邛崃市高2013届高三上期12月统一月考数学试题(文科)
四川省邛崃一中2013届高三10月月考数学(理)试题
邛崃市2013届高三月考（十月）数学（理科）试题卷 时间 120分钟 总分 150分一、选择题（每小题5分，共60分）1．设集合A ={1，2，3，4}，B ={3，4，5}，U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )的元素个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 复数z 满足z =2－i1－i，则复数z 对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 已知sin 2α＝－2425，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，则sin α＋cos α＝ A. －15 B. 15 C. －75 D. 754. 设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f (2 011)＋f (2 012)＝A ．3B ．2C ．1D ．05．已知p ：x 2－x < 0，那么命题p 的一个必要不充分条件是A ．0 < x < 1B ．－1< x < 1 C. 12 < x < 23D. 12< x < 26. 如图，是一个程序框图，运行这个程序， 则输出的结果为A.1321B.2113 C. 813 D. 1387. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于A.3B ．3+2 38. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 9＝－36，S 13＝－104，等比数列{b n }中， b 5＝a 5，b 7＝a 7，则b 6的值为 A ．±4 2B ．－4 2C ．4 2D ．无法确定9. 从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没 有入选的不同选法的种数为A ．85B ．56C ．49D ．2810. 设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f /(x ),且函数y = (1−x ) f /(x )的图像如图所示,则下列结论中一定成立的是A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (−2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (−2)D ．函数f (x )有极大值f (−2)和极小值f (2)11. 甲乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且a ，b ∈{1,2,3}，若|a －b | ≤ 1，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 A. 13B. 59C. 23D. 7912. 对实数a 和b ，定义运算“⊕”：a ⊕b ＝⎩⎨⎧a ，a －b ≤1b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊕(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是A ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32B ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞二、填空题（每小题4分，共16分）13．在⎝⎛⎭⎪⎫x − 2x 6的二项展开式中，常数项等于 _________ .14. 变量x ，y 满足条件：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5 ≤ 0x －y －2 ≤ 0x ≥ 0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为____.15. 已知函数f (x ) = ||lg x ，若a < b ，且f (a ) = f (b )，则a + 2b 的取值范围是________ . 16．给出以下五个命题：①R y x ∈,，若022=+y x ，则0x =或0y =的否命题是假命题； ②函数33(0)x x y x -=+<的最小值为2；③若函数32()2f x x ax =++的图象关于点(1,0)对称，则a 的值为－3； ④若1(2)0()f x f x ++=，则函数()y f x =是以4为周期的周期函数；⑤若(1+ x )10 = a 0 +a 1x + a 2x 2 +… + a 10x 10,则 a 0 +a 1 + 2a 2 + 3a 3 + … + 10a 10=10×29． 其中真命题的序号是___________.三、解答题（共六小题，共74分） 17．（本小题满分12分）函数f (x ) = 3sin ωx cos ωx + sin 2ωx + 12 ,其图像相邻两条对称轴之间的距离为 π2． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ） 若A 为△ABC 的内角，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2 = 32，求A 的值.18．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中， AC = BC = 12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD ．（Ⅰ）证明：DC 1⊥BC ；（Ⅱ）求二面角A 1−BD −C 1的大小．A 1B 1C 1A BCD19. （本小题满分12分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分 布直方图如图所示，成绩分组区间是： [40，50)、[50，60)、[60，70)、[70，80)、 [80，90)、[90，100]. (Ⅰ)求图中 x的值；(Ⅱ)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 20. （本小题满分12分）已知 f (x ) = ||ax + 1 (a ∈R)，不等式 f (x )≤3 的解集为{x | −2≤x ≤1}. (Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x ) − 2f ( x 2 )≤ k 恒成立，求 k 的取值范围. 