2014-2015学年福建省龙岩市长汀县城区三校九年级(下)期中数学试卷

2014-2015学年福建省龙岩市长汀县城区三校九年级（下）期中数学试卷一、选择题（共10题，每题4分，满分40分）1．（4分）在﹣2，﹣，0，2四个数中，最大的数是（）A．﹣2 B．﹣ C．0 D．22．（4分）下列运算正确的是（）A．（a2）3=a5B．3a+2a=5a C．a2•a3=a6 D．a6÷a3=a23．（4分）把不等式2x+2≥0在数轴上表示出来，则正确的是（）A．B．C．D．4．（4分）如图，你能看出这个倒立的水杯的俯视图是（）A．B．C．D．5．（4分）下列事件中是必然事件的是（）A．一个直角三角形的两锐角分别是40°和60°B．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上C．当x是实数时，x2≥0D．长为5cm、5cm、11cm的三条线段能围成一个三角形6．（4分）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）A．30°B．25°C．20°D．15°7．（4分）计算结果是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．x8．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为（）A．B．C．D．9．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OB、OC，若OB=BC，则∠BAC 等于（）A．60°B．45°C．30°D．20°10．（4分）对每个x，y是y1=2x，y2=x+2，y3=﹣x+12三个值中的最小值，则当x变化时，函数y的最大值是（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题（共7题，每题3分，共21分．请将答案填入答题卡的相应位置）11．（3分）分解因式：3a2b﹣4ab=．12．（3分）今年龙岩投入239.7亿元，实施125个民生工程项目的建设，其中数字239.7亿用科学记数法表示为．13．（3分）方程组的解为．14．（3分）如图，要测量的A、C两点被池塘隔开，李师傅在AC外任选一点B，连接BA和BC，分别取BA和BC的中点E、F，量得E、F两点间的距离等于23米，则A、C两点间的距离米．15．（3分）如图，AB是⊙O的切线，切点为A，OA=1，∠AOB=60°，则图中阴影部分的面积是．16．（3分）如图，点A（3，n）在双曲线y=上，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C．线段OA的垂直平分线交OC于点B，则点B的坐标为；△ABC的周长为．17．（3分）已知函数f（x）=1+，其中f（a）表示当x=a时对应的函数值，如f（1）=1+，f（2）=1+，f（a）=1+，则f（1）•f（2）•f（3）…f（100）=．三、解答题（共8题，满分89分，请在答题卡的相应位置解答）18．（6分）计算：．19．（7分）解方程：+=1．20．（12分）如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）求证：∠DPE=∠ABC．21．（12分）已知甲、乙两个班级各有50名学生．为了了解甲、乙两个班级学生解答选择题的能力状况，黄老师对某次考试中8道选择题的答题情况进行统计分析，得到统计表如下：请根据以上信息解答下列问题：（1）甲班学生答对的题数的众数是；（2）若答对的题数大于或等于7道的为优秀，则乙班该次考试中选择题答题的优秀率=（优秀率=×100%）．（3）从甲、乙两班答题全对的学生中，随机抽取2人作选择题解题方法交流，画出树状图或列表求出抽到的2人在同一个班级的概率．22．（12分）如图，直线l上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中较长直角边的长为cm，较小锐角的度数为30°．（1）将△ECD沿直线AC翻折到如图（a）的位置，ED′与AB相交于点F，则BD′= cm，∠BFD′=度．（2）将△ECD沿直线l向左平移到（b）的位置，使E点落在AB上，则平移的距离是cm．（3）将△ECD绕点C逆时针方向旋转得到△E′C D′，设DE与C D′的交点为M，若△CDM为等腰三角形，则旋转角为．（0°＜旋转角＜180°）23．（12分）某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车10辆．经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李．（1）请你帮助学校设计所有可行的租车方案；（2）如果甲车的租金为每辆2000元，乙车的租金为每辆1800元，问哪种可行方案使租车费用最省？24．（14分）已知：如图1，△ABC中∠ABC=45°，tan∠ACB=，BC=5；（1）求AB、AC的长．（2）若点D是直线AC上的一个动点，当△CBD为等腰三角形时，求CD的长．