2019数学人教a版选修2-3优化练习：第一章 排列与组合(习题课) 含解析
高中数学人教A版选修2-3优化练习第一章1.21.2.2组合含解析
[课时作业][A组基础巩固]1．某中学一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是()A．C25＋C28＋C23B．C25C28C23C．A25＋A28＋A23D．C216解析：分三类：一年级比赛的场数是C25，二年级比赛的场数是C28，三年级比赛的场数是C23，再由分类加法计数原理可求．答案：A2．已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点均不共线，则以其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为()A．3 B．4C．12 D．24解析：C34＝4.答案：B3．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A．12种B．10种C．9种D．8种解析：分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C12＝2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C24＝6(种)选派方法．由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种)．答案：A4．C03＋C14＋C25＋C36＋…＋C1720的值为()A．C321B．C320C．C420D．C421解析：原式＝(C04＋C14)＋C25＋C36＋…＋C1720＝(C15＋C25)＋C36＋…＋C1720＝(C26＋C36)＋…＋C1720＝C1721＝C21－17＝C421.21答案：D5．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有()A．140种B．120种C．35种D．34种解析：分三种情况：①1男3女共有C14C33种选法．②2男2女共有C24C23种选法．③3男1女共C 34C 13种选法．则共有C 14C 33＋C 24C 23＋C 34C 13＝34种选法．答案：D6．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．(用数字作答)解析：由题意知，所有可能的决赛结果有C 16C 25C 33＝6×5×42×1＝60(种)． 答案：607．50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共有________种．解析：分两类，有4件次品的抽法有C 44C 146种；有3件次品的抽法有C 34C 246种，所以共有C 44C 146＋C 34C 246＝4 186种不同的抽法．答案：4 1868．从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________． 解析：从四个数中任取两个数的取法为C 24＝6. 答案：69．已知C 5n －1＋C 3n －3C 3n －3＝345，求n . 解析：原方程可变形为C 5n －1C 3n －3＋1＝195，即C 5n －1＝145C 3n －3， 即(n －1)(n －2)(n －3)(n －4)(n －5)5！＝145·(n －3)(n －4)(n －5)3！， 化简整理得n 2－3n －54＝0.解得n ＝9或n ＝－6(不合题意，舍去)． 所以n ＝9.10．要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？ (1)甲当选且乙不当选；(2)至少有1女且至多有3男当选． 解析：(1)∵甲当选且乙不当选，∴只需从余下的8人中任选4人，有C 48＝70种选法． (2)至少有1女且至多有3男当选时，应分三类：第一类是3男2女，有C 36C 24种选法； 第二类是2男3女，有C 26C 34种选法；第三类是1男4女，有C16C44种选法．由分类加法计数原理知，共有C36C24＋C26C34＋C16C44＝186种选法.[B组能力提升]1．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法是() A．C25C26B．C25A26C．C25A22C26A22D．A25A26解析：分两步进行：第一步：选出两名男选手，有C25种方法；第2步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A26种．故有C25A26种．答案：B2．某单位拟安排6位员工在2016年端午节3天假期值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值第一日，乙不值最后一日，则不同的安排方法共有()A．30种B．36种C．42种D．48种解析：所有排法减去甲值第一日或乙值最后一日，再加上甲值第一日且乙值最后一日的排法，即有C26C24－2×C15C24＋C14C13＝42(种)排法．答案：C3.如图，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有________种．解析：四个小岛中每两岛建一座桥共建六座桥，其中建三座桥连接四个小岛符合要求的建桥方案是只要三座桥不围成封闭的三角形区域符合要求，如桥AC，BC，BD 符合要求，而围成封闭三角形不符合要求，如桥AC，CD，DA，不符合要求，故共有C36－C34＝16(种)．答案：164．如图，在排成4×4方阵的16个点中，中心4个点在某一圆内，其余12个点在圆外，在16个点中任取3个点构成三角形，其中至少有一个点在圆内的三角形共有________个．解析：有一个点在圆内的有：C14(C212－4)＝248(个)．有两个顶点在圆内的有：C24(C112－2)＝60(个)．三个顶点均在圆内的有：C34＝4(个)．所以共有248＋60＋4＝312(个)．答案：3125．现有10件产品，其中有2件次品，任意取出3件检查．(1)若正品A被取到，则有多少种不同的取法？(2)恰有一件是次品的取法有多少种？(3)至少有一件是次品的取法有多少种？解析：(1)C 29＝9×82＝36(种)． (2)从2件次品中任取1件，有C 12种取法，从8件正品中任取2件，有C 28种取法，由分步乘法计数原理得，不同的取法共有C 12×C 28＝2×8×72＝56种． (3)解法一 含1件次品的取法有C 12×C 28种，含2件次品的取法有C 22×C 18种，由分类加法计数原理得，不同的取法共有C 12×C 28＋C 22×C 18＝56＋8＝64种．解法二 从10件产品中任取3件，取法有C 310种，不含次品的取法有C 38种，所以至少有1件次品的取法有C 310－C 38＝64种．6．某次足球赛共12支球队参加，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名进行主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负． 全部赛程共需比赛多少场？解析：(1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2C 26＝2×6×51×2＝30(场)． (2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(或乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一场，所需比赛的场次即为从2个元素中任取2个元素的排列数，所以半决赛共要比赛2A 22＝2×1×2＝4(场)．(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负．所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．。
人教A版数学选修2-3第一章第2节《排列组合习题课》教学设计
【教学设计】教材分析1、教材的地位和作用所授篇目来源于人教A版选修2-3第一章第一节中的排列组合。
排列组合在中学数学中是很重要的内容之一，他是对后面的概率内容学习的延续，为后面的知识做了很好的铺垫。
因此，学好这一节的内容对整个中学数学，甚至在学生后期的自主招生，甚至竞赛考试中取得优秀的成绩都是至关重要的。
2、教学目标情感目标：培养学生积极参与、合作交流的主体意识，在知识的探索和发现过程中，使学生感受数学学习的意义。
能力目标：在复习排列组合的过程中，训练学生条理的逻辑思维能力，努力提高学生的观察、归纳概括和独立思考的能力，使学生在学习知识的同时掌握一些数学思想方法。
知识目标：掌握排列组合的有关知识点，并会解决对于有限制条件的排列组合。
3、重点难点的确定及依据根据这一节课的内容特点以及学生的实际情况：学生对有限制条件的排列组合的应用缺乏感性认识，不能够在理解的基础上来运用排列组合的知识点解决问题。
因此，本节课的难点是有限制条件的排列组合的求解，依据本节的教学内容和学生现有的实际水平和认知能力，把排列、组合的意义及其计算方法作为教学重点。
一、教法和学法分析1、教法分析根据上述的教材分析，针对职高学生的知识结构和心理特征，本节课遵循以教师为主导、学生为主体、训练为主线的教学原则。
采用发现法、启发引导式、练习相结合的教学法。
而且要注意分层次进行教学，抢答题和拓展题不要求所有学生会做，只要求中等偏上的同学会做。
在课堂教学中充分运用投影辅助教学演示手段的操作，投影学生的作业，通过学生观察分析，主动探索解决有限制条件的排列组合问题。
为强化重点，突破难点，通过比较，做练习让学生能更好的掌握。
由于学生的基础参差不齐，为此，在教学中要顾及全局，注意提高差生的学习兴趣和学习能力，耐心讲解，耐心辅导。
2、学法分析数学教学是师生之间，学生之间交往互动与共同发展的过程，学生的学是中心，会学是目的，因此在教学中要不断指导学生学会学习。
数学人教A版选修2-3优化练习第一章 章末检测 Word版含解析