21．（本小题满分12分）已知等比数列{a n }的各项均为正数，且 2a 1 + 3a 2 = 1，a 32= 9a 2a 6． (Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设 b n = log 3a 1 + log 3a 2 + … + log 3a n ，求⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n ；（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，求使 kn ·2n +1n +1≥ (7 − 2n )T n 恒成立的实数 k 的取值范围． 22. （本小题满分14分）已知函数)0(3ln )(≠∈--=a R a ax x a x f 且． (Ⅰ) 求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若函数)(x f y =的图像在点))2(,2(f 处的切线的倾斜角为︒45，问：m 在什么范围取值时，对于任意的[]2,1∈t ，函数g (x )=x 3 + x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 2 + f /(x )在区间)3,(t 上总存在极值？ （Ⅲ）当2=a 时，设函数32)2()(-+--=xe p x p x h ，若在区间[]e ,1上至少存在一个0x ，使得)()(00x f x h >成立，试求实数p 的取值范围．邛崃市2013届高三月考（10月）数学（理科）参考答案一、1. C ；2. A ；3.B ；4. A ；5B ；6.D ；7. D ；8. A ；9. C ；10.D ；11. D ；12. B 二、填空题13．−160 14. 10 15. (3，+∞) 16．①、③、④三、解答题17．解析：（Ⅰ）f (x ) =32sin2ωx + 1 −cos2ωx 2+ 12 = 32sin2ωx − 12cos2ωx + 1 = sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx −π6+1 ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 π2，∴最小正周期T = π∴2π2ω= π，ω = 1． ∴f (x ) = sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x − π6 + 1(2) ∵f ⎝ ⎛⎭A 2 = sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A − π6 + 1 = 32 ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A − π6 = 12∵ A ∈(0，π) ∴ − π6 < A − π6 < 5π6∴ A − π6 = π6 ，故A = π3．18．解析：（Ⅰ）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．∵D 是AA 1的中点， ∴ DC = DC 1B 1 C又 AC = 12AA 1，∴ DC 12 + DC 2 = CC 12∴ DC 1⊥DC又 DC 1⊥BD ，且DC 1∩DC = D ∴ DC 1⊥平面DCB ． ∴ DC 1⊥BC（Ⅱ） 解：由（Ⅰ）知，DC 1⊥BC ，又CC 1⊥BC ， DC 1∩CC 1 = C 1 ∴ BC ⊥平面CDC 1∵ B 1C 1∥BC ∴B 1C 1⊥平面CDC 1∴ B 1C 1⊥A 1C 1，△A 1C 1B 1为等腰直角三角形 取A 1B 1的中点为M ，连结C 1M 、DM∵ 直棱柱的底面A 1B 1C 1⊥侧面AB 1，C 1M ⊥A 1B 1 ∴ C 1M ⊥平面AB 1，C 1M ⊥BD ．由（Ⅰ）知，DC 1⊥平面DCB ，∴DC 1⊥BD又C 1M ∩DC 1 = C 1，∴BD ⊥平面C 1MD MD ⊥BD ∴∠C 1DM 是A 1−BD −C 1的平面角．在Rt △C 1MD 中，C 1M = 22A 1C 1，C 1D = DA 12 + A 1C 12 = 2A 1C 1，∴sin ∠C 1DM = C 1M C 1D = 12， ∴∠C 1DM = 30o∴二面角A 1−BD −C 1的大小为30o ． 19. 解析：(Ⅰ) 由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯=,解得0.018x =.(Ⅱ) 分数在[)80,90、[]90,100的人数分别是500.018109⨯⨯=人、500.006103⨯⨯=人.所以ξ的取值为0、1、2.()023921236606611C C P Cξ====,()113921227916622C C P Cξ====,()20392123126622C C P Cξ====,所以ξ的数学期望是691111012112222222E ξ=⨯+⨯+⨯==.20. 解析：(Ⅰ) 由||ax +1≤3得−4≤ax ≤2， f (x )≤3的解集为{x | −2≤x ≤1}，当a ≤0时，不合题意．当a > 0时，− 4a ≤x ≤2a得a = 2．……………………………………5分(Ⅱ)记h (x )= f (x ) −2f⎝⎛⎭x 2，则 h (x ) =⎩⎨⎧1， x ≤−1−4x − 3，−1<x < −12−1， x ≥ −12所以 | h (x ) |≤1，因此 k ≥1．21．解析：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q (q > 0 )，由 ⎩⎨⎧2a 1 + 3a 2 = 1 a 32 = 9a 2a 6得13q =，113a =． 故数列{}n a 的通项公式为13n na =．（Ⅱ ）b n =log 3a 1 + log 3a 2 + …+ log 3a n = − n (n +1)2故1b n= −2⎝⎛⎭⎪⎫1n − 1n + 1 T n = 1b 1 + 1b 2 + 1b 3 + … + 1b n= −2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎪⎫1 − 12 + ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 − 13 + ⎝ ⎛⎪⎫13 − 14 + … + ⎝ ⎛⎪⎫1n − 1n +1 = − 2n n +1 所以数列 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前 n 项和为 − 2n n + 1． （Ⅲ ）化简得272nn k -≥对任意n N *∈恒成立设272n nn d -=，则1922n n nn d d +--=当15,,{}n n n n d d d +≥<为单调递减数列，115,,{}n n n n d d d +≤<>为单调递增数列，所以，n=5时，n d 取得最大值为332．