_第6讲隐函数微分法
《多元隐函数微分法》课件
极值的应用场景
优化问题
极值问题在优化问题中应用广泛，如最小化成 本、最大化收益等。
控制理论
在控制系统中，极值问题用于寻找最优控制策 略，使得系统性能达到最优。
机器学习
在机器学习中，极值问题用于寻找模型参数的最优解，以提高模型的预测精度 和泛化能力。
要点二
详细描述
在工程领域，多元隐函数被广泛应用于各种系统分析，如 控制系统、机械系统、电路系统等。通过多元隐函数微分 法，工程师可以更好地理解和分析系统的动态行为，从而 优化设计。
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多元隐函数微分法
目录
• 多元隐函数与偏导数 • 多元隐函数的求导法则 • 多元隐函数与方程组 • 多元隐函数的极值问题 • 多元隐函数的实际应用案例
01 多元隐函数与偏 导数
多元隐函数的定义
多元隐函数
在数学中，如果一个方程组可以确定一个未知数关于其他未知数的函数，那么 这个函数被称为隐函数。如果这个未知数是多元的，那么这个隐函数就是多元 隐函数。
Hale Waihona Puke 结合牛顿法的思想，利用已知解 的信息构造搜索方向，减少迭代 次数。
方程组的几何意义
01
02
03
曲面交线
当两个曲面在三维空间中 相交时，它们的交线可以 通过求解方程组得到。
曲线切线
对于曲线上的某一点，其 切线的方向可以通过求解 该点附近的方程组得到。
约束优化
通过求解方程组来找到满 足多个约束条件的优化解 。
举例
考虑方程组 (F(x, y, z) = 0) 和 (G(x, y, z) = 0)，如果存在一个函数 (z = f(x, y)) 使得这两个方程同时成立，那么 (z) 就是关于 (x) 和 (y) 的隐函数。
隐函数与隐式微分法
隐函数与隐式微分法隐函数与隐式微分法是微积分中的重要概念和方法，用于研究隐式方程和隐函数的性质。
在本文中，我们将介绍隐函数和隐式微分法的概念、应用以及解题步骤。
一、隐函数的概念隐函数是指由一个或多个变量的方程所确定的函数，其中变量和函数之间的关系方式不是直接给出的。
通常情况下，我们只能通过给定的方程进行求解。
例如，考虑方程 2x + 3y - 4 = 0。
如果我们要确定变量 y 关于 x 的函数关系，即 y = f(x)，那么这个函数关系就是一个隐函数。
二、隐函数的求导方法为了求解隐函数的导数，我们引入了隐式微分法。
隐式微分法是一种通过微分运算求解隐函数导数的方法。
考虑一个隐函数方程 F(x, y) = 0，其中 y = f(x) 是我们要求解的隐函数。
我们可以通过将该方程两边同时对 x 求导，然后解出 dy/dx，从而得到隐函数的导数。
具体求导步骤如下：1. 对隐函数方程 F(x, y) = 0 的两边同时对 x 进行求导；2. 使用链式法则计算 dy/dx；3. 解方程 dy/dx 等于某一变量或常数；4. 得到隐函数的导数 dy/dx 的表达式。
三、隐函数与隐式微分法的应用隐函数和隐式微分法在数学和物理等学科中有着广泛的应用。
以下列举几个应用的例子：1. 曲线的切线和法线：通过求解隐函数的导数，我们可以得到曲线在某一点的切线和法线的斜率，从而帮助我们确定曲线的性质和方程；2. 函数的极值点：通过隐式微分法求解隐函数的导数，可以帮助我们确定函数的极值点；3. 高阶导数的求解：通过不断求导，我们可以得到隐函数的高阶导数；4. 物理学中的应用：例如，波动方程、电磁场方程等常常涉及隐函数和隐式微分法。
综上所述，隐函数与隐式微分法是微积分中的重要概念和方法。
通过隐函数和隐式微分法，我们可以求解隐函数的导数以及应用于各个领域中的问题。
对于理解微积分的基础知识和应用都有着重要的意义。
隐函数的全微分
隐函数的全微分隐函数的全微分是求解具有隐函数形式的函数的微分。
简单来说，就是将隐函数的微分表示为自变量与因变量的微分之间的关系。
假设有一个隐函数的方程为：F(x, y) = 0其中，x是自变量，y是因变量。
对于给定的x值，我们希望求解相应的y值。
假设此时y是关于x的函数，即y = f(x)。
我们可以对该方程两边同时求导，得到：∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0这就是隐函数的微分方程，其中∂F/∂x表示F对x的偏导数，∂F/∂y 表示F对y的偏导数，dy/dx表示y关于x的导数。
现在，我们可以对该方程进行一些重写和推导，以简化它的形式。
首先，我们将dy/dx的项移到等号的另一边，得到：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)这样，我们就得到了隐函数关于x的导数的表达式。
接下来，我们可以将上式两边同时乘以dx，得到：dy = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y) * dx这是一个全微分的表达式，表示隐函数的微分。
在这个表达式中，右边是一个关于x和y的函数，左边是y的微分。
这意味着我们可以通过给定x值，通过“微小”的dx变化得到相应的“微小”的dy变化。
换句话说，我们可以通过微分的方法求解隐函数的导数。
这个全微分的表达式可以进一步简化。
我们定义一个新的符号，即dy和dx的比值，即：ν = dy/dx这个符号表示y关于x的导数。
将这个符号代入到全微分的表达式中，我们可以得到：dy = ν * dx这个表达式表示了y的微分与x的微分之间的关系。
如果我们已经找到了y关于x的导数ν的表达式，我们就可以通过给定x的值和dx的值，求解相应的dy的值。
而这个过程可以通过微分的方法来进行。
总结一下，隐函数的全微分是通过对隐函数的微分方程进行求解，得到了表示隐函数微分的表达式。
这个表达式可以用于求解隐函数关于自变量的导数。
它对于求解一些复杂的隐函数问题，特别是在物理和工程领域中的应用具有重要意义。
.隐函数微分法
第五节 隐函数微分法教学目的：(1) 了解隐函数存在定理的条件与结论；(2) 会求隐函数的导数和偏导数。
教学重点：方程、方程组确定的二元隐函数的偏导数或全微分计算。
教学难点：方程、方程组确定的二元隐函数的偏导数或全微分计算。