章末检测时间：分钟满分：分一、选择题(本大题共个小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆种蔬菜品种中选出种分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有( )．种．种．种．种解析：因为黄瓜必须种植，在余下的种蔬菜品种中再选出两种进行排列，共有＝种．故选.答案：．若＝，则等于( )．或．．．或解析：＝(－)(－)，＝(－)，∴(－)(－)＝(－)，又∈*，且≥，解得＝.答案：．关于(－)的说法，错误的是( )．展开式中的二项式系数之和为．展开式中第项的二项式系数最大．展开式中第项和第项的二项式系数最大．展开式中第项的系数最小解析：由二项式系数的性质知，二项式系数之和为＝，故正确；当为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故正确，错误；也是正确的，因为展开式中第项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的．答案：．某铁路所有车站共发行种普通客票，则这段铁路共有车站数是( )．．．．解析：∵＝(－)＝，∴＝(＝－舍去)．故选.答案：．某城市的汽车牌照号码由个英文字母后接个数字组成，其中个数字互不相同的牌照号码共有( )．个．()个．个．()个解析：个英文字母可重复，都有种不同取法个不同数字有种不同排法．由分步乘法计数原理知满足条件的牌照号码有··＝()·个．答案：．某学习小组男、女生共人，现从男生中选人，从女生中选人，分别去做种不同的工作，共有种不同的安排方法，则男、女生人数为( )．．．．解析：设男生有人，则女生有(－)人，∵··＝，∴＝.故选.答案：．由数字可以组成的无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有 ( )．．．．解析：只考虑奇偶相间，则有种不同的排法，其中在首位的有种不符合题意，所以共有－＝种．答案：．一次考试中，要求考生从试卷上的个题目中选个进行答题，要求至少包含前个题目中的个，则考生答题的不同选法的种数是 ( )．．．．解析：分三类：第一类：前个题目的个，后个题目的个，第二类：前个题目的个，后个题目的个，第三类：前个题目的个，后个题目的个，由分类加法计数原理得＋＋＝.答案：．若多项式＋＝＋(＋)＋…＋(＋)＋(＋)，则＝( )．．．－．－解析：的系数为，∴＝，的系数为＋·，∴＋＝，∴＝－.故应选.答案：．张、王两家夫妇各带个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这人的入园顺序排法种数共有()．．．．解析：第一步，将两位爸爸排在两端有种排法；第二步，将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有种排法，故总的排法有××＝种．。
数学人教A版选修2-3教材梳理：1.2排列与组合含解析
庖丁巧解牛知识·巧学一、排列、排列数公式1.排列一般地,从ｎ个不同的元素中任取ｍ(ｍ≤ｎ)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个排列. (1）“一定的顺序”说明如果两个排列相同,那么不但所有元素相同，而且排列的顺序也要相同。
如三个数的排列123与132虽然元素完全相同,但元素的排列顺序不同,它们也是不同的排列。
(2）“ｎ个不同的元素”，所给的ｎ个元素不同，所取出的元素也就各不相同，也就是说如果某个元素被取出，就不能再取了，即无重复的排列.深化升华判断一个具体问题是不是排列问题，就看从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素后，再安排这ｍ个元素时是有序还是无序,有序就是排列,无序就不是排列.也就是说，排列问题与元素的顺序有关,与顺序无关的不是排列.如取出两个数做乘法就与顺序无关，就不是排列，做除法就与顺序有关，就是排列。
2。
排列数从ｎ个不同的元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有不同排列的个数叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的排列数，用符号A m n表示。
排列数概念可以从集合的角度进行解释。
例如：从ａ、ｂ、ｃ这三个不同的元素中任取两个元素的排列数的问题，就是集合A={ab，bc,ca,ba,cb,ac}的元素个数问题，显然card（A）=6。
这里，由排列的定义知，集合A 中的元素ａｂ与ｂａ应视为不同的元素. 辨析比较 “排列"与“排列数”是两个不同的概念，排列是一个具体的排法，不是数；排列数是所有排列的个数。
它是一个数。
在写具体排列时，要按一定规律写,以免造成重复或遗漏。
3。
排列数公式（1）排列数公式：①连乘表示式：mnA =n （n —1)（n-2）…（n —m+1）.其中，n,m∈N *，且ｍ≤ｎ;②阶乘表示式：)!(!m n n Am n -=，其中n,m∈N *，且ｍ≤ｎ。
（2）全排列：ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个不同元素的一个全排列。
(3)阶乘：ｎ个不同元素全部取出的排列数,等于正整数1到ｎ的连乘积，叫做ｎ的阶乘，用n ！表示,即nnA =n ！。
2019-2020学年高中数学人教A版选修2-3课时训练：1.2 排列与组合1(一) Word版含答案
1．2排列与组合1．2.1排列(一)[学习目标]1．理解并掌握排列的概念．2．理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．[知识链接]1．同一个排列中，同一个元素能重复出现吗？答由排列的定义知，在同一个排列中不能重复出现同一个元素．2．排列与排列数的区别是什么？答“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指完成的具体的一件事，其过程要先取后排，它不是一个数；而排列数是指完成具体的一件事的所有方法的种数，即所有排列的个数，它是一个数．[预习导引]1．排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．排列数的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n 表示．3．排列数公式Am n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝n！（n－m）！.要点一排列的概念例1 判断下列问题是否是排列问题(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？解(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．(2)因为任何一种从10名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．∴(1)(3)是排列问题，(2)不是排列问题．规律方法确认一个具体问题是否为排列问题，一般从两个方面确认．(1)首先要保证元素的无重复性，否则不是排列问题．(2)其次要保证选出的元素被安排的有序性，否则不是排列问题，而检验它是否有顺序的标准是变换某一结果中两元素的位置，看结果是否变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．跟踪演练1 下列问题是排列问题吗？并说明理由．(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？(2)从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程x2a2＋y2b2＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程x2a2－y2b2＝1?解(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程x2a2＋y2b2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a＞b，a，b的大小关系一定；在双曲线x2a2－y2b2＝1中，不管a＞b还是a＜b，方程x2a2－y2b2＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．要点二列举法解决排列问题例2 (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．解(1)由题意作树形图，如图．故所有两位数为12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12个．(2)由题意作树形图，如图．故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个．规律方法“树形图”在解决排列问题个数不多的情况时，是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准，进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二位元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．跟踪演练 2 将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法．解树形图为(如图)：由树形图知，所有排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共有9种排法．要点三排列数公式的应用例3 求解下列问题：(1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n<55)；(2)计算2A58＋7A48 A88－A59；(3)解方程：A42x＋1＝140A3x.解(1)因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15(个)，所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝A1569－n；(2)2A58＋7A48 A88－A59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝8×7×6×5×（8＋7）8×7×6×5×（24－9）＝1；(3)根据原方程，x 应满足⎩⎨⎧2x ＋1≥4，x≥3，x ∈N*解得x ≥3，x ∈N *.根据排列数公式，原方程化为(2x ＋1)·2x ·(2x －1)·(2x －2)＝140x ·(x －1)·(x －2)．因为x ≥3，两边同除以4x (x －1)，得(2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)．即4x 2－35x ＋69＝0，解得x ＝3或x ＝534(因为x 为整数，所以应舍去)．所以原方程的解为x ＝3.规律方法 1.