（3）若点D是直线AC上的一个动点，在直线AB上是否存在点E，使OA∥DE、且以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出的值；如果不存在，请说明理由．25．（14分）已知抛物线经过A（﹣1，）、B（3，0），C（0，3），点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；（2）直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD 于点F，求NF的长；（3）在第（2）小题的条件下，直线NF上是否存在点M，使得以点M为圆心、OM为半径的圆与直线CD相切？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2014-2015学年福建省龙岩市长汀县城区三校九年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10题，每题4分，满分40分）1．（4分）在﹣2，﹣，0，2四个数中，最大的数是（）A．﹣2 B．﹣ C．0 D．2【解答】解：∵﹣2＜﹣＜0＜2，∴最大的数是2，故选：D．2．（4分）下列运算正确的是（）A．（a2）3=a5B．3a+2a=5a C．a2•a3=a6 D．a6÷a3=a2【解答】解：A、（x2）3=x6，故选项错误；B、正确；C、x2•x3=x5，故选项错误；D、a6÷a3=a3，故选项错误．故选：B．3．（4分）把不等式2x+2≥0在数轴上表示出来，则正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：解不等式2x+2≥0得，x≥﹣1，在数轴上表示为：．故选：C．4．（4分）如图，你能看出这个倒立的水杯的俯视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从上面看应是一个圆环，都是实心线．故选：B．5．（4分）下列事件中是必然事件的是（）A．一个直角三角形的两锐角分别是40°和60°B．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上C．当x是实数时，x2≥0D．长为5cm、5cm、11cm的三条线段能围成一个三角形【解答】解：A、一个直角三角形的两锐角分别是40°和60°，是随机事件；B、抛掷一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件；C、当x是实数时，x2≥0，是必然事件；D、长为5cm、5cm、11cm的三条线段不能围成一个三角形，故D是不可能事件．故选：C．6．（4分）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）A．30°B．25°C．20°D．15°【解答】解：根据题意可知，两直线平行，内错角相等，∴∠1=∠3，∵∠3+∠2=45°，∴∠1+∠2=45°∵∠1=20°，∴∠2=25°．故选：B．7．（4分）计算结果是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．x【解答】解：==﹣1．故选：C．8．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，由题意得：CD=AB=4，AD=BC=5，CF=BC=5，∠A=∠D=90°；由勾股定理得：DF2=CF2﹣CD2，∴DF=3，AF=5﹣3=2；由翻折变换的性质得：EF=BE（设为λ），则AE=4﹣λ，由勾股定理得：λ2=22+（4﹣λ）2，解得：，AE=4﹣=，∴tan∠AFE==，故选：A．9．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OB、OC，若OB=BC，则∠BAC 等于（）A．60°B．45°C．30°D．20°【解答】解：∵OB=BC=OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC=60°，∴∠BAC=∠BOC=30°．故选：C．10．（4分）对每个x，y是y1=2x，y2=x+2，y3=﹣x+12三个值中的最小值，则当x变化时，函数y的最大值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：分别联立y1、y2，y1、y3，y2、y3，可知y1、y2的交点A（2，4）；y1、y3的交点B（，）；y2、y3的交点C（4，6），=4；∴当x≤2时，y最小=；当2＜x≤时，y最小=6；当＜x≤4时，y最小=6．当x＞4时，y最大故选：C．二、填空题（共7题，每题3分，共21分．请将答案填入答题卡的相应位置）11．（3分）分解因式：3a2b﹣4ab=ab（3a﹣4）．【解答】解：3a2b﹣4ab=ab（3a﹣4）．12．（3分）今年龙岩投入239.7亿元，实施125个民生工程项目的建设，其中数字239.7亿用科学记数法表示为 2.397×1011．