一元二次方程的根的判别式及应用
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式是指b²-4ac，它可以用来判断方程的根的情况。
当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac<0时，方程没有实数根。
判别式的应用包括不解方程判断根的情况、确定方程待定系数的取值范围、证明方程根的性质以及解决综合题。
正确理解判别式的性质并熟练灵活地运用它是本节的重点和难点。
举例来说，对于方程2x²-5x+10=0，其判别式为b²-4ac=(-5)²-4×2×10=－550，因此该方程有两个不相等的实数根。
对于方程x²-2kx+4(k-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-2k)²-4×1×4(k-1)=4(k-2)²≥0，因此该方程有实数根。
对于方程2x²-(4m-1)x+(m-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-(4m-1))²-4×2×(m-1)=4(2m-1)²+5>0，因此该方程有两个不相等实根。
对于方程4x²+2nx+(n²-2n+5)=0，其判别式为b²-4ac=(2n)²-4×4(n²-2n+5)=－12(n-4/3)²－176/33<0，因此该方程没有实数根。
解这类题目时，一般先求出判别式Δ=b^2-4ac，然后对XXX进行化简或变形，使其符号明朗化，进而说明Δ的符号情况，得出结论。
对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方法等。
在解题前，首先应将关于x的方程整理成一般形式，再求Δ=b^2-4ac。
当Δ≥0时，方程有实数根，反之也成立。
例2已知关于x的方程x-(m-2)x+m^2=0，求解以下问题：1)有两个不相等实根，求m的范围。
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
上述命题的逆命题也正确
例1：不解方程判断下列方程根的情况 ① x²-4x-1=0 ②x²+5=2x ③ x²-mx+m²+1=0
例2：k取何值时，方程4 x²-（k+2）x+（k-1）=0 ①有一个根是-1。 ②有两个相等的实根
解：∵方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实根 ∴Δ 1=4a²-4＞0 既a²＞1 方程②中a＞1 ∴ 2a²-1＞1≠0 既方程②为一元二次方程 Δ 2=4a²-4（2a-1）2=-4（4a-1）（a-1） ∵a²＞1 ∴a²-1＞0 ∴（4a²-1）＞0 2=-4（4a²-1）（a²-1）<0 ∴方程②无实根
一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系(或称韦达定理)是初中数学内容中一个很重要的 知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知 识点的考查可以解决以下几个问题：
一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1，x 2，那么
点评：本题的解题关键是把a、b看作一元二次方程x 2－3x＋1＝0的 两根，利用根与系数关系得a＋b＝3，ab＝1，再通过运用整体代换 的思想代入运算，问题可求．利用根与系数的关系求与根有关的代数 式的值，
五、利用给出条件，确定一个一元二次方程中某个字母系数的值
例3 已知关于x的方程x 2＋px＋q＝0的两实数根和的平方比两实数根之积 大7，而两实数根差的平方比两实数根之积的3倍小5，求p、q值．
(x 1－x 2) 2＝3 x 1·x 2－5 ……③ ∵(x 1－x 2) 2＝(x 1＋x 2) 2-4 x 1·x 2
一元二次方程的根与判别式
一元二次方程的根与判别式一元二次方程是数学中的经典问题，它的解析式可表示为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
而求解一元二次方程的根则需要使用判别式，下面将详细介绍一元二次方程的根和判别式。
1. 一元二次方程根的定义一元二次方程的根是指满足方程成立的未知数值。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0而言，若存在实数x1和x2使得将x1和x2代入方程后方程成立，则称x1和x2是一元二次方程的根。