所以, 要使272nn k -≥对任意n N *∈恒成立，332k ≥22. 解析：（Ⅰ）由x x a x f )1()('-=知当0>a 时，函数)(x f 的单调增区间是)1,0(，单调减区间是),1(+∞； 当0<a 时，函数)(x f 的单调增区间是),1(+∞，单调减区间是)1,0(.（Ⅱ）由()212a f '=-=2a ⇔=-,∴()223f x ln x x =-+-，()22f 'x x=-.故3232()'()(2)222mmg x x x f x x x x ⎡⎤=++=++-⎢⎥⎣⎦， ∴2'()3(4)2g x x m x =++-．∵ 函数)(x g 在区间)3,(t 上总存在极值，∴0)('=x g 有两个不等实根且至少有一个在区间)3,(t 内 又∵函数)('x g 是开口向上的二次函数，且02)0('<-=g ， ∴ ⎩⎨⎧><0)3('0)('g t g 由4320)('--<⇔<t tm t g ，∵=)(t H 432--t t在[]2,1上单调递减，所以9)1()(min -==H t H ；∴9-<m ，由023)4(27)3('>-⨯++=m g ，解得337->m ；综上得：379.3m -<<-所以当m 在)9,337(--内取值时，对于任意的[]2,1∈t ，函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)('2)(23x f m x x x g 在区间)3,(t 上总存在极值。
四川省成都市邛崃市高埂中学2016届高三上学期第一次月考数学试卷(文科) 含解析
2015—2016学年四川省成都市邛崃市高埂中学高三(上）第一次月考数学试卷(文科）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．已知全集U=｛x|x2＞1}，集合A={x|x2﹣4x+3＜0｝，则∁U A=（)A．（1，3) B．（﹣∞，1）∪［3，+∞)C．（﹣∞,﹣1)∪[3，+∞)D．（﹣∞，﹣1）∪（3,+∞）2．复数z=(）2的值为（）A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i3．已知=（3，1），=(x，﹣1），且∥，则x等于（）A． B．﹣C．3 D．﹣34．下列命题中：①命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2或x=3”的逆否命题为“若x≠2或x≠3，则x2﹣5x+6≠0”．②命题p：“存在x0∈R，使得log2x0≤0”的否定是“任意x∈R，使得log2x＞0”；③回归直线方程一定过样本中心点(，）．其中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．35．在等差数列{a n｝中，已知a5+a7=8，则该数列前11项和S11=（)A．44 B．55 C．143 D．1766．若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b)向圆C所作切线长的最小值是（)A．2 B．3 C．4 D．67．执行如图的程序框图，如果输入的t=0。
01，则输出的n=（)A．5 B．6 C．7 D．88．设函数f(x）=asinωxcosωx+acos2ωx﹣（ω＞0，a ＞0)的最大值为1，且其图象相邻两条对称轴的距离为,若将函数f（x）的图象向右平移个单位，所得图象对应函数为g（x）,则( ）A．f（x）的图象关于直线x=对称，g（x）图象关于原点对称B．f（x）的图象关于点（,0）对称，g（x)图象关于直线x=对称C．f(x）的图象关于直线x=对称，g（x)图象关于原点对称D．f（x)的图象关于点（，0）对称,g（x）图象关于直线x=对称9．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（）A．B．30 C．75 D．1510．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为( ）A．B．C．D．11．设F1,F2是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．12．已知函数f(x)=,g(x）=ln(x﹣1），则函数h(x）=f（x）﹣g(x)的零点个数（)A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省邛崃一中2013届高三10月月考数学(文)试题
邛崃市2013届高三月考（十月）数学（文科）试题卷 时间 120分钟 总分 150分一、选择题（每小题5分，共60分）1．设集合A ={1，2，3，4}，B ={3，4，5}，U=A ∪B ，则∁U (A ∩B )的元素个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 复数z 满足z =2－i1－i，则复数z 对应的点在A ．第一象限B ．第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 已知sin 2α = − 2425，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫− π4，0，则sin α＋cos α = A. －15 B. 15 C. －75 D. 754. 设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1)上的图象，则f (2 011)＋f (2 012) =A ．3B ．2C ．1D ．05．已知p ：x 2－x < 0，那么命题p 的一个必要不充分条件是A ．0 < x < 1B ．－1< x < 1 C. 12 < x < 23D. 12 < x < 26. 如图，是一个程序框图，运行这个程序，则输出的结果为A. 1321B. 2113C. 813 D. 1387.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于A. 3B ．2C ．2 3D ．68. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 9＝－36，S 13＝－104，等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7，则b 6的值为 A ．±4 2 B ．－4 2 C ．4 2D ．无法确定9.