教学方法：讲练结合 教学时数：2课时一、一个方程的情形1.(,)0F x y =定理5.1 （隐函数存在定理1） 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内满足： ①具有连续的偏导数(,),(,)x y F x y F x y ， ②00(,)0F x y =， ③00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点00(,)P x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值且具有连续导数的函数()y f x =，它满足条件00()y f x =，并有yx F Fdx dy -=. （1）说明：1）定理的条件是充分的，如方程330y x -=在原点(0,0)不满足条件③, 但它仍能确定唯一单值连续且可导函数y x =2）若③换成00(,)0x F x y ≠，则确定隐函数(),x x y =在点00(,)x y 可导, 且.y xF dxdy F =- 定理的证明从略，仅对公式（1）作如下推导：设方程(,)0F x y =在点00(,)P x y 的某一邻域内确定一个具有连续导数的隐函数()y f x =，则有恒等式 (,())0,F x f x ≡两边对x 求导，得 0,x ydyF F dx +=由00(,)0y F x y ≠，得yx F F dx dy -=。
隐函数的求导公式例１验证方程0122=-+y x 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导且0=x 时1=y 的隐函数()y f x =，并求这函数的一阶和二阶导数在0=x 的值.解：令1),(22-+=y x y x F ，则 ,2x F x =,2y F y =,0)1,0(=F ,02)1,0(≠=y F依定理知方程0122=-+y x 在点)1,0(的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且0=x 时1=y 的函数)(x f y =．函数的一阶和二阶导数为y x F F dx dy -= ,yx -= ,00==x dx dy222y y x y dx y d '--=2y y x x y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=,13y -=.1022-==x dx y d例2 已知x yy x arctan ln22=+，求dxdy .解：令,arctan ln ),(22xy y x y x F -+= 则,),(22y x y x y x F x ++=,),(22yx xy y x F y +-= 所以y x F F dx dy -= .xy y x -+-= 2.(,,)0F x y z =定理5.2（隐函数存在定理2） 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内满足： ①具有连续的偏导数， ②000(,,)0F x y z =， ③000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点000(,,)P x y z 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =，它满足条件000(,)z f x y =，并有z x F F x z -=∂∂， zy F F y z-=∂∂. 定理的证明从略，偏导公式与一元隐函数类似，请自己推导.例3 设04222=-++z z y x ，求22xz∂∂.解：令,4),,(222z z y x z y x F -++=则,2x F x = ,42-=z F z,2z x F F x z z x -=-=∂∂ 22xz ∂∂2)2()2(z x z xz -∂∂+-=2)2(2)2(z z xx z --⋅+-= .)2()2(322z x z -+-=例4 设),(xyz z y x f z ++=，求x z ∂∂，y x ∂∂，zy∂∂. 思路：把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得xz∂∂，把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得x z ∂∂，把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得zy ∂∂. 解：令,z y x u ++= ,xyz v = 则),,(v u f z = 把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得x z ∂∂)1(x z f u ∂∂+⋅=),(xzxy yz f v ∂∂+⋅+ 整理得x z∂∂,1vu v u xyf f yzf f --+=把x 看成y z ,的函数对y 求偏导数得 )1(0+∂∂⋅=y x f u ),(yxyz xz f v ∂∂+⋅+ 整理得yx∂∂ ,v u v uyzf f xzf f ++-= 把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得 )1(1+∂∂⋅=z y f u ),(zyxz xy f v ∂∂+⋅+ 整理得zy ∂∂.1v u vu xzf f xyf f +--=二、方程组的情形(,,)01.(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩为了叙述方便，引入雅可比（Jacobi ）行列式：(,)(,)xy xy F F F G G G x y ∂=∂，(,,)(,,)xy z x y z x y zF F F FGH G G G x y z H H H ∂=∂定理5.3（隐函数存在定理3） 设(,,)F x y z 、(,,)G x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内满足：①具有对各个变量的一阶连续偏导数，②000(,,)0F x y z =，000(,,)0G x y z = ③000(,,)(,)0(,)x y z F G x y ∂≠∂，则方程组 (,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩在点000(,,)P x y z 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数()()y y x z z x =⎧⎨=⎩，它们满足条件00()y y x =,00()z z x =，并有(,)(,),(,)(,)x z x zy z yzF F FG G G dy x z F G F F dxy z G G ∂∂=-=-∂∂(,)(,).