高等数学 隐函数
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高等数学---隐函数
3. 参数方程求导法 转化 极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
相关变化率之间的关系式
再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
设 为切线倾角, 则
抛射体轨迹的参数方程
速度的水平分量 速度的方向
垂直分量
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
达到最高点的时刻
高度
落地时刻
抛射最远距离
例6. 设由方程
确定函数
求
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
故
三、相关变化率
为两可导函数
之间有联系
之间也有联系
可用对数求导法求导 :
注意: 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数
两边对 x 求导
又如,
两边取对数 对 x 求导
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
时, 有
时, 有
(此时看成 x 是 y 的函数 )
若上述参数方程中 则由它确定的函数
利用新的参数方程
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
,可得
注意 : 已知
?
例4. 设
,且
求
解: 练习: P109 题8(1) 解:
例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速 度大小:
速度的水平分量为
Байду номын сангаас垂直分量为
故抛射体速度大小
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
相关变化率之间的关系式
再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
设 为切线倾角, 则
抛射体轨迹的参数方程
速度的水平分量 速度的方向
垂直分量
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
达到最高点的时刻
高度
落地时刻
抛射最远距离
例6. 设由方程
确定函数
求
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
故
三、相关变化率
为两可导函数
之间有联系
之间也有联系
可用对数求导法求导 :
注意: 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数
两边对 x 求导
又如,
两边取对数 对 x 求导
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
时, 有
时, 有
(此时看成 x 是 y 的函数 )
若上述参数方程中 则由它确定的函数
利用新的参数方程
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
,可得
注意 : 已知
?
例4. 设
,且
求
解: 练习: P109 题8(1) 解:
例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速 度大小:
速度的水平分量为
Байду номын сангаас垂直分量为
故抛射体速度大小
高等数学-第二章 第4节 隐函数及参数方程求导
a cos3 a sin3
t t
表示的函数的二阶导数.
dy
解
dy dx
dt dx
3a sin2 t cos t
3a cos2 t( sin t) tan t
dt
d2y dx 2
d dx
(dy ) dx
Байду номын сангаас
d ( tan t) d ( tan t) dt
dx
dt
dx
d dt
( tant)
1 dx
所以 y [ 1(x)]
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
dy
即
dy dx
dt dx
dt
dt
11
若函数
x y
(t )二阶可导, (t )
d 2 y d dy
dx 2
() dx dx
dy dx
x0
ex y xey
x0 y0
1.
3
例2 设曲线C的方程为x3 y3 3xy,求过C上
点(3 , 3)的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 22
线通过原点.
解 方程两边对x求导, 3x2 3 y2 y 3 y 3xy
y (3,3) 22
y x2 y2 x
1.
33 (,)
x sin x (cos x ln x sin x ) x
8
例7
y ( 2 x )x xxx , x2 1
求 dy . dx
解 ：令
y1
(
高等数学-隐函数及其导数
3
01 隐函数求导
2.隐函数的求导法则
(1)将(, ) = 0两端同时对求导，其等式左边在求导过
程中将变量看作的函数；
(2)求导后得到一个关于 ′ 的方程，解此方程得到 ′ 的表达
式，在该表达式中允许含有.
4
01 隐函数求导
例1
求由方程
+ − =
2
确定的隐函数对的导数 ．
9
02 对数求导法
例3 设 = （ > 0），求 ′ .
解法1 等式两边取对数，得 = ，
= ，
即
上式两边同时对求导，得
1
整理得
′
⋅ = + ∙
′
1
= + ∙
导数与微分
第4讲
隐函数及其导数
本节内容
01 隐函数求导
02 对数求导法
2
01 隐函数求导
1.隐函数的概念
定义2.3 如果在方程(, ) = 0中，当取某区间
内的任一值时，相应地在某个范围 内总有满足这个
方程的值存在，那么就说方程(, ) = 0在 ∈ ，
∈ 的范围内确定了一个隐函数.
=
(
+
1
).
10
02 对数求导法
例3 设 = （ > 0），求 ′ .