排列数公式的乘积的形式适用于个体计算和当m 较小时的含排列数的方程和不等式问题．2．排列数公式的阶乘的形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意提取公因式，可以简化计算． 跟踪演练3 (1)解不等式：Ax ＋28＜6Ax 8；(2)证明 An n ＋1－An n ＝n An n ，并用此结论计算A11＋2A22＋3A33＋…＋8A88. (1)解 原不等式等价于⎩⎨⎧8！[8－（x ＋2）]！＜6×8！（8－x ）！，x ＋2≤8且x ∈N*，整理得⎩⎨⎧x2－15x ＋50＜0，x≤6且x ∈N*. 即5＜x ≤6且x ∈N *，从而解得x ＝6. (2)证明 An n ＋1－An n ＝(n ＋1)！－n! ＝(n ＋1)n ！－n ！＝n ·n ！＝n An n . A11＋2A22＋3A33＋…＋8A88＝(A22－A11)＋(A33－A22)＋…＋(A88－A77)＋(A99－A88) ＝A99－A11＝9！－1＝362 879. 题型四 排列的简单应用 例4(1)有5个不同的科研小课题，从中选3个科研小课题由高二·三班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？(2)有5个不同的科研课题，高二·三班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一项，共有多少种不同的安排方法？解 (1)从5个课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，对应于从5个元素中取出3个元素的一个排列．因此不同的安排方法是A35＝5×4×3＝60(种)．(2)3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题，共有5×5×5＝125种不同的安排方法．跟踪演练4用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：(1)各位数字互不相同的三位数有多少个？(2)可以排出多少个不同的数？(3)恰好有两个相同数字的三位数共有多少个？解(1)A36＝120(个)．(2)每掷一次，出现的数字均有6种可能性，故有6×6×6＝216(个)．(3)两个数字相同有三种可能性，即第一、二位，第二、三位，第三、一位相同，而每种情况有6×5种，故有3×6×5＝90(个).1．下列问题属于排列问题的是( )①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算．A．①④B．①②C．④D．①③④答案 A解析根据排列的定义，选出的元素有顺序的才是排列问题．2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为( )A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲B．甲乙丙，乙丙甲C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D．甲乙，甲丙，乙丙答案 C解析选出两人，两人的不同顺序都要考虑．3．设m∈N*，且m<15，则(15－m)(16－m)…(20－m)等于( )20－mA．A615－m B．A15mC ．A620－mD ．A520－m 答案 C解析 因为15－m ，16－m ，…，20－m 中的最大数为20－m ，且共有20－m －(15－m )＋1＝6(个)．所以(15－m )(16－m )…(20－m )＝A620－m.4．8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．答案 1 680解析 将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A48＝8×7×6×5＝1 680(种)．1．排列有两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排成一列”．这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关，所以，取出的元素与“顺序”有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准．2．排列数公式有两种形式，可以根据要求灵活选用.一、基础达标 1.A67－A56A45＝( )A ．12B ．24C ．30D ．36答案 D解析 A67＝7×6×A45，A56＝6×A45，所以原式＝36A45A45＝36. 2．18×17×16×…×9×8＝( )A ．A818B ．A918C ．A1018D ．A1118答案 D3．若x ＝n ！3！，则x ＝( )A ．A3nB ．An －3nC ．An 3D ．A3n －3答案 B4．与A710·A22不等的是( )A．A910 B．81A88C．10A99D．A1010答案 B5．若A5m＝2A3m，则m的值为( )A．5 B．3 C．6 D．7答案 A6．若Am n＝17×16×15×…×5×4，则n＝________，m＝________.答案17 147．10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？解坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中的任意6个人，若把人抽象地看成元素，将6把不同的椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从10个元素中取6个元素占据6个不同的位置．显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题．从而，共有A610＝151 200种坐法．二、能力提升8．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有( )A．50 B．60 C．120 D．90答案 C解析5本书进行全排列，A55＝120.9．(2013·四川卷)从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )A．9 B．10 C．18 D．20答案 C解析首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共有A25＝20种排法，因为31＝93，13＝39，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是20－2＝18.10．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案(用数字作答)．答案60解析将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有A35＝5×4×3＝60(种)．11．某国的篮球职业联赛共有16支球队参加．(1)每队与其余各队在主客场分别比赛一次，共要进行多少场比赛？(2)若16支球队恰好8支来自北部赛区，8支来自南部赛区，为增加比赛观赏度，各自赛区分别采用(1)中的赛制决出赛区冠军后，再进行一场总冠军赛，共要进行多少场比赛？解(1)任意两队之间要进行一场主场比赛及一场客场比赛，对应于从16支球队任取两支的一个排列，比赛的总场次是A216＝16×15＝240.(2)由(1)中的分析，比赛的总场次是A28×2＋1＝8×7×2＋1＝113.12．判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．解(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题；(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题；(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题．三、探究与创新13．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？解由题意可知，原有车票的种数是A2n种，现有车票的种数是A2n＋m种，∴A2n＋m－A2n＝62，即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62.∴m(2n＋m－1)＝62＝2×31，∵m＜2n＋m－1，且n≥2，m，n∈N*∴⎩⎨⎧m ＝2，2n ＋m －1＝31， 解得m ＝2，n ＝15，故原有15个车站，现有17个车站．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x }，若M ∪N={0，1，2，3}，则x 的值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．02．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（ ）A ．球B ．圆柱C ．圆台D ．圆锥3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．4．某程序框图如图所示，若输入x 的值为1，则输出y 的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．已知向量=（1，2），=（x ，4），若∥，则实数x 的值为（ ） A ．8B ．2C ．﹣2D ．﹣86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，207．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x＜﹣1}9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=1010．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B 到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为•15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】并集及其运算．【分析】根据M及M与N的并集，求出x的值，确定出N即可．【解答】解：∵集合M={0，1，2}，N={x}，且M∪N={0，1，2，3}，∴x=3，故选：A．2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为圆锥．