福建省福州市九年级上学期期末数学试卷
福建省福州市第一中学2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试卷
福建省福州市第一中学2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，，直线a 、b 与、、分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，123l l l ∥∥1l 2l 3l 若，，，则BC 的长为（ ）3AB =2DE =4EF =A ．4B ．5C ．6D ．83．关于x 的一元二次方程x 2+2021x +2022＝0的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根4．如图，四边形ABCD 内接于，如果它的一个外角∠DCE =63°，那么∠BOD 的度数O 为（ ）A ．63°B ．126°C ．116°D ．117°5．下列说法错误的是（ ）A ．同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为13B ．不可能事件发生的概率为0C ．买一张彩票会中奖是随机事件D ．一个盒子装有3个红球和1个白球，除颜色外其它完全相同，同时摸出两个球，一定会摸到红球6．已知二次函数的图象经过，，则b 的值为（ ）2y x bx c =-+()1,A n ()3,B n A ．2B ．C ．4D ．2-4-7．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出x 个小分支，则下列方程中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．2143x +=2143x x ++=243x x +=()2143x +=8．如图，正六边形螺帽的边长是2cm ，这个扳手的开口a 的值应是（ ）A ．cmBC cmD ．1cm9．已知点和都在反比例函数的图象上，如果，那么与()11,x y ()22,x y 1y x=12x x <1y 2y 的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．无法判断12y y <12y y =12y y >10．已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x 轴交于，两点，且(),0m (),0n 过，两点．若，则ab 的取值范围为（ ）()0,A a ()4,B b 03m n <<<A ．B ．C ．D ．06ab <<08ab <<012ab <<016ab <<二、填空题11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为______．()1,3-12．如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间.掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓，弧长约为米，“弓”所在的圆的半径约米，则“弓”所5π8 1.25对的圆心角度数为______．13．在一个不透明的袋子里，装有6枚白色球和若干枚黑色球，这些球除颜色外都相同．将袋子里的球摇匀，随机摸出一枚球，记下它的颜色后再放回袋子里．不断重复这一过程，统计发现，摸到白色球的频率稳定在0.2，由此估计袋子里黑色球的个数为______．14．在中，，，，如果以点A 为圆心，AC 为半径作Rt ABC ∆90C ∠=︒2AC =4AB =，那么斜边AB 的中点D 在______．（填“内”、“上”或者“外”）A A 15．如图，以矩形的顶点A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB ，AC 于点ABCD M ，N ；再分别以点M ，N 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P ；作射线12MN AP ，交BC 于点E ，连接DE ，交AC 于点F ．若，，则DF 的长为______．1AB =2AC =16．如图，在中，，，点P 在边AC 上运动（可与点A ，C ABC AB AC ==6BC =重合），将线段BP 绕点P 逆时针旋转120°，得到线段DP ，连接BD ，CD ，则CD 长的最小值为______．三、解答题17．（1）解方程：．2610x x +-=（2）解方程：．213x x -=18．如图，将矩形绕点C 顺时针旋转得到矩形，点B 与点E 对应，点E ABCD FECG 恰好落在边上，交于点H ，求证：．AD BH CE ⊥BH CD =19．已知关于x 的方程有实数根．2430x x m -+-=(1)求m 的取值范围；(2)若m 为满足条件的最大整数，则方程的解为______．20．为了做好校园疫情防控工作，学校后勤每天对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，完成1间教室的药物喷洒要5min ，药物喷洒时教室内空气中的药物浓度y （单位：）与时间x （单位：min ）的函数关系式为，其图象为图中线段3mg/m ()205y x x =≤≤OA ，药物喷洒完成后y 与x 成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．(),A m n(1)点A 的坐标为______；(2)当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害．如果后勤人员依31.2mg/m 次对一班至十班教室（共10间）进行药物喷洒消毒，当最后一间教室药物喷洒完成后，一班是否能让人进入教室?请通过计算说明．21．如图，在中，，．ABC AC BC AB =>36C ∠=︒(1)在线段BC 上求作一点D ，使得；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作ABC DBA ∽法）；(2)在（1）的条件下，若，求BC 的值．2AB 22．为丰富“大课间”的体育锻炼，我校决定在初三学生中开设：A ．实心球，B ．篮球，C ．t abata 训练，D ．仰卧起坐四种项目．为了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图．请结合图中的信息解答下列问题：(1)在这项调查中，共调查了______名学生，B 项对应的扇形圆心角的度数是______；(2)若喜欢“tabata 训练”且基础较好的学生共有5名，其中有2名男生，3名女生，现从这5名学生中任意抽取2名学生领操．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到学生是一男一女的概率．23．如图，PA 切于点A ，PC 交于C ，D 两点，且与直径AB 交于点Q ．O O(1)求证：；AQ BQ CQ DQ ⋅=⋅(2)若，，，求线段PD 的长．2CQ =3QD = 1.5BQ =24．如图①，在正方形ABCD 中，点P 为线段BC 上的一个动点，连接AP ，将ABP 沿直线AP 翻折得到，点Q 是CD 的中点，连接BQ 交AE 于点F ，若．AEP △BQ PE ∥(1)求证：；ABF BQC ∽△△(2)求证：；23BF FQ =(3)如图②，连接DE 交BQ 于点G ，连接EC ，GC ，若，求的面积．6FQ = GBC 25．已知抛物线（m 为常数）．223y x mx =--(1)求抛物线的顶点坐标（用含m 的代数式表示）；(2)当时，求抛物线顶点到x 轴的最小距离；m 1≥(3)当时，点A ，B 为该抛物线上的两点，顶点为D ，直线AD 的解析式为0m =，直线BD 的解析式为，若，求证：直线AB 过定点．111y k x b =+222y k x b =+1212k k =-参考答案：1．B【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A 、不是中心对称图形，不符合题意；B 、是中心对称图形，符合题意；C 、不是中心对称图形，不符合题意；D 、不是中心对称图形，不符合题意；故选B ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟知定义．2．C【分析】由，可得再代入数据进行计算即可.123l l l ∥∥,AB DEBC EF=【详解】解： ，123l l l ∥∥ ,AB DEBC EF∴= ，，，3AB =2DE =4EF = 32,4BC ∴= 经检验符合题意.6,BC ∴=故选C【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握“两条直线被一组平行线所截得的对应线段成比例”是解本题的关键.3．D【分析】计算出根的判别式的值，再进行判断即可得到结论．【详解】解： 2=2021420224084441808840763530∆-⨯=-=>∴方程有两个不相等的实数根故选：D【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与Δ=b 2-4ac 的关系是解答此题的关键．4．B【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A ，根据圆周角定理解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DCE =63°，∴∠A =∠DCE =63°，由圆周角定理，得∠BOD =2∠A =126°，故选：B ．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．5．A【分析】利用列表法求解同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率，从而可判断A ，由不可能事件的概率为0，可判断B ，由随机事件的概念可判断C ，由必然事件的概念可判断D ，从而可得答案.【详解】解：如图，列表如下：1 2 34 1 ()1,1()1,2 ()1,3()1,4 2 ()2,1()2,2 ()2,3()2,43 ()3,1 ()3,2()3,3()3,44()4,1 ()4,2()4,3()4,4所以同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为故A 符合题意；116,不可能事件发生的概率为0，表述正确，故B 不符合题意；买一张彩票会中奖是随机事件，表述正确，故C 不符合题意；一个盒子装有3个红球和1个白球，除颜色外其它完全相同，同时摸出两个球，一定会摸到红球，表述正确，故D 不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是随机事件与不可能事件，必然事件的概率，随机事件与必然事件的概念，利用列表法求解随机事件的概率，掌握“不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，利用列表法求解随机事件的概率”是解本题的关键.6．C【分析】由二次函数的图象经过，，可得二次函数图象的对称2y x bx c =-+()1,A n ()3,B n 轴为 再结合对称轴方程的公式列方程求解即可.2,x =【详解】解： 二次函数的图象经过，，2y x bx c =-+()1,A n ()3,B n 二次函数图象的对称轴为： ∴13,2122b b x -+=-==⨯解得： 4,b =故选C【点睛】本题考查的是二次函数的对称轴方程，掌握“利用纵坐标相等的两个点求解对称轴方程”是解本题的关键.7．B【分析】设每个支干长出x 个小分支，则主干生出x 个小分支，而x 个小分支每个又生出x个小分支，所以一共有个，从而可得答案.()21x x ++【详解】解：设每个支干长出x 个小分支，则2143x x ++=故选B【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，熟练的表示支干与小分支的数量是解本题的关键.8．A【分析】根据正六边形的内角度数可得出∠1＝30°，再通过解直角三角形即可得出a 的值，12进而可求出a 的值，此题得解．【详解】如图：∵正六边形的任一内角为120°，∴∠1＝30°∴a ＝2cos ∠112∴a ＝故选：A ．【点睛】本题考查了正多边形以及解直角三角形，牢记正多边形的内角度数是解题的关键．9．D【分析】分同号和异号两种情况讨论．12x x ，【详解】解：∵反比例函数中，1y x=1k =∴图象在第一、三象限，在每个象限y 随x 的增大而减小，当同号，即或，，12x x ，120x x ＜＜120x x ＜＜12y y ＞当异号时，即 ；12x x ，21120x x y y ＞＞，＜故选：D ．【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．10．D【分析】由题意可设抛物线为y =（x -m ）（x -n ），则，再利()()222424ab m n ⎡⎤⎡⎤=--+--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦用二次函数的性质可得答案.【详解】解：由已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x 轴交于两点（m ，0），（n ，0）， 所以可设交点式y =（x -m ）（x -n ）， 分别代入，， ()0,A a ()4,B b ∴ ()(),44,a mn b m n ==--()()()()224444ab mn m n m m n n ∴=--=-- ()()222424m n ⎡⎤⎡⎤=--+--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∵0＜m ＜n ＜3，∴0＜≤4 ，0＜≤4 ，()224m --+()224n --+∵m ＜n ， ∴ab 不能取16 ， ∴0＜ab ＜16 ，故选D【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质得到是解本题的关键.()()222424ab m n ⎡⎤⎡⎤=--+--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11．（-1，3）【分析】根据：平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，将此点的横纵坐标都变成相反数，解答即可．【详解】根据：平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，将此点的横纵坐标都变成相反数，可知：点关于原点对称的点的坐标为（-1，3）．()1,3-故答案为：（-1，3）【点睛】本题考查平面直角坐标系中任意一点关于原点的对称点的坐标特征，熟记关于原点对称的两点坐标关系是解决本题的关键．12．##度90︒90【分析】由 直接代入数据进行计算即可.,180n rl p =【详解】解：如图，由题意得：5, 1.25,8KS l QK QS π===设 ,KQS n ∠=1.255,1808n ππ⨯∴=解得： 90,n =︒故答案为：90︒【点睛】本题考查的是已知弧长与半径求解弧所对的圆心角，熟记弧长公式是解本题的关键.13．24【分析】由摸到白色球的频率稳定在0.2，得到摸到白色球的概率为0.2，再利用概率公式列方程即可.【详解】解： 摸到白色球的频率稳定在0.2，摸到白色球的概率为0.2，∴设袋子里黑色球有个，x 60.2,6x∴=+解得： 经检验符合题意；24,x =所以估计袋子里黑色球的个数为.24故答案为：24【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，利用概率公式列方程，掌握“利用频率估计概率得到摸到白色球的概率为0.2”是解本题的关键.14．上【分析】先利用中点的含义求解 结合点与圆心的距离等于圆的半径，则点在2,AD AC ==圆上，从而可得答案.【详解】解：如图，，，，为的中点，90C ∠=︒2AC =4AB =D AB12,2AD AB AC ∴===在上，D ∴A 故答案为：上【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系的判断，掌握“点与圆的位置关系的判断方法”是解本题的关键.15【分析】利用锐角三角函数可求，可求，由锐角三角函数30ACB ∠=︒30BAE EAC ∠=∠=︒可求的长，由勾股定理可求的长，通过证明，可得，BE EC ，DE ADF CEF △∽△32AD DF EC EF ==即可求解．【详解】解：由题意可得：平分，AP BAC ∠∴，BAE CAE ∠=∠∵，，1AB =2AC =∴，1sin 2AB ACB AC ∠==BC ===∴，30ACB ∠=︒∴，30BAE EAC ∠=∠=︒∴，tan BE BAE AB ∠==∴，BE =∴，EC BC BE =-=∴DE ===∵AD BC ∥，∴，ADF CEF △∽△∴，32AD DF EC EF ==∴，35DF DE =∴35DF ==【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，求出EC 的长是解题的关键．16【分析】以为边构建出和相似的三角形，通过将边转化为其他边来求值．BC BPD △CD 【详解】解：如图所示，以为底边向上作等腰，使，连接．BC BQC 120BQC ∠=︒PQ由题意可得和均为顶角为的等腰三角形，BQC BPD △120︒可得，BQ BP BC BD =30QBC PBD ∠=∠=︒∴，QBC QBD PBD QBD ∠-∠=∠-∠∴，PBQ DBC ∠=∠∴，PBQ DBC ∽∴，PQ BQ DC BC =∴当时，有最小，即此时最小，PQ AC ⊥PQ CD如图所示，设，延长与交K ，此时的最小值，'QP AC ⊥AQ BC 'QP QP 为可得，AK BC ⊥∵，1206BQC BQC BC ∠=︒= 中，，∴，330BK QBK =∠=︒，∴QK ，==∵， ，AC =3KC =∴AK ====∴，AQ AK QK =-=∵，'90'AP Q AKC QAP CAK ∠=∠=︒∠=∠，∴，'AQP ACK ∽∴，'AQ QP AC KC=，'3QP =∴，'QP =∴'CD ==【点睛】本题考查的是瓜豆原理的知识点，重难点在于构造相似三角形的手拉手模型，属于难题．17．