(,)(,)yx y x y z yzF F FG G G y x dz F G F F dxy z G G ∂∂=-=-∂∂2. (,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩ 定理5.4（隐函数存在定理4） 设(,,,)F x y u v 、(,,,)G x y u v 在点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内满足：①具有对各个变量的一阶连续偏导数，②0000(,,,)0F x y u v =，0000(,,,)0G x y u v = ③0000(,,,)(,)0(,)x y u v F G u v ∂≠∂，则方程组(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v =⎧⎨=⎩在点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩，它们满足条件000(,)u u x y =,v v =000(,)x y ，并有(,)1,(,)F G u x J x v ∂∂=-∂∂ (,)1(,)F G v x J u x ∂∂=-∂∂， (,)1,(,)F G u y J y v ∂∂=-∂∂ (,)1.(,)F G v y J u y ∂∂=-∂∂定理的证明从略，仅推导偏导数公式如下：（同时也提供了一种比较实用的方法）设方程组(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v =⎧⎨=⎩有隐函数组(,),(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩则 (,,(,),(,))0(,,(,),(,))0F x y u x y v x y G x y u x y v x y ≡⎧⎨≡⎩两边对x 求偏导得 00xu v x uv u v F F F x x u v G G G x x ∂∂⎧+⋅+⋅=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+⋅+⋅=⎪∂∂⎩（这是关于u x ∂∂，v x ∂∂的线性方程组）在点P 的某邻域内，系数行列式0,uvu vF F JG G =≠故得(,)1(,)u F G x J x v ∂∂=-∂∂，(,)1(,)v F G x J u x ∂∂=-∂∂ 同理可得(,)1(,)u F G y J y v ∂∂=-∂∂，(,)1(,)v F G y J u y ∂∂=-∂∂ 例5：设22250,23 4.x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩，，求 , dy dzdx dx .解1：直接代入公式；解2：方程两边对x 求导:2220,1230.dy dz x y z dx dxdy dz dx dx ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩即,23 1.dydz y z x dx dxdy dz dxdx ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩ 23y zJ =32.y z =-在0≠J 的条件下， 1323x z u y z x--∂=∂3,32z x y z -=- 2123y x v y z x --∂=∂2,32x y y z -=- 例6：设0=-yv xu ，1=+xv yu ，求x u ∂∂，y u ∂∂，x v ∂∂和yv∂∂. 解1：直接代入公式；解2：运用公式推导的方法，将所给方程的两边对x 求导并移项得,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂vx v x xu y u x v y x ux x y y x J -= ,22y x +=在0≠J 的条件下，x y y x x v y u x u ----=∂∂,22y x yv xu ++-= xy y x v y ux x v ---=∂∂,22y x xv yu +-= 将所给方程的两边对y 求导，用同样的方法可得,22y x yu xv y u +-=∂∂ .22y x yv xu y v ++-=∂∂ 解3：（用全微分法） 方程组两边求全微分，得00udx xdu vdy ydv udy ydu vdx xdv +--=⎧⎨+++=⎩ 即xdu ydv udx vdyydu xdv vdx udy -=-+⎧⎨+=--⎩解得：22221[()()]1[()()]du xu yv dx xv yu dy x y dv yu xv dx xu yv dy x y ⎧=--+-⎪+⎪⎨⎪=-+--⎪+⎩所以，有22,xu yv u x x y +∂=-∂+ ,22y x yu xv y u +-=∂∂ v x ∂∂,22y x xv yu +-=.22y x yv xu y v++-=∂∂ 内容小结:隐函数的求导法则（分以下几种情况）：1.(,)0F x y =；2.(,,)0F x y z =； 3．(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩ 4.⎩⎨⎧==00)v ,u ,y ,x (G )v ,u ,y ,x (F ． 思考题：已知)zy(z x ϕ=，其中ϕ为可微函数，求?y z yx z x =∂∂+∂∂ 解答：z作业: 练习册P16---P19.。
5-6隐函数的微分法.