解法2
′ = ( )′
= ⋅ ( )′
=
+ ⋅
=
2
=
∙ = +
= −
高等数学课件24隐函数
隐函数是曲面的局部表示
隐函数在曲面上的应用，如求 曲面的交点、求曲面的切线等
隐函数与等值线的几何意义
隐函数：通过方程F(x,y)=0定义的函数 等值线：满足F(x,y)=c的曲线 几何意义：隐函数描述了等值线的形状和位置
应用：在物理、工程等领域中，隐函数与等值线常用于描述物理量、工程参数的变化规律和分布情况
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对y求导
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对y求导
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对x求导
隐函数求导法则：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对x求导
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对y求导
应用范围：参数方程 法适用于求解含有参 数或参数的函数，如 圆锥曲线、旋转体等
注意事项：在求解过 程中，需要注意参数 的取值范围，避免出 现错误或遗漏
反表示法
反表示法是一种求解隐函数的方法 反表示法通过将隐函数转化为显函数，然后求解显函数 反表示法适用于求解具有简单形式的隐函数 反表示法可以应用于求解一元隐函数和多元隐函数
隐函数在微积分中的应用
隐函数求导：通过隐函数求导公式，求解隐函数的导数 隐函数积分：通过隐函数积分公式，求解隐函数的积分 隐函数极值：通过隐函数极值公式，求解隐函数的极值 隐函数方程：通过隐函数方程，求解隐函数的解
隐函数在解决实际问题中的应用
物理问题：如力学、热力学、 电磁学等
工程问题：如结构力学、流体 力学、控制理论等
隐函数的性质
隐函数存在定理：如果f(x,y)=0，且f(x,y)在点(x0,y0)处连续，则存在一个开区间(x0δ,x0+δ)，使得在(x0-δ,x0+δ)内，f(x,y)的零点y=φ(x)是连续可微的。
高等数学课件上第24隐函数
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汇报人：
隐函数的极值与最
05
值
极值的定义与判定
极值的定义：函数 在某点处的值大于 或等于其附近所有 点的值，称为极值
极值的分类：极大 值和极小值
极值的判定：通过 求导数，判断函数 在某点处的导数是 否为零，以及导数 的符号是否改变
极值的应用：在解 决实际问题时，如 优化问题、物理问 题等，需要找到函 数的极值，以获得 最优解或最值
添加 标题
隐函数存在定理的条件：F(x,y)在点(x0,y0)处连续可微，且F(x0,y0)=0。
添加 标题
隐函数存在定理的应用：求解隐函数、证明隐函数存在性等。
定理的证明
单击添加标题
隐函数存在定理：如果方 程F(x,y)=0在点(x0,y0)处 有定义，且F(x0,y0)=0， 那么存在一个开区间(a,b)，
法线等
在物理中的应用
力学：求解力、加速度、速度等物理量 热力学：求解温度、压力、体积等物理量 电磁学：求解电场、磁场、电流等物理量 光学：求解光强、光速、折射率等物理量
在经济中的应用
价格决策：隐函数模型可以帮助企业进行价格决策，以实现利润最大化 投资决策：隐函数模型可以帮助投资者进行投资决策，以实现风险最小化 生产决策：隐函数模型可以帮助企业进行生产决策，以实现成本最小化 市场预测：隐函数模型可以帮助企业进行市场预测，以实现销售最大化
使得在(a,b)内，方程 F(x,y)=0有唯一解。
单击添加标题
证明思路：首先，假设存 在一个开区间(a,b)，使得 在(a,b)内，方程F(x,y)=0 有唯一解。然后，通过证 明F(x,y)在(a,b)内连续， 以及F(x0,y0)=0，从而得
《高等数学之隐函数》课件
应用实例
1
隐函数求导的案例分析
通过案例分析，说明如何利用隐函数求导解决实际问题，并展示其应用于不同领 域的案例。
2
隐函数在各领域的应用
介绍隐函数在经济学、物理学等领域中的重要应用，引发观众对隐函数研究的兴 趣。
结束语
隐函数的重要性和应用价值
总结隐函数在数学和跨学科领域中的重要性，强调其在问题解决中的应用价值。
一元隐函数
一元隐函数求导公式
演绎一元隐函数求导公式，说明其应用于实际问 题的能力和价值。
一元隐函数的几何意义
阐述一元隐函数与曲线的关系，展示隐函数图像 的特性和重要性。
多元隐函数
多元隐函数求导公式
推导多元隐函数的求导公式，说明其在解决实际问题中的应用价值。
多元隐函数的几何意义
解释多元隐函数与曲面之间的关系，展示多元隐函数对几何问题的重要性。
《高等数学之隐函数》 PPT课件
隐函数在高等数学中起着重要的作用，本课件将介绍隐函数的概念、存在定 理以及一元和多元隐函数的求导公念和意义
探索隐函数的基本概念，以及隐函数对于问题解决的重要性和实际应用。
2
隐函数存在定理
解释隐函数存在定理，展示其证明过程，并说明其在数学中的重要性。
隐函数研究的未来方向
展望隐函数研究的未来发展方向，鼓励观众在此领域进行深入探索和创新。
高等数学 第三章 第4节 隐函数及由参数方程确定的函数的导数(中央财经大学)
原则是: 按照高阶导数的定义, 运用隐函数及参 数方程所确定的函数的求导法则逐阶进行求 导.
