多元函数及隐函数求导讲解
讲义-9.3-多元复合函数与隐函数求导
9.3 .
多元复合函数与隐函数的偏导数 1. 一个方程所确定的隐函数可能是
13
F (x, y, z ) = 0 2. 方程组所确定的隐函数可能是
F (x, y, z ) = 0
G(x, y, z ) = 0
以下分别针对不同的隐函数方程形式讨论其中的求导问题： 隐函数存在定理 I：若函数 F (x, y ) 满足： (1) F (x0 , y0 ) = 0
′ 2. 设 f (x, y ) 一阶偏导连续，f (1, 1) = 1, f ′ x (1, 1) = 2，f y (1, 1) = 3，又 ϕ(x) = 3 dϕ (x) f (x, f (x, x))，求 。 dx x=1
NUDT-2017-S3
F (x, y, z ) = 0 G(x, y, z ) = 0 , ,
′ 例：设由 ln(xz ) + arctan(yz ) = 0 可确定隐函数 z = z (x, y )，求 zx 。
f (x, f (x, f (x, x)))，求 ϕ(1) 与 ϕ′ (1)。 例：设 u = u(x) 由 u = f (x, y ), g (x, y, z ) = 0, h(x, z ) = 0
.
注：以上的求法法则可以形象地解释为： “嵌套”→ 乘积， “并列”→ 相加 ∂z ∂z 例：对下列函数分别求 和 ∂x ∂y (1) z = eu cos v, u = 2x − y, v = xy (2) z = f (3x + 2y, x2 + y 2 )
∂z ∂z 和 ∂x ∂y ∂z ∂z 例：设 z = f (x/y )，其中 f 可微，证明：x +y =0 ∂x ∂y 例：设 z = xy + xf (x/y )，其中 f 可微，证明： 例：设 z = f (x, x + y, x/y )，其中 f 可微，求 x ∂z ∂z +y = xy + z ∂x ∂y dz dt
多元函数 隐函数求导
多元函数隐函数求导
隐函数求导是微积分中的一个重要概念，它是指在多元函数中，存在一些变量是由其他变量隐式定义的，而求这些变量的导数就是隐函数求导。
在一元函数中，我们可以通过对函数直接求导来得到导数，但在多元函数中，由于存在多个自变量，直接求导不是那么容易。
因此，我们需要使用隐函数求导的方法来解决这个问题。
在多元函数中，如果存在一个变量是由其他变量隐式定义的，那么我们可以通过对这个多元函数进行求导，来得到这个变量的导数。
这个方法就是隐函数求导。
具体来说，我们可以通过偏导数的方法来求解隐函数的导数。
偏导数是指在多元函数中，将其他变量视为常数，对某一个变量进行求导。
因此，我们可以通过对多元函数进行偏导数求解，来得到隐函数的导数。
在实际应用中，隐函数求导可以用于求解各种物理问题，例如求解曲线的切线方程、求解曲面的法线方程等。
此外，在经济、工程、生物等领域中，隐函数求导也有着广泛的应用。
隐函数求导的方法并不难，但需要注意的是，我们需要对多元函数进行适当的变形，以便于使用偏导数的方法来求解隐函数的导数。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题来选择适当的方法，以便于求解出我们所需要的隐函数导数。
隐函数求导是微积分中的一个重要概念，它可以用于求解各种实际问题。
在学习隐函数求导时，我们需要掌握基本的方法和技巧，并灵活运用这些方法来解决具体的问题。
多元函数的隐函数与参数方程求导
多元函数的隐函数与参数方程求导隐函数求导是微积分中常用的求导方法之一，它用于求解含有多个未知变量的方程。
而参数方程则是将一个变量表示为另外两个变量的函数，通常用于描述曲线或曲面。
一、多元函数的隐函数求导对于一个含有多个未知变量的方程，如果我们无法将其中一个变量表达为其他变量的函数形式，就需要使用隐函数求导的方法。
以二维平面上的函数为例，假设有一个方程 f(x, y) = 0，我们想要求解关于y 的导数dy/dx。
首先，我们需要确保该方程存在一个解y=f(x)。
求解步骤如下：1. 对方程两边同时对 x 求导，得到：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx = 02. 将这个方程关于 dy/dx 进行变形，得到 dy/dx 的表达式：dy/dx = - (∂f/∂x) / (∂f/∂y)这样，我们就得到了多元函数隐函数的导数表达式。
二、多元函数的参数方程求导参数方程是将一个变量（通常为 t）表示为另外两个变量（通常为 x 和 y）的函数形式。
在参数方程中，我们可以通过对 t 的求导来求解 x和 y 的导数。