第五章一、由一个方程确定的隐函数的微分法二、由方程组确定的隐函数 的微分法隐函数的微分法第三节作业: Page46-47:6,7,8,9,11.),(.1=y x F 一、由一个方程确定的隐函数的微分法问题的提出：),(=y x F )(x f y =？例如, 方程02=++C y x 当 C < 0 时, 能确定隐函数;当 C > 0 时, 不能确定隐函数;问题1 在何种条件下，能确定一个隐函数？Ix x f x F ∈≡,0))(,(0),(=y x F )(x f y =在方程（或方程组）能确定隐函数时, 即问题2 在何种条件下，存在？)(x f '?d d =xy 求导方法？ 求导公式？定理5.3.2 设函数),(00y x ),(y x F ;0),(00=y x F 则方程在点0),(=y x F 确定一个函数 y = f (x ) ,,)(00x f y =并有连续导数yxF F x y -=d d —— 隐函数求导公式① 具有连续偏导数;的某邻域内能唯一在点的某邻域内满足),(00≠y x F y ②③满足条件),(00y x 注意公式里的负号))(,(≡x f x F 两边对 x 求导xyy F x F d d ∂∂+∂∂yxF F x y -=d d ,0),()(所确定的隐函数为由方程设==y x F x f y 则=u 0≡=x u d d uxx y≠y F 在连续知及由y y F y x F 0),(00≠的某邻域内),(00y x 求导公式推导如下：若F ( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,2y x y x y x x F F F F F --=3222yxy y y x y x y x x F F F F F F F F +--=yx F F -)(y x F F y -∂∂+2y y y x y y x F F F F F --二阶导数 :)(yxF F x -∂∂=x yxx y d d 则还有)(y xF F -求二阶导数时，要注意y 是x 的函数！)(d d d d 22y x F F x xy -=已知 x y y x arctan ln 22=+，求 x y d d 及 22d d xy. 解(方法1) 公式法令则xyyxy x F arctanln),(22-+=22221),(y x x y x F x +⋅=,arctan )ln(2122xy y x -+=22)(1xy x y+--例1,22y x y x ++=,),(22y x yx y x F x ++=,),(22yx xy y x F y +-=yx F F x y -=∴d .x y yx -+-=xyx)(d d d d 22y x F F x x y -=∴)(d d xy y x x -+-=2)()1d d )(())(d 1(x y x yy x x y y --+--+-=x d x y d .)()(2322y x y x -+=求二阶导数时，要注意y 是x 的函数！(方法2) 复合函数求导法xyy x arctanln 22=+x y y x arctan )ln(2122=+得求导两端同时对,x )()(112221222'⋅+=+'+⋅x y xy y x y y x 2x y x y -',y y x y y x -'='+.d d yx yx x y -+=∴用此法求导数时，要注意y 是x 的函数！(方法3) 全微分法xy y x arctan )ln(2122=+两端同时取全微分，得)d()(11)d(12122222x y xy y x y x +=++⋅2222d d )(11d 2d 221x xy y x xy y x y y x x -⋅+=++⋅.d d y x y x x y -+=解得一阶全微分形式不变性，定理5.3.3),,(000z y x ),,(z y x F 若z y z x F F y z F F x z -=∂∂-=∂∂,的某邻域内具有连续偏导数 ,则方程0),,(=z y x F 在点),,(000z y x 并有连续偏导数,),(000y x f z =唯一确定一个函数 z = f (x , y ) , 满足0),,(000=z y x F 0),,(000≠z y x F z ① 在点满足:②③的某一邻域内可注意公式里的负号),,(.2=z y x F)),(,,(≡y x f y x F 两边对 x 求偏导数x F zx F F x z -=∂∂z y F F y z -=∂∂同样可得,0),,(),(所确定的隐函数是由方程设==z y x F y x f z 则z F +x z ∂∂0≡连续知：及由z z F z y x F 0),,(000≠0),,(000≠z F z y x 某邻域内的在求导公式推导如下：注:x F 暂视为常数，中的将z y z y x F ,),,(求偏导数；对x :z F 暂视为常数，中的将y x z y x F ,),,(求偏导数；对z 中，在公式zx F F x z -=∂∂例2解.,333xyxzzaxyzz及求设=-.有三种方法求一阶偏导数x z复合函数求导法xzz∂∂23解得.2xyzyzxz=∂∂公式法令(),3,,33axyzzzyxF--=(方法1)(方法2)yz3-,03=∂∂-xzxy用此法求导时，要注意z是x, y的函数！(),3,,33a xyz z z y x F --=则=x F ,3yz -=z F xy z 332-故=∂∂x z 全微分法,d )3d(33a xyz z =-0)d(3d 3=-xyz z z z d 32解得.2xy z yz --(方法3)求F x 时，要视y ,z 为常数(z 不是x ,y 的函数！