【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥．故选D．3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意，要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，利用区间长度的比求．【解答】解：要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为；故选B．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=1，y=1﹣1+3=3，输出y的值为3．故选：B．5．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可．【解答】解：∵∥，∴4﹣2x=0，得x=2，故选：B6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．∴从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别，高二：，高三：45﹣15﹣10=20．故选：D7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，即可得出结论．【解答】解：∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，∴直线BD与A1C1垂直，∴直线BD与A1C1异面且垂直，故选：D．8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x＜﹣1}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集．【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2，所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．故选：A．9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=10【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段PQ，所以圆心为P，Q的中点，应用中点坐标公式求出，半径为线段PQ长度的一半，求出线段PQ的长度，除2即可得到半径，再代入圆的标准方程即可．【解答】解：∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1）半径r===∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：C．10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B 到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km【考点】解三角形的实际应用．【分析】直接利用与余弦定理求出AB的数值．【解答】解：根据余弦定理AB2=a2+b2﹣2abcosC，∴AB===（km）．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=2．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：log21+log24=0+log222=2．故答案为：2．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=±3．【考点】等比数列．【分析】由等比数列的性质得x2=9，由此能求出实数x．【解答】解：∵1，x，9成等比数列，∴x2=9，解得x=±3．故答案为：±3．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是5．【考点】简单线性规划．【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可．【解答】解：由已知，目标函数变形为y=﹣x+z，当此直线经过图中点（3，2）时，在y轴的截距最大，使得z最大，所以z的最大值为3+2=5；故答案为：5．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为4•【考点】函数的零点．【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，∴f（a）=2﹣log2a=0，∴log2a=2，解得a=4．故答案为：4．15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为45°．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，AE⊥平面EFBC，∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，即可得出结论．【解答】解：由题意，AE⊥平面EFBC，∴∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，∵AE=EF，∴∠AFE=45°．故答案为45°．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由，＜θ＜π结合同角平方关系可求cosθ，利用同角基本关系可求（2）结合（1）可知tanθ的值，故考虑把所求的式子化为含“切”的形式，从而在所求的式子的分子、分母同时除以cos2θ，然后把已知tanθ的值代入可求．【解答】解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1，∴cos2θ=．又＜θ＜π，∴cosθ=∴．（2）=．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于1，求出a的值，频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数；（2）求出本公司职员平均费用不少于8元的频率就能求出公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元．【解答】解：（1）据题意得：（0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05）×2=1，解得a=0.15，众数为：；（2）该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有：×2=200，18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=2n﹣1+n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）由已知得a2=2a1，a3+1=4a1+1，a4=8a1，又a2，a3+1，a4成等差数列，可得：2（a3+1）=a2+a4，所以2（4a1+1）=2a1+8a1，解得a1=1，故a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（2）因为b n=2n﹣1+n，所以S5=b1+b2+b3+b4+b5=（1+2+...+16）+（1+2+ (5)=+=31+15=46．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可．（2）利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：（1）∵；（2）∵f（x）=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，x∈[﹣2，2]，开口向上，对称轴为：x=1，∴x=1时，f（x）的最小值为5，x=﹣2时，f（x）的最大值为14．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值；（3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出△CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；解法二：利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m 的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，≤，当且仅当，即时，△CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以≤2，当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．2017年5月5日。
高中数学人教A版选修2-3优化练习：第一章 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 Word版含解析