2. 一元二次方程的解法(1) 因式分解法当一元二次方程的系数a、b、c满足一定条件时，可以使用因式分解法来求解方程的根。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其进行因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0，从而得到方程的两个根为x = -2和x = -3。
(2) 完全平方法当一元二次方程的系数a、b、c满足一定条件时，可以使用完全平方法来求解方程的根。
例如，对于方程x^2 - 4x + 4 = 0，我们可以将其改写为(x - 2)^2 = 0，从而得到方程的根为x = 2。
(3) 公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以使用求根公式来求解方程的根。
公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根，分别称为x1和x2。
3. 一元二次方程的判别式判别式是指用来判断一元二次方程的根的性质的一项数学公式。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0而言，其判别式的计算公式为Δ =b^2 - 4ac，即Δ等于系数b的平方减去4ac。
判别式Δ的值有以下三种情况：(1) 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
此时，方程的根可以通过求根公式求解。
(2) 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
此时，方程的根可以通过求根公式求解，并且两个根是相等的。
(3) 当Δ < 0时，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式．通常用符号“Δ”来表示．2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，b那么x1+x2=-ac，x1x2=a4. 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系22.根的判别式是指Δ＝b2－4ac，而不是指Δ＝．b4ac3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b2－4ac≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。
【例题罗列】根的判别式类型1：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）3x2－2x－1＝0；（2）y2＝2y－4；（3）（2k2＋1）x2－2kx＋1＝0；（4）9x2－（p＋7）x＋p－3＝0．（系数中有字母的情况）解：(1)∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝4＋12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程就是y2－2y＋4＝0．∵Δ＝（－2）2－4×1×4＝4－16＜0，∴原方程无实数根．(3)∵2k2＋1≠0，∴原方程为一元二次方程．又∵Δ＝（－2k）2－4（2k2＋1）×1＝－4k2－4＜0，∴原方程无实数根．(4)Δ＝［－（p＋7）］2－4×9×（p－3）＝（p－11）2＋36，∵不论p取何实数，（p－11）2均为非负数，∴(p－11)2＋36＞0，即Δ＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．升级:如果关于x的方程x2＋2x＝m＋9没有实数根，试判断关于y的方程y2＋my－2m＋5＝0的根的情况．这是一类需要自己找出隐含条件的题解：∵x2＋2x－m－9＝0没有实数根，∴Δ1＝22－4(－m－9)＝4m＋40＜0，即m＜－10．又y 2＋my －2m ＋5＝0的判断式Δ2．Δ2＝m 2－4(－2m ＋5)＝m 2＋8m －20当m ＜－10时，m 2＋8m －20>0，即Δ2>0．∴方程y 2＋my －2m ＋5＝0有两个不相等的实数根．类型2：1.已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2kx ＋k ＋3＝0．k 取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程没有实数根?解：Δ＝(2k )2－4（k －1）（k ＋3）＝－8k ＋12．