【解答】解：将239.7亿用科学记数法表示为：2.397×1011．故答案为：2.397×1011．13．（3分）方程组的解为．【解答】解：，①+②，得3x=9，解得x=3，把x=3代入①，得3+y=3，解得y=0，∴原方程组的解是．故答案是．14．（3分）如图，要测量的A、C两点被池塘隔开，李师傅在AC外任选一点B，连接BA和BC，分别取BA和BC的中点E、F，量得E、F两点间的距离等于23米，则A、C两点间的距离46米．【解答】解：∵E、F分别是线段AB、BC中点，∴FE是三角形ABC的中位线，∴FE=AC，∴AC=2FE=23×2=46米．故答案为：46．15．（3分）如图，AB是⊙O的切线，切点为A，OA=1，∠AOB=60°，则图中阴影部分的面积是﹣π．【解答】解：∵AB是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥AB，即∠OAB=90°．∵在Rt△AOB中，OA=1，∠AOB=60°，∴AB=OAtan∠AOB=．∴．故答案为：．16．（3分）如图，点A（3，n）在双曲线y=上，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C．线段OA的垂直平分线交OC于点B，则点B的坐标为（，0）；△ABC的周长为4．【解答】解：∵点A（3，n）在双曲线y=上，∴n==1，∴A（3，1），∴OC=3，AC=1．∵OA的垂直平分线交OC于B，∴AB=OB，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=OB+BC+AC=OC+AC=3+1=4；设B（b，0），则b=，解得b=，∴B（，0）．故答案为：（，0），4．17．（3分）已知函数f（x）=1+，其中f（a）表示当x=a时对应的函数值，如f（1）=1+，f（2）=1+，f（a）=1+，则f（1）•f（2）•f（3）…f（100）= 5151．【解答】解：f（1）•f（2）•f（3）…f（100）=×××…×××==5151．故答案为5151．三、解答题（共8题，满分89分，请在答题卡的相应位置解答）18．（6分）计算：．【解答】解：原式=﹣1﹣2+2=1﹣．19．（7分）解方程：+=1．【解答】解：方程变形得：﹣=1，去分母得：1﹣x=x﹣3，解得：x=2，经检验x=2是分式方程的解．20．（12分）如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）求证：∠DPE=∠ABC．【解答】证明：（1）在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，∵在△BCP和△DCP中，，∴△BCP≌△DCP（SAS）；（2）由（1）知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP=∠CDP，∵PE=PB，∴∠CBP=∠E，∴∠CDP=∠E，∵∠1=∠2（对顶角相等），∴180°﹣∠1﹣∠CDP=180°﹣∠2﹣∠E，即∠DPE=∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE=∠ABC，∴∠DPE=∠ABC．21．（12分）已知甲、乙两个班级各有50名学生．为了了解甲、乙两个班级学生解答选择题的能力状况，黄老师对某次考试中8道选择题的答题情况进行统计分析，得到统计表如下：请根据以上信息解答下列问题：（1）甲班学生答对的题数的众数是6；（2）若答对的题数大于或等于7道的为优秀，则乙班该次考试中选择题答题的优秀率=30%（优秀率=×100%）．（3）从甲、乙两班答题全对的学生中，随机抽取2人作选择题解题方法交流，画出树状图或列表求出抽到的2人在同一个班级的概率．【解答】解：（1）由表格可得，甲班答对6道题的人数最多，即甲班学生答对的题数的众数是6；故答案为：6；（2）乙班答对的题数大于或等于7道的人数有：13+2=15，故优秀率为：=30%；（3）设甲班答题全对的两个人为A和B，乙班答题全对的两个人为C和D，随机抽取2人的情况共有A和B、A和C、A和D、B和C、B和D、C和D共6种，而抽到的2人在同一个班级的情况有A和B、C和D这2种，故可得抽到的2人在同一个班级的概率==．故答案为：6，30%，．22．（12分）如图，直线l上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中较长直角边的长为cm，较小锐角的度数为30°．（1）将△ECD沿直线AC翻折到如图（a）的位置，ED′与AB相交于点F，则BD′=﹣1cm，∠BFD′=30度．（2）将△ECD沿直线l向左平移到（b）的位置，使E点落在AB上，则平移的距离是1﹣cm．（3）将△ECD绕点C逆时针方向旋转得到△E′C D′，设DE与C D′的交点为M，若△CDM为等腰三角形，则旋转角为30°或75°．