[课时作业][A组基础巩固]1．若x∈{1,2,3}，y∈{5,7,9}，则x·y的不同值个数是()A．2 B．6C．9 D．8解析：求积x·y需分两步取值：第1步，x的取值有3种；第2步，y的取值有3种，故有3×3＝9个不同的值．答案：C2．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A．40 B．16C．13 D．10解析：分两类：第1类，直线a与直线b上8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b与直线a上5个点可以确定5个不同的平面．故可以确定8＋5＝13个不同的平面．答案：C3．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有()A．3种B．6种C．7种D．9种解析：分3类：买1本好书，买2本好书和买3本好书，各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)．答案：C4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有() A．30个B．42个C．36个D．35个解析：第一步，取b，有6种方法；第二步，取a，也有6种方法，根据分步乘法计数原理得，共有6×6＝36种方法，即虚数有36个．答案：C5．如图所示，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有()A．288种B．264种C．240种D．168种解析：先涂A，D，E三个点，共有4×3×2＝24种涂法，然后按B，C，F的顺序涂色，分为两类；一类是B与E或D同色，共有2×(2×1＋1×2)＝8种涂法；另一种是B与E和D均不同色，共有1×(1×1＋1×2)＝3种涂法．所以涂色方法共有24×(8＋3)＝264种．答案：B6．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．解析：选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为5、6、4，由分步乘法计数原理知，选法总数为N＝5×6×4＝120.答案：1207．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2名参加校学生会的竞选，其中至少有1名女生当选的选法种数是________．解析：至少有1名女生当选有两种可能：(1)参加竞选的有1名女生，有4×3＝12种选法；(2)参加竞选的有2名女生，有3种不同选法．因此至少有1名女生当选的选法为12＋3＝15(种)．答案：158．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄．为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有________种．解析：分两步：第一步，先选垄，共有6种选法．第二步：种植A、B两种作物，有2种选法．因此，由分步乘法计数原理，不同的选垄种植方法有6×2＝12(种)．答案：129．设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，a∈{1,2,3,4,5,6,7}，b∈{1,2,3,4,5}，这样的椭圆共有多少个？解析：依题意按a，b的取值分为6类，第一类：a＝2，b＝1；第二类：a＝3，b＝1, 2；第三类：a＝4，b＝1,2,3；第四类：a＝5，b＝1,2,3,4；第五类：a＝6，b＝1,2,3,4,5；第六类：a＝7，b＝1,2,3,4,5.由分类加法计数原理得：这样的椭圆共有1＋2＋3＋4＋5＋5＝20个．10．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？(2)若每个年级选1人成为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？(3)若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动，有多少种不同的选法？解析：(1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5种选法；第二类，从高二年级选一人，有6种选法；第三类，从高三年级选一人，有4种选法．由分类加法计数原理得，共有5＋6＋4＝15种选法．(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选法；第二步，从高二年级选一人，有6种选法；第三步，从高三年级选一人，有4种选法．由分步乘法计数原理得，共有5×6×4＝120种选法．(3)分三类：高一、高二各一人，共有5×6＝30种选法；高一、高三各一人，共有5×4＝20种选法；高二、高三各一人，共有6×4＝24种选法．由分类加法计数原理得，共有30＋20＋24＝74种选法．[B组能力提升]1．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14 B．13C．12 D．10解析：当a＝0时，关于x的方程为2x＋b＝0，此时有序数对(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均满足要求；当a≠0时，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此时满足要求的有序数对为(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)．综上，满足要求的有序数对共有13个，选B.答案：B2．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为方程Ax＋By＝0的系数A、B的值，则形成的不同直线有()A．18条B．20条C．25条D．10条解析：第一步，取A的值，有5种取法；第二步，取B的值，有4种取法，其中当A＝1，B＝2时与A＝2，B＝4时是相同的方程；当A＝2，B＝1时与A＝4，B＝2时是相同的方程，故共有5×4－2＝18条．答案：A3．如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，则有________种不同的着色方案.解析：操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理得，共有6×5×4×4＝480种着色方案．答案：4804．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形有________个．解析：另两边长用x，y表示，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x＋y≥12.当y取11时，x＝1,2,3，…，11，可有11个三角形；当y取10时，x＝2,3，…，10，有9个三角形；……当y取6时，x＝6，有1个三角形．所以，所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.答案：365．电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞赛中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的选择？解析：分两类情况：(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴有30×29×20＝17 400种结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400种结果．因此共有不同结果17 400＋11 400＝28 800种．6．7名学生中有3名会下象棋但不会下围棋，有2名学生会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现从中选出会下象棋和会下围棋的各1人参加比赛，共有多少种不同的选法？解析：第一类：从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，由分步乘法计数原理得N1＝3×2＝6(种)．第二类：从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，由分步乘法计数原理得N2＝3×2＝6(种)．第三类：从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，由分步乘法计数原理得N3＝2×2＝4(种)．第四类：从2名既会下象棋又会下围棋的学生中各选1名参加象棋比赛和围棋比赛，有N4＝2种．综上，由分类加法计数原理可知，不同选法共有N＝N1＋N2＋N3＋N4＝6＋6＋4＋2＝18(种).。
高中数学人教A版选修2-3练习：1.2.2.1 组合与组合数公式 Word版含解析
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．以下四个命题，属于组合问题的是()A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地【解析】从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．【答案】 C2．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为()A．4B．8C．28D．64【解析】由于“村村通”公路的修建，是组合问题．故共需要建C28＝28条公路．【答案】 C3．组合数C r n(n>r≥1，n，r∈N)恒等于()A.r＋1n＋1C r－1n－1B．(n＋1)(r＋1)C r－1n－1C．nr C r－1n－1D.nr Cr－1n－1【解析】nr Cr－1n－1＝nr·(n－1)！(r－1)！(n－r)！＝n！r！(n－r)！＝C r n.【答案】 D4．满足方程C x2－x16＝C5x－5的x值为()16A．1,3,5，－7 B．1,3C．1,3,5 D．3,5【解析】依题意，有x2－x＝5x－5或x2－x＋5x－5＝16，解得x＝1或x ＝5；x＝－7或x＝3，经检验知，只有x＝1或x＝3符合题意．【答案】 B5．异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是()A．20 B．9C．C39D．C24C15＋C25C14【解析】分两类：第1类，在直线a上任取一点，与直线b可确定C14个平面；第2类，在直线b上任取一点，与直线a可确定C15个平面．故可确定C14＋C15＝9个不同的平面．【答案】 B二、填空题6．C03＋C14＋C25＋…＋C1821的值等于________．【解析】原式＝C04＋C14＋C25＋…＋C1821＝C15＋C25＋…＋C1821＝C1721＋C1821＝C1822＝C422＝7 315.【答案】7 3157．设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A中含有3个元素的子集共有________个．【解析】从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的子集，则共有C35＝10个子集．【答案】108．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)【解析】从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C 410＝210种分法．【答案】 210三、解答题9．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？【解】 从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有C 36＝6×5×43×2×1＝20个．