(1)当－8k ＋12＞0，且k －1≠0，即k ＜且k ≠1时，方程有两个不相等23的实数根；(2)当－8k ＋12＝0，且k －1≠0，即k ＝时，方程有两个相等的实数根；23(3)当－8k ＋12＜0，且k －1≠0，即k ＞时，方程没有实数根．23说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二次项系数不等于零．2．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且方程a(1+x 2)+2bx-c(1-x 2)=0有两个相等的实数根，则此三角形为（ ）A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、斜三角形 看到有两个相同的实数根立即判断 应用根的判别式解：原方程可化为（a+c ）x 2＋2bx ＋a-c ＝0，Δ＝(2b)2－4（a +c ）（a -c ）＝0得到a 2=b 2+c 2，因此此三角形为直角三角形。
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式．通常用符号“Δ”来表示．2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-ab，x1x2=ac4. 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系2.根的判别式是指Δ＝b2－4ac，而不是指Δ＝acb42 ．3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b2－4ac≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。
【例题罗列】根的判别式类型1：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）3x2－2x－1＝0；（2）y2＝2y－4；（3）（2k2＋1）x2－2kx＋1＝0；（4）9x2－（p＋7）x＋p－3＝0．（系数中有字母的情况）解：(1)∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝4＋12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程就是y2－2y＋4＝0．∵Δ＝（－2）2－4×1×4＝4－16＜0，∴原方程无实数根．(3)∵2k2＋1≠0，∴原方程为一元二次方程．又∵Δ＝（－2k）2－4（2k2＋1）×1＝－4k2－4＜0，∴原方程无实数根．(4)Δ＝［－（p＋7）］2－4×9×（p－3）＝（p－11）2＋36，∵不论p取何实数，（p－11）2均为非负数，∴(p－11)2＋36＞0，即Δ＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．升级:如果关于x的方程x2＋2x＝m＋9没有实数根，试判断关于y的方程y2＋my－2m＋5＝0的根的情况．这是一类需要自己找出隐含条件的题解：∵x2＋2x－m－9＝0没有实数根，∴Δ1＝22－4(－m－9)＝4m＋40＜0，即m＜－10．又y 2＋my －2m ＋5＝0的判断式Δ2．Δ2＝m 2－4(－2m ＋5)＝m 2＋8m －20 当m ＜－10时，m 2＋8m －20>0，即Δ2>0．∴方程y 2＋my －2m ＋5＝0有两个不相等的实数根． 类型2：1.已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2kx ＋k ＋3＝0．k 取什么值时， (1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程没有实数根?解：Δ＝(2k )2－4（k －1）（k ＋3）＝－8k ＋12．(1)当－8k ＋12＞0，且k －1≠0，即k ＜23且k ≠1时，方程有两个不相等的实数根；(2)当－8k ＋12＝0，且k －1≠0，即k ＝23时，方程有两个相等的实数根；(3)当－8k ＋12＜0，且k －1≠0，即k ＞23时，方程没有实数根．说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二次项系数不等于零．2．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且方程a(1+x 2)+2bx-c(1-x 2)=0有两个相等的实数根，则此三角形为（ ）A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、直角三角形D 、斜三角形 看到有两个相同的实数根立即判断 应用根的判别式解：原方程可化为（a+c ）x 2＋2bx ＋a-c ＝0，Δ＝(2b)2－4（a +c ）（a -c ）＝0得到a 2=b 2+c 2，因此此三角形为直角三角形。