以二维平面上的函数为例，假设有一个由参数方程描述的曲线：x = f(t)y = g(t)我们要求解这条曲线上各个点的导数 dy/dx。
求解步骤如下：1. 先对 x 和 y 分别关于 t 求导，得到导数 dx/dt 和 dy/dt。
2. 计算 dy/dx：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)这样，我们也可以得到多元函数参数方程的导数表达式。
综上所述，多元函数的隐函数和参数方程求导的步骤和原理是类似的，只是需要根据具体的函数形式进行求解。
总结：多元函数的隐函数求导和参数方程求导是微积分中常用的求导方法。
对于隐函数求导，需要通过对方程两边同时对某个变量求导，并变形后得到导数表达式。
而对于参数方程求导，需要分别对 x 和 y 关于参数求导，并计算 dy/dx 的表达式。
这两种方法在解决多元函数的导数问题时非常有用，能够帮助我们更好地理解函数的性质和变化趋势。
多元复合函数与隐函数求导
2
t cos t
dz , 求全导数 dt
u 2v
解：令 u = sint , v = cost , 则z = e
du dv z z u 2v 2 u 2v = + = 2uve cost + u e ( - sint ) dt dt dt u v
= 2e
=e
sin 2 tcost
sintcos t - e
v = ψ ( x + x , y ) — ψ ( x , y )
在相应点(u,v)处相应于 的全增量 处相应于x的全增量 函数 z = f ( u,v ) 在相应点 处相应于
z = f ( u + u , v + v ) — f ( u , v )
有连续的偏导数， 由于 z = f ( u,v ) 有连续的偏导数，所以
第四节 多元复合函数 与隐函数求导
一、多元复合函数的求导法则 二、隐函数的微分法
一、多元复合函数的求导法则
以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。 以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。 又都是x，y的函数 又都是 的函数 设函数 z = f ( u,v ) ，而u，v又都是 u = ( x , y ), v = ψ ( x , y ), 于是
-
2 )
对于具有三个中间变量的函数 z = f ( u , v , w ), 其中 u，v，w分别是 ，y的函数，有 分别是x， 的函数 的函数， ， ， 分别是
z z u z v z w = + + x u x v x w x z z u z v z w = + + y u y v y w y
z y
当然我们同理也可求 得
多元函数隐函数求导
多元函数隐函数求导一、前言多元函数隐函数求导是微积分中的重要内容，也是高等数学的难点之一。
本文将详细介绍多元函数隐函数求导的相关知识。
二、基本概念1. 多元函数多元函数是指有两个或两个以上自变量的函数，例如：$f(x,y)$。
2. 隐函数隐函数是指由方程确定的关系式中，其中一个变量可以表示为其他变量的表达式，例如：$x^2+y^2=1$ 中的 $y$ 可以表示为$y=\sqrt{1-x^2}$。
3. 隐函数定理隐函数定理是指在一定条件下，可以通过对方程进行求导来求解出隐含在方程中的某个变量关于另一个变量的导数。
三、求解方法1. 基本步骤对于一个由 $n$ 个自变量和 $m$ 个因变量组成的方程组：$$\begin{cases}F_1(x_1,x_2,\cdots,x_n,y_1,y_2,\cdots,y_m)=0 \\F_2(x_1,x_2,\cdots,x_n,y_1,y_2,\cdots,y_m)=0 \\\cdots \\F_m(x_1,x_2,\cdots,x_n,y_1,y_2,\cdots,y_m)=0\end{cases}$$如果其中某个因变量 $y_i$ 可以表示为自变量$x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的函数，即：$$y_i=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$$则称 $y_i$ 为隐函数。
求解隐函数的一般步骤如下：（1）对方程组中的每个方程都求偏导数；（2）将求得的偏导数代入到雅可比矩阵中；（3）计算雅可比矩阵的行列式，如果不等于零，则可以通过隐函数定理解出隐函数关于某个自变量的导数。
2. 具体例子例如，对于方程组：$$\begin{cases}x^3+y^3+z^3=6xyz \\x+y+z=4\end{cases}$$我们可以将其中一个因变量 $z$ 表示为自变量 $x,y$ 的函数。