（1），；13x =-23x =-（2）1x =2x =【分析】（1）配方再两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）利用公式法，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解：（1）2610x x +-=26910x x ++=，2310x +=（）3x +=，；13x =-23x =-（2），213x x -=2310x x --=1,3,1a b c ==-=-224(3)41(1)130b ac =-=--⨯⨯-= ＞，1x ==2x ==1x =2x =【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．18．证明见详解【分析】由平行线的性质可得，再根据“”可得 进而可DEC BCH ∠∠=AAS EDC CHB ≌，得结论．【详解】证明：∵四边形是矩形，ABCD ∴，AD BC AB CD =∥，∴，DEC BCH ∠∠=∵，90D BH EC ∠=︒⊥，∴，D BHC ∠=∠由旋转得，，CE CB =在和中，EDC △ CHB ，DEC HCBD BHC CE CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ ，EDC CHB AAS ≌（）∴．BH CD =【点睛】本题考查旋转的性质，根据“”得到是解题关键．AAS EDC CHB ≌19．(1)7m ≤(2)122x x ==【详解】（1）∵关于x 的方程有实数根．2430x x m -+-=∴2443m =--- （）（），4280m =-+≥解得：．7m ≤（2）∵m 取最大整数，∴，7m =∴原方程为，2440x x -+=解得：，122x x ==故答案为：．122x x ==【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．20．(1)()5,10(2)能，理由见解析【分析】（1）把代入 即可得到A 的坐标；5x =2,y x =（2）先求解反比例函数解析式为 再计算当时，的值，再与比较即可得50,y x=50x =y 1.25到答案.【详解】（1）解：()205y x x =≤≤当时， 5x =10,y =()5,10.A ∴故答案为：()5,10（2）解：设药物喷洒完成后y 与x 的反比例函数关系为，k y x=把代入可得：()5,10A 50,k xy ==所以药物喷洒完成后y 与x 的反比例函数关系为，50y x=而10间教室喷洒完成需要（分钟），51050⨯=当时， 50x =501 1.25,50y ==<所以当最后一间教室药物喷洒完成后，一班能让人进入教室.【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，反比例函数的实际应用，熟练的建立反比例函数的模型并解决问题是解本题的关键.21．(1)作图见解析(2)1【分析】（1）作的垂直平分线交于 从而可得答案；AC BC ,D （2）先证明 再利用相似三角形的性质可得再代入数据解方程2,AB AD CD ===,AB BCDB AB=即可.【详解】（1）解：如图，即为所求作的点，理由如下：D36,,C AC BC ∠=︒=72,CAB B ∴∠=∠=︒由作图可得：,DC DA =36,C CAD ∴∠=∠=︒36,DAB CAB CAD C ∴∠=∠-∠=︒=∠.ABC DBA ∴ ∽（2）解：由（1）得：36,72,DAB B ∠=︒∠=︒ 180367272,ADB B ∴∠=︒-︒-︒=︒=∠ 2,AB AD CD ∴===,ABC DBA ∽ ,AB BCDB AB ∴=2,22BCBC ∴=-2240,BC BC ∴--=解得：或 1BC ==1BC =-经检验：1BC =1BC ∴=【点睛】本题考查的是作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握“两个角对应相等的两个三角形相似”是解本题的关键.22．(1)，150108 (2)35【分析】（1）喜欢C 项目的有60人，占比 列式再计算可得到总人数，再求解喜40%,6040%欢B 项目的占比，乘以即可得到圆心角的度数；360︒（2）利用列表法得到所有的等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式进行计算即可.【详解】（1）解： 喜欢C 项目的有60人，占比40%, 这项调查中，共调查了（人），∴6015040%=B 项对应的扇形圆心角的度数是()360110%20%40%108,︒⨯---=︒故答案为：150,108︒（2）解：列表如下：男1男2女1女2女3男1男1男2男1女1男1女2男1女3男2男2男1男2女1男2女2男2女3女1女1男1女1男2女1女2女1女3女2女2男1女2男2女2女1女2女3女3女3男1女3男2女3女1女3女2所以所有的等可能的结果数有20种，符合条件的结果数有12种，所以刚好抽到学生是一男一女的概率为123=.205【点睛】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，频数与频率之间的关系，求解扇形某部分所对应的圆心角的大小，利用列表法求解等可能事件的概率，熟练的从条形图与扇形图获取关联信息及列表求解所有的等可能的结果数是解本题的关键.23．(1)证明见解析(2)线段PD 的长为7.【分析】（1）连接AC ，由同弧所对的圆周角相等得到∠ABC =∠ADC ，再由∠BQC =∠DQA ，可证△BQC ∽△DQA ，由相似三角形的对应边成比例即可得证；（2）由切线性质得到∠BAP =∠BAD +∠PAD =90°，由直径所对的圆周角为90°，得∠ABD +∠BAD =90°，∠PAD =∠ABD =∠ACD ，从而△PDA ∽△PAC ，由相似三角形的性质得到AP 2=PD ·PC ，即AP 2=PD ·（PD +5）在Rt △APQ 中，由勾股定理得P 2+AQ 2=PQ 2，即可求解.【详解】（1）证明：连接AC∵∠ABC 和∠ADC 所对的圆弧都为， AC ∴∠ABC =∠ADC ，∵∠BQC =∠DQA ，∴△BQC ∽△DQA ，∴，BQ CQDQ AQ=∴AQ BQ CQ DQ⋅=⋅（2）解：由（1）知：，且，，，AQ BQ CQ DQ ⋅=⋅2CQ =3QD = 1.5BQ =∴AQ =4，∵PA 切于点A ，O ∴∠BAP =∠BAD +∠PAD =90°，∵AB 为直径，∴∠BDA =90°，∠ABD +∠BAD =90°，∴∠PAD =∠ABD =∠ACD ，∵∠P =∠P ，∴，即AP 2=PD ·PC ，即AP 2=PD ·（PD +5）PD PA AP PC=在Rt △APQ 中，AP 2+AQ 2=PQ 2，∴PD ·（PD +5）+42=（PD +3）2，解得：PD =7，即线段PD 的长为7.【点睛】本题考查了圆的性质、勾股定理、相似三角形判定和性质等，解题关键正确添加辅助线构造相似三角形．24．(1)见解析(2)见解析(3)8+【分析】（1）证明∠，∠，即可证明；BAF QBC =∠AFB BCQ =∠ABF BQC ∽△△（2）设AB =BC =CD =DA =2，由得，代入相关数据，求出ABF BQC ∽△△AB BF BQ QC=BF =FQ =（3）求出BQ =10，运用勾股定理求出BC =QD =QG ，从而QD CQ ==求出FG ，BG 的长，过点G 作GH ⊥BC 于点H ，可证明，运用相似的性质BGH BQC ∆∆ 可得GH ，再根据三角形面积公式可求解．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴ ，AB =BC =CD =DA==90ABC BCD ADC DAC ∠∠∠=∠=︒由折叠得，∠90ABP AEP ︒=∠=∵BQ //PE∴∠90AFB ︒=∵∠90BAF ABF QBC ABF ︒+∠=∠+∠=∴∠BAF QBC=∠∴∠BQC ABF=∠又∵∠90AFB BCQ ︒=∠=（2）设AB =BC =CD =DA =2，∵点Q 为CD 扔中点，∴ 112CQ CD ==在中，由勾股定理得，Rt BQC ∆BQ ===由（1）知，ABF BQC∽△△∴AB BF BQ QC=∴AB QC BF BQ == ∴FQ BQ BF =-=∴23BF FQ ==∴23BF FQ =（3）由（2）知，23BF FQ =∵6FQ =∴，4BF =10BQ =设BC =2x ，则QC =x ，在中，由勾股定理得，Rt BQC ∆222BQ BC CQ =+∴22210=(2)+x x 解得，x =∴=BC QC QD AE AB ====∵AE =AB =AD∴AED ADE ∠=∠又90,90ADE CDE AED EGF ∠+∠=︒∠+∠=︒∴EGF CDE ∠=∠∵QGD EGF ∠=∠∴QDF QFD ∠=∠∴QG QD ==∴6FG FQ GQ =-=-∴4BG BF FG =+=+过点G 作GH ⊥BC 于点H ，如图，∴GH //CQ∴BGH BQC ∆∆ ∴ BG GH BQ QC=∴BG QC GH BQ ===∴11822GBC S BC GH ∆=⨯⨯=⨯=+【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，正确识图是解答本题的关键．25．(1)()2,3.m m --(2)4(3)直线过证明见解析50,,2⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭【分析】（1）先把抛物线化为顶点式，从而可得顶点坐标；（2）由顶点到轴的距离为： 令 而 图象开口向上，对x 2233,m m --=+23,h m =+1,m ≥称轴为 此时随的增大而增大，再利用二次函数的性质可得答案；0,m =h m （3）当时，求解抛物线为： 可得 可得 设0m =23,y x =-()0,3,D -123,b b ==-直线为 求解 把()()221122,3,,3,A x x B x x --AB ,y kx b =+1122,,x k x k ==代入直线为从而可求解()()221122,3,,3A x x B x x --,y kx b =+AB ()12,y x x x b =++ 从而可得答案.121533,22b x x ⎛⎫ ⎪=--=---=- ⎪⎝⎭【详解】（1）解： 抛物线 223y x mx =-- ()223,x m m =--- 抛物线的顶点坐标为：∴()2,3.m m --（2）解： 抛物线的顶点坐标为： ()2,3,m m -- 顶点到轴的距离为：∴x 2233,m m --=+令 而 图象开口向上，对称轴为23,h m =+1,m ≥0,m = 此时随的增大而增大，∴h m 当时，1m ==134,h +=最小值当时，抛物线顶点到x 轴的最小距离为4.m 1≥（3）解：当时，抛物线为：0m =23,y x =-()0,3,D ∴-而直线AD 的解析式为，直线BD 的解析式为，点A ，B 为该抛物线111y k x b =+222y k x b =+上的两点，123,b b ∴==-设 直线为 ()()221122,3,,3,A x x B x x --AB ,y kx b =+2211122233,33,k x x k x x ∴-=--=-解得：1122,,x k x k == 12121,2x x k k ∴==-把代入()()221122,3,,3A x x B x x --,y kx b =+2112223,3kx b x kx b x ⎧+=-⎪∴⎨⎪+=-⎩12,k x x ∴=+ 直线为∴AB ()12,y x x x b =++()212113,x x x b x ∴++=-解得： 121533,22b x x ⎛⎫ ⎪=--=---=- ⎪⎝⎭直线为∴AB ()125,2y x x x =+-当时， 0x =5,2y =-所以直线过定点AB 50,.2⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查的是把抛物线的一般式化为顶点式，抛物线的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，熟练的运用参数解题的能力是解本题的关键.。
福州市11-12学年九年级上学期期末试卷(数学)
福州市11-12学年九年级上学期期末试卷<数学）(完卷时间：120分钟 满分：150分>一、选择题(每小题4分，共40分>1．下列二次根式中，最简二次根式是A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!qkeZjEmkIn 2．一元二次方程x(x －1>＝0的解是A ．x ＝0B ．x ＝1C ．x ＝0或x ＝1D ．x ＝0或x ＝－13．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是4．如图所示，A ＝15的度数是 A ．15° B ．300° C ．45° D ．75°5．下列事件中，必然发生的是 A ．某射击运动射击一次，命中靶心 B ．通常情况下，水加热到100℃时沸腾C ．掷一次骰子，向上的一面是6点D ．抛一枚硬币，落地后正面朝上6．如图所示，△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝5，BD ＝10，DE ＝6，则BC 的值为A ．6B ．12C ．18D ．24 A B C D 第6题图第7题图7．如图所示，两个同心圆的半径分别为3cm 和5cm ，弦AB 与小圆相切于点C ，则AB 的长为A ．8cm 了B ．6cmC ．5cmD ．4cm8．若两圆的圆心距为5，两圆的半径分别是方程x2－4x ＋3＝0的两个根，则两圆的位置关系是A ．相交B ．外离C ．内含D ．外切9．将一副直角三角板(含45°角的直角三角板ABC 与含30°角的直角三角板DCB>按图示方式叠放，斜边交点为O ，则△AOB 与△COD 的面积之比等于qkeZjEmkIn A ．1∶错误! B ．1∶2 C ．1∶错误!D ．1∶3qkeZjEmkIn 10．已知二次函数y ＝x2－x ＋错误!，当自变量x 取m 时，对应的函数值小于0，当自变量x 取m －1、m ＋1时，对应的函数值为y1、y2，则y1、y2满足qkeZjEmkIn A ．y1＞0，y2＞0 B ．y1＜0，y2＞0 C ．y1＜0，y2＜0D ．y1＞0，y2＜0qkeZjEmkIn 二、填空题(每小题4分，共20分>11．二次根式错误!有意义，则x 的取值范围是__________________．qkeZjEmkIn 12．将抛物线y ＝2x2向上平移3单位，得到的抛物线的解读式是____________．A B O 第9题图D 第13题图13．如图所示，某公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落点在黑色石子区域内概率是_____________．qkeZjEmkIn 14．某小区2018年绿化面积为2000平方M ，计划2018年底绿化面积要达到2880平方M ．如果每年的增长率相同，那么这个增长率是__________________．qkeZjEmkIn 15．如图所示，n ＋1个直角边长为1的等腰直角三角形，斜边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△Bn ＋1DnCn 的面积为Sn ，则S1＝________，Sn ＝__________(用含n 的式子表示>．qkeZjEmkIn16(1> 17．(12分>已知△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1> 分别写出图中点A 和点C 的坐标；(2> 画出△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°后的△AB'C'；(3> 在(2>的条件下，求点C 旋转到点C' 所经过的路线长(结果保留π>． 1 2 3 4 5 6 7 8 第17题图 D 第19题图18．(11分>在一个不透明的纸箱里装有2个红球、1个白球，它们除颜色外完全相同．小明和小亮做摸球游戏，游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你用树状图或列表法说明理由．qkeZjEmkIn19．(12分>如图所示，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，弦BC＝6，∠ACB 的平分线交⊙O于D，连AD．qkeZjEmkIn(1> 求直径AB的长；(2> 求阴影部分的面积(结果保留π>．20．(12分>某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，经试销发现，销售量y(件>与销售单价x(元>的关系符合一次函数y＝－x＋140．qkeZjEmkIn(1> 直接写出销售单价x的取值范围．(2> 若销售该服装获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价为多少元时，可获得最大利润，最大利润是多少元？qkeZjEmkIn(3> 若获得利润不低于1200元，试确定销售单价x的范围．21．(13分>如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为AB边上的一动点(D不与A、B重合>，过D作DE∥BC，交AC于点E．把△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处．连结BA'，设AD＝x，△ADE的边DE上的高为y．qkeZjEmkIn(1> 求出y 与x 的函数关系式；(2> 若以点A'、B 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似，求x 的值； (3> 当x 取何值时，△A' DB 是直角三角形．22．(14分>已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c(a ≠0>经过A(－2，0>、B(0，1>两点，且对称轴是y 轴．经过点C(0，2>的直线与x 轴平行，O 为坐标原点，P 、Q 为抛物线y ＝ax2＋bx ＋c(a ≠0>上的两动点．qkeZjEmkIn (1> 求抛物线的解读式；(2> 以点P 为圆心，PO 为半径的圆记为⊙P ，判断直线l 与⊙P 的位置关系，并证明你的结论； (3> 设线段PQ ＝9，G 是PQ 的中点，求点G 到直线l 距离的最小值．参考答案及评分标准一、选择题：1．A 2．C 3．D 4．B 5．B 6．C 7．A 8．B9．D 10．AqkeZjEmkIn 二、填空题：11．x ≥1 12．y ＝2x2＋3 13．错误! 14．20% 15．错误!；错误!qkeZjEmkIn 三、解答题：16．(1>原式＝3错误!×5错误!