一元二次方程的根和判别式
在求解过程中，要注意计算的准确性，避免误差的积累。
对于无理数和复数解，要理解其含义和表示方法。
求解一元二次方程的注意事项
深入学习一元二次方程的理论和应用，掌握各种解法和技巧。
加强数学基础知识和计算能力的训练，为更高层次的学习打下基础。
拓展学习其他类型的一元方程和不等式，提高解决问题的能力。
对未来学习的建议
复根的具体表达式为 $x_1 = -frac{b}{2a} + frac{sqrt{-Delta}}{2a}i$ 和 $x_2 = -frac{b}{2a} - frac{sqrt{-Delta}}{2a}i$，其中 $i$ 是虚数单位。
这种情况下，方程的解在复平面上表现为一对关于实轴对称的点，代表方程的一对共轭复根。
03
在几何问题中，经常需要求解一些最值问题，如点到直线的距离、两直线间的夹角等。通过构造一元二次方程并求解判别式，可以找到这些最值问题的解。
判别式在几何问题中的应用
在物理问题中，经常需要判断物体的运动状态（匀速、加速、减速等）。通过构造一元二次方程并求解判别式，可以确定物体的加速度和速度的变化情况。
无实根（虚根）
05
判别式在解决实际问题中的应用
判断直线与二次曲线的位置关系
01
通过判别式可以确定直线与二次曲线（如圆、椭圆、双曲线等）的交点个数，进而判断它们的位置关系（相切、相交、相离）。
判断二次曲线的形状
02
对于二次曲线的一般方程，通过计算判别式可以判断其形状（椭圆、双曲线、抛物线）。
求解几何最值问题
判断经济模型的稳定性
在经济学中，经常需要判断一些经济模型的稳定性。通过构造一元二次方程并求解判别式，可以确定经济模型的稳定性条件。
一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用
２０２３年９月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用◉云南省曲靖市马龙区第三中学㊀刘㊀陈㊀㊀摘要:结合五则典例,探讨一元二次方程根的判别式及根与系数的关系在判断三角形的形状㊁求代数式的值㊁构造倍根方程㊁求代数式的最值㊁求参数的值等方面的运用,帮助学生积累数学活动经验,发展学生核心素养．关键词:一元二次方程;判别式;数学活动经验;核心素养㊀㊀一元二次方程根的判别式及根与系数的关系,可用来判断三角形的形状,求代数式的值,构造倍根方程,求代数式的最值,求参数的值等,这些应用一方面体现了根的判别式及根与系数关系的价值,另一方面也使学生体会到了不同数学知识之间的联系,有利于加深学生对这一部分数学知识的理解与掌握．１判断三角形的形状当一元二次方程的系数或它的两个根是三角形的边长时,一元二次方程和三角形之间就有了联系,利用一元二次方程根的情况可以判断三角形的形状[１]．例１㊀已知әA B C的三边长分别为a,b,c,方程(a＋c)x２＋２b x＋(a－c)＝０是关于x的一元二次方程．(１)当x＝－１时,你能确定әA B C的形状吗?为什么?(２)当方程有两个相等的实根时,你能确定әA B C的形状吗为什么?解析:(１)由题意,把x＝－１代入方程,得a＋c－２b＋a－c＝０,整理得a＝b．因为a,b,c分别为әA B C 三边的长,所以әA B C为等腰三角形．(２)由题意,Δ＝(２b)２－４(a＋c)(a－c)＝０,整得得b２＋c２＝a２．因为a,b,c分别为әA B C三边的长,所以由勾股定理的逆定理,得әA B C为直角三角形．评注:当三角形的三边为一元二次方程的系数时,三角形的形状与一元二次方程根的情况也有了联系,本题设置的两个问题对此做了很好的诠释．２求代数式的值当m,n是一元二次方程a x２＋b x＋c＝０的两个根时,根据韦达定理,得m＋n＝－ba,m n＝c a．根据方程根的定义,得a m２＋b m＋c＝０,a n２＋b n＋c＝０;反之,aʂ０时,当m,n满足等式a m２＋b m＋c＝０,a n２＋b n＋c＝０时,则m,n是一元二次方程a x２＋b x＋c＝０的两个根．例２㊀问题情境:小明在学习中遇到了这样一道题 已知字母a,b满足a２－２a－１＝０,b２－２b－１＝０,且aʂb,试求１a＋１b的值．小明的解答为:因为字母a,b满足的两个方程形式一致,所以a,b可以看作方程x２－２x－１＝０的两根,根据根与系数的关系,得a＋b＝２,a b＝－１,所以１a＋１b＝a＋b a b＝２－１＝－２．