10．(1)求式子1C x 5－1C x 6＝710C x 7中的x ； (2)解不等式C m －18>3C m 8. 【解】 (1)原式可化为：x ！(5－x )！5！－x ！(6－x )！6！＝7·x ！(7－x )！10·7！，∵0≤x ≤5，∴x 2－23x ＋42＝0， ∴x ＝21(舍去)或x ＝2，即x ＝2为原方程的解．(2)由8！(m －1)！(9－m )！>3×8！m ！(8－m )！， 得19－m>3m ，∴m >27－3m ， ∴m >274＝7－14.又∵0≤m －1≤8，且0≤m ≤8，m ∈N ，即7≤m ≤8，∴m ＝7或8.[能力提升]1．已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有( )A ．36个B ．72个C ．63个D ．126个【解析】此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点为C49＝126个．【答案】 D2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有() 【导学号：97270017】A．140种B．84种C．70种D．35种【解析】可分两类：第一类，甲型1台、乙型2台，有C14·C25＝4×10＝40(种)取法，第二类，甲型2台、乙型1台，有C24·C15＝6×5＝30(种)取法，共有70种不同的取法．【答案】 C3．对所有满足1≤m<n≤5的自然数m，n，方程x2＋C m n y2＝1所表示的不同椭圆的个数为________．【解析】∵1≤m<n≤5，所以C m n可以是C12，C13，C23，C14，C24，C34，C15，C25，C35，C45，其中C13＝C23，C14＝C34，C15＝C45，C25＝C35，∴方程x2＋C m n y2＝1能表示的不同椭圆有6个．【答案】 64．证明：C m n＝nn－mC m n－1.【证明】nn－mC m n－1＝nn－m·(n－1)！m！(n－1－m)！＝n！m！(n－m)！＝C m n.。
2019-2020学年高中数学人教A版选修2-3课时训练：1.2 排列与组合2(一) Word版含答案
1．2.2组合(一)[学习目标]1．理解组合及组合数的概念．2．能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．[知识链接]1．排列与组合有什么联系和区别？答排列与组合都是从n个不同元素中取出m个元素；不同之处是组合选出的元素没有顺序，而排列选出的元素是有顺序的．组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果．2．两个相同的排列有什么特点？两个相同的组合呢？答两个相同的排列需元素相同且元素排列顺序相同．两个相同的组合是只要元素相同，不看元素顺序如何．[预习导引]1．组合的概念一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n 表示．3．组合数公式Cm n＝Am nAm m＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！＝n！m！（n－m）！(n，m∈N*，m≤n).要点一组合概念的理解例1 判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．(1)10人相互通一次电话，共通多少次电话？(2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？(3)从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？解(1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为C210＝45.(2)是组合问题，因为每两支球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为C210＝45.(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别，组合数为C310＝120.(4)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的，排列数为A310＝720.规律方法排列、组合问题的判断方法(1)区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序．(2)区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．跟踪演练1判断下列问题是组合还是排列，并用组合数或排列数表示出来．(1)若已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，则集合的子集中有3个元素的有多少？(2)8人相互发一个电子邮件，共写了多少个邮件？(3)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？解(1)已知集合的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题，共有C37个．(2)发邮件与顺序有关，是排列问题，共写了A28个电子邮件．(3)飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题，有A24种飞机票；票价只与两站的距离有关，故票价的种数是组合问题，有C24种票价．要点二组合数公式的应用99＋C99100；99＋C98例2 (1)计算：C97n＋1；(2)求值：C5－nn＋C9－n18.18＝C4n－2(3)解方程：C3n＋6101＝C2101＝5 050；100＝C99解(1)C9798＋C9899＋C99100＝C98100＋C99(2)由组合数定义知：⎩⎨⎧0≤5－n≤n ，0≤9－n≤n ＋1，∴4≤n ≤5，又∵n ∈N *，∴n ＝4或5. 当n ＝4时，C5－n n ＋C9－n n ＋1＝C14＋C55＝5； 当n ＝5时，C5－n n ＋C9－n n ＋1＝C05＋C46＝16. (3)由原方程及组合数性质可知3n ＋6＝4n －2，或3n ＋6＝18－(4n －2)， ∴n ＝2，或n ＝8，而当n ＝8时，3n ＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去． 因此n ＝2. 规律方法(1)公式Cm n ＝Am n Am m ＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！，一般用于求值计算；(2)公式Cm n ＝n ！m ！（n －m ）！(m ，n ∈N *，且m ≤n )，一般用于化简证明．在具体选择公式时要根据题目特点正确选择．(3)根据题目特点合理选用组合数的两个性质Cm n ＝Cn －m n ，Cm n ＋1＝Cm n ＋Cm －1n ，能起到简化运算的作用，需熟练掌握．跟踪演练2 (1)计算：C98100＋C199200； (2)求C38－n 3n ＋C3n 21＋n 的值； (3)证明：Cm n ＝n n －m Cm n －1. (1)解 C98100＋C199200＝C2100＋C1200＝100×992＋200＝4 950＋200＝5 150.(2)解 由组合数定义知： ⎩⎨⎧0≤38－n≤3n ，0≤3n≤21＋n.即⎩⎪⎨⎪⎧192≤n≤38，0≤n≤212.∴192≤n ≤212，∵n ∈N *，∴n ＝10，∴C38－n 3n ＋C3n 21＋n ＝C2830＋C3031＝C230＋C131＝30×292×1＋31＝466. (3)证明nn －m Cm n －1＝nn －m ·（n －1）！m ！（n －1－m ）！＝n！m！（n－m）！＝Cm n.要点三组合的简单应用例3 一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球．(1)共有多少种不同的取法？(2)其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？(3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？解(1)从口袋里的8个球中任取5个球，不同取法的种数是C58＝C38＝8×7×63×2×1＝56.(2)从口袋里的8个球中任取5个球，其中恰有一个红球，可以分两步完成：第一步，从7个白球中任取4个白球，有C47种取法；第二步，把1个红球取出，有C11种取法．故不同取法的种数是：C47·C11＝C47＝C37＝35.(3)从口袋里任取5个球，其中不含红球，只需从7个白球中任取5个白球即可，不同取法的种数是C57＝C27＝7×62×1＝21.规律方法基本组合问题的解法：(1)判断是否为组合问题；(2)是否分类或分步；(3)根据组合相关知识进行求解．跟踪演练3现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？(3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C210＝10×92×1＝45(种)．(2)可把问题分两类情况：第一类，选出的2名是男教师有C26种方法；第二类，选出的2名是女教师有C24种方法．根据分类加法原理，共有C26＋C24＝15＋6＝21(种)不同选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C26种，从4名女教师中选2名的选法有C24种，根据分步乘法计数原理，共有选法C26×C24＝6×52×1×4×32×1＝90(种).1．已知C2n ＝10，则n 的值等于( ) A ．10 B ．5 C ．3 D ．2 答案 B2．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？ ②有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？ 其中是组合问题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C3．下列等式不正确的是( ) A ．Cm n ＝n ！m ！（n －m ）！ B ．Cm n ＝Cn －m n C ．Cm n ＝m ＋1n ＋1Cm ＋1n ＋1 D ．Cm n ＝Cm ＋1n ＋1 答案 D4．某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种________种．