设a =log 32，b =ln2，c = 521-，则A ． a b c <<B ．b c a <<C ． c a b <<D ．c b a << 10. 在区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤− π2，π2上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到 12 之间的概率为A. 23B. 12C. 2πD. 1311. 设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f /(x )，且函数y = (1 − x ) f /(x )的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (−2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (−2)D ．函数f (x )有极大值f (−2)和极小值f (2)12. 对实数a 和b ，定义运算“⊕”：a ⊕b ＝⎩⎨⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊕(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是A ．(−∞，−2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫−1，32B ．(−∞，−2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫−1，− 34 C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫−1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，+∞ D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫−1，− 34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，+∞二、填空题（每小题4分，共16分）13．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 ．14.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x －y －2≤0x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最大值为_____.15. 已知函数f (x ) = ||lg x ，若a < b ，且f (a ) = f (b )，则a + b 的取值范围是_______． 16．观察下表：12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10 ……则第_______行的各数之和等于22009三、解答题(共六个小题，共74分) 17．（本题满分12分）函数f (x ) = A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx − π6 + 1 (A > 0，ω > 0) 的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为 π2．（Ⅰ）求函数f (x ) 的解析式；（Ⅱ）设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2 = 2，求α的值.18. （本题满分12分）如图，三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB = 90o ， AC = BC = 12AA 1，D 是棱AA 1的中点． （Ⅰ）证明：DC 1⊥平面DCB ；（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为上、下两部分，求上、下两部分的体积比．19．（本题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市A 1B 1C 1A BCD购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%； (Ⅰ)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(Ⅱ)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率.(将频率视为概率)20.（本题满分12分）已知 f (x ) = ||ax + 1 (a ∈R)，不等式 f (x )≤3 的解集为{x | −2≤x ≤1}. (Ⅰ)求 a 的值；(Ⅱ)若 f (x ) − 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2 ≤ k 恒成立，求 k 的取值范围．21. （本题满分12分）已知等比数列{a n }的各项均为正数，且 2a 1 + 3a 2 = 1，a 32= 9a 2a 6． （Ⅰ）若数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设 b n =log 3a 1 + log 3a 2 + …+ log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前 n 项和．22.（本题满分14分）已知函数 f (x ) = px − p x − 2ln x ，g (x ) = 2ex ，（Ⅰ）若 p = 2，求曲线 f (x ) 在点 (1，f (1)) 处的切线方程；（Ⅱ）若函数 f (x ) 在其定义域内为增函数，求正实数 p 的取值范围；（Ⅲ）若p 2 − p ≥0，且至少存在一点 x 0∈[1，e ]，使得 f (x 0) > g (x 0) 成立，求实数 p 的取值范围.邛崃市2013届高三月考（十月）数学（文科）参考答案一、1.C ； 2. A ； 3. B ； 4. A ；5. B ；6. D ；7. D ；8. A ；9.C ；10. D ；11.D ；12. B 二、填空题13： 16； 14： 9； 15：（2，+∞）； 16：1005 三、解答题17．解析:（Ⅰ）∵函数f (x )的最大值为3，A > 0 ∴A + 1 = 3，即A = 2∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 π2，∴最小正周期为T = π ∴2πω =π，ω = 2．