根据小明的解答过程,请解决下列问题:(１)已知不互为倒数的两个字母a,b分别满足２a２＋１１a＋１２＝０,１２b２＋１１b＋２＝０,求b a的值．(２)已知x１,x２是方程(m－１)x２＋２m x＋２＝０的两个根,且满足x２x１＋x１x２＋x１＋x２＝２．若a,b,c是әA B C的三边长,且c＝２３,m２＋a２m－８a＝０．m２＋b２m－８b＝０．试求m的值以及әA B C的面积．解析:(１)将１２b２＋１１b＋２＝０两边都除以b２,得２(１b)２＋１１ˑ１b＋１２＝０．又因为２a２＋１１a＋１２＝０,所以a与１b为方程２x２＋１１x＋１２＝０的两根,根据根与系数,得a１b＝６．故ba＝１６．(２)因为x１,x２是方程(m－１)x２＋２m x＋２＝０的两个根,所以x１＋x２＝－２m m－１,x１x２＝２m－１,１６Copyright©博看网. All Rights Reserved.学习指导２０２３年９月下半月㊀㊀㊀m ʂ１．由x ２x １＋x １x ２＋x １＋x ２＝２,整理得m ２－３m ＋２＝０,解得m １＝２,m ２＝１(舍去)．因此可得a ２－４a ＋２＝０,b ２－４b ＋２＝０,则a ,b 为方程x ２－４x ＋２＝０的两根,于是a ＋b ＝４,a b ＝２,所以a ２＋b ２＝(a ＋b )２－２a b ＝１２＝c ２,根据勾股定理的逆定理,得әA B C 为直角三角形,故S әA B C ＝１２a b ＝１．所以m 的值为２,әA B C 的面积为１．评注:本题第(２)小题以m 作为联系的纽带,根据第一个方程中根与系数的关系求出m 的值,然后代入关于a ,b 的方程中消去m ,从而显现出a ,b 的本质,再与勾股定理的逆定理结合,使问题转化为几何问题[２]．３求代数式的最值利用一元二次方程根与系数的关系可以求与两根有关的代数式的值,也可以求代数式的最值．当一元二次方程有实数根时,根的判别式大于或等于０,可以据此求得字母的取值范围,当所求代数式化为含有该字母的代数式时,就可以求得它的最值．例３㊀一元二次方程根与系数的关系反映了一元二次方程两根之和㊁两根之积与系数之间的数量关系,相应的命题被称为韦达定理,根据韦达定理解决下面问题:(１)已知m ,n 是一元二次方程２x ２－３x ＋１＝０的两个根,试计算m ＋n 与m n 的值;(２)如果实数m ,n (m ʂn )分别满足方程m ２－m －１＝０,n ２－n －１＝０,求代数式１m ＋１n的值;(３)设方程２x ２＋４x ＋m ＝０的两个根分别是x １,x ２,你能求出x ２１＋x ２２的最小值吗?解析:(１)由韦达定理,得m ＋n ＝３２,m n ＝１２．(２)因为实数m ,n 满足m ２－m －１＝０,n ２－n －１＝０且m ʂn ,所以m ,n 可看作方程x ２－x －１＝０的两根．根据韦达定理,得m ＋n ＝１,m n ＝－１．故１m ＋１n ＝m ＋nm n ＝－１．(３)因为x １,x ２是方程２x ２＋４x ＋m ＝０的两个根,所以Δ＝４２－４ˑ２ˑm ȡ０,即m ɤ２．根据题意,可得x １＋x ２＝－２,x １x ２＝m ２,则x ２１＋x ２２＝(x １＋x ２)２－２x １x ２＝４－m ．由m ɤ２,得４－m ȡ２,所以x ２１＋x ２２的最小值为２．评注:当a ȡb (b 为常数)时,a 有最小值,且最小值为b ;当a ɤb (b 为常数)时,a 有最大值,且最大值为b ．４探讨代数式的值能否为定值对于与一元二次方程的根有关的代数式的值能否为定值这类问题,应先假设这个代数式的值能为定值,从而建立方程求得字母的值,然后检验这个值能否满足原方程有实根,使原方程有实根的值就是符合题意的值．例４㊀已知关于x 的方程k x ２＋(１－k )x －１＝０．(１)若该方程有两个不等实根,求k 的取值范围．(２)设x １,x ２是方程k x ２＋(１－k )x －１＝０的两个根,记S ＝x ２x １＋x １x ２＋x １＋x ２,试问S 的值能为４吗?若能,求出此时k 的值,并说明理由．解:(１)根据一元二次方程的定义和判别式的意义,得k ʂ０且Δ＝(１－k )２－４k ˑ(－１)＞０,整理,得(１＋k )２＞０,解得k ʂ０且k ʂ－１．(２)根据题意,得x １＋x ２＝－１－k k ,x １x ２＝－１k．假设S ＝x ２１＋x ２２x １x ２＋x １＋x ２＝(x １＋x ２)２－２x １x ２x １x ２＋x １＋x ２＝４,可得(x １＋x ２)２－６x １x ２＋x １x ２(x １＋x ２)＝０,即(１－k )２k２－６(－１k )＋(－１k ) (－１－kk )＝０,整理得k ２＋３k ＋２＝０,解得k １＝－１,k ２＝－２．