例
d y 设 x + x y + y = 4, 求 . 2 dx
2 2
2
解
对方程两边关于 x 求导:
2 x + y + x y′ + 2 y y ′ = 0
故 2x + y y′ = − x + 2y
想想如何求二阶导数？
解
(
)
1 2 1+ t 2 d y = 2 = = 2 2t 2 ′ 4t dx (ln(1 + t ) ) 1 + t 2
⎛ t ⎞′ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠
⎛ 1 + t 2 ⎞′ 2t 2 − 1 − t 2 ⎜ 3 ⎜ 4t ⎟ ⎟ 2 t 4 −1 d y 4t ⎝ ⎠ = = = 3 3 ′ 2t 8t dx (ln(1 + t 2 ) ) 1+ t 2
故
1 (1 − x)(1 − 2 x)(1 + x ) y′ = 3 3 (1 + 5 x)(1 + 8 x)(1 + x 4 )
⎧ −1 −2 2x 5 8 4 x3 ⎫ − − − ⎨1 − x + 1 − 2 x + 2 1 + 5x 1 + 8 x 4⎬ 1+ x 1+ x ⎭ ⎩
2
四、 隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数
F ( x, f (x) ) ≡ 0
对上式两边关于 x 求导：
d F ( x , y) = 0 dx
然后, 从这个式子中解出 y ′, 就得到隐函数的导数.
例
求由方程 F ( x , y ) = xy − e x + e y = 0 ( x ≥ 0 ) 所确定的隐函数的导数 y′, 并求 y′
例
d y 设 x + x y + y = 4, 求 . 2 dx
2 2
2
解
对方程两边关于 x 求导:
2 x + y + x y′ + 2 y y ′ = 0
故 2x + y y′ = − x + 2y
想想如何求二阶导数？
解
(
)
1 2 1+ t 2 d y = 2 = = 2 2t 2 ′ 4t dx (ln(1 + t ) ) 1 + t 2
⎛ t ⎞′ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠
⎛ 1 + t 2 ⎞′ 2t 2 − 1 − t 2 ⎜ 3 ⎜ 4t ⎟ ⎟ 2 t 4 −1 d y 4t ⎝ ⎠ = = = 3 3 ′ 2t 8t dx (ln(1 + t 2 ) ) 1+ t 2
故
1 (1 − x)(1 − 2 x)(1 + x ) y′ = 3 3 (1 + 5 x)(1 + 8 x)(1 + x 4 )
⎧ −1 −2 2x 5 8 4 x3 ⎫ − − − ⎨1 − x + 1 − 2 x + 2 1 + 5x 1 + 8 x 4⎬ 1+ x 1+ x ⎭ ⎩
2
四、 隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数
F ( x, f (x) ) ≡ 0
对上式两边关于 x 求导：
d F ( x , y) = 0 dx
然后, 从这个式子中解出 y ′, 就得到隐函数的导数.
例
求由方程 F ( x , y ) = xy − e x + e y = 0 ( x ≥ 0 ) 所确定的隐函数的导数 y′, 并求 y′
高等数学第九章第五节 隐函数的求导公式
例5 设 xu yv 0， yu xv 1， 求 u，u，v 和v . x y x y
作业
P89. 1,2,3,10(1,2)
dy Fx x ,
dx Fy
y
dy 0, dx x0
d2y dx 2
y
xy y2
y x
y2
x y
1 y3
,
d2y dx2
x0
1.
例 2 已知ln x2 y2 arctan y ，求dy . x dx
2. F( x, y, z) 0
隐函数存在定理 2 设函数F ( x, y, z)在点 P( x0 ,
某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导
数的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 )，并有
dy Fx .
dx Fy
隐函数的求导公式
例１ 验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且 x 0时 y 1 的隐函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在 x 0的值.
确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数
u u( x, y)，v v( x, y)，它们满足条件
u0 u( x0 , y0 ),v0 v
( x0 , y0 )，并有
Fx Fv
u 1 (F ,G) Gx Gv , x J ( x,v) Fu Fv
Gu Gv
v 1 (F ,G) Fu Fx Fu Fv x J (u, x) Gu Gx Gu Gv u 1 (F ,G) Fy Fv Fu Fv , y J ( y,v) Gy Gv Gu Gv v 1 (F ,G) Fu Fy Fu Fv . y J (u, y) Gu Gy Gu Gv
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两边对 x 求导
1 y
y
cx o ls x n sin x x
yxsix(n co xlsn x six)n x
.
10
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2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如, y b a x b x a a x b(a 0,b 0,b a 1 )
两边取对数
,
求
dy dx
.