求F z 时，要视 x , y 为常数！=z d ,d d 22y xy z xz x xy z yz -+-x yz d (3-y xz d +,0)d =+z xy故=∂∂x z ,2xyz yz -=∂∂y z xy z xz -2,xy z 再求2z y x ∂=∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂xy z yz y 2()22 xy z -=代入得及把y z x z ∂∂∂∂22.z z y x z xy ∂=∂∂-求二阶导数时，要视z 是x, y 的函数！⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z y z ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂x y z z 2yz -()xy z -2z x F F x z -=∂∂ -=∂∂x z 例3-1设F ( u , v )具有连续偏导数,,0),(=z y z x F .d z 求解（方法1） 先求偏导数是由方程设),(y x f z =0),(=z y z x F -=∂∂y z 212F y F x F z '+''=211F y F x F z '+''=y y z x x z z d d d ∂∂+∂∂=z F 11⋅'⋅'1F )(2z x -⋅'+2F )(2zy -zF 12⋅'确定的隐函数,)d d (2121y F x F F y F x z '+''+'=则)()(2221z y z x F F -⋅'+-⋅'已知方程故对方程两边求全微分:⋅'1F )d d (d 2121y F x F F y F x z z '+''+'=)d d (2z z x x z -z z F y F x d 221'+'-0d d 21='+'+z y F x F （方法2） 全微分法0),(=z y z x F )d d (2zz y y z -)(d z x ⋅'+2F 0)(d =zy ⋅'1F ⋅'+2F 0=二、由方程组确定的隐函数的微分法⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F ⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u 由 函数F 、G 的偏导数组成的行列式v u v u G G F F v u G F J =∂∂=),(),(称为函数F ，G 的雅可比( Jacobi )行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,即定理5.34,0),,,(0000=v u y x F 的某一邻域内具有连续偏设函数),,,(0000v u y x P ),,,(,),,,(v u y x G v u y x F 则方程组0),,,(,0),,,(==v u y x G v u y x F ③),,,(0000v u y x 在点① 在点②的某一邻域内能唯一确定满足:0),(),(≠∂∂=Pv u G F P J ;0),,,(0000=v u y x G 导数；,),(000y x u u =),,(000y x v v =一对满足条件),(),(1v x G F J x u ∂∂-=∂∂),(),(1v y G F J y u ∂∂-=∂∂v v vu v u G F G G F F 1-=vv v u v u G F G G F F 1-=x x G F y y G F 具有连续偏导数的函数),,(,),(y x v v y x u u ==且有),(),(1x u G F J x v ∂∂-=∂∂),(),(1y u G F J y v ∂∂-=∂∂u u vu v u G F G G F F 1-=u u vu v u G F G G F F 1-=x x G F y y G F 公式推导如下：⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F ,),(),(⎩⎨⎧==y x v v y x u u⎩⎨⎧≡≡0)),(),,(,,(0)),(),,(,,(y x v y x u y x G y x v y x u y x F 则恒等式两边对x 求偏导数得⎩⎨⎧x u ∂∂⋅x v ∂∂⋅x u ∂∂⋅x v ∂∂⋅x F u F +v F +0=x G u G +v G +0=⎩⎨⎧x F -=x u ∂∂⋅x v ∂∂⋅u F v F +x G -=x u ∂∂⋅xv ∂∂⋅u G v G +即,,的线性方程组这是关于xv x u ∂∂∂∂,0≠=vu v u G G F F J 由定理条件知，在点 P 的某邻域内系数行列式故得⎩⎨⎧x F -=x u ∂∂⋅x v ∂∂⋅u F v F +x G -=x u ∂∂⋅x v ∂∂⋅u G v G +即,),(),(1v x G F J ∂∂-=JG G F F x u v x vx --=∂∂.),(),(1x u G F J x v ∂∂-=∂∂同理可得,),(),(1v y G F J y u ∂∂-=∂∂.),(),(1y u G F J y v ∂∂-=∂∂注情形二的特例：若方程组,0),,(=zyxF),,(=zyxG满足定理8.9的条件,则⎩⎨⎧==),,(),,(zyxGzyxF⎩⎨⎧==)()(xzzxyy函数个数=方程个数;自变量个数=方程组所含变量个数–方程个数.