首先对方程组中的每个方程都求偏导数：$$\begin{cases}3x^2+3y^2\frac{\partial y}{\partial x}+3z^2\frac{\partialz}{\partial x}=6yz+6xy\frac{\partial y}{\partial x} \\3x^2\frac{\partial x}{\partial y}+3y^2+3z^2\frac{\partialz}{\partial y}=6xz+6xy\frac{\partial x}{\partial y} \\1+\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=0\end{cases}$$将求得的偏导数代入到雅可比矩阵中：$$J=\begin{pmatrix}3x^2+3y^2\frac{\partial y}{\partial x}+3z^2\frac{\partialz}{\partial x} & 6xy & 6xz \\6xy & 3x^2\frac{\partial x}{\partial y}+3y^2+3z^2\frac{\partial z}{\partial y} & 6yz \\1+\frac{\partial z}{\partial x} & 1+\frac{\partial z}{\partial y} & 0 \end{pmatrix}$$计算雅可比矩阵的行列式：$$|J|=18xyz-27x^2y^2z-27xy^2z^2+4x^3z^3+4y^3z^3$$如果 $|J|\neq0$，则可以通过隐函数定理解出隐函数关于某个自变量的导数。
多元函数及隐函数求导
多元函数的极值定义与性质
极值性质
极值点不一定是函数取得 最大值或最小值的点；
极值点是函数值改变方向 的点；
极值点可能是连续函数的 不连续点。
多元函数的最值定义与性质
• 最值定义：设函数$f(x,y)$在闭区域$\Omega$上有定义，如 果存在点$(x_0,y_0) \in \Omega$，使得对于所有$(x,y) \in \Omega$都有$f(x,y) \leq f(x_0,y_0)$（或$f(x,y) \geq f(x_0,y_0)$），则称$f(x,y)$在区域$\Omega$上取得最大值 （或最小值）。
生物问题
在工程学中，隐函数可以用来描 述机械运动、流体动力学等物理 现象。
在生物学中，隐函数可以用来描 述种群增长、生态平衡等生物现 象。
03
高阶导数与全微分
高阶导数的概念与性质
概念
高阶导数是指一个函数在某一点的导数，对其再次求导，得到的二阶导数、三阶导数等 统称为高阶导数。
性质
高阶导数的计算涉及到多个求导法则，如链式法则、乘积法则、商的求导法则等。高阶 导数的计算可以揭示函数的局部性质，如拐点、极值点等。
全微分的概念与性质
概念
全微分是指一个多元函数在某一点的微 分，它表示函数在该点附近的小变化。 全微分等于各个偏导数与相应变量的乘 积之和。
VS
性质
全微分具有线性性质，即两个函数的和或 差的微分等于它们微分的和或差。全微分 还具有连续性，即如果函数在某点可微， 则其全微分在该点连续。
全微分在实际问题中的应用
多元函数及隐函数求导
• 多元函数导数与偏导数 • 隐函数求导法则 • 高阶导数与全微分 • 多元函数极值与最值 • 多元函数及隐函数求导的应用实例
多元复合函数与隐函数求导
一、多元复合函数的求导法则
二、隐函数的微分法
一、多元复合函数的求导法则
以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。
设函数 z = f (u,v )，而u，v又都是x，y的函数
u = ( x, y ),v = ( x, y ), 于是
z = f [( x, y ), ( x, y )]
两边对x求导得
∂F ∂x
+
∂F ∂y
dy dx
= 0,即Fx′+ Fy′ddyx
=0
再由已知条件有
dy dx
=
-
Fx′ Fy′
例9 求由方程 e y - xy = 0所确定的隐函数y=f(x)
的导数。
解： 设 F( x, y ) = ey - xy, 则 Fx′= - y, Fy′= ey - x,
= 2 xfu′+ ye xy fv′+ f w′cos( x + y )
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w ∂y = ∂u ∂y + ∂v ∂y + ∂w ∂y
= fu′• ( - 2 y ) + fv′• x • exy + fw′• cos( x + y )