因为k ʂ０且k ʂ－１,所以当k ＝－２时,S 的值能为４．评注:一元二次方程根与系数的关系是在方程有实根的情况下进行讨论的,所以利用根与系数关系得到的字母的值,一定要看这个值是否在方程有实根时求得的字母取值范围之内．只有在这个取值范围之内的值才是符合题意的值．积累数学活动经验是数学教学的目标之一．以上四种类型有关根的判别式及根与系数关系的应用,有利于学生明白二者之间的依存关系,以及如何利用这两个工具解答相关问题,也有利于学生积累解题经验,促进学生核心素养的发展．参考文献:[１]黄细把．一元二次方程 联姻 三角形[J ]．今日中学生,２０１５(Z ６):２５Ｇ２６．[２]朱亚邦．勾股定理(逆定理)应用的几种场景[J ]．中学生数理化(八年级数学)(配合人教社教材),２０１７(３):１６Ｇ１７．Z ２６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
一元二次方程根的判别式的六种常见应用
一元二次方程根的判别式的六种常见应用所以kx2＋2x＋1＝0是一个关于x的一元二次方程。
利用根的判别式，Δ＝(2)2－4(k)(1)＝4－4k.当Δ<0时，方程没有实数根；当Δ=0时，方程有一个实数根；当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
所以，答案为C．有两个不相等的实数根。
应用5：利用根的判别式解函数的最值问题6．已知函数f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的最小值．解：f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞2.由于平方项非负，所以当且仅当x＝1时，(x－1)2＝0，f(x)取得最小值3.所以，f(x)的最小值为3.一元二次方程根的判别式有着广泛的应用。
下面介绍其中的六种常见应用。
应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况。
例如，已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0是否有实数根。
解法如下：由于x2－2x－m＝0没有实数根，因此判别式Δ1=（－2）2－4·（－m）＝4＋4m4，因此方程有两个不相等的实数根。
应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围。
例如，已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0，要求不解方程，判别方程根的情况，以及若方程有一个根为3，求m的值。
解法如下：对于方程x2＋2mx＋m2－1＝0，判别式Δ=（2m）2－4·（m2－1）＝4＋4=8＞0，因此方程有两个不相等的实数根。
又因为方程有一个根为3，代入方程可得2m2－7m＋5＝0，解得m＝1或m＝5/2.但由于方程的两个根不相等，因此m≠2，因此m＝1.应用3：利用根的判别式求代数式的值。
例如，已知关于x的方程mx2－（m＋2）x＋2＝0有两个相等的实数根，求m的值。
解法如下：对于方程mx2－（m＋2）x＋2＝0，判别式Δ＝（m＋2）2－4m·2＝（m－2）2≥0，因此不论m为何值，方程总有实数根。
又因为方程有两个相等的实数根，因此Δ＝0，解得m＝1.应用4：利用根的判别式解与函数综合问题。
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代数：一元二次方程的根的判别式及应用
一、一元二次方程的根的判别式：
二、相关练习
1．不解方程，判别下列方程根的情况.
()()()()07153.249162.04321222=-+=+=-+x x y y x x
2．判断下列关于x 的一元二次方程的根的情况.
()()()()014220012122=-+->=++-k kx x m m mx mx
3．关于x 的方程m 2x 2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.
4．k 取何值时，关于x 的方程2x 2-(4k+1)x+2k 2-1=0.
（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？
5．求证：关于x 的方程x 2-(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根.
6．求证关于x 的方程(k 2+1)x 2-2kx+(k 2+4)=0没有实根.