∴f (x ) = 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x − π6 + 1（Ⅱ）∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2 = 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α − π6 + 1 = 2 即 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α − π6 = 12∵ α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，∴ − π6 < α − π6 < π3∴ α − π6 = π6 ，故α = π3．18. 解析:（Ⅰ）证明：由题设知，BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC = C ．∴BC ⊥平面ACC 1A 1．又DC 1⊂平面ACC 1A 1， ∴ DC 1⊥BC由题设知，∠A 1DC 1 =∠ADC = 45o ∴∠CDC 1 = 90o ∴ DC 1⊥DC又 DC ∩BC = C ， ∴DC 1⊥平面DCB ．A 1B 1C 1D（Ⅱ）设棱锥B −DACC 1 的体积为V 1，AC =1．由题意得V 1 = 13×1 +22×1×1 = 12 ．又三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积V = 12×1×1×2 = 1，故(V − V 1)∶V 1 = 1∶1 故平面BDC 1分此棱柱为上、下两部分，体积比为1∶1．19．解析：(Ⅰ)由已知得y + 20 + 10 = 55，x + y = 55，解得x = 30，y = 25收集的100位顾客一次购物的结算时间视为容量为100的样本，顾客一次购物的结算时间的样本平均值为：1×15 + 1.5×30 + 2×25 + 2.5×20 + 3×10100=1.9(分钟)．(Ⅱ)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1、A 2、A 3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．得P(A 1) = 15100 = 320 ，P(A 2) = 30100 = 310，P(A 3) = 25100 = 14. ∵A = A 1∪A 2∪A 3，且A 1、A 2、A 3是互斥事件∴P(A ) = P(A 1∪A 2∪A 3) = P(A 1) + P(A 2) + P(A 3) = 710 .故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率约为710. 20. 解析：（Ⅰ）由||ax + 1≤ 3得 −4≤ax ≤2．又f (x )≤3 的解集为{x | −2≤x ≤1}， 当a ≤0时，不合题意．当a > 0时，− 4a ≤x ≤2a 得a = 2．…………………………………………5分(Ⅱ)记h (x ) = f (x ) − 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则 h (x ) =⎩⎨⎧1， x ≤−1−4x − 3，−1<x < − 12−1， x ≥ − 12所以 h (x )≤1，因此 k ≥1．21. 解析：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由 a 32 = 9a 2a 6 得a 33 = 9a 42所以q 2 = 19． 由条件可知 q > 0，故q = 13．由2a 1 + 3a 2 = 1得2a 1 + 3a 1q = 1，所以 a 1 = 13． 故数列{a n }的通项式为a n = 13n ．（Ⅱ ）b n =log 3a 1 + log 3a 2 + …+ log 3a n =−(1 + 2 +… +n ) = −n (n +1)2故 1b n= − 2n (n + 1) = −2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n − 1n + 11b 1 + 1b 2 + … + 1b n = −2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1 − 12 + ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 − 13 + ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 − 14 + … + ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n − 1n + 1 = − 2nn + 1 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为− 2n(n + 1)．22. 解析：（Ⅰ）当2p =时，函数2222()22ln ,(1)222ln10.()2,f x x x f f x xx x'=--=--==+- ………………………………………………………………………………2分 曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线的斜率为(1)222 2.f '=+-=从而曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为02(1),y x -=-即2 2.y x =-…………………………4分（Ⅱ ）22222().p px x pf x p x x x-+'=+-=令2()2,h x px x p =-+ 要使()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数，只需()0h x ≥………………………6分 即222()20,1xh x px x p p x =-+≥⇔≥+故正实数p 的取值范围是[1,).+∞………8分 （Ⅲ ）2()eg x x=在[1,]e 上是减函数，x e ∴=时，min ()2;1g x x ==时，max ()2,g x e =即()[2,2],g x e ∈………………………………………………………10分①当0p <时，2()2,h x px x p =-+其图象为开口向下的抛物线，对称轴1x p=在y 轴的左侧，且(0)0h <，所以()f x 在[1,]x e ∈内是减函数.当0p =时，()2h x x =-，因为[1,],x e ∈所以2()0,()0,h x f x x'<=-<此时，()f x 在[1,]x e ∈内是减函数.故当0p ≤时，()f x 在[1,]e 上单调递减max ()(1)02,f x f ⇒==<不合题意；…12分 ②当1p ≥时，由（2）知()f x 在[1,]e 上是增函数，(1)02,f =<又()g x 在[1,]e 上是减数，故只需m a x mi ()(),[1,],f x g x x e >∈而max min 1()()2ln ,()2,f x f e p e eg x e ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭即12ln 2,p e e e ⎛⎫--> ⎪⎝⎭解得24,1e p e >-所以实数p 的取值范围是24,1e e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭.……14分。