÷错误! ………………………………………………4分qkeZjEmkIn A B C DxA' 第21题图 E A B C 第21题备用图第22题图＝3×5错误! (6)分＝15 ……………………………………………………………8分(2>原式＝错误!×3错误!＋6×错误!错误!－＝2错误!＋3错误!－2错误!……………………………6分qkeZjEmkIn＝3错误!…………………………………8分17．解：(1>A(1，3>、C(5，1>；…………………………………4分(2>图形正确；……………………………………………8分(3>AC＝2错误!，……………………………………………10分弧CC'的长＝错误!＝错误!π．…………………12分qkeZjEmkIn18．解：或列对表格或树状图正确，…………………………………………………6分由上述树状图或表格知：P(小明赢>＝错误!，P(小亮赢>＝错误!．……………………………………………10分qkeZjEmkIn∴此游戏对双方不公平，小明赢的可能性大．………………………………11分19．解：(1> ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，……………………………………1分∵∠B＝30，∴AB＝2AC，……………………………………3分∵AB2＝AC2＋BC2，∴AB2＝错误!AB2＋62， (5)分∴AB＝4错误!．………………………………………6分(2> 连接，∵AB＝4错误!，∴OA＝OD＝2错误!，…………………………………………………8分qkeZjEmkIn∵CD平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠ACD＝45°，∴∠AOD＝90°，…………………………………………………………………9分∴S△AOD＝错误!OA·O D＝错误!·2错误!·2错误!＝6，……………………………………10分qkeZjEmkIn∴S扇形△AOD＝错误!·π·OD2＝错误!·π·(2错误!>2＝3π，………………………………11分qkeZjEmkIn∴阴影部分的面积＝ S扇形△AOD－S△AOD＝3π－6．……………………………12分20．解：(1>60≤x≤90；……………………………………………………………………3分qkeZjEmkIn(2> W＝(x―60>(―x＋140>， (4)分qkeZjEmkIn＝－x2＋200x－8400，＝―(x―100>2＋1600，……………………………………………………………5分抛物线的开口向下，∴当x＜100时，W随x的增大而增大，…………………………6分而60≤x≤90，∴当x＝90时，W＝―(90―100>2＋1600＝1500．………………………7分qkeZjEmkIn∴当销售单价定为90元时，可获得最大利润，最大利润是1500元．……………………8分(3> 由W＝1200，得1200＝－x2＋200x－8400，整理得，x2－200x＋9600＝0，解得，x1＝80，x2＝120，……………………………………11分qkeZjEmkIn由图象可知，要使获得利润不低于1200元，销售单价应在80元到120元之间，而60≤x≤90，所以，销售单价x的范围是80≤x≤90．………………………………………………………12分qkeZjEmkIn21．解：(1> 过A点作AM⊥BC，垂足为M，交DE于N点，则BM＝错误! BC＝3，qkeZjEmkIn∵DE∥BC，∴AN⊥DE，即y＝AN．在Rt△ABM中，AM＝错误!＝4，…………………………………………………………2分qkeZjEmkIn∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，……………………………………………………………………………3分∴错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，∴y＝错误!(0＜x＜5>．………………………………………………………………………4分qkeZjEmkIn(2> ∵△A'DE由△ADE折叠得到，∴AD＝A'D，AE＝A'E，∵由(1>可得△ADE是等腰三角形，∴AD＝A'D，AE＝A'E，∴四边形ADA'E是菱形，………………………………5分∴AC∥D A'，∴∠BDA'＝∠BAC，又∵∠BAC≠∠ABC，∠BAC≠∠C，∴∠BDA'≠∠ABC，∠BDA'≠∠C，∴有且只有当BD＝A'D时，△BDA'∽△BAC，…………………………………………7分∴当BD＝A'D，即5－x＝x时，∴x＝错误!．………………………………………………………………………………8分qkeZjEmkIn(3> 第一种情况：∠BDA'＝90°，∵∠BDA'＝∠BAC，而∠BAC≠90°，∴∠BDA'≠90°．………………………………………………………………………9分第二种情况：∠BA'D＝90°，∵四边形ADA'E是菱形，∴点A'必在DE垂直平分线上，即直线AM 上，∵AN＝A'N＝ y＝错误!，AM＝4，∴A'M＝|4－错误!x|，在Rt△BA'M中， A'B2＝BM2＋A'M2＝32＋(4－错误!x>2，在Rt△BA'D中，A'B2＝BD2＋A'D2＝(5－x>2－x2，∴ (5－x>2－x2＝32＋(4－错误!x>2，解得 x＝错误!，x＝0(舍去>．……………………………………………………11分qkeZjEmkIn第三种情况：∠A'BD＝90°，解法一：∵∠A'BD＝90°，∠AMB＝90°，∴△BA'M∽△ABM，即错误!＝错误!，∴BA'＝错误!，……………………………12分qkeZjEmkIn在Rt△D BA'中，DB2＋A'B2＝A'D2，(5－x>2＋错误!＝x2，解得：x＝错误!．……………………………………………13分qkeZjEmkIn 解法二：∵AN＝A'N＝ y＝错误!，AM＝4，∴A'M＝|错误!x－4|，在Rt△BA'M中， A'B2＝BM2＋A'M2＝32＋(错误!x－4>2，在Rt△BA'D中，A'B2＝ A'D2－BD2＝x2－(5－x>2，∴ x2－(5－x>2＝32＋(错误!x－4>2，解得x＝5(舍去>，x＝错误!．………………………………………………………13分qkeZjEmkIn综上可知当x＝错误!、x＝错误!时，△A'DB是直角三角形．qkeZjEmkIn22．解：(1> ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是y轴，∴b＝0．…………………………1分qkeZjEmkIn∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－2，0>、B(0，1>两点，∴c＝1，a＝－错误!，……………………………………3分∴所求抛物线的解读式为y＝－错误!x2＋1．……………4分(2> 设点P坐标为(p，－错误!p2＋1>，如图，过点P作PH⊥l，垂足为H，∵PH＝2－(－错误!p2＋1>＝错误!p2＋1， (6)分qkeZjEmkInOP＝错误!＝－错误!p2＋1，………………8分qkeZjEmkIn∴OP＝PH，∴直线l与以点P为圆心，PO长为半径的圆相切．…………………………………9分(3> 如图，分别过点P、Q、G作l的垂线，垂足分别是D、E、F. 连接EG并延长交DP的延长线于点K，qkeZjEmkIn∵G是PQ的中点，∴易证得△EQG≌△KPG，∴EQ＝PK，………………………………………11分由(2>知抛物线y＝－错误!x2＋1上任意一点到原点的距离等于该点到直线l：y＝2的距离，qkeZjEmkIn即EQ＝OQ，DP＝OP，…………………………………12分∴ FG＝错误!DK＝错误!(DP＋PK>＝错误!(DP＋EQ>＝错误!(OP＋OQ>，……13分qkeZjEmkIn∴只有当点P、Q、O三点共线时，线段PQ的中点G到直线l的距离GF 最小，∵PQ＝9，∴GF≥4.5，即点G到直线l距离的最小值是4.5．…………………………………14分(若用梯形中位线定理求解扣1分>申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
2019-2020学年福建省福州市九年级(上)期末数学试卷
2019-2020学年福建省福州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）下列图标中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）下列说法正确的是（）A．可能性很大的事情是必然发生的B．可能性很小的事情是不可能发生的C．“掷一次骰子，向上一面的点数是6”是不可能事件D．“任意画一个三角形，其内角和是180°”3．（4分）若关于x的方程x2﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＜0B．m≤0C．m＞0D．m≥04．（4分）在平面直角坐标系中，点（a，b）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣a，﹣b）B．（﹣b，﹣a）C．（﹣a，b）D．（b，a）5．（4分）从1，2，3，5这四个数字中任取两个，其乘积为偶数的概率是（）A．B．C．D．6．（4分）若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是直线x＝2，则关于x的方程x2+bx＝5的解为（）A．x1＝0，x2＝4B．x1＝1，x2＝5C．x1＝1，x2＝﹣5D．x1＝﹣1，x2＝57．（4分）如图，点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∠A＝35°，则∠D等于（）A．50°B．65°C．55°D．70°8．（4分）为了测量某沙漠地区的温度变化情况，从某时刻开始记录了12个小时的温度，记时间为t（单位：h），温度为y（单位：℃）．当4≤t≤8时，y与t的函数关系是y＝﹣t2+10t+11，则4≤t≤8时该地区的最高温度是（）A．11℃B．27℃C．35℃D．36℃9．（4分）如图，五边形ABCDE内接于⊙O，若∠CAD＝35°，则∠B+∠E的度数是（）A．210°B．215°C．235°D．250°10．（4分）对于反比例函数，如果当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4，则当x≥8时，有（）A．最小值y＝B．最小值y＝﹣1C．最大值y＝D．最大值y＝﹣1二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若AE＝2，ED＝3，则的值是．12．（4分）圆心角为120°，半径为2的扇形的弧长是．13．（4分）如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点，顺次连接E，F，G，H．向正方形ABCD 区域随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是．14．（4分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转55°得到△ADE，点B的对应点是点D，直线BC与直线DE 所夹的锐角是．15．（4分）若a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则的值是．16．（4分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，以BD为边，在BD上方作等腰直角三角形BDE，使得∠BDE＝90°，连接AE．若BC＝4，AC＝5，则AE的最小值是．三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解方程：x2﹣6x﹣1＝0．18．（8分）在一个不透明的袋子中装有红、黄、蓝三个小球，除颜色外无其它差别．从袋子中随机摸球三次，每次摸出一个球，记下颜色后不放回．请用列举法列出三次摸球的结果，并求出第三次摸出的球是红球的概率．19．（8分）福建省会福州拥有“三山两塔一条江”，其中报恩定光多宝塔（别名白塔），位于于山风景区，利用标杆可以估算白塔的高度．如图，标杆BE高1.5m，测得AB＝0.9m，BC＝39.1m，求白塔的高CD．20．（8分）如图，已知⊙O，A是的中点，过点A作AD∥BC．求证：AD与⊙O相切．21．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC＞BC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使得点B的对应点E 落在边AB上（点E不与点B重合），连接AD．（1）依题意补全图形；（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．22．（10分）某学校为了美化校园环境，向园林公司购买一批树苗．公司规定：若购买树苗不超过60棵，则每棵树售价120元；若购买树苗超过60棵，则每增加1棵，每棵树售价均降低0.5元，且每棵树苗的售价降到100元后，不管购买多少棵树苗，每棵售价均为100元．（1）若该学校购买50棵树苗，求这所学校需向园林公司支付的树苗款；（2）若该学校向园林公司支付树苗款8800元，求这所学校购买了多少棵树苗．23．（10分）如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA．（1）已知△AOB的面积是3，求k的值；（2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值．24．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE 于点G，连接CD，CG，且∠CBE＝∠ACG．（1）求证：CG＝CD；（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长．25．（14分）已知抛物线C：y＝ax2﹣4（m﹣1）x+3m2﹣6m+2．（1）当a＝1，m＝0时，求抛物线C与x轴的交点个数；（2）当m＝0时，判断抛物线C的顶点能否落在第四象限，并说明理由；（3）当m≠0时，过点（m，m2﹣2m+2）的抛物线C中，将其中两条抛物线的顶点分别记为A，B，若点A，B的横坐标分别是t，t+2，且点A在第三象限．以线段AB为直径作圆，设该圆的面积为S，求S的取值范围．2019-2020学年福建省福州市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．2．【解答】解：A、可能性很大的事情也可能不会发生，故错误，不符合题意；B、可能性很小的事情是也可能发生的，故错误，不符合题意；C、掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件，故错误，不符合题意；D、“任意画一个三角形，其内角和是180°”，正确，符合题意，故选：D．3．【解答】解：∵x2﹣m＝0，∴x2＝m，由x2﹣m＝0知m≥0，故选：D．4．【解答】解：点（a，b）关于原点对称的点的坐标是：（﹣a，﹣b）．故选：A．5．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，其中积为偶数的有6种结果，∴积为偶数的概率是＝，故选：C．6．【解答】解：令y＝0得：x2+bx＝0．解得：x1＝0，x2＝﹣b．∵抛物线的对称轴为x＝2，∴﹣b＝4．解得：b＝﹣4．将b＝﹣4代入x2+bx＝5得：x2﹣4x＝5．整理得：x2﹣4x﹣5＝0，即（x﹣5）（x+1）＝0．解得：x1＝5，x2＝﹣1．故选：D．7．【解答】解：连DA，如图，∵点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∴DA＝DB，DB＝DC，即DA＝DB＝DC，∴点A、B、C三点在以D点圆心，DB为半径的圆上，∴∠BDC＝2∠BAC＝2×35°＝70°．故选：D．8．【解答】解：∵y＝﹣t2+10t+11＝﹣（t﹣5）2+36，∴当t＝5时有最大值36℃，∴4≤t≤8时该地区的最高温度是36℃，故选：D．9．【解答】解：如图，连接CE，∵五边形ABCDE是圆内接五边形，∴四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠B+∠AEC＝180°，∵∠CED＝∠CAD＝35°，∴∠B+∠E＝180°+35°＝215°．故选：B．10．【解答】解：由当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4，得x＝﹣1时，y＝4．k＝﹣1×4＝﹣4，反比例函数解析式为y＝﹣，当x≥8时，图象位于第四象限，y随x的增大而增大，当x＝8时，y最小值＝﹣，故选：A．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．【解答】解：如图所示：∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠EDC，∠EBA＝∠ECD，∴△EAB∽△EDC，∴，又∵AE＝2，ED＝3，∴，故答案为．12．【解答】解：l＝＝＝π．故答案为：π．13．【解答】解：设AD＝AB＝BC＝DC＝2，则AH＝GD＝AE＝BE＝CF＝BF＝GC＝DG＝1，可得四边形HEFG是正方形，边长为：，故阴影部分面积为：2，∵正方形ABCD的面积为：4，∴该点落在阴影部分的概率是：．故答案为：．14．【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转55°得到△ADE，点B的对应点是点D，∴直线BC与直线DE所夹的锐角＝旋转角＝55°，故答案为：55°．15．【解答】解：＝＝，∵a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，∴a2+a﹣1＝0，∴＝＝1，故答案为1．16．【解答】解：如图，过点E作EH⊥AC于H，∵∠BDE＝90°＝∠C，∴∠EDA+∠BDC＝90°，∠BDC+∠DBC＝90°，∴∠DBC＝∠EDA，且DE＝BD，∠H＝∠C＝90°，∴△BDC≌△DEH（AAS）∴EH＝CD，DH＝BC＝4，∴AH＝DH﹣AD＝CD﹣1，∵AE2＝AH2+EH2＝CD2+（CD﹣1）2＝2（CD﹣）2+≥∴当CD＝时，AE的最小值为，故答案为．三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：x2﹣6x﹣1＝0，移项得：x2﹣6x＝1，配方得：x2﹣6x+9＝10，即（x﹣3）2＝10，开方得：x﹣3＝±，则x1＝3+，x2＝3﹣．18．【解答】解：依题意得，共有6种结果，分别是（红，黄，蓝）（红，蓝，黄）（黄，红，蓝）（黄，蓝，红）（蓝，红，黄）（蓝，黄，红），所有结果发生的可能性都相等，其中第三次摸出的球是红球的结果又2种，则第三次摸出的球是红球的概率是＝．