= - 2 yfu′+ xe xy fv′+ f w′cos( x + y )
（2）z = f ( u,v ),其中u = ( x ),v = ( x, y ),则
∂z ∂z du ∂z ∂v ∂x = ∂u • dx + ∂v • ∂x ∂z ∂z ∂v ∂y = ∂v • ∂y
例4
设函数
z
=
ln(tan
多元复合函数求导法则和隐函数求导公式
z
= e [ y ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
xy
u x yx
v y
∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂ y ∂u ∂ y ∂v ∂ y = e u sin v ⋅ x + e u cos v ⋅1 = e [ x ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
4
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
dz . 例3. 设 z = u v + sin t , u = e , v = cos t , 求全导数 dt d z ∂ z du ∂ z dv ∂ z + = ⋅ + ⋅ 解: z d t ∂u d t ∂v dt ∂t
t
= v e t− u sin t + cos t = e t (cos t − sin t ) + cos t
u
x y z
= 2 x (1 + 2 x sin y ) e
2
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
∂u ∂ f ∂ f ∂ z + ⋅ = ∂ y ∂ y ∂z ∂ y
x
cos y
y
= 2 ye
x2 + y2 + z 2
+2 z e
x2 + y2 + z 2⋅ x 2
= 2 ( y + x sin y cos y ) e
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
y = f (u ), u = ϕ ( x)
dy dy d u 求导法则 = ⋅ dx du dx 微分法则 d y = f ′(u ) d u= f ′(u ) ϕ ′ ( x) d x
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?z ? ?f ??u ? ?f ??v ?y ?u ?y ?v ?y
? e? arctan v ?2y ? ue ?aarctan v ?(? 1 ) ?1 1? v2 x
?
? arctan
e
y x
?[2y ?
(x2
?
y
2
)? x
2
x ?
y2]
? arctan y
?e
x ?(2 y ? x )
9 9
dt ? x dt ? y dt ? t
例 已知
z
?
(x2
?
y 2 )e ? arctan
y
x，求 dz.
?z ?x
?Hale Waihona Puke ?f ??u ?u ?x?
?f ??v ?v ?x
? arctan y
?e
x (2x ? y)
?z ? ?y
?f ?? u ? ?u ?y
?f ?v
??v ?y
?
? arctan
e
y
x ?(2 y ?
x)
dz ? ? z dx ? ? z dy
第七章 多元微分学
空间曲面与曲线
多元函数的基本概念 偏微商与全微分
多元复合函数及隐函数求导法则 多元函数的极值和最优化问题
1 1
教学目的 :
理解二元函数的定义，会求二元函数的定义域 了解二元函数的极限与连续概念 理解二元函数偏导数定义，掌握多元复合函数求导法则 理解全微分概念，会求二元函数全微分 掌握多元函数的极值概念，会求多元函数的极值 会使用拉格朗日乘数法求条件极值，会应用最小二乘法 会解一些经济问题中的最优化问题
? eu sin v ?x ? e u cos v ?1
? xe xy sin( x ? y) ? e xy cos(x ? y)
6 6
例求z ? ( x 2 ? y2 )xy的偏微导商数。 幂指函数
解来则法式链用须必题此 注
解 令u ? x 2 ? y2 , v ? xy , ? z ? u v ,
?
?
e ? arctan v
y
? arctan
e
x
y
?2x
?
ue?
arctan
v
?(?
1 1? v2
)
?[2 x
?
(x2
?
y2 ) ?x 2
y ?
y2]
(?
y )
x2
? arctan
?e
x (2x ? y)
8
8
例 已知
z
?
(x2
?
y 2 )e ? arctan
y
x，求 dz.