四川省成都高新区2013届高三12月统一检测数学(文)试题
2012年高2013届成都高新区12月学月统一检测数学（文）（考试时间： 月 日 总分：150分）第Ⅰ卷（选择题，共 50 分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合2{|20},{|11}A x x x B x x =--<=-<<，则（ ）A .A ⊂≠B B.B ⊂≠A C.A=B D.A ∩B=∅ 2、复数2(,)12m i z m R i i-=∈+为虚数单位所对应复平面内的点在第二象限，则（ ）A.4m <B. 0m <C.14m -<<D.1m <- 3、已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a =（ ）A ．342n⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭ B ．243n⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭ C ．1342n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭D ．1243n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭4、x 是实数，则下列不等式恒成立的是（ ） A.x x 442>+ B.1112<+xC.2lg(1)lg(2)x x +> D.x x >+125、 设l 、m 、n 表示三条直线，α、β、r 表示三个平面，则下面命题中不成立的是（ ）A.若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥mB.若m ⊂β，n 是l 在β内的射影，m ⊥l ，则m ⊥nC.若m ⊂α，n ⊄α，m ∥n ，则n ∥α D ．若α⊥r ，β⊥r ，则α∥β6、已知143x y x y -≤+≤≤-≤且2，则2222z x y =+的最小值（ ）A. B.4D.27、如图,非零向量O A =a ,OB=b ,且B C O A ⊥，C 为垂足，设向量OC λ=a,则λ的值为（ ）A.2||a b a B.||||a b a b C.2||a b b D.||||a b a b8、在数列{}n a 中，111,.n n a a a n +==+利用如右上图所示的程序框图计算数列的第10项，则判断语句应填( )A .n>10? B.10?n ≤ C.n<9? D.9?n ≤9、在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 按逆时针旋转4π后，得向量O Q 则点Q 的坐标是（ ）A.(-B.(-C.(7D.(2)-10、已知方程2920ax x -+=和2620bx x -+=分别存在两个不等实根，其中这四个根组成一个公比为2的等比数列，则a b +=( )A.3B.4C.5D.6二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 11、在△ABC 中，a,b,c 分别为内角A,B,C 的对边且2a sinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC 则A =______________. 12、函数0(43)y x =-的定义域为_______________.13、已知函数()'()x f y f x =的导数为且2'()s n )3(i f f x x x π=+，则'()3f π=______14、现有下列命题：①设,a b 为正实数，若221a b -=，则1a b -<；②设a ，b 均为单位向量，若2||1[03a b πθ+>∈ 则，）；③数列2{(4)()}3n n n +中的最大项是第4项；④设函数lg |1|1()01x x f x x -≠⎧=⎨=⎩，，,则关于2()+2()0x f x f x =的方程有4个解。
高三文科数学2013年12月月考卷
2013-2014学年度私立诸暨高级中学12月月考卷文科数学第I 卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．已知集合A=｛x|x 2－2x ＞0｝，B=｛x|＜x( )A 、A∩B=∅B 、A B=RC 、B ⊆AD 、A ⊆B2．复数12ii-(i 为虚数单位)的虚部是 ( ) A.15i B.15- C.15i - D.153．“a b >”是“11a b<”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．设,,αβγ是三个互不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（ ）A ．若,αββγ⊥⊥，则αγ⊥B ．若//αβ，m β⊄，//m α，则//m βC ．若αβ⊥，m α⊥，则//m βD ．若//m α，//n β，αβ⊥，则m n ⊥5．在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别为,,a b c ，若22241c b a +=，则cBa cos 的值为（ ） A.41 B. 45 C. 85 D.83 6．设x y 、满足不等式组10102x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为 （ ）A 、1B 、5 C、2 D 、127．已知()()()()f x x a x b a b =-->的图像如图所示，则函数()xg x a b =+的图像是（ ）8． 正项等比数列{}n a 中, 8165=a a ，则 3132310log log log a a a +++的值是（ ）A ．2B ．5C ．10D ．20 9．圆224x y +=330x y +-=所得弦长是（ ） 3310．函数3()2'(1)f x x xf =+-，则函数()f x 在区间[]2,3-上的值域是（ ）A ．[42,9]-B ．[42,42]-C ．[4,42]D ．[4,9]二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)11．已知函数(2),2()1,22x f x x f x x +<⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，则(3)f -的值为____________.12．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是 .13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .14．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60，(1)c ta t b =+-，若0b c ⋅=，则t =_____。