19．【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴＝，∵BE＝1.5，AB＝0.9，BC＝39.1，∴AC＝16，∴＝，∴CD＝．∴白塔的高CD为米．20．【解答】证明：过点O作OF⊥BC于F，延长OF交⊙O于点E，如图所示：∴＝，∠OFB＝90°，∴E是的中点，∵A是的中点，∴点E与点A重合，∵AD∥BC，∴∠OAD＝∠OFB＝90°，∴OA⊥AD，∵点A为半径OA的外端点，∴AD与⊙O相切．21．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，∴△ABC≌△DEC，DC＝AC，EC＝BC，∵AB＝AC，∴DC＝AB，∵△ABC≌△DEC，∴∠DCE＝∠ACB，∵EC＝BC，∴∠CEB＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠CEB＝∠DCE，∴DC∥AB，又∵DC＝AC，AB＝AC，∴四边形ABCD是平行四边形．22．【解答】解：（1）∵50＜60，∴120×50＝6000元，答：这所学校需向园林公司支付的树苗款为6000元．（2）∵购买60棵树苗所需要支付的树苗款为120×60＝7200元＜8800元，∴该中学购买的树苗超过60棵，∴购买100棵树苗时每棵树苗的售价恰好将至100元，∵购买树苗超过100棵后，每棵树苗的售价为100元，此时所需支付的树苗款超过100000元，而100000＞8800，∴该中学购买的树苗不过100棵，设购买了x（60＜x≤100）棵，根据题意可知：x[20﹣0.5（x﹣60）]＝8800，解得：x＝220（舍去）或x＝80，答：这所学校购买了80棵树苗23．【解答】解：（1）∵双曲线y＝上的一点A（m，n），过点A作AB⊥x轴于点B，∴AB＝n，OB＝m，又∵△AOB的面积是3，∴mn＝3，∴mn＝6，∵点A在双曲线y＝上，∴k＝mn＝6；（2）如图，延长DC交x轴于E，由旋转可得△AOB≌△ACD，∠BAD＝90°，∴AD＝AB＝n，CD＝OB＝m，∠ADC＝90°，∵AB⊥x轴，∴∠ABE＝90°，∴四边形ABED是矩形，∴∠DEB＝90°，∴DE＝AB＝n，CE＝n﹣m，OE＝m+n，∴C（m+n，n﹣m），∵点A，C都在双曲线上，∴mn＝（m+n）（n﹣m），即m2+mn﹣n2＝0，方程两边同时除以n2，得+﹣1＝0，解得＝，∵n＞m＞0，∴＝．24．【解答】解：（1）如图，∵BC是⊙O的直径，∴∠1+∠2＝90°∵AD⊥BE于点G，∴∠1+∠5＝90°∴∠2＝∠5∵∠CBE＝∠ACG．即∠4＝∠3∠DGC＝∠2+∠3＝∠5+∠4＝∠ABC∵∠ABC＝∠D∴∠DGC＝∠D∴CG＝CD；（2）如图．连接AE、CE，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝2，根据勾股定理，得AC＝＝6，∵BC是直径，∴∠BEC＝90°，∴∠AGE＝∠BEC，∴AD∥CE，∵∠CAE＝∠4，∠3＝∠4，∴∠CAE＝∠3，∴AE∥CG，∴四边形AGCE是平行四边形，∴AF＝FC＝3，在Rt△ABF中，BF＝＝5，∵S△ABF＝BF•AG＝AB•AF∴AG＝．过点C作CI⊥AD于点I，得矩形GICE，∴EC＝GI，∵CG＝CD，∴GI＝DI∵四边形AGCE是平行四边形，∴EC＝AG＝，∵∠D＝∠ABC，∠CID＝∠BAC＝90°，∴△CID∽△CAB，∴＝，即＝，∴CD＝．答：CD的长为．25．【解答】解：（1）当a＝1，m＝0时，抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+2，△＝8＞0，故C与x轴的交点个数为2；（2）当m＝0时，判断抛物线C的顶点为：（﹣，﹣+2），假设点C在第四象限，则﹣＞0，且﹣+2＜0，解得：0＞且＞0，故a无解，故顶点不能落在第四象限；（3）将点（m，m2﹣2m+2）代入抛物线表达式并整理得：（a﹣2）m2＝0，∵m≠0，故a＝2；则抛物线的表达式为：y＝2x2﹣4（m﹣1）x+（3m2﹣6m+2），则顶点坐标为：（m﹣1，m2﹣2m），当m﹣1＝t时，m＝t+1，则点A（t，t2﹣1）；当m﹣1＝t+1时，m＝t+3，点B（t+2，t2+4t+3）；点A在第三象限，即t＜0且t2﹣1＜0，解得：﹣1＜t＜0；y B﹣y A＝4t+4＞0，故点B在点A的右上方，AB2＝22+（4t+4）2＝16（t+1）2+4，﹣1＜t＜0时，4＜AB2＜20；S＝π（）2＝，故π＜S＜5π．。
2024届福建省各市区数学九上期末经典试题含解析
2024届福建省各市区数学九上期末经典试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）1．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，图象过点(3,0)-，对称轴为1x =-．下列说法：①0abc <；②20a b -=；③420a b c ++<；④若()15,y -，()22,y 是抛物线上两点，则12y y >，错误的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④2．如图所示的网格是正方形网格，图中△ABC 绕着一个点旋转，得到△A'B'C'，点C 的对应点C' 所在的区域在1区∼4区中，则点C' 所在单位正方形的区域是（ ）A ．1区B ．2区C ．3区D ．4区3．如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，//OM AB 交AD 于点M ，若3OM =，8BC =，则OB 的长为( )A ．4B ．5C ．6D 274．下列事件是必然事件的是（ ）A ．任意购买一张电影票,座号是“7排8号”B ．射击运动员射击一次,恰好命中靶心C ．抛掷一枚图钉,钉尖触地D ．13名同学中,至少2人出生的月份相同5．下列说法错误的是（ ）A ．将数65800000用科学记数法表示为76.5810⨯B ．9的平方根为3±C ．无限小数是无理数D ．25比4更大，比5更小6．若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m ＝0的一个根是x ＝1，则m 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知点(﹣4，y 1)、(4，y 2)都在函数y ＝x 2﹣4x+5的图象上，则y 1、y 2的大小关系为（ ）A ．y 1＜y 2B ．y 1＞y 2C ．y 1＝y 2D ．无法确定8．如图，ABC ∆中，//,2,3DE BC AD BD ==，则DEAEBC AC =的值为（ ）A ．2:3B ．1:2C ．3:5D ．2:59．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的为（ ）A ．2210x x += B ．220x x --= C ．2320x xy -= D ．240y -=10．一元二次方程230x x -=的根为（ ）A ．123,0x x ==B ．3,3x x ==-C ．3x =D ．3x =11．下列事件中是必然事件是（ ）A ．明天太阳从西边升起B ．篮球队员在罚球线投篮一次，未投中C ．实心铁球投入水中会沉入水底D ．抛出一枚硬币，落地后正面向上12．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为AB 的中点且CD ＝4，则OE 等于()A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每题4分，共24分）13．一元二次方程x 2﹣x ﹣14=0配方后可化为__________． 14．O 的半径为13cm ，AB 、CD 是O 的两条弦，//AB CD ．24cm AB =，10cm CD =，则AB 和CD 之间的距离为______15．请写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为2，﹣2，这个方程可以是_____．16．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是 ．17．一元二次方程2420x x --=的两实数根分别为12,x x ，计算12123x x x x --的值为__________．18．抛物线22(3)1y x =--关于x 轴对称的抛物线解析式为_______________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，一块三角形的铁皮，BC 边为120mm ，BC 边上的高AD 为80mm ，要将它加工成矩形铁皮，使它的的一边FG 在BC 上，其余两个顶点E 、H 分别在AB 、AC 上，（1）若四边形EFGH 是正方形，那么正方形边长是多少？（2）在矩形EFGH 中，设EF xmm =，FG ymm =，①求y 与x 的函数关系，并求出自变量的取值范围； ②x 取多少时，EFGH S 矩形有最大值，最大值是多少？ 20．（8分）如图，抛物线2y x bx =-++与x 轴交于()2,0A ，()4,0B -两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由21．（8分）已知抛物线的顶点为()2,4M ，且过点()3,3A .直线AM 与x 轴相交于点B .（1）求该抛物线的解析式；（2）以线段BM 为直径的圆与射线OA 相交于点P ，求点P 的坐标.22．（10分）为了推动课堂教学改革，打造高效课堂，配合我市“两型课堂”的课题研究，莲城中学对八年级部分学生就一期来“分组合作学习”方式的支持程度进行调查，统计情况如图．试根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）求本次被调查的八年级学生的人数，并补全条形统计图；（2）若该校八年级学生共有180人，请你估计该校八年级有多少名学生支持“分组合作学习”方式（含“非常喜欢”和“喜欢”两种情况的学生）．23．（10分）如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，BC ＝3CD ，分别过点B ，D 作AD ，AB 的平行线，并交于点E ，且ED 交AC 于点F ，AD ＝3DF ．（1）求证：△CFD ∽△CAB ；（2）求证：四边形ABED 为菱形；（3）若DF＝53，BC＝9，求四边形ABED的面积．24．（10分）王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活98%．现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵的产量如折线统计图所示．（1）分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；（2）试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？25．（12分）如图，在锐角△ABC中，小明进行了如下的尺规作图：①分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q；②作直线PQ分别交边AB、BC于点E、D．（1）小明所求作的直线DE是线段AB的；（2）联结AD，AD＝7，sin∠DAC＝，BC＝9，求AC的长．26．如图，一次函数y=﹣x+2的图象与反比例函数y=﹣3x的图象交于A、B两点，与x轴交于D点，且C、D两点关于y轴对称．（1）求A、B两点的坐标；（2）求△ABC的面积．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】根据抛物线的对称轴和交点问题可以分析出系数的正负.【题目详解】由函数图象可得：a>0,c<0,12b x a=-=- 所以b>0,2a-b=0,所以abc<0,抛物线与x 轴的另一个交点是（1，0），当x=2时，y>0,所以420a b c ++>，故③错误，因为()15,y -，()22,y 是抛物线上两点，且()15,y -离对称轴更远，所以12y y >故选：C【题目点拨】考核知识点：二次函数图象.理解二次函数系数和图象关系是关键.2、D【分析】如图，连接A A'，B B'，分别作A A'，B B '的中垂线，两直线的交点即为旋转中心，从而便可判断出点C' 位置.【题目详解】如图，连接A A'，B B'，分别作A A'，B B '的中垂线，两直线的交点O 即为旋转中心，连接OC ，易得旋转角为90°，从而进一步即可判断出点C' 位置.在4区.故选：D.【题目点拨】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握相关方法是解题关键.3、B【分析】由平行线分线段成比例可得6CD =，由勾股定理可得10AC =，由直角三角形的性质可得OB 的长． 【题目详解】解：四边形ABCD 是矩形//AB CD ∴，8AD BC ==，//OM AB , //OM CD ∴AO OM AC CD ∴=，且12AO AC =，3OM = 6CD ∴=，在Rt ADC 中，2210AC AD CD +=点O 是斜边AC 上的中点，152BO AC ∴== 故选B ．【题目点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，求CD 的长度是本题的关键．4、D【分析】根据必然事件的定义即可得出答案.【题目详解】ABC 均为随机事件，D 是必然事件，故答案选择D.【题目点拨】本题考查的是必然事件的定义：一定会发生的事情.5、C【分析】根据科学记数法的表示方法、平方根的定义、无理数的定义及实数比较大小的方法，进行逐项判断即可．【题目详解】A.65800000=6.58×107，故本选项正确；B.9的平方根为：3=±，故本选项正确；C.无限不循环小数是无理数，而无限小数包含无限循环小数和无限不循环小数，故本选项错误；D.=，因为162025<<，所以45<<，即45<<，故本选项正确．故选：C ．【题目点拨】本题考查科学记数法、平方根、无理数的概念及实数比较大小，明确各定义和方法即可，难度不大．6、C【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x ＝1代入方程得1+2﹣m ＝0，然后解关于m 的一次方程即可．【题目详解】解：把x ＝1代入x 2+2x ﹣m ＝0得1+2﹣m ＝0，解得m ＝1．故选：C ．【题目点拨】本题考查一元二次的代入求参数,关键在于掌握基本运算方法.7、B【分析】首先根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴为x ＝2，再根据抛物线的增减性以及对称性可得y 1，y 2的大小关系．【题目详解】解：∵二次函数y ＝x 2﹣4x+5＝（x ﹣2）2+1，∴对称轴为x ＝2，∵a ＞0，∴x ＞2时，y 随x 增大而增大，点（﹣4，y 1）关于抛物线的对称轴x ＝2对称的点是（8，y 1），8＞4，∴y 1＞y 2，故选：B ．【题目点拨】本题主要考查的是二次函数的增减性，从对称轴分开，二次函数左右两边的增减性不相同结合题意即可解出此题. 8、D【解题分析】根据相似三角形的判定和性质，即可得到答案.【题目详解】解：∵//DE BC ，∴ADE ∆∽ABC ∆，∴22235DE AE AD AD BC AC AB AD DB =====++； 故选：D.【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质.9、B【解题分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（1）未知数的最高次数是1；（3）是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax 1＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．【题目详解】解：A.2210x x +=,是分式方程, B.220x x --=,正确,C.2320x xy -=,是二元二次方程,D.240y -=,是关于y 的一元二次方程,故选B【题目点拨】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是1． 10、A【解题分析】提公因式，用因式分解法解方程即可．【题目详解】一元二次方程230x x -=，提公因式得：()30x x -=，∴0x =或30x -=，解得：1203x x ==，．故选：A ．【题目点拨】本题考查了解一元二次方程－因式分解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键．11、C【解题分析】必然事件就是一定会发生的事件，即发生的概率是1的事件，依据定义即可解决．【题目详解】解：A 、明天太阳从西边升起，是不可能事件，故不符合题意；B 、篮球队员在罚球线投篮一次，未投中，是随机事件，故不符合题意；C 、实心铁球投入水中会沉入水底，是必然事件，故符合题意；D 、抛出一枚硬币，落地后正面向上，是随机事件，故不符合题意．故选C ．12、B【分析】利用菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案．【题目详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CD ＝4，AC ⊥BD ，又∵点E 是边AB 的中点，∴OE ＝12AB ＝1． 故选：B ．【题目点拨】此题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出OE=12AB 是解题关键．二、填空题（每题4分，共24分） 13、21122x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 【分析】移项，配方，即可得出选项．【题目详解】x 2﹣x ﹣14=0 x 2﹣x =14x 2﹣x+14=14+14 21122x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 故填：21122x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 【题目点拨】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．14、7cm 或17cm【分析】作OE ⊥AB 于E ，交CD 于F ，连结OA 、OC ，如图，根据平行线的性质得OF ⊥CD ，再利用垂径定理得到AE ＝12，CF ＝5，然后根据勾股定理，在Rt △OAE 中计算出OE ＝5，在Rt △OCF 中计算出OF ＝12，再分类讨论：当圆心O在AB与CD之间时，EF＝OF＋OE；当圆心O不在AB与CD之间时，EF＝OF−OE．