⎩⎨⎧x y d d ⋅x z d d ⋅xy d d ⋅x F y F +z F +0=x G y G +z G +0=x z d d ⋅⎩⎨⎧≡≡0))(),(,(0))(),(,(x z x y x G x z x y x F ⎩⎨⎧x y d d ⋅x z d d ⋅x F -=y F z F +xy d d ⋅x G -=y G z G +x z d d ⋅即xy d d ⋅x G -=y G z G +x z d d ⋅xy d d ⋅x z d d ⋅x F -=y F z F +=x y d d x F -x G -zF zG yF yG z F z G J 1-=x F x G z F z G J 1-=,),(),(z x G F ∂∂.),(),(1d d x y G F J x z ∂∂-=例4-1解（方法1） .,,,,0,02222y v y u x v x u v u xy uv y x ∂∂∂∂∂∂∂∂⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+求设x 2y ⎪⎩⎪⎨⎧ 公式法略.（方法2）复合函数求导法对每一个方程两边关于x 求偏导数,得.时，解此方程组可得当022≠+v u v x u ∂∂-,0=∂∂-x v u x u u ∂∂-2.02=∂∂+xv v=∂∂x u ,)(2422v u yu xv ++=∂∂x v .)(2422v u yv xu +-=∂∂y u ,)(2422v u xu yv ++=∂∂y v .)(2422v u xv yu +-类似地对每个方程的两边关于y 求偏导数, 可得（方法3） 全微分法x x d 2⎪⎩⎪⎨⎧x y d ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+,0,02222v u xy uv y x u v d -y y d 2+,0d =-v u u u d 2-y x d +,0d 2=+v v 时取全微分，得对每一个方程的两端同解得=u d ,)(2422v u yu xv ++=∂∂x v ,)(2422v u yv xu +-=∂∂y u ,)(2422v u xuyv ++=∂∂y v .)(2422v u xvyu +-=∂∂x ux v u yuxv d )(2422++,d )(2422y v u xu yv +++=v d x v u yv xu d )(2422+-.d )(2422y v u xvyu +-+于是例5.d d ,d d ,d d ,2032,2222222x z x z x y z y x y x z 求设⎪⎩⎪⎨⎧=+++=分析本题目方程组中包含两个方程，由题目知 y 、z 是函数,故 y, z 均是由故有两个函数.x 是自变量,方程组确定的自变量x 的一元函数.函数个数=方程个数;自变量个数=方程组所含变量个数–方程个数2)31( z +=x z d d 解得=x y d d ,)31()61(z y z x ++-=x z d d 22d d xz 求的两端同时关于对方程组中每一个方程x .)31(3)31(3222z x z +-+=x 2⎪⎩⎪⎨⎧解导数得,⎪⎩⎪⎨⎧=+++=,2032,22222z y x y x z )31( z x +=x -+)31(z y 2+y 4+z 6+.0=x d d x 2=,d d x y x y d d xz d d x zd d 3⋅求二阶导数时，要注意y 是x 的函数！.31z x+.d d ,0),(,sin ,0),,(),,,(2xuz φφf x y z e x φz y x f u y求且，具有一阶连续偏导数设≠∂∂===例6解x zz f x y y f x f x u d d d d d d ∂∂+⋅∂∂+∂∂=,cos d d x x y =得求导数，两边对由,0),,(2x z e x y=ϕ0d d d d 2321='+⋅'+⋅'xz x y e x y ϕϕϕu y x z x x y x于是可得,)cos 2(1d d 2sin 13ϕϕϕ'⋅⋅+''-=x e x x z x .)cos e 2(1)(cos 2sin 13zf x x y f x x f x ∂∂'⋅⋅+''-∂∂+∂∂=ϕϕϕxz z f x y y f x f x u d d d d d d ∂∂+⋅∂∂+∂∂=故例70),,(),(),,(===t y x F y x t t t x f y 由其中设有一阶连续的偏导数，所确定，F f ,.d d xy求解⎩⎨⎧==0),,(),(t y x F t x f y ⎩⎨⎧==)()(x t t x y y ,0)](),(,[)](,[)(⎩⎨⎧≡≡x t x y x F x t x f x y ⎪⎩⎪⎨⎧⋅+=x t f f x yt x d d d d 0d d d d =⋅+⋅+xt F x y F F t y x （方法1）由方程组确定的隐函数求导法y , t 都是x 的函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅+⋅=⋅-x t y x t F xt F x y F f xt f x y d d d d d d d d 即=∴xy d d t x t x F F f f --tyt F F f -1.yt t x t t x F f F F f F f +-=（方法2）全微分法，得由⎩⎨⎧==0),,(),(t y x F t x f y ⎩⎨⎧==0)],,(d[),(d d t y x F t x f y ⎪⎩⎪⎨⎧+=t f x f y t x d d d ⎩⎨⎧-=+=-x F t F y F x f t f y x t y x t d d d d d d =∴x y d