2013年四川省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析
2013年四川省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5分)设集合A＝{1,2,3},集合B＝{－2,2},则A∩B＝( )A.∅B.{2}C.{－2,2}D.{－2,1,2,3}2.(5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是( )A.棱柱B.棱台C.圆柱D.圆台3.(5分)如图,在复平面内,点A表示复数z的共轭复数,则复数z对应的点是( )A.AB.BC.CD.D4.(5分)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A,2x∈B,则( )A.￢p：∃x∈A,2x∈BB.￢p：∃x∉A,2x∈BC.￢p：∃x∈A,2x∉BD.￢p：∀x∉A,2x∉B5.(5分)抛物线y2＝8x的焦点到直线的距离是( )A. B.2 C. D.16.(5分)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0,－＜φ＜)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )A. B. C. D.7.(5分)某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示.以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是( )A. B.C. D.8.(5分)若变量x,y满足约束条件且z＝5y－x的最大值为a,最小值为b,则a－b的值是( )A.48B.30C.24D.16,A是椭圆与x 9.(5分)从椭圆上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是( )A. B. C. D.10.(5分)设函数f(x)＝(a∈R,e为自然对数的底数).若存在b∈[0,1]使f(f(b))＝b成立,则a的取值范围是( )A.[1,e]B.[1,1＋e]C.[e,1＋e]D.[0,1]二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(5分)lg＋lg的值是.12.(5分)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,＋＝λ,则λ＝.13.(5分)已知函数f(x)＝4x＋(x＞0,a＞0)在x＝3时取得最小值,则a＝.14.(5分)设sin2α＝－sinα,α∈(,π),则tan2α的值是.15.(5分)在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,－1)的距离之和最小的点的坐标是.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(12分)在等比数列{an }中,a2－a1＝2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{an}的首项、公比及前n项和.17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos(A－B)cosB－sin(A－B)sin(A＋C)＝－.(Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)若a＝4,b＝5,求向量在方向上的投影.18.(12分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生.(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1,2,3)；(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.19.(12分)如图,在三棱柱ABC－A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB＝AC＝2AA1＝2,∠BAC＝120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD上异于端点的点.(Ⅰ)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1；(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l交AC于点Q,求三棱锥A1－QC1D的体积.(锥体体积公式：,其中S为底面面积,h为高)20.(13分)已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4,点O是坐标原点.直线l：y＝kx与圆C交于M,N 两点.(Ⅰ)求k的取值范围；(Ⅱ)设Q(m,n)是线段MN上的点,且.请将n表示为m的函数.21.(14分)已知函数,其中a是实数.设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且x1＜x2.(Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2＜0,证明：x2－x1≥1；(Ⅲ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.2013年四川省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5分)设集合A＝{1,2,3},集合B＝{－2,2},则A∩B＝( )A.∅B.{2}C.{－2,2}D.{－2,1,2,3}【分析】找出A与B的公共元素即可求出交集.