解：两边取对数得
ln y 1 ln(x1)ln(x2) ln 2 x ( 1 )2 le n 2 x 1
3
1 ln(x1)ln(x2) 2 l2 n x 1 ) ( ( 2 x 1 )
3 方程两边分别对 x 求导数，
1 y
y
1 1 3 x 1
1 x2
4 2x 1
故
dy dx
x
0
1 2
.
4
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例3 求由方程 ey xye0所确定的隐函数 yy(x) 的导数 y(x), 并求出 y(0), 写出通过曲线 yf(x) 上
点 ( 0, 1) 的切线方程.
解：方程两边对 x 求导
e y y 1 y x y 0 0
解出 y 得
y
第四节
第二章
隐函数和参数方程求导
相关变化率
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率
.
1
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一、隐函数的导数
若由方程 F(x,y)0可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 .
由 yf(x)表示的函数 , 称为显函数 .
例如, xy310可确定显函数 y31x y52yx3x70可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 .
1 d y 1 cos y dy 0
dx 2
dx
所以 dy 2 .
dx 2 cos y
d2y dx2
d( dx
2 2 cos y
)
0 2 sin y dy dx
(2cos y)2
4sin y (2 cos y)3
.
7
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练：求由方程 arctanyln x2y2 所确定的 x
lnyx ln a a[ln bln x]b[ln xln a]
b
两边对 x 求导
y ln a a b y b xx
yb axb xaa xbln
a b
a x
b x
.
11
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例7. 设 y
(x1)(x2) , (x3)(x4)
两边取对数
求导数。
(lnu )u u
隐函数求导方法: F(x,y)0
两边对 x 求导
d F(x, y) 0 (含导数 y 的方程)
dx
.
2
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例1 求方程 ex ey xy1所确定的隐函数的导
数 dy .
dx
解：方程两边分别对 x 求导数，
e xey dy y x dy 0
dx
dx
所以
dy dx
ex ey
ln y 1 ln x 1ln x2 lx n 3 lx n 4
2
对 x 求导
y 1
y2
1 x 1
1 x
2
1 x3
1
x4
y1 (x1)(x2) 1111
2 (x3)(x4) x 1x2x3x4
.
12
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练习
设
y 3
(x1)(x2) (2x1)2e2x1
隐函数的导数 d y . dx
dy x y dx x y
.
8
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对数求导法： 对幂指函数和某些复杂的根式或分式用此法
求导简便些.
1) 对幂指函数 y[u(x)]v(x)，u(x),v(x) 都可导.
两边取对数(化成了隐函数), 然后按隐函数求导法
求出 y 的导数.
y x
.
.
3
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例2. 求由方程 y52yx3x70确定的隐函数
yy(x)在
x
=
0
处的导数
dy dx
x
0
.
解: 方程两边对 x 求导
ddx(y52yx3x7)0
得 5 y 4 d y 2 d y 121x6 0 dx dx
dy dx
15y421x26
因x=0时y=ห้องสมุดไป่ตู้,
16 9
2
解: 椭圆方程两边对 x 求导
x 2 y y 0 89
y
x2
y
3 2
3
9 16
x y
x2
y
3 2
3
3 4
故切线方程为 y 3 3 3 (x2)
2
4
即 3x4y830
.
6
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例5. 求由方程 xy1siny0确定的隐函数的
二阶导数。
2
解：方程两边分别对 x 求导数，
x
y e
y
将 x 0代入 eyxye0,得 ey e0, 解得 y 1
所以
| y(0) y (0,1) 01e1
1 e
点 ( 0, 1) 的切线方程为 y 1 1 (x 0)
即 y 1 x 1 .
e
5
e
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例4. 求椭圆 x2 y2 1 在点( 2 , 3 3 ) 处的切线方程.
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
(t)0时, 有
dt
dx dy
dx d t dt dy
dx dt
1 dy
(t) (t)
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
.
14
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若上述参数方程中(t),(t)二阶可导, 且 (t)0,
即 lnyv(x)lnu(x)
1 y
y
v(x)lnu(x)v(x)
1 u(x)
u(x)
y[u (x)]v(x)(v(x)lnu (x)v(x)u (x)) u (x)
.
9
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例6. 求 yxsixn(x0) 的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
ln ysixn ln x
2
y
13 3
(x1)(x2) (2x1)2e2x1
x
1
1
1 x2
4 2x 1
2
.
13
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二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
yx
(t) (t)
可确定一个
y
与
x
之间的函数
关系, (t),(t)可导, 且 [(t)]2 [(t)]20,则
(t)0时, 有
则由它确定的函数 yf(x)可求二阶导数 .
x(t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
d2 y d x2
d ( d y ) d (dy) d x d x dt dx
dx dt
(t)(t)(t)(t)
2 (t)
(t)
(t)(t)3 ( t)(t)(t)