d .yt t xt t x F f F F f F f +-0d d d =++t F y F x F t y x（方法3）复合函数求导法fx tx yx),,(t x f y ==x yd d t x f f +所确定由0),,(),(==t y x F y x t t ty tx F F y tF F x t-=∂∂-=∂∂∴,dd ⋅)d d (x y y t x t ⋅∂∂+∂∂⋅确定由其中设0),,(),(),,(===t y x F y x t t t x f y 故⋅+=t x f f x y d d )d d (xyF F F F ty tx ⋅--tx t x t y t F F f f x y F F f -=+d d )1(故⋅+=t x f f x y d d )d d (xy F F F F t y t x ⋅--=∴x yd d .yt t x t t x F f F F f F f +-内容小结1. 隐函数存在定理2. 隐函数求导（偏导数）的方法方法1复合函数求导法;方法2 公式法;方法3全微分法2.设函数在点(u ,v ) 的某一),(,),(v u y y v u x x ==0),(),(≠∂∂v u y x 1) 证明函数组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x ( x, y ) 的某一邻域内.),(,),(y x v v y x u u ==2) 求),(,),(y x v v y x u u ==解 1) 令0),(),,,(=-≡v u x x v u y x F 0),(),,,(=-≡v u y y v u y x G 对 x , y 的偏导数.在与点 (u, v ) 对应的点邻域内有连续的偏导数,且 唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数思考题⎩⎨⎧≡≡)),(),,(()),(),,((y x v y x u y y y x v y x u x x ①式两边对 x 求偏导数, 得⋅∂∂=u y 0x v ∂∂x u ∂∂=1x u ∂∂xv ∂∂⋅∂∂u x ⋅∂∂+v x ⋅∂∂+v y 则有),(),(v u G F J ∂∂=,0),(),(≠∂∂=v u y x 由定理 3 可知结论 1) 成立.2) 求反函数的偏导数.①②,0≠J 注意v y v x J ∂∂∂∂011=∂∂x u =∂∂x v ,1v y J ∂∂=u y J ∂∂-=1011uy u x J ∂∂∂∂从方程组②解得同理, ①式两边对 y 求偏导数, 可得,1v x J y u ∂∂-=∂∂ux J y v ∂∂=∂∂1本题的应用: 计算极坐标变换θr y θr x sin ,cos ==的逆变换的导数 .=∂∂=),(),(θr y x J x r ∂∂=∂∂x θ同样有22y x y y r +=∂∂22yx x y θ+=∂∂所以由于θr r cos 1=θr sin 1-=θr θθr θcos sin sin cos -r =θy J ∂∂=1θcos =22yx x +=r y J ∂∂-122yx y +-==∂∂x u x v ∂∂v y J ∂∂1uy J ∂∂-=1r r θθ='z +x F y F z F +⋅'⋅+f x )1(y '+例5-1 设)(,)(x z z x y y ==是由方程)(y x f x z +=和0),,(=z y x F 所确定的函数 , 求.d d xz 解 （方法1）分别在各方程两端对 x 求导, 得f f x f z y f x '+='+'⋅'-x z y F z F y F -='⋅+'⋅)0(≠⋅'+z y F f x F zy x y F f x F F f x F f x f ⋅'+⋅'-'+=)(=∴x z d d 1 zy F F f x '-x y F F f x f f x -'+'-(99考研)y '⋅z '⋅0=备用题（方法2）全微分法),,(),(=+=z y x F y x f x z 对各方程两边分别求全微分:化简得消去y d .d d xz y F d 2'+0d 3='+z F y f x d '+0d =-z )d (d d d y x f x x f z +⋅'+=0d d d 321='+'+'z F y F x F x f x f d )('+x F d 1'可得)()(x z z x y y ==及,2=-y x e y x .d d xu 求分别由下列两式确定 :又函数),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数 , 设解 每个方程两边都对 x 求导, 得z f y f f x u '⋅'+'⋅'+'=321d d u z y x x x 0)()(='+-'+y x y y x y e y x =x e z x z x --)sin()1(z '-,x y y -=')sin()(1z x z x e z x ---=',d sin 0t t t e z x x ⎰-=(2001考研)解得因此例7-1[]321)sin()(1f z x z x e f x y f x '---+'-'=⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 解22111b a b a x =2211b c b c 2211c a c a 22111b a b a y =二元线性代数方程组解的公式（Cramer 法则）雅可比(1804 – 1851)德国数学家. 他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独立地奠定了椭圆函数论的基础. 他对行列式理论也作了奠基性的工作. 在偏微分方程的研究中引进了“雅可比行列式”, 并应用在微积分中.他的工作还包括代数学, 变分法, 复变函数和微分方程, 在分析力学, 动力学及数学物理方面也有贡献 . 他在柯尼斯堡大学任教18年, 形成了以他为首的学派.。