【解答】解：∵集合A＝{1,2,3},集合B＝{－2,2},∴A∩B＝{2}.故选：B.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.(5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是( )A.棱柱B.棱台C.圆柱D.圆台【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形.【解答】解：由三视图知,从正面和侧面看都是梯形,从上面看为圆形,下面看是圆形,并且可以想象到该几何体是圆台,则该几何体可以是圆台.故选：D.【点评】考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对空间想象能力方面的考查.3.(5分)如图,在复平面内,点A表示复数z的共轭复数,则复数z对应的点是( )A.AB.BC.CD.D【分析】直接利用共轭复数的定义,找出点A表示复数z的共轭复数的点即可.【解答】解：两个复数是共轭复数,两个复数的实部相同,虚部相反,对应的点关于x轴对称. 所以点A表示复数z的共轭复数的点是B.故选：B.【点评】本题考查复数与共轭复数的关系,复数的几何意义,基本知识的考查.4.(5分)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A,2x∈B,则( )A.￢p：∃x∈A,2x∈BB.￢p：∃x∉A,2x∈BC.￢p：∃x∈A,2x∉BD.￢p：∀x∉A,2x∉B【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题.【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”,∴命题p：∀x∈A,2x∈B 的否定是：￢p：∃x∈A,2x∉B.故选：C.【点评】本小题主要考查命题的否定、命题的否定的应用等基础知识.属于基础题.命题的否定即命题的对立面.“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述.如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等,所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”,“存在性命题”的否定一定是“全称命题”.5.(5分)抛物线y2＝8x的焦点到直线的距离是( )A. B.2 C. D.1【分析】由抛物线y2＝8x得焦点F(2,0),再利用点到直线的距离公式可得点F(2,0)到直线的距离.【解答】解：由抛物线y2＝8x得焦点F(2,0),∴点F(2,0)到直线的距离d＝＝1.故选：D.【点评】熟练掌握抛物线的性质和点到直线的距离公式是解题的关键.6.(5分)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0,－＜φ＜)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )A. B. C. D.【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值,求出函数的周期T＝＝π,解得ω＝2.由函数当x＝时取得最大值2,得到＋φ＝＋kπ(k∈Z),取k＝0得到φ＝－.由此即可得到本题的答案.【解答】解：∵在同一周期内,函数在x＝时取得最大值,x＝时取得最小值,∴函数的周期T满足＝－＝,由此可得T＝＝π,解得ω＝2,得函数表达式为f(x)＝2sin(2x＋φ)又∵当x＝时取得最大值2,∴2sin(2•＋φ)＝2,可得＋φ＝＋2kπ(k∈Z)∵,∴取k＝0,得φ＝－故选：A.【点评】本题给出y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象,求函数的表达式.着重考查了三角函数的图象与性质、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换等知识,属于基础题.7.(5分)某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示.以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是( )A. B.C. D.【分析】根据题意,由频率与频数的关系,计算可得各组的频率,进而可以做出频率分布表,结合分布表,进而可以做出频率分布直方图.故选：A.【点评】本题考查频率分布直方图的作法与运用,关键是正确理解频率分布表、频率分步直方图的意义并运用.8.(5分)若变量x,y满足约束条件且z＝5y－x的最大值为a,最小值为b,则a－b的值是( )A.48B.30C.24D.16【分析】先根据条件画出可行域,设z＝5y－x,再利用几何意义求最值,将最小值转化为y轴上的截距最大,只需求出直线,过可行域内的点B(8,0)时的最小值,过点A(4,4)时,5y－x最大,从而得到a－b的值.【解答】解：满足约束条件的可行域如图所示在坐标系中画出可行域,平移直线5y－x＝0,经过点B(8,0)时,5y－x最小,最小值为：－8,则目标函数z＝5y－x的最小值为－8.经过点A(4,4)时,5y－x最大,最大值为：16,则目标函数z＝5y－x的最大值为16.z＝5y－x的最大值为a,最小值为b,则a－b的值是：24.故选：C.【点评】借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化归思想.线性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定.9.(5分)从椭圆上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点F 1,A 是椭圆与x轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且AB ∥OP(O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是( )A.B.C.D.【分析】依题意,可求得点P 的坐标P(－c,),由AB ∥OP ⇒k AB ＝k OP ⇒b ＝c,从而可得答案.【解答】解：依题意,设P(－c,y 0)(y 0＞0),则＋＝1,∴y 0＝,∴P(－c,),又A(a,0),B(0,b),AB ∥OP,∴k AB ＝k OP ,即＝＝,∴b ＝c.设该椭圆的离心率为e,则e 2＝＝＝＝,∴椭圆的离心率e ＝.故选：C.【点评】本题考查椭圆的简单性质,求得点P的坐标(－c,)是关键,考查分析与运算能力,属于中档题.10.(5分)设函数f(x)＝(a∈R,e为自然对数的底数).若存在b∈[0,1]使f(f