（0°＜旋转角＜180°）【解答】解：（1）由翻折的性质，得D′C=，由∠A=30°，AC=，tan∠A===，BC=1，BD′=CD′﹣BC=﹣1，由三角形外角的性质，得∠D′+∠BFD′=∠ABC=60°，∠BFD′=60°﹣∠D′=60°﹣30°=30°；（2）设平移的距离CC′为x，BC′=1﹣x，由△BC′E′∽△BCA，得=，即=，解得x=1﹣；（3）∠DCM=∠D=30°，△CDM为等腰三角形，即旋转角为∠DCM=30°，∠DCM=∠DMC==75°，△CDM为等腰三角形，即旋转角为∠DCM=75°，故答案为：﹣1，30；1﹣；30°或75°．23．（12分）某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车10辆．经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李．（1）请你帮助学校设计所有可行的租车方案；（2）如果甲车的租金为每辆2000元，乙车的租金为每辆1800元，问哪种可行方案使租车费用最省？【解答】解：（1）设租用甲车x辆，则乙车（10﹣x）辆．根据题意，得，解，得4≤x≤7.5．又x是整数，∴x=4或5或6或7．共有四种方案：①甲4辆，乙6辆；②甲5辆，乙5辆；③甲6辆，乙4辆；④甲7辆，乙3辆．（2）①甲4辆，乙6辆；总费用为4×2000+6×1800=18800元；②甲5辆，乙5辆；总费用5×2000+5×1800=19000元；③甲6辆，乙4辆；总费用为6×2000+4×1800=19200元；④甲7辆，乙3辆．总费用为7×2000+3×1800=19400元；因为乙车的租金少，所以乙车越多，总费用越少．故选方案①．24．（14分）已知：如图1，△ABC中∠ABC=45°，tan∠ACB=，BC=5；（1）求AB、AC的长．（2）若点D是直线AC上的一个动点，当△CBD为等腰三角形时，求CD的长．（3）若点D是直线AC上的一个动点，在直线AB上是否存在点E，使OA∥DE、且以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出的值；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）过点A作AG⊥BC于G，∴∠AGB=∠AGC=90°，在R t△ABG中，∵∠ABG=∠BAG=45°，∴BG=AG，在R t△ACG中，∵tan∠acb==，设AG=3x，则CG=4x，BG=3x，由BC+=BG+CG=5得，x=，∴BG=AG=，CG=，∴AB=，AC=，（2）①当CB=CD=5时，△CBD为等腰三角形，②当BD=DC时，如图2，过点D作DH⊥BC于H，∴CH=BC=，∵tan∠ACB==，∴DH=，∴CD=；③当BC=BD时，如图3过点B作BM⊥CD于M，∴CM=CD，∵tan=，设BM=3t，CM=4t，则BC=5t=5，∴t=1，∴CM=4t=4，∴CD=8；（3）存在，（3）存在．以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形，①当四边形AE1OD1为平行四边形时，=，②当四边形AD2E1O为平行四边形时，=，③当四边形AOD1E2为平行四边形时，=．25．（14分）已知抛物线经过A（﹣1，）、B（3，0），C（0，3），点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；（2）直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD 于点F，求NF的长；（3）在第（2）小题的条件下，直线NF上是否存在点M，使得以点M为圆心、OM为半径的圆与直线CD相切？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设该抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3）（a≠0），把C（0，3）代入，得3=a（0+1）（0﹣3），解得a=﹣1，则该抛物线解析说法为：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．当x=﹣=1时，y=4．所以点D的坐标是（1，4）；（2）设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），把C（0，3），D（1，4）代入，得，解得，∴直线CD的解析式为y=x+3，∴E（﹣3，0），∴OE=OC=3，∴∠AEC=45°．∵点N是OB的中点，∴ON=，NE=．∵FN⊥x轴，∴∠AEC=∠EFN=45°，∴NF=EN=；（3）存在．由（2）得，E（﹣3，0），∵点B的坐标（3，0），N是线段OB的中点，∴N（，0）∴F（，），EN=，作MQ⊥CD于Q，设存在满足条件的点M（，m），则FM=﹣m，EF==，MQ=OM=，由题意得：Rt△FQM∽Rt△FNE，∴=，即=，∴2（+m2）=（﹣m）2，整理得4m2+36m﹣63=0，∴m2+9m=，m2+9m+=+，（m+）2=，m+=±，∴m1=，m2=﹣，∴点M的坐标为M1（，），M2（，﹣）．。