【题目详解】解：作OE⊥AB于E，交CD于F，连结OA、OC，如图，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴AE＝BE＝12AB＝12，CF＝DF＝12CD＝5，在Rt△OAE中，∵OA＝13，AE＝12，∴OE221312=5-，在Rt△OCF中，∵OC＝13，CF＝5，∴OF＝22135，当圆心O在AB与CD之间时，EF＝OF＋OE＝12＋5＝17；当圆心O不在AB与CD之间时，EF＝OF−OE＝12−5＝7；即AB和CD之间的距离为7cm或17cm．故答案为：7cm或17cm．【题目点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和分类讨论的数学思想．15、x2﹣4＝0【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求出答案【题目详解】设方程x2﹣mx+n＝0的两根是2，﹣2，∴2+（﹣2）＝m，2×（﹣2）＝n，∴m＝0，n＝﹣4，∴该方程为：x2﹣4＝0，故答案为：x2﹣4＝0【题目点拨】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根x1，x2与系数的关系：x1+x2=ba-，x1x2=ca，是解题的关键.16、14． 【解题分析】试题分析：画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1，所以两枚硬币全部正面向上的概率=14．故答案为14． 考点：列表法与树状图法．17、-10【分析】首先根据一元二次方程根与系数的关系求出12x x +和12x x ，然后代入代数式即可得解.【题目详解】由已知，得()()2244412240b ac =-=--⨯⨯-=△＞∴1212424,211b c x x x x a a --+=-=-====- ∴()()121212123332410x x x x x x x x --=-+=⨯--=-故答案为-10.【题目点拨】此题主要考查根据一元二次方程根与系数的关系求代数式的值，熟练掌握，即可解题.18、22(3)1y x =--+【分析】由关于x 轴对称点的特点是：横坐标不变，纵坐标变为相反数，可求出抛物线的顶点关于x 轴对称的顶点，关于x 轴对称，则开口方向与原来相反，得出二次项系数，最后写出对称后的抛物线解析式即可．【题目详解】解：抛物线22(3)1y x =--的顶点为(3,-1)，点(3,-1)关于x 轴对称的点为(3,1)，又∵关于x 轴对称，则开口方向与原来相反，所以2a =- ，∴抛物线22(3)1y x =--关于x 轴对称的抛物线解析式为22(3)1y x =--+.故答案为：22(3)1y x =--+.【题目点拨】本题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是抓住关于x 轴对称点的特点．三、解答题（共78分）19、（1）48mm ；（2）①31202y x =-+()080x <<；②x=40，S 的最大值是2400.【分析】（1）首先得出AEH ABC ∆∆∽，进而利用相似三角形的性质求出即可；（2）利用正方形的判定方法得出邻边关系进而得出答案；（3）由S x y =⋅根据二次函数的最值即可求．【题目详解】解：（1）//EH BC ，AEH ABC ∴∆∆∽， ∴AN EH AD BC=， 设正方形的边长为x8012080x x -= 48x =答：这个正方形的边长是48mm .（2）①在矩形EFGH 中，设EF xmm =，FG ymm =，由（1）可得：8012080y x -=得31202y x =-+()080x << ②由题意得S x y =⋅，∴31202S x x ⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭ ()234024002S x =--+ ∴40x =时，S 的最大值是2400.【题目点拨】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的判定、二次函数的应用，得出AEH ABC ∆∆∽是解题关键．20、（1）228y x x =--+；（2）存在，当QAC 的周长最小时，Q 点的坐标为()1,6-．【分析】（1）直接利用待定系数求出二次函数解析式即可；（2）首先求出直线BC 的解析式，再利用轴对称求最短路线的方法得出答案.【题目详解】（1）抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()()2,0,4,0A B -两点 4201640b c b c -++=⎧∴⎨--+=⎩解得：28b c =-⎧⎨=⎩ ∴该抛物线的解析式为228y x x =--+（2）该抛物线的对称轴上存在点Q ，使得QAC 的周长最小．如解图所示，作点C 关于抛物线对称轴的对称点H ，连接HA ，交对称轴于点Q ，连接CO AC 、，点C 关于抛物线对称轴的对称点H ，且HA ，交对称轴于点QQH QC ∴=，QAC ∴的周长为AC CQ AQ AC QH AQ AC AH ++=++=+， Q 为抛物线对称轴上一点，QAC ∴的周长AC CQ AQ AC AH ++≥+，∴当点Q 处在解图位置时，QAC 的周长最小．在228y x x =--+中，当0x =时，8y =，()0,8C ∴，()()2,0,4,0A B -，∴抛物线的对称轴为直线1x =-，点H 是点C 关于抛物线对称轴直线1x =-的对称点，且()0.8C ．设过点()()2,0,2,8A H -两点的直线AH 的解析式为：()2y k x =-，()2,8H -在AH 直线上，48k ∴-=，解得：2k =-，AH ∴直线的解析式为：()2224y x x =--=-+，抛物线对称轴为直线1x =-，且AH 直线与抛物线对称轴交于点Q ，∴在24y x =-+中，当1x =-时，()2146y =-⨯-+=，()1,6Q ∴-，∴在该抛物线的对称轴上存在点Q ，使得QAC 的周长最小，当QAC 的周长最小时，Q 点的坐标为()1,6-【题目点拨】此题主要考查了二次函数综合应用以及待定系数法求一次函数、二次函数解析式等知识，能正确理解题意是解题关键．21、（1）24y x x =-+；（2）(33,33)P ++或(33,33)【分析】（1）先设出抛物线的顶点式，再将点A 的坐标代入可得出结果；（2）先求出射线OA 的解析式为(0)y x x =≥，可设点P 的坐标为(x,x)．圆与射线OA 相交于两点，分两种情况：①如图1当03x <<时，构造Rt ,Rt PDM PGB △△和Rt MHB △，再在直角三角形中利用勾股定理，列方程求解；②如图2，当3x ＞时，构造Rt ,Rt PDM PGB △△和Rt MHB △，再在直角三角形中利用勾股定理，列方程求解．【题目详解】解：（1）根据顶点设抛物线的解析式为：2(2)4,(0)y a x a =-+≠，代入点(3,3)A ，得：1a =-，∴抛物线的解析式为：24y x x =-+．设直线AM 的解析式为：,(0)y kx b k =+≠，分别代入(2,4)M 和(3,3)A ，得：16k b =-⎧⎨=⎩， 直线AM 的解析式为：6y x =-+；（2）由（1）得：直线AM 的解析式为6y x =-+，令0y =，得6x =，(6,0)B ∴由题意可得射线OA 的解析式为(0)y x x =≥，点P 在射线OA 上，则可设点(,)P x x ，由图可知满足条件的点P 有两个：①当03x <<时，构造Rt ,Rt PDM PGB △△和Rt MHB △，可得：如图1：由图可得，,4,2PG x PD x MD x ==-=-，6BG x =-，4,624MH BH ==-=．在Rt △PMD 中，22222(2)(4)PM MD PD x x =+=-+-,在Rt △PBG 中，22222(6)PB BG PG x x =+=-+,在Rt △BMH 中，222224432BM MH BH =+=+=,点P 在以线段BM 为直径的圆上,90BPM ︒∴∠=，可得：222PM PB BM +=,即：2222(2)(4)(6)32x x x x -+-++-=．整理，得： 2660x x -+=，解得：33x =±03x <<,33x ∴=．(33,33)P ∴-;②当3x <时，如图2，构造Rt ,Rt PDM PGB △△和Rt MHB △，可得：同理，根据BM 2=BP 2+PM 2，可得方程：42+42=(6-x)2+x 2+(x-2)2+(x-4)2,化简得，2660x x -+=，解得：33x =± ∵3,33x x ∴=+＞(33,33)P ∴++．综上所述，符合题目条件的P 点有两个，其坐标分别为：(33,33)P ++或(33,33)-．【题目点拨】本题主要考查二次函数解析式的求法，以及圆的相关性质，关键是构造直角三角形利用勾股定理列方程解决问题．22、（1）54人，画图见解析；（2）160名．【分析】（1）根据喜欢“分组合作学习”方式的圆心角度数和频数可求总数，从而得出非常喜欢“分组合作学习”方式的人数，补全条形图．（2）利用扇形图得出支持“分组合作学习”方式所占的百分比，利用样本估计总体即可．【题目详解】解：（1）∵喜欢“分组合作学习”方式的圆心角度数为120°，频数为18，∴本次被调查的八年级学生的人数为：18÷120360=54（人）． ∴非常喜欢“分组合作学习”方式的人数为：54﹣18﹣6=30（人），如图补全条形图：（2）∵“非常喜欢”和“喜欢”两种情况在扇形统计图中所占圆心角为：120°+200°=320°，∴支持“分组合作学习”方式所占百分比为：320360×100%，∴该校八年级学生共180人中，估计有180×320360=160名支持“分组合作学习”方式．23、（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形ABED的面积为1．【分析】（1）由平行线的性质和公共角即可得出结论；（2）先证明四边形ABED是平行四边形，再证出AD＝AB，即可得出四边形ABED为菱形；（3）连接AE交BD于O，由菱形的性质得出BD⊥AE，OB＝OD，由相似三角形的性质得出AB＝3DF＝5，求出OB＝3，由勾股定理求出OA＝4，AE＝8，由菱形面积公式即可得出结果．【题目详解】（1）证明：∵EF∥AB，∴∠CFD＝∠CAB，又∵∠C＝∠C，∴△CFD∽△CAB；（2）证明：∵EF∥AB，BE∥AD，∴四边形ABED是平行四边形，∵BC＝3CD，∴BC：CD＝3：1，∵△CFD∽△CAB，∴AB：DF＝BC：CD＝3：1，∴AB＝3DF，∵AD＝3DF，∴AD＝AB，∴四边形ABED为菱形；（3）解：连接AE交BD于O，如图所示：∵四边形ABED为菱形，∴BD⊥AE，OB＝OD，∴∠AOB＝90°，∵△CFD∽△CAB，∴AB：DF＝BC：CD＝3：1，∴AB＝3DF＝5，∵BC＝3CD＝9，∴CD＝3，BD＝6，∴OB＝3，由勾股定理得：OA＝22AB OB-＝4，∴AE＝8，∴四边形ABED的面积＝12AE×BD＝12×8×6＝1．【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定和性质、平行四边形的判定、勾股定理、菱形的面积公式，熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明四边形是菱形是解题的关键．24、（1）甲、乙样本的平均数分别为：40kg，40kg；产量总和为7840千克（2）乙．【分析】（1）根据折线图先求出甲山和乙山的杨梅的总数就可以求出样本的平均数；利用样本平均数代替总体平均数即可估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；（2）根据甲乙两山的样本数据求出方差，比较大小就可以求出结论．【题目详解】解：（1）甲山上4棵树的产量分别为：50千克、36千克、40千克、34千克，所以甲山产量的样本平均数为：50364034==404x+++千克；乙山上4棵树的产量分别为：36千克、40千克、48千克、36千克，所以乙山产量的样本平均数为36404836==404x+++千克．答：甲、乙两片山上杨梅产量数样本的平均数分别为：40kg，40kg；甲、乙两山的产量总和为：100×98%×2×40=7840千克．（2）由题意，得S甲2=2222(4050)(4036)(4040)(4034)=384-+-+-+-（千克2）；S乙2=2222(4036)(4040)(4048)(4036)=244-+-+-+-（千克2）∵38＞24∴S2甲＞S2乙∴乙山上的杨梅产量较稳定．【题目点拨】本题考查了折线统计图、方差、平均数和极差，从图中找到所需的统计量是解题的关键．25、（1）线段AB的垂直平分线（或中垂线）；（2）AC＝5．【解题分析】（1）垂直平分线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（2）根据题意垂直平分线定理可得AD＝BD，得到CD＝2，又因为已知sin∠DAC=，故可过点D作AC垂线，求得DF=1，利用勾股定理可求得AF，CF，即可求出AC长.【题目详解】（1）小明所求作的直线DE是线段AB的垂直平分线（或中垂线）；故答案为线段AB的垂直平分线（或中垂线）；（2）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，如图，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD＝7∴CD＝BC﹣BD＝2，在Rt△ADF中，∵sin∠DAC＝，∴DF＝1，在Rt△ADF中，AF＝，在Rt△CDF中，CF＝，∴AC＝AF+CF＝．【题目点拨】本题考查了垂直平分线的尺规作图方法，三角函数和勾股定理求线段长度，解本题的关键是充分利用中垂线，将已知条件与未知条件结合起来解题.26、（1）A点坐标为（﹣1，3），B点坐标为（3，﹣1）；（2）S△ABC=1．【解题分析】试题分析：（1）根据反比例函数与一次函数的交点问题得到方程组，然后解方程组即可得到A、B两点的坐标；（2）先利用x轴上点的坐标特征确定D点坐标，再利用关于y轴对称的点的坐标特征得到C点坐标，然后利用S△ABC=S△ACD+S△BCD进行计算．试题解析：（1）根据题意得2{3y xyx=-+=-，解方程组得1{3xy=-=或3{1xy==-，所以A点坐标为（﹣1，3），B点坐标为（3，﹣1）；（2）把y=0代入y=﹣x+2得﹣x+2=0，解得x=2，所以D点坐标为（2，0），因为C、D两点关于y轴对称，所以C点坐标为（﹣2，0），所以S△ABC=S△ACD+S△BCD=12×（2+2）×3+12×（2+2）×1=1．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．。
2022-2023学年福建省福州市九年级(上)期末数学试卷(一检)+答案解析(附后)
2022-2023学年福建省福州市九年级（上）期末数学试卷（一检）1. 地铁标志作为城市地铁的形象和符号，是城市文化的缩影.下列图案分别为北京，上海，深圳，福州四个城市的地铁标志，其中是中心对称图形的是( )A. B.C. D.2. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是( )A. 守株待兔B. 水中捞月C. 水滴石穿D. 百发百中3. 下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是( )A. B. C. D.4. 如图，已知直线，直线AC和DF分别与直线，，交于点A，B，C和点D，E，若，，则DE的长是( )A.B. 3C. 6D. 95. 方程的解是( )A. ，B. ，C. ，D. ，6. 如图，将点M绕点O顺时针旋转得到点N，则点N在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7. 将抛物线向左平移1个单位长度，平移后的抛物线的解析式是( )A. B. C.D.8. 2020年教育部印发了《大中小学劳动教育指导纲要试行》，劳动教育已纳入人才培养过程.某中学加大校园农场建设，为学生提供更多的劳动场所.该农场某种作物2020年的年产量为100千克，2022年的年产量为225千克.设该作物年产量的平均增长率为x，则符合题意的方程是( )A.B.C.D.9. 关于x的一元二次方程，若，则该方程必有一个根是( )A. B. C. D.10. 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力阻力臂=动力动力臂.当用撬棍撬动一块石头时，发现阻力和阻力臂分别为1200N和，关于动力F和动力臂l，下列说法错误的是( )A. F与l的积为定值B. F随l的增大而减小C. 当l为时，撬动石头至少需要400N的力D. F关于l的函数图象位于第一、第三象限11. 若反比例函数的图象经过点，则k的值是______ .12. 如图，在中，弦AB长为8，于C且，则的半径是______ .13. 某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并完成统计情况，得到一组统计数据：移植总次数n150035007000900014000成活数m133532036335803712628成活的频率估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是______ 结果精确到14. 在半径为1的圆中，圆心角所对的弧长是______ .15. 某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度单位：与足球飞行的时间单位：之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是______ .16. 如图，已知内接于，I是的内心.若，则的度数是______ .17. 解方程：18. 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且，连接AF，求证：四边形AECF是中心对称图形.19. 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围.20. 如图，将绕点A顺时针旋转得到为锐角，点D与点B对应，连接BD，求证：∽21. 为增强学生爱国意识，激发爱国情怀，某校9月开展了“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育活动，活动方式有：主题征文，书法绘画，红歌传唱，经典诵读.