(结果用数值表示) 答案 7解析 设餐厅至少还需准备x 种不同的素菜． 由题意，得C25·C2x ≥200， 从而有C2x ≥20.即x (x －1)≥40. 又x ≥2，所以x 的最小值为7.1．排列与组合的联系与区别(1)联系：二者都是从n 个不同的元素中取m (m ≤n )个元素． (2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序． 2．关于组合数的计算：(1)涉及具体数字的可以直接用公式Cm n ＝Am n Am m ＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！计算；(2)涉及字母的可以用阶乘式Cm n ＝n ！m ！（n －m ）！计算；(3)计算时应注意利用组合数的性质Cm n ＝Cn －m n 简化运算.一、基础达标1．下列计算结果为21的是( )A ．A24＋C26B ．C77C ．A27D ．C27答案 D2．下面几个问题中属于组合问题的是( )①由1，2，3，4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1，2，3构成两位数的方法；④由1，2，3组合无重复数字的两位数的方法． A ．①③B ．②④C ．①②D ．①②④答案 C3．已知平面内A ，B ，C ，D 这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )A ．3B ．4C ．12D ．24答案 B 解析 C34＝4.4．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( )A ．A310种B ．C310种C ．C310A310种D ．30种答案 B解析 三张票没区别，从10人中选3人即可，即C310.5．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种．答案96解析甲选2门有C24种选法，乙选3门有C34种选法，丙选3门有C34种选法．∴共有C24·C34·C34＝96(种)选法．6．从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有________种．答案70解析根据结果分类：第一类，两台甲型机，有C24·C15＝30；第二类，两台乙型机，有C14·C25＝40.根据分类加法计数原理，共有C24·C15＋C14·C23＝70.7．直线x＝1，y＝x，将圆x2＋y2＝4分成A，B，C，D四个区域，用五种不同的颜色给他们涂色，要求共边的两区域颜色互异，每个区域只涂一种颜色，共有多少种不同的涂色方法？解第1步，涂A区域有C15种方法；第2步，涂B区域有C14种方法；第3步，涂C区域和D 区域；若C区域涂A区域已填过颜色，则D区域有4种涂法；若C区域涂A、B剩余3种颜色之一，即有C13种涂法，则D区域有C13种涂法．故共有C15·C14·(4＋C13·C13)＝260种不同的涂色方法．二、能力提升8．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案的种数有( )A．35 B．70 C．210 D．105答案 B解析先从7人中选出3人有C37＝35种情况，再对选出的3人相互调整座位，共有2种情况，故不同的调整方案种数为2C37＝70.9．(2013·山东)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A ．243 B ．252C ．261D ．279答案 B解析 所有三位数的个数为9×10×10＝900.没有重复数字的三位数有C19A29＝648，所以有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.10．从2，3，5，7四个数中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ∶n ＝________. 答案 1∶2解析 ∵m ＝C24，n ＝A24，∴m ∶n ＝1∶2. 11．设x ∈N *，求Cx －12x －3＋C2x －3x ＋1的值．解 由题意可得：⎩⎨⎧2x －3≥x －1，x ＋1≥2x －3，解得2≤x ≤4，∵x ∈N *，∴x ＝2或x ＝3或x ＝4.当x ＝2时原式的值为4；当x ＝3时原式的值为7； 当x ＝4时原式的值为11.∴所求的值为4或7或11.12．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有次品为止． (1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次测试才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？解 (1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24·A22＝A24种测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法．所以共有不同测试方法A46·A24·A44＝103 680(种)．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现．所以共有不同测试方法C14·(C16·C33)A44＝576(种)． 三、探究与创新13．第21届世界杯足球赛于2018年夏季在俄罗斯举办，共32支球队有幸参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这届世界杯总共将进行多少场比赛？解 可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有C24＝6(场)，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛：8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛：根据赛制规则，8强中每两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛：根据赛制规则，4强每两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛：2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队比赛1场决出第三、四名，共有2场．综上，由分类加法计数原理知，共有48＋8＋4＋2＋2＝64(场)比赛．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．02．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，207．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x＜﹣1}9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=1010．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B 到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为•15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】并集及其运算．【分析】根据M及M与N的并集，求出x的值，确定出N即可．【解答】解：∵集合M={0，1，2}，N={x}，且M∪N={0，1，2，3}，∴x=3，故选：A．2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为圆锥．【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥．故选D．3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意，要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，利用区间长度的比求．【解答】解：要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为；故选B．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=1，y=1﹣1+3=3，输出y的值为3．故选：B．5．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可．【解答】解：∵∥，∴4﹣2x=0，得x=2，故选：B6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．∴从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别，高二：，高三：45﹣15﹣10=20．故选：D7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，即可得出结论．【解答】解：∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，∴直线BD与A1C1垂直，∴直线BD与A1C1异面且垂直，故选：D．8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x＜﹣1}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集．【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2，所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．故选：A．9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=10【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段PQ，所以圆心为P，Q的中点，应用中点坐标公式求出，半径为线段PQ长度的一半，求出线段PQ的长度，除2即可得到半径，再代入圆的标准方程即可．【解答】解：∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1）半径r===∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：C．