令u ? x2 ? y2,v ? y 则 z ? ue? arctanv ? f (u,v) x
4 4
复合函数 求导法则
z= f (u,v) u=u(x,y),v=v(x,y)
?z ? ?f ?u ? ?f ?v ?x ?u ?x ?v ?x ?z ? ?f ?u ? ?f ?v ?y ?u ?y ?v ?y
链式法则
x
u
y
z=f
v
x
y
5 5
解来则法式链用不可题此 注
例 求 z ? e xy sin( x ? y )的偏微导商数。
解 令u ? xy, v ? x ? y, 则z ? eu sin v,
:
?z ? ?f ??u ? ?f ??v ?x ?u ?x ?v ?x
? eu sin v ?y ? eu cos v ?1
? yexy sin(x ? y) ? e xy cos(x ? y)
?z ? ?f ??u ? ?f ??v ?y ?u ?y ?v ?y
11 11
(2)若z= f(u), u=u(x,y ), u是一个中间变量
z ? f [u(x, y)]? z?x, y?
x
z=f
u
y
? z ? df ? u ? x du ? x
? z ? df ? u ? y du ? y
12 12
(3)若z=f (u,x,y ), u=? (x,y)
z=f
7.4 多元复合函数及隐函数求导法则
一、复合函数求导法则
定理 (1) u=? (x,y ),v=ψ (x,y )的偏导数在点 (x，y)
处连续 ; (2) 函数z= f(u,v )的偏导数在 (x,y )的对应点 (u,v )
处连续 .
则复合函数 z= f[? (x,y ), ψ(x,y )]
在(x,y )处存在连续的偏导数，且
?x
?y
考研 题目
y
? arctan
?e
x [(2x ? y)dx ? (2 y ? x )dy]
10 10
几种常见的形式
（1）若z= f(u,v ), u=u (x), v= v (x)
只有一个自变量
u
z= f
x
v
则 z ? f [u(x),v(x)]? z(x)
这时 dz ? ? f du ? ? f dv dx ? u dx ? v dx
?
(x2
?
y2 )xy
? ? ?
2xy2 x2 ? y2
?
x ln(x 2 ?
y2
)
? ?
?
7
7
例 已知
z
?
(x2
?
y 2 )e ? arctan
y
练习
x，求 dz.
解：令u ?
x2 ?
y2,v ?
y x
则z ? ue?arctanv ? f (u,v)
?z ?f ?u ?f ?v ? ?? ?
?x ?u ?x ?v ?x
?z ? ?f ?u ? ?f
?y ?u ?y ?y
1. 这里x, y具有双重身份：既作为自变 量，也作为中间变量。
2. ? z 与 ? f 的差别在于 :
?x ?x
前一个把x看作自变量，
后一个把x看作中间变量。
14 14
例 设z=xy+et, x=sint , y=cost . 求dz
dt
解 dz ? ? f dx ? ? f dy ? ? f
x uy
x
z ? f (? ( x , y), x , y)
? z(x, y)
y
?z ? ?f ?u ? ?f ?x ?u ?x ?x
?z ? ?f ?u ? ?f ?y ?u ?y ?y
对于本形式，要注意以下几点： 13 13
z=f
注意
?z ?f ?u ?f
u
x y
?
?
?x ?u ?x ?x
x y
:
?z ? ?f ??u ? ?f ??v ?x ?u ?x ?v ?x
? vuv?1 ?2 x ? uv ln u ?y
?
(x2
?
y2
)
xy
? ? ?
2 x2
x2 ?
y y2
?
y ln(x2
?
y2
)
? ?
?
?z ? ?f ??u ? ?f ??v
?y ?u ?y ?v ?y
? vuv?1 ?2 y ? uv ln u ?x
本章重点 : 偏导数与全微分的概念，多元复合函 数求导法则，多元函数极值求法.
本章难点 : 二元复合函数微分法，多元函数的极 值与求法.
2 2
7.4 多元复合函数及隐函数求导法则
? 目的要求 掌握复合函数求偏导法 则，隐函数求偏导法则。
? 重点 复合函数求偏导法则 ? 难点 复合函数求偏导法则
3 3