为了解最受学生喜爱的活动方式，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.根据以上信息，解答下列问题：参与此次抽样调查的学生人数是______ ，扇形统计图中A部分圆心角的度数是______ ；学校从1班，2班，3班，4班中随机选取两个班参加“红歌传唱”的活动，求恰好选中2班和3班的概率.22. 如图，P为外一点，M为OP中点.过点P作的一条切线PQ，且Q为切点尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；在的条件下，若，求证：点M在上.23. 如图，一块余料ABCDEF，，，，，，且CD和AF之间的距离为以AF所在直线为x轴，AB长为1个单位长度，建立适当的平面直角坐标系，图中曲线DE恰好是该平面直角坐标系中反比例函数图象的一部分.补全该平面直角坐标系，并写出点B，C，D，E的坐标；李师傅想利用该余料截取一块矩形材料POMN，其中边PQ在AF上点P在点Q的右侧，其余两个顶点M与N分别在线段BC与曲线段DE上，求所截取的矩形材料PQMN面积的最大值.24. 在中，，两条高AD，BE交于点H，F是CH的中点，连接AF并延长交边BC于点如图1，若是等边三角形，①求证：；②求CG的长；如图2，若，，求的面积.25. 已知抛物线与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点当时，抛物线最低点的纵坐标为；当时，抛物线最低点的纵坐标为求a，b的关系式用含b的代数式表示；若，求抛物线的解析式；在的条件下，M为抛物线对称轴上一点，过点M的直线交抛物线于C，D两点，E为线段CD的中点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点探究是否存在定点M，使得总成立.若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、该图形不是中心对称图形，因为找不到一个点使图形绕该点旋转后能够与自身重合，不符合题意；B、该图形不是中心对称图形，因为找不到一个点使图形绕该点旋转后能够与自身重合，不符合题意；C、该图形是中心对称图形，符合题意；D、该图形不是中心对称图形，因为找不到一个点使图形绕该点旋转后能够与自身重合，不符合题意．故选：根据中心对称图形的概念和各图的特点求解．本题考查了中心对称图形的概念．如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．2.【答案】B【解析】解：A、守株待兔，是随机事件，故本选项不符合题意；B、水中捞月，是不可能事件，故本选项符合题意；C、水滴石穿是必然事件，故本选项不符合题意；D、百发百中，是随机事件，故本选项不符合题意；故选：根据事件发生的可能性大小判断．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3.【答案】A【解析】解：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积．故选：根据圆内接多边形的周长小于圆周长，再利用夹逼法对即可选择答案．此题主要考查了正多边形与圆，关键是知道圆内接多边形的周长小于圆周长．4.【答案】C【解析】解：直线，，，，，解得：，故选：根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再把和代入，即可求出答案．本题考查了平行线分线段成比例定理，能正确根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解此题的关键．5.【答案】C【解析】解：，或，解得：或，故选：由已知等式知这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程，再分别求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键6.【答案】C【解析】解：将点M绕点O顺时针旋转得到点N，如图，故将点M绕点O顺时针旋转得到点N，则点N在第三象限，故选：作出旋转后的图形，即可得到结论．本题主要考查了旋转的性质，根据题意画出图形是解题关键．7.【答案】B【解析】解：将抛物线向左平移1个单位长度后的抛物线解析式为：，即故选：直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．8.【答案】B【解析】解：根据题意得故选：利用该农场某种作物2022年的年产量=该农场某种作物2020年的年产量该作物年产量的平均增长率，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9.【答案】A【解析】解：由题意，一元二次方程满足且，当时，代入方程，有；综上可知，方程必有一根为故选：由满足且，可得：当时，有故问题可求．此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．10.【答案】D【解析】解：阻力阻力臂=动力动力臂，阻力和阻力臂分别为1200N和，动力F和动力臂l的关系式为：，即F与l的积为定值，故选项A不合题意；，，故F随l的增大而减小，故此选项B不合题意；当l为时，撬动石头至少需要的力，故此选项C不合题意；，关于l的函数图象位于第一象限，故选项D符合题意．故选：根据杠杆平衡条件：动力动力臂=阻力阻力臂，代入有关数据计算即可．此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出反比例函数解析式是解题关键．11.【答案】6【解析】解：把代入函数中，得，解得故答案为：将点代入解析式可求出k的值．主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．先设，再把已知点的坐标代入可求出k 值，即得到反比例函数的解析式．12.【答案】5【解析】解：连接OA，弦AB长为8，，于C且，故答案为：连接OA，即可得直角三角形，根据题意，即可求出OA的长度．本题主要考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键在于连接OA，构建直角三角形．13.【答案】【解析】解：幼树移植数14000棵时，幼树移植成活的频率为，估计幼树移植成活的概率为，精确到，即为故答案为：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．14.【答案】【解析】解：圆心角为，，故答案为：根据弧长公式：计算即可．此题主要考查了扇形的弧长计算公式，正确的代入数据并进行正确的计算是解题的关键．15.【答案】【解析】解：设飞行的高度单位：与足球飞行的时间单位：之间的二次函数关系为，将，代入得：，解得，，在中，令得，解得或，足球从踢出到落地所需的时间是，故答案为：设飞行的高度单位：与足球飞行的时间单位：之间的二次函数关系为，用待定系数法求出，令即可解得答案．本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数的函数关系式．16.【答案】【解析】解：如图所示：为的内心，，，，，，，解得：故答案为：根据三角形内心定义进行角的和差计算即可．本题考查了圆周角定理、三角形的内心、三角形外心，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．17.【答案】解：，，；；，，【解析】本题主要考查了解一元二次方程的解法．要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．此法适用于任何一元二次方程．公式法的步骤：①化方程为一般形式；②找出a，b，c；③求；④代入公式18.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，，，四边形AECF是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，四边形AECF是中心对称图形．【解析】由平行四边形的性质得出，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”推出四边形AECF是平行四边形，即可得出结论．本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．19.【答案】解：方程是一元二次方程，，一元二次方程有两个不相等的实数，，解得，的取值范围是且【解析】根据根的判别式建立关于a的不等式，注意a的数值不能为0，由此两者结合得出答案即可．本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．20.【答案】解：绕点A旋转得到，，，，，∽【解析】由旋转的性质可得，，，即可得结论．本题考查了相似三角形的判定，掌握旋转的性质是解题的关键．21.【答案】【解析】解：参与此次抽样调查的学生人数是：人，A类的人数有：人，扇形统计图中A部分圆心角的度数是：；故答案为：40；将1班，2班，3班，4班分别记为1，2，3，4，根据题意，列表如下：12341234如表，所有可能发生的结果共有12种，并且它们发生的可能性相等，其中恰好选中2班和3班的有2种，恰好选中2班和3班的概率是根据C部分的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，再用乘以A部分的人数所占的百分比，即可得出扇形统计图中A部分圆心角的度数；根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出恰好选中2班和3班的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22.【答案】解：如下图：PQ即为所求；证明：连接OQ，与相切于点，，设，则是OP的中点，，，，，，，，点M在上．【解析】根据直角三角形的判定方法画图；根据到直线的距离等于半径的的点在圆上．本题考查了复杂作图，掌握圆的切线的判定定理是解题的关键．23.【答案】解：如图所示：根据题意，得，，，；设直线BC的解析式为，将，代入，得解得直线BC的解析式为，设，四边形MNPQ是矩形，轴，，，，开口向下，且对称轴为直线，，当时，最大，最大值为13，所截取的矩形材料MNPQ面积的最大值为【解析】由题意可知得，，，；先求出直线BC的解析式，设，根据题意用关于m的二次函数表示出矩形POMN 的面积，再利用二次函数的性质可得答案．本题考查了动点函数的图象，反比例函数以及二次函数的性质，待定系数法求函数解析式等知识，表示出矩形的面积，利用二次函数的性质求最值是解题的关键．24.【答案】①证明：是等边三角形，，，，，，，，，在中，，，；②解：过点H作，交AG于点M，，，是CH的中点，，≌，，，，，，，∽，，，是等边三角形，，，，的长为；解：过点H作，交AG于点N，，，是CH的中点，，≌，，，，，是的中位线，，，，，，，，，，，，，，，，∽，，，解得：或舍去，的面积，的面积为【解析】①利用等边三角形的性质可得，，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而利用等量代换即可解答；②过点H作，交AG于点M，利用平行线的性质可得，，再根据线段中点的定义可得，从而可得≌，进而可得，然后证明A字模型相似三角形∽，从而利用相似三角形的性质可得，进而可得，最后根据等腰三角形的三线合一性质可得，从而进行计算即可解答；过点H作，交AG于点N，利用平行线的性质可得，，再根据线段中点的定义可得，从而可得≌，进而可得，然后利用平行线分线段成比例的推论可得，从而可得HN是的中位线，进而可得，再根据等量代换可得，最后求出，，再证明∽，从而利用相似三角形的性质可求出AD的长，进而利用三角形的面积公式，进行计算即可解答．本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．25.【答案】解：由题意得，，，；，，，，，，，舍去，，；存在，使得总成立，理由如下：设，，，当时，，设直线CD的解析式为，，，，当时，，，当时，，，，，【解析】可推出，，，进一步得出结果；可得出点，从而得出，结合，从而得出结果；先由逆向探讨出点M的坐标，再反过来得出在该条件下，总成立．设点C和点D的坐标，从而得出CD的函数关系式和中点E的坐标，从而得出点F的坐标，进而表示出EF和CD的长，计算出等于本题是二次函数的综合题，考查了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是设点的坐标，表示出有关线段的长．。
福建省福州市九年级上学期数学期末考试试卷
福建省福州市九年级上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题（本大题共6小题，共24.0分） (共6题；共24分)1. （4分）(2020·武汉模拟) 若＝，则的值是（）A . 5B . 4C . 3D . 22. （4分） (2018九下·尚志开学考) 在Rt△ABC中，∠C=90 ，sinA= ，则cosB的值等于（）A .B .C .D .3. （4分） (2019九上·西安月考) 如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：① y=ax2；② y=bx2 ；③ y=cx2；④ y=dx2 ，则 a、b、c、d 的大小关系为（）A . a＞b＞c＞dB . a＞b＞d＞cC . b＞a＞c＞dD . b＞a＞d＞c4. （4分） (2018九上·前郭期末) 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A . ∠AED=∠BB . ∠ADE=∠CC .D .5. （4分）(2018·黄浦模拟) 计算：（）A . ；B . ；C . ；D . 0．6. （4分） (2019九上·抚顺月考) 如图，包含了圆和圆的位置关系有（）A . 内切、外切、相交B . 内切、外离、内含C . 内切、外切、外离D . 内切、外切、内含二、填空题（本大题共12小题，共48.0分） (共12题；共48分)7. （4分） (2019九上·黄浦期末) 如图，平行四边形ABCD中，点E是BC边上的点，BE：EC＝1：2，AE与BD交于点O，如果，，那么＝________(用向量、表示)．8. （4分） (2019九上·沙河口期末) 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.如图所示，木杆EF的长为2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，则金字塔的高度BO为________ m.9. （4分）如图，已知两点A（2，0），B（0，4），且∠1=∠2，则tan∠OCA=________．10. （4分）(2018·龙湖模拟) 已知一个正多边形的每个外角都等于45°，则这个正多边形的边数是________．11. （4分）两个三角形相似，相似比是 ,如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是________.12. （4分）如果点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AP < PB ，那么的值为________.13. （4分） (2016九上·武胜期中) 二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是________，对称轴为________．14. （4分）抛物线的对称轴为________。
2021-2022学年福建省福州市九年级(上)期末数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年福建省福州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列图形是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.在下列事件中，必然事件是()A. 购买一张体育彩票，中奖B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数C. 射击运动员射击一次，命中靶心D. 任意画一个圆的内接四边形，其对角互补3.关于x的一元二次方程x2+2021x+2022=0的根的情况是()A. 没有实数根B. 只有一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根4.已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是()A. 4B. 5C. 6D. 85.二次函数y=x(x+2)图象的对称轴是()A. x=−1B. x=−2C. x=2D. y轴6.为创建文明城市，某区2020年投入绿化资金800万元，2022年计划投入960万元，设每年投入资金的平均增长率为x，则下列符合题意的方程是()A. 800(1+2x)=960B. 800(1+x)=960C. 800(1+x)2=960D. 800+800(1+x)+800(1+x)2=9607.下列说法正确的是()A. 有一个角等于100°的两个等腰三角形相似B. 两个矩形一定相似C. 有一个角等于45°的两个等腰三角形相似D. 相似三角形一定不是全等三角形8.已知点A(a,y1)，B(a+1,y2)在反比例函数y=a2+1x(a是常数)的图象上，且y1<y2，则a的取值范围是()A. a<0B. a>0C. 0<a<1D. −1<a<09.如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=90°，D是ACB⏜的中点，连接CD，BD交AC于点E，若∠ACD=55°，则∠AED的度数是()A. 80°B. 75°C. 67.5°D. 60°10.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(2,n)，当x>0时，y≥n，当x≤0时，y≥n+1，则a的值是()A. −1B. −14C. 14D. 1二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为______．12.一个质地均匀的小正方体，6个面分别标有数字1、2、2、3、5、5.若随机投掷一次小正方体，则朝上一面的数字是5的概率为______．13.若m是方程2x2−3x−3=0的一个根，则4m2−6m+2015的值为______．14.用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为______．15.如图，在Rt△AOB中，O为坐标原点，∠AOB=90°，∠BAO=60°，若点A在反比例函数y=−2x的图象上运动，则点B所在的函数解析式为______．