10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B 到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km【考点】解三角形的实际应用．【分析】直接利用与余弦定理求出AB的数值．【解答】解：根据余弦定理AB2=a2+b2﹣2abcosC，∴AB===（km）．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=2．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：log21+log24=0+log222=2．故答案为：2．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=±3．【考点】等比数列．【分析】由等比数列的性质得x2=9，由此能求出实数x．【解答】解：∵1，x，9成等比数列，∴x2=9，解得x=±3．故答案为：±3．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是5．【考点】简单线性规划．【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可．【解答】解：由已知，目标函数变形为y=﹣x+z，当此直线经过图中点（3，2）时，在y轴的截距最大，使得z最大，所以z的最大值为3+2=5；故答案为：5．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为4•【考点】函数的零点．【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，∴f（a）=2﹣log2a=0，∴log2a=2，解得a=4．故答案为：4．15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为45°．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，AE⊥平面EFBC，∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，即可得出结论．【解答】解：由题意，AE⊥平面EFBC，∴∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，∵AE=EF，∴∠AFE=45°．故答案为45°．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由，＜θ＜π结合同角平方关系可求cosθ，利用同角基本关系可求（2）结合（1）可知tanθ的值，故考虑把所求的式子化为含“切”的形式，从而在所求的式子的分子、分母同时除以cos2θ，然后把已知tanθ的值代入可求．【解答】解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1，∴cos2θ=．又＜θ＜π，∴cosθ=∴．（2）=．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于1，求出a的值，频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数；（2）求出本公司职员平均费用不少于8元的频率就能求出公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元．【解答】解：（1）据题意得：（0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05）×2=1，解得a=0.15，众数为：；（2）该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有：×2=200，18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=2n﹣1+n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）由已知得a2=2a1，a3+1=4a1+1，a4=8a1，又a2，a3+1，a4成等差数列，可得：2（a3+1）=a2+a4，所以2（4a1+1）=2a1+8a1，解得a1=1，故a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（2）因为b n=2n﹣1+n，所以S5=b1+b2+b3+b4+b5=（1+2+...+16）+（1+2+ (5)=+=31+15=46．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可．（2）利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：（1）∵；（2）∵f（x）=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，x∈[﹣2，2]，开口向上，对称轴为：x=1，∴x=1时，f（x）的最小值为5，x=﹣2时，f（x）的最大值为14．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值；（3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出△CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；解法二：利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m 的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，≤，当且仅当，即时，△CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以≤2，当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．2017年5月5日。
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[课时作业]
[A组基础巩固]
1．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )
A．30种B．35种
C．42种D．48种
解析：分两类，A类选修课选1门，B类选修课选2门，或者A类选修课选2门，B类选修课选1门，因此，共有C13×C24＋C23×C14＝30种选法．
答案：A
2．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少1本，不同的分法种数有( ) A．480 B．240
C．120 D．96
解析：先把5本书中的两本捆起来，再分成4份即可，∴分法种数为C25A44＝240. 答案：B
3．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是( ) A．C28A23B．C28A66
C．C28A26D．C28A25
解析：从后排8人中选2人安排到前排6个位置中的任意两个位置即可，所以选法种数是C28A26，故选C.
答案：C
4．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天
早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( )
A ．C 1214C 412C 48
B ．
C 1214A 412A 48 C.C 1214C 412C 48A 33
D ．C 1214C 412C 48A 33
解析：首先从14人中选出12人共C 1214种，然后将12人平均分为3组共C 412·C 48·C 44A 33
种，然后这两步相乘，得C 1214·C 412·C 48A 33
.将三组分配下去共C 1214·C 412·C 48种．故选A. 答案：A
5．按ABO 血型系统学说，每个人的血型为A ，B ，O ，AB 四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，子女一定不是O 型，若某人的血型为O 型，则父母血型所有可能情况有________种．
解析：父母应为A 或B 或O ，C 13·C 13＝9(种)．
答案：9
6．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)． 解析：不同的获奖情况可分为以下两类：
(1)有一个人获得两张有奖奖券，另外还有一个人获得一张有奖奖券，有C 23A 24＝
36种获奖情况．
(2)有三个人各获得一张有奖奖券，有A 34＝24种获奖情况．
故不同的获奖情况有36＋24＝60种．
答案：60
7．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有________种．
解析：两老一新时，有C13×C12A22＝12种排法；两新一老时，有C12×C23A33＝36种排法，故共有48种排法．
答案：48
8．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)
解析：按C的位置分类计算．
①当C在第一或第六位时，有A55＝120(种)排法；
②当C在第二或第五位时，有A24A33＝72(种)排法；
③当C在第三或第四位时，有A22A33＋A23A33＝48(种)排法．
所以共有2×(120＋72＋48)＝480(种)排法．
答案：480
9．四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？
解析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1,1,2，实际上可转化为
先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有C14C13C22
A22
种，
然后将这三组再加上一个空盒进行全排列，共有C14C13C22
A22
·A44＝144种放法．
10．有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3, 4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的。