7．x 为实数，求代数式x 2+x+1的最值。
（一）选择题
1．若关于x 的一元二次方程kx 2+3x-1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．49-≤k
B ．49-≥k
C ．49-≥k 且k ≠0
D ．4
9-=k 2．关于x 的方程3x 2－2x ＋k －1=0有两个不相等的实根，则k 的取值范围是：
(A) k ＜
34 (B) k ＜34 且k ≠1 (C) k ≤34 (D) k ＞3
4 3．当k 不小于41-时，方程(k-2)x 2-(2k-1)x+k=0(k ≠2)的根的情况是（ ） A ．有两个不等实数根 B ．有两个相等实根 C ．有两实根 D ．以上都不对
4．方程x 2+a=ax 有等根时，实数a 的可取数值的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．大于2
5．若关于x 的方程kx 2-4x+3=0有实数根，则k 的非负整数值是（ ）
A ．0，1
B ．0，1，2
C ．1
D ．1，2，3
6．已知a,b,c 是ΔABC 的三边长且方程a(1+x 2)+2bx-c(1-x 2)=0两根相等，则此三角形为（ ）
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．任意三角形
7．若方程 2x(kx －4)－x 2＋6=0 没有实数根，则k 的最小整数值是：
(A) －1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
8．设非零实数a 1,b 1,a 2,b 2满足a 1a 2=4(b 1+b 2)，则关于方程x 2+a 1x+b 1=0与x 2+a 2x+b 2=0的判断一定不正确的是（ ）
A ．两方程均无不等实根
B ．两方程均有不等实根
C ．两方程至少有一个是有不等实根
D ．不确定
9．方程(a-b)x 2+(b-c)x+(c-a)=0的一个根是（ ）
A ．b-c
B ．c-a
C ．1
D ．-1
10．要使关于x 的方程x 2+bx+1=0与x 2-x-b=0有且只有一个公共实根，则b 的值应为（ ）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
11．若关于x 的方程x 2＋ax ＋b=0 和x 2＋bx ＋a=0 有且只有一个公共根，则a 、b 应满足：
(A) a=b (B) a ＋b ＋1=0 (C) a=－b (D) a ＋b －1=0
12．已知a,b,c 是ΔABC 三条边的长，那么方程04)(2=+
++c x b a cx 的根的情况是（ ） A ．没有实数根
B ．有两个不相等的正实数根
C ．有两个不相等的负实数根
D ．有两个异号实根 （二）填空题
1．如果关于x 的一元二次方程022=+-m x x 有两个相等的实数根，那么m ＝________。
2．关于x 的一元二次方程062=+-m x x 有两个相等的实数根，则m= 。
3．方程0122=-+x x 根的判别式的值是_________。
4．当k 时，方程2kx 2＋(8k ＋1)x ＋8k=0 有两个不相等的实数根。
5．关于x 的方程m(x 2＋x ＋1)= x 2＋x ＋2 有两个相等的实数根，则m 的值是 。
（三）解答题
1．已知关于x 的方程x 2-2x+1-m=0，m 取何值时，
（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根.
2．已知关于x 的方程8x 2+4(m+1)x+(m-4)=0,试判断方程根的情况.
3．K 取什么值时，方程x 2＋2kx ＋k+2=0有两个相等的实数根？
4．求证：方程 x 2－2ax ＋a ＝1 总有两个不相等的实数根。
5．已知：方程x 2+2x+1-m=0没有实数根
求证：方程x 2+mx+12m=1一定有两个不相等的实数根
6．求证：方程kx 2-(k+2)x+1=0一定有实数根
7．若关于x 的方程x 2+x+a=0有实根，求①a 的取值范围②写出a 的最大整数值
8．m 为何整数时，关于x 的一元二次方程mx 2-4x+4=0与x 2-4mx+4m 2-4m-5=0的根都是整数？
9．已知方程x 2+2x+1-m=0没有实数根.求证方程x 2+mx+12m=1一定有两个不相等的实数根.
10．对关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)
①当a,c 异号时，试证明该方程必有两个不相等实数根。
②当a,c 同号时，该方程要有实数根，还须满足什么条件？
11．若a,b,c 为实数，关于x 的方程2x 2+2(a-c)x+(a-b)2+(b-c)2=0有两个相等的实数根 求证：a+c=2b
12．已知：一元二次方程(ab-2b)x 2+2(b-a)x+2a-ab=0有两个相等的实数根
求b
a 11+的值 13．已知：a,b,c 是ΔABC 的三边，方程0)(4
3)(2)(2=---++c a x c a x c b 有两相等实根 求证：ΔABC 是等腰三角形
14．已知m 为有理数，当k 为何值时，方程x 2-4mx+4x+3m 2-2m+4k=0的根为有理数
15．已知关于x 的方程x 2-2(a+b)x+c 2+2ab=0有等根（a 、b 、c 为正实数），试判定以a 、b 、c 为边的三角形的形状。