16.如图，D是等边三角形ABC内一点，∠ADB=90°，将△ABD绕点A旋转得到△ACE，延长BD交CE于点G，连接ED并延长交BC于点F.则下列结论：①△ADE是等边三角形；②四边形ADGE是轴对称图形；③AC，EF互相平分；④BF=CF.其中正确的有______.(填序号)三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17.解方程：x2+6x−1=0．四、解答题（本大题共8小题，共78.0分）18.如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE//AC，∠DEF=∠A.求证：△BDE∽△EFC．19.如图，已知反比例函数y=k图象的一支经过点A(2,3)和点B(点B在点A的右侧)，作xBC⊥y轴，垂足为C，连接AC，AB．(1)求反比例函数的解析式；(2)若△ABC的面积为7，求B点的坐标．20.交通拥堵是城市发展中的顽疾．某市从A地到火车站共有两条道路L1和L2，现准备对其中耗时多的一条道路进行拓宽改造，为此市交通局对从A地到火车站的行驶时间进行调查．现随机抽取驾车从A地到火车站的100人进行调查，调查结果如下：行驶时间(10～2020～3030～4040～5050～60分钟)驾行L1的人51420183数驾行L2的人1416181数(1)抽取行驶时间在50～60分钟到达火车站的人进行座谈，从这4人中随机抽取2人现场填写问卷，请用列表或画树状图法求这2人是选择不同道路到火车站的概率；(2)以A地到达火车站所用时间的平均值作为决策依据，试通过计算说明，从A地到火车站应选择哪条道路进行拓宽改造？21.如图，PA，PB是圆的切线，A，B为切点．(1)求作：这个圆的圆心O(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)；(2)在(1)的条件下，延长AO交射线PB于C点，若AC=4，PA=3，请补全图形，并求⊙O的半径．22.为预防新冠病毒，口罩成了生活必需品，某药店销售一种口罩，每包进价为6元，日均销售量y(包)与每包售价x(元)满足y=−5x+80，且10≤x≤16．(1)每包售价定为多少元时，药店的日均利润最大？最大为多少元？(2)当进价提高了a元，且每包售价为13元时，日均利润达到最大，求a的值．23.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使点E落在BD上，得到矩形AEFG，EF与AD相交于点H，连接AF．(1)求证：BD//AF；(2)若AB=1，BC=2，求AH的长．24.如图，△ABC内接于⊙O，弦BD⊥AC，垂足为E，点D，点F关于AC对称，连接AF并延长交⊙O于点G．(1)连接OB，求证：∠ABD=∠OBC；(2)求证：点F，点G关于BC对称；(3)若BF=OB=2，求△ABC面积的最大值．x2．25.已知直线y1=kx+1(k>0)与抛物线y2=14(1)当−4≤x≤3时，函数y1与y2的最大值相等，求k的值；x2交于A，B两点，与y轴交于F点，点(2)如图①，直线y1=kx+1与抛物线y2=14C与点F关于原点对称，求证：S△ACF：S△BCF=AC：BC；x2先向上平移1个单位，再沿直线y1=kx+1的方向移动，使向(3)将抛物线y2=14右平行移动的距离为t个单位，如图②所示，直线y1=kx+1分别交x轴，y轴于E，F两点，交新抛物线于M，N两点，D是新抛物线与y轴的交点，当△OEF∽△DNF时，试探究t与k的关系．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B.是中心对称图形，故本选项符合题意；C.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D.不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．本题考查了中心对称图形的概念，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】D【解析】解：A.购买一张体育彩票，中奖，这是随机事件，故A不符合题意；B.随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数，这是随机事件，故B不符合题意；C.射击运动员射击一次，命中靶心，这是随机事件，故C不符合题意；D.任意画一个圆的内接四边形，其对角互补．这是必然事件，故D符合题意；故选：D．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．3.【答案】D【解析】解：关于x的一元二次方程x2+2021x+2022=0，∵b2−4ac=20212−4×1×2022=4084441−8088=4076353>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．求出方程根的判别式的值，判断方程解的情况即可．此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．4.【答案】C【解析】解：∵正多边形的半径与边长相等，∴正多边形的相邻的两条半径与一条边围成一个正三角形，∴正多边形的中心角为60°∵正多边形所有中心角的和为360°，∴360°÷60°=6，∴正多边形的边数为6，故选：C．根据正多边形的半径与边长相等，可知正多边形的相邻的两条半径与一条边围成一个正三角形，由此求出其中心角的度数，进而求出正多边形的边数．本题考查了正多边形的计算，解决此题的关键是正确的理解正多边形的有关概念，并组成直角三角形求有关线段的长或角的度数，体现了转化思想．5.【答案】A【解析】解：∵二次函数的解析式为：y=x(x+2)，∴此抛物线与x轴的交点为(0,0)，(−2,0)，=−1．∴抛物线的对称轴为直线x=0−22故选：A．先根据二次函数的解析式求出函数图象与x轴的交点，再根据两交点关于对称轴对称即可得出结论．本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的交点式是解答此题的关键．6.【答案】C【解析】解：每年投入资金的平均增长率为x，根据题意得，800(1+x)2=960，故选：C．根据题意得到关系式为：2020年绿化投入的资金×(1+年平均增长率)2=2022年绿化投入的资金，把相关数值代入求得合适的解即可．本题考查了一元二次方程的应用；得到2年后所需资金的关系式是解决本题的关键．7.【答案】A【解析】解：A、有一个角等于100°的两个等腰三角形相似，因为100°只能是等腰三角形的顶角，所以这两个等腰三角形相似，正确，本选项符合题意；B、两个矩形一定相似，错误，边不一定成比例，本选项不符合题意；C、有一个角等于45°的两个等腰三角形相似，错误，45°角不一定是对应角，本选项不符合题意；D、相似三角形一定不是全等三角形，相似比为1时，是全等三角形，本选项不符合题意．故选：A．根据相似图形的定义一一判断即可．本题考查相似图形，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解相似图形的定义，属于中考常考题型．8.【答案】D【解析】解：∵k=a2+1>0，∴反比例函数y=a2+1(a是常数)的图象在一、三象限，在每个象限，y随x的增大而减小，x①当A(a,y1)，B(a+1,y2)在同一象限，∵y1<y2，∴a>a+1，此不等式无解；②当点A(a,y1)、B(a+1,y2)在不同象限，∵y1<y2，∴a<0，a+1>0，解得：−1<a<0，故选：D．根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点A(a,y1)，B(a+1,y2)在同一象限时，②当点A(a,y1)，B(a+1,y2)在不同象限时．此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：连接AD，⏜的中点，∵D是ACB∴AD⏜=BD⏜，∴AD=BD，∴∠DAB=∠ABD=55°，∴∠ADB=180°−2∠ABD=70°，∵∠ABC=90°，∴∠DBC=90°−∠ABD=35°，∴∠DAC=35°，∴∠AED=180°−∠ADE−∠DAE=180°−70°−35°=75°．故选：B．连接AD，由等腰三角形的性质求出∠DAB=∠ABD=55°，求出∠DAC=35°，由三角形内角和定理可得出答案．此题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系以及等腰三角形的性质．正确作出辅助线是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：将(2,n)代入y=ax2+bx+c得n=4a+2b+c，∵x>0时，y≥n，∴抛物线开口向上，∵x≤0时，y≥n+1，∴x=0时，y=c=n+1，把c=n+1代入n=4a+2b+c得n=4a+2b+n+1，整理得4a+2b=−1，∵x>0时，y≥n，∴抛物线顶点纵坐标为y=n，把x=−b2a 代入y=ax2+bx+n+1得y=b24a−b22a+n+1=n，∴b24a=1，即b2=4a，∴4a+2b=b2+2b=−1，解得b=−1，∴a=b24=14．故选：C．将(2,n)代入求出a，b，c与n的关系，由当x>0时，y≥n，当x≤0时，y≥n+1可得抛物线开口向上，顶点纵坐标为n，c=n+1，进而求解．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．11.【答案】4：9【解析】解：因为两个相似三角形的周长比为2：3，所以这两个相似三角形的相似比为2：3，所以这两个相似三角形的面积比为4：9；故答案为：4：9．根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．12.【答案】13【解析】解：∵一个质地均匀的小正方体有6个面，其中标有数字5的有2个，∴随机投掷一次小正方体，则朝上一面的数字是5的概率=26=13．故答案为：1．3先求出5的总数，再根据概率公式即可得出结论．本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．13.【答案】2021【解析】解：∵m是方程2x2−3x−3=0的一个根，∴2m2−3m−3=0，即2m2−3m=3，∴4m2−6m+2015=2(2m2−3m)+2015=2×3+2015=2021．故答案为：2021．先根据一元二次方程解得定义得到2m2−3m=3，再把4m2−6m+2015变形为2(2m2−3m)+2015，然后利用整体代入的方法计算．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．14.【答案】1【解析】解：设这个圆锥的底面圆半径为r，，根据题意得2πr=90⋅π⋅4180解得r=1，所以这个圆锥的底面圆半径为1．故答案为1．设这个圆锥的底面圆半径为r，利用弧长公式得到2πr=90⋅π⋅4，然后解关于r的方程即可．180本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．15.【答案】y=6x【解析】解：分别过A、B作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D.设A(a,b)．∵点A在反比例函数y=−2的图象上，x∴ab=2．在△OAC与△BOD中，∠AOC=90°−∠BOD=∠OBD，∠OCA=∠BDO=90°，∴△OAC∽△BOD，∴OC：BD=AC：OD=OA：OB，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠BAO=60°，∴∠ABO=30°，∴OA：OB=1：√3，∴b：BD=a：OD=1：√3，∴BD=√3b，OD=√3a，∴BD⋅OD=3ab=6，又∵点B在第一象限，∴k=6．∴点B所在的函数解析式为y=6，x．故答案为：y=6x如图分别过A、B作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D.设A(a,b)，则ab=1.根据两角对应相等的两三角形相似，得出△OAC∽△BOD，由相似三角形的对应边成比例，则BD、OD都可用含a、b的代数式表示，从而求出BD⋅OD的积，进而得出结果．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．16.【答案】①②④【解析】解：∵△ABD绕点A旋转得到△ACE，∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∠ADB=∠AEC=90°，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，故结论①正确；如图，连接AG，∵△ADE是等边三角形，∴AD=AE，∵∠ADG=∠AEG=90°，AG=AG，∴Rt△ADG≌Rt△AEG(HL)，∴GD=GE，∠DAG=∠EAG，∵△ADE是等边三角形，∴直线AG垂直平分DE，∴四边形ADGE是一个轴对称图形，故结论②正确；连接AF，∵∠DAC+∠EAC=60°=∠ACB，∴∠EAC≠∠ACB，∴AE与FC一定不平行，∴四边形AFCE一定不是平行四边形，∴AC，EF一定不互相平分，故结论③错误；∵△ADE是等边三角形，∠ADG=90°，∴∠EDG=∠BDF=30°，∴∠ADF=120°，∴∠ADF+∠ABC=180°，∴A，B，F，D四点共圆，∴∠ADG=∠AFB=90°，根据三线合一，得BF=CF，故结论④正确．故答案为：①②④．根据旋转的性质得到AD=AE，∠BAD=∠CAE，得证∠DAE=60°，判断结论①正确；连接AG，利用HL判断结论②；连接AF，证明四边形AFCE一定不是平行四边形；利用四点共圆，证明∠AFB=90°，根据三线合一，得BF=CF．本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，四点共圆，等腰三角形的三线合一，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．17.【答案】解：方程变形得：x2+6x=1，配方得：x2+6x+9=10，即(x+3)2=10，开方得：x+3=±√10，解得：x1=−3+√10，x2=−3−√10．【解析】方程常数项移到右边，两边加上9，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．18.【答案】证明：∵DE//AC，∴∠BDE=∠A，∠DEB=∠C，∠EFC=∠DEF，∵∠DEF=∠A，∴∠BDE=∠EFC，∴△BDE∽△EFC．【解析】由平行线的性质可得∠BDE=∠A，∠DEB=∠C，∠EFC=∠DEF，可证∠BDE=∠EFC，可得结论．本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．19.【答案】解：(1)由题意得，k=xy=2×3=6∴反比例函数的解析式为：y=6．x(2)设B点坐标为(a,b)，如图，作AD⊥BC于D，则D(2,b)，∵反比例函数y=6的图象经过点B(a,b)x∴b=6a∴AD=3−6．a∴S△ABC=12BC⋅AD=12a(3−6a)=7，解得a=203，∴b=6203=910∴B(203,910).【解析】(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求得；(2)作AD⊥BC于D，则D(2,b)，即可利用a表示出AD的长，然后利用三角形的面积公式即可得到一个关于b的方程求得b的值，进而求得a的值．本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．20.【答案】解：(1)用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有12种可能出现的结果情况，其中两人选择不同路线的有6种，所以这2人是选择不同道路到火车站的概率为612=12；(2)驾行L1的所有人用时的平均数为15×560+25×1460+35×2060+45×1860+55×360=35(分)，驾行L2的所有人用时的平均数为15×140+25×440+35×1640+45×1840+55×140=38.5(分)，∵35<38.5，∴从A地到火车站应选择驾行L2的道路进行拓宽改造．【解析】(1)用列表法表示从驾行L1的3人和驾行L2的1人中任意选择2人，得出所有可能出现的结果，进而求出选择不同道路到火车站的概率；(2)根据加权平均数的计算方法计算出驾行L1、驾行L2的所有人用时的平均数，比较得本题考查列表法或树状图法求简单随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键．21.【答案】解：(1)如图，圆心O即为所求；(2)由(1)知：CA⊥PA，∴∠CAP=90°，∵AC=4，PA=3，∴PC=√AC2+PA2=5，∵PA=PB=3，∴BC=PC−PB=2，∵OC=AC−OA=4−OA=4−OB，在Rt△OBC中，根据勾股定理，得OC2=OB2+BC2，∴(4−OB)2=OB2+22，解得OB=3．2∴⊙O的半径为3．2【解析】(1)分别过切点A，B作PA和PB的垂线，交于点O即可；(2)根据勾股定理即可求出⊙O的半径．本题考查作图−复杂作图，切线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)设药店的日均利润为w元，由题意得：w=(x−6)y=(x−6)(−5x+80)=−5x2+110x−480=−5(x−11)2+∵−5<0，10≤x≤16，∴当x=11时，w有最大值，最大值为125，∴每包售价定为11元时，药店的日均利润最大，最大为125元；(2)由题意得：w=(x−6−a)(−5x+80)=−5x2+(110+5a)x−480−80a，对称轴为x=−110+80a2×(−5)=11+12a，∴11+12a=13，解得：a=4．【解析】(1)设日均毛利润为w，根据日均利润=每包利润×销售量列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可；(2)根据日均利润=每包利润×销售量列出函数解析式，由日均利润达到最大时每包售价应定为13元得出11+12a=13，解之即可．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，从中找到题目蕴含的相等关系，并熟练掌握二次函数的性质．23.