隐函数的微分法范文
隐函数的微分法范文隐函数微分是微积分中重要的概念之一，它是研究隐函数关系的变化率和相关性的工具。
在此文章中，我将详细介绍隐函数微分的定义、求导的方法以及应用示例等内容，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
隐函数微分的定义：隐函数微分是指通过已知函数关系式中的隐函数，来求解其导数或微分的过程。
在数学中，一个函数关系式可以用x和y表示，当其中的y值无法用x表示时，就称为隐函数关系。
对于这种情况，我们可以利用隐函数微分来求解其导数和微分。
求导的方法：要求解隐函数的导数，首先需要对函数关系式进行微分。
常见的求导方法包括利用链式法则和梯度下降法。
1.链式法则：当隐函数关系表达式中包含了多个函数时，可以利用链式法则来求解其导数。
链式法则可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx其中，u是中间变量。
2.梯度下降法：梯度下降法是通过最小化损失函数来求解参数的一种优化方法。
在隐函数微分中，我们可以利用梯度下降法来求解函数关系中的参数。
应用示例：为了更好地理解隐函数微分的应用，下面将举一个具体的例子。
假设有一个函数关系表达式为：x^2+y^2=r^2，其中r为半径。
我们需要求解与x相关的函数y的导数dy/dx。
首先，对表达式两边同时进行微分：2x + 2y * dy/dx = 0。
然后dy/dx = -2x / 2y = -x / y。
这样，我们就得到了函数关系中与x相关的函数y的导数dy/dx的表达式。
同时，我们也可以利用隐函数微分来计算函数关系中的其他相关性质，比如一阶偏导数、二阶偏导数等。
总结：隐函数微分是研究隐函数关系的变化率和相关性的重要工具。
它可以帮助我们求解隐函数中的导数和微分，以及其他相关性质。
在实际应用中，隐函数微分有着广泛的应用，涉及到数学、物理、工程等多个领域。
通过掌握隐函数微分的方法和应用技巧，我们可以更好地理解和分析问题，进而解决实际问题。
9-6 隐函数的微分法
当 Fz( x, y, z) 0 ，即 z 0 时，由式（9.6.3）得 在
z 表达式两边同时对 x 求偏导数，并注意到 z z( x, y) 为 x, y 的二元 x
函数，得
z z ( x z ) z1 2 z x z x ． 2 2 3 x (x z ) ( x z)
本定理证明的理论性较强，故此我们仅推导式(9.6.1)．
29-3
由定理 9.6.1 的结论（1）知
F ( x, y( x)) 0, x U ( x0 ) ．
根据多元复合函数的求导链公式法则（见右） ，在上式两边同时 对 x 求导得
dy Fx( x, y) Fy( x, y) 0 . dx
于变量 x, y 的雅可比行列式，记为
(u , v ) ，即 ( x, y )
u (u , v) x ( x, y ) v x
u y ． v y
(9.6.4)
29-14
同理，如果三元函数 u u( x, y, z), v v( x, y, z), w w( x, y, z) 具有 一阶连续偏导数，则函数 u, v, w关于变量x, y, z 的雅可比行列式为
Fx( x, y, z ) Fz( x, y, z )
z z 0, Fy( x, y, z) Fz( x, y, z) 0 ． x y
因为 Fz( x, y, z) 连续，且 Fz( x0 , y0 , z0 ) 0 ，所以在点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 的某个邻 域内 Fz( x, y, z) 0 ，于是得
z Fx( x, y, z ) , x Fz( x, y, z ) Fy( x, y, z ) z ． y Fz( x, y, z )
隐函数微积分
隐函数
定义：如果方程f(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函 数是隐函数。函数 : 在某一变化过程中，两个变量x、y，对于某一范 围内的x的每一个值，y都有确定的值和它对应，y就是x的函数。这 种关系一般用y=f(x)来表示。显函数是用y=f(x)来表示的函数，显函 数是相对于隐函数来说的。
定理1
设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续偏 导数，且F（x0，y0）=0；Fy（x0，y0）≠0，则方程 F(x,y)=0在点（x0，y0）的某一邻域内有恒定能唯一 确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x)，它满 足条件y0=f(x0),并有dy/dx=-Fx/Fy，这就是隐函数的 求导公式。
定理2
设函数F(x,y,z) 在点P(x0,y0,z0) 的某一邻域内具有连 续偏导数，且 F(x0,y0,z0)=0,Fz（x0，y0，z0）≠0， 则方程F(x,y,z)=0在点 (x0,y0,z0)的某一邻域内恒能 唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 z=f(x,y)，它满足条件z0=f(x0,y0), 并有αz/αx=-Fx/Fz; αz/αy=-Fy/Fz;