x ′−x y F F f x f f x −′+′−(99考研)解法2 微分法.0),,(),(=+=z y x F y x f x z 对各方程两边分别求微分:化简得消去y d .d d xzy F d 2′+0d 3=′+z F y f x d ′+0d =−z )d (d d d y x f x x f z +⋅′+=0d d d 321=′+′+′z F y F x F x f x f d )(′+x F d 1′可得4.设),,(z y x f u =有二阶连续偏导数, 且,sin 2t x z =,)ln(y x t +=求.,2yx u x u ∂∂∂∂∂解:u z y x tx y x =∂∂x u +′1f (3⋅′f +t x sin 2t x cos 2)=∂∂∂yx u 2+′′12f (13⋅′′f t x cos 2)+′′⎢⎣⎡+32f ⋅′′33f )1cos (2y x t x +⋅)cos sin 2(2y x t x t x ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅′+3f y x t x +⋅1cos 222)( y x x ++y x t +⋅−1sin )(y x +1cos ⋅−t ⎥⎦⎤y x +⋅1y x +⋅1⋯=作业：习题2.4(A)1(2)(3), 2, 5(2);(B)2.。