【答案】(1)证明：∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使点E落在BD上，得到矩形AEFG，∵AE=AB，∴∠AEB=∠ABE，∵∠ABD=∠EAF，∴∠AEB=∠EAF，∴AF//BD；(2)解：∵BD//AF，∴∠DEF=∠AFE，∵∠ADE=∠AFE，∴∠DEF=∠ADE，∴EH=DH，设EH=x，则DH=x，AH=2−x，∵∠HEA=90°，∴x2+12=(2−x)2，解得：x=34，∴AH=2−34=54．【解析】(1)由旋转知AE=AB，得∠AEB=∠ABE，由∠ABD=∠EAF，得∠AEB=∠EAF，从而得出结论AF//BD；(2)由平行线的性质可证EH=DH，设EH=x，则DH=x，AH=2−x，在Rt△AEH中，利用勾股定理即可列出方程解决问题．本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，平行线的判定与性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键．24.【答案】(1)证明：连接OC，∵BD⊥AC，∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠ABE=90°，∵BC⏜=BC⏜，∴∠BOC=2∠BAC，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，∴2∠OBC+2∠BAC=180°，∴∠OBC+∠BAC=90°，∴∠OBC=∠ABE，即∠OBC=∠ABD，(2)证明：连接BG，AD，GC，AG交BC于点H，∵点D，F关于AC对称，∴EF=ED，∵BD⊥AC，∴∠AEF=∠AED=90°，又∵AE=AE，∴△AEF≌△AED(SAS)，∴∠EAF=∠EAD，∠AFE=∠ADE，即∠GAC=∠DAC，∵OC⏜=OC⏜，∴∠DAC=∠DBC，∵GC⏜=GC⏜，∴∠GAC=∠GBC，∴∠DBC=∠GBC，⏜∵AB⏜=AB,∴∠ADB=∠BGA，∵∠AFD=∠BFG，∴∠BFG=∠AGB，∴△BHF≌△BHG(AAS)，∴FH=GH，∠BHF=∠BHG=90°，∴点F，点G关于BC对称；(3)解：连接OG，由(2)得△BHF≌△BHG，∴BF=BG，∵BF=OB=2，∴BG=OB=2，∴OB=OG=BG，∴△OBG为等边三角形，∠BOG=30°，∴∠BOG=60°，∠BAC=12第21页，共24页当AG垂直平分BC时，AH最长，此时S△ABC最大，∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形，作OM⊥BC，∴OM=12OB=1，BM=√22−12=√3，∴BC=2√3，∴S△ABC=12×BC×AH=12×2√3×(2+1)=3√3，∴S△ABC最大值为3√3．【解析】(1)连接OC，由∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，得2∠OBC+2∠BAC=180°，由圆周角定理知∠BOC=2∠BAC，从而得到∠OBC+∠BAC=90°，即可证明结论；(2)连接BG，AD，GC，AG交BC于点H，首先利用SAS证明△AEF≌△AED，得∠EAF=∠EAD，∠AFE=∠ADE，再利用AAS证明△BHF≌△BHG，得FH=GH，∠BHF=∠BHG= 90°；(3)首先可知△OBG为等边三角形，得∠BOG=60°，∠BAC=12∠BOG=30°，当AG垂直平分BC时，AH最长，此时S△ABC最大，∠BAC=60°，从而解决问题．本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，综合性较强，要求学生有较强的识图能力，证明△BHF≌△BHG是解题问题的关键．25.【答案】解：(1)∵抛物线y2=14x2的对称轴为y轴，又−4≤x≤3，∴当x=−4时，函数y2有最大值，y2=14x2=14×(−4)2=4．∵k>0，∴函数y1=kx+1随x的增大而增大，∴当x=3时，函数y1的最大值也是4．将x=3，y=4代入y1=kx+1，得4=3k+1．∴k=1；(2)将x=0代入y1=kx+1得y1=1，∴F(0,1)，∵C点与F点关于原点对称，第22页，共24页第23页，共24页 ∴C(0,−1)．依题意设A 点坐标为(m,14m 2)，代入直线y 1=kx +1的解析式，得14m 2=mk +1，解得k =14m −1m ． ∴y 1=(14m −1m )x +1，由{y =(14m −1m )x +1y =14x 2得mx 2−(m 2−4)x −4m =0． 又由x 1+x 2=m −4m ，x 1=m ，得x 2=−4m ， ∴y 2=4m 2．∴B(−4m ,4m 2).分别过A ，B 两点作y 轴的垂线AP 与BQ ，垂足分别为P ，Q ．可得AP =−m ，PC =14m 2+1+1，BQ =−4m ，QC =4m 2+1．∴APBQ=−m −4m =m 24，CP CQ =14m 2+14m 2+1=m 24， ∴AP BQ =CPCQ ．又∠APC =∠BQC =90°，∴△APC∽△BQC ，∴AC BC =AP BQ ，∵S △ACF =12FC ⋅AP ，S △BCF =12FC ⋅BQ ，∴S △ACF ：S △BCF =AC ：BC ；(3)抛物线y 2=14x 2向上平移1个单位后为y 2=14x 2+1，再沿直线y 1=kx +1的方向，向右平移t 个单位，相当于再向上移动了kt 个单位，平移后的抛物线为y =14(x −t)2+第24页，共24页 (1+kt)……①，则点D 的坐标为(0,14t 2+kt +1)，M 点的坐标为(t,1+kt)．∴直线y =kx +1……②，将①②联立并整理，得x 2−2xt −4kx +t 2+4kt =0，∴x 1+x 2=2t +4k ．依题意，得x 1=x M =t ，∴x 2=x N =t +4k ，则点N 的坐标为(t +4k,kt +4k 2+1)．∵△OEF∽△DNF ，∴∠NDF =∠EOF =90°，∴DN ⊥y 轴，∴y D =y N ，∴14t 2+kt +1=kt +4k 2+1．解得t =4k(t =−4k 不合题意，舍去)，即t 与k 的关系式为t =4k ．【解析】(1)当x =−4时，函数y 2有最大值，y 2=14x 2=14×(−4)2=4.当x =3时，函数y 1的最大值也是4.将x =3，y =4代入y 1=kx +1，得4=3k +1，则可得出答案；(2)求出C(0,−1).依题意设A 点坐标为(m,14m 2)，求出点B 的坐标为(−4m ,4m 2).分别过A ，B 两点作y 轴的垂线AP 与BQ ，垂足分别为P ，Q.证明△APC∽△BQC ，由相似三角形的性质得出AC BC =AP BQ ，则得出结论；(3)证明∠NDF =∠EOF =90°，得出DN ⊥y 轴，可证出y D =y N ，则14t 2+kt +1=kt +4k 2+1.整理可得出结论．本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．。
2019-2020学年福建省福州市九年级(上)期末数学试卷
18．（8 分）在一个不透明的袋子中装有红、黄、蓝三个小球，除颜色外无其它差别．从袋
子中随机摸球三次，每次摸出一个球，记下颜色后不放回．请用列举法列出三次摸球的
结果，并求出第三次摸出的球是红球的概率．
19．（8 分）福建省会福州拥有“三山两塔一条江”，其中报恩定光多宝塔（别名白塔），位
【解答】解：∵x2﹣m＝0，
∴x2＝m，
由 x2﹣m＝0 知 m≥0，
故选：D．
4．（4 分）在平面直角坐标系中，点（a，b）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣a，﹣b）
B．（﹣b，﹣a）
C．
（﹣a，b）
D．（b，a）
【考点】关于原点对称的点的坐标．
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【答案】A
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
A．（﹣a，﹣b）
B．（﹣b，﹣a）
C．
（﹣a，b）
D．（b，a）
5．（4 分）从 1，2，3，5 这四个数字中任取两个，其乘积为偶数的概率是（ ）
1
A．
4
3
1
B．
C．
8
2
3
D．
4
6．（4 分）若二次函数 y＝x2+bx 的图象的对称轴是直线 x＝2，则关于 x 的方程 x2+bx＝5 的
解为（ ）
+
1 + 的值是
．
16．（4 分）如图，在直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，D 是 AC 边上一点，以 BD 为边，
在 BD 上方作等腰直角三角形 BDE，使得∠BDE＝90°，连接 AE．若 BC＝4，AC＝5，
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福建省福州市九年级上学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2017·广元) 将五个相同的小正方体堆成如图所示的物体，它的俯视图是（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2016九上·和平期中) 方程5x2﹣2x﹣ =x2﹣2x+ 的根是（）
A . x1=﹣，x2=
B . x1=x2=
C . x1=﹣2，x2=2
D . x1=﹣，x2=
3. （2分）(2019·鄞州模拟) 已知点(2，3)在反比例函数的图象上，则该图象必过的点是（）
A . (1，6)
B . (-6，1)
C . (2，-3)
D . (-3，2)
4. （2分）(2020·江油模拟) 关于一元二次方程x2﹣2x+1﹣a＝0无实根，则a的取值范围是（）
A . a＜0
B . a＞0
C . a＜
D . a＞
5. （2分）(2017·天津模拟) 一个不透明的盒子中装有2个白球，3个红球和5个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（）
A . 平行四边形
B . 菱形
C . 矩形
D . 正方形
7. （2分） (2019八下·海港期末) 如图，菱形中，，这个菱形的周长是（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分）(2020·贵港模拟) 下列命题中是真命题的是（）
A . 的算术平方根是3
B . 点与点关于轴对称
C . 正八边形的每个内角的度数为
D . 当时，分式的值为0
9. （2分） (2017八下·武进期中) 如图，在矩形ABCD中，点E，F，G分别是AD，CD，BC上的点，且BE＝EF，BE⊥EF，EG⊥BF．若FC＝1，AE＝2，则BG的长是（）
A . 2.6
B . 2.5
C . 2.4
D . 2.3
10. （2分） (2019九上·耒阳期中) 把ab= cd写成比例式，下列写法错误的是（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2015九上·南山期末) 下列命题中，
①有一组邻边互相垂直的菱形是正方形
②若2x=3y，则 =
③若（﹣1，a）、（2，b）是双曲线y= 上的两点，则a＞b
正确的有（）个．
A . 1
B . 2
C . 3
D . 0
12. （2分） (2019八下·衡水期中) 菱形的两条对角线长分别为6，8，则它的周长是（）
A . 5
B . 10
C . 20
D . 24
二、填空题 (共4题；共9分)
13. （1分）关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是________．
14. （6分）下表是一个机器人做9999次“抛硬币”游戏时记录下的出现正面的频数和频率．
抛掷结果5次50次300次80 0次3200次6000次9999次
出现正面的频数131135408158029805006
出现正面的频率20％62％45％51％49.4％49.7％50.1％
（1）由这张频数和频率表可知，机器人抛掷5次时，得到1次正面，正面出现的频率是20%，那么，也就是说机器人抛掷完5次时，得到________ 次反面，反面出现的频率是________ ；
（2）由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完9999次时，得到________ 次正面，正面出现的频率是________ ；那么，也就是说机器人抛掷完9999次时，得到________ 次反面，反面出现的频率是________ 。
15. （1分）(2020·历下模拟) 如图，直线轴于点，且与反比例函数（）及
（）的图象分别交于、两点，连接、，已知的面积为4，则 ________．
16. （1分）如图,已知P是正方形ABCD外一点,且PA=3,PB=4 ,则PC的最大值是________；
三、解答题 (共7题；共82分)
17. （5分）(2019·山西模拟) 解方程：3x（x﹣4）＝4x（x﹣4）．
18. （15分）(2017·河北) 编号为1～5号的5名学生进行定点投篮，规定每人投5次，每命中1次记1分，没有命中记0分，如图是根据他们各自的累积得分绘制的条形统计图．之后来了第6号学生也按同样记分规定投了5次，其命中率为40%．
（1）求第6号学生的积分，并将图增补为这6名学生积分的条形统计图；
（2）在这6名学生中，随机选一名学生，求选上命中率高于50%的学生的概率；
（3）最后，又来了第7号学生，也按同样记分规定投了5次，这时7名学生积分的众数仍是前6名学生积分的众数，求这个众数，以及第7号学生的积分．
19. （15分）(2017·杨浦模拟) 已知：在平面直角坐标系中，直线y=﹣x与双曲线y= （k≠0）的一个交点为P（，m）．
（1）求k的值；
（2）将直线y=﹣x向上平移c（c＞0）个单位后，与x轴、y轴分别交于点A，点B，与双曲线y= （k≠0）在x轴上方的一支交于点Q，且BQ=2AB，求c的值；
（3）在（2）的条件下，将线段QO绕着点Q逆时针旋转90°，设点O落在点C处，且直线QC与y轴交于点D，求BD：AC的值．
20. （10分） (2019八上·织金期中) 如图,在□ABCD中,AC与BD相交于O点,且AO=4,BO=3,AB=5.
（1）求证: 四边形ABCD是菱形;
（2）求四边形ABCD的面积.
21. （15分）(2016·嘉兴) 小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班，爸爸行驶到甲处时，看到前面路口时红灯，他立即刹车减速并在乙处停车等待，爸爸驾车从家到乙处的过程中，速度v（m/s）与时间t（s）的关系如图1中的实线所示，行驶路程s（m）与时间t（s）的关系如图2所示，在加速过程中，s与t满足表达式
s=at2
（1）根据图中的信息，写出小明家到乙处的路程，并求a的值；
（2）求图2中A点的纵坐标h，并说明它的实际意义；
（3）爸爸在乙处等代理7秒后绿灯亮起继续前行，为了节约能源，减少刹车，妈妈驾车从家出发的行驶过程中，速度v（m/s）与时间t（s）的关系如图1中的折线O﹣B﹣C所示，行驶路程s（m）与时间t（s）的关系也满足s=at2 ，当她行驶到甲处时，前方的绿灯刚好亮起，求此时妈妈驾车的行驶速度．
22. （7分）(2018·正阳模拟) 如图，一次函数y=x﹣2与反比例函数y= （x＞0）的图象相交于点M（m，1）．
（1）填空：m的值为________，反比例函数的解析式为________；
（2）已知点N（n，n），过点N作l1∥x轴，交直线y=x﹣2于点A，过点N作l2∥y轴，交反比例函数y= （x＞0）的图象与点B，试用n表示△NAB的面积S．
23. （15分）(2018·南充) 如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．
（1）求抛物线的解析式．
（2） Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．
（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N 使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
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答案：3-1、
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答案：4-1、
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答案：5-1、考点：
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答案：6-1、考点：
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答案：7-1、考点：
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答案：8-1、考点：
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答案：9-1、考点：
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答案：10-1、考点：
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答案：11-1、
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答案：12-1、
考点：
解析：
二、填空题 (共4题；共9分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、
答案：14-2、考点：
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答案：15-1、考点：
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答案：16-1、考点：
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三、解答题 (共7题；共82分)
答案：17-1、
考点：
解析：
答案：18-1、答案：18-2、
答案：18-3、考点：
解析：
答案：19-1、
答案：19-2、
答案：19-3、考点：
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答案：20-1、
答案：20-2、考点：
解析：
答案：21-1、
答案：21-2、答案：21-3、
考点：
解析：
答案：22-1、
答案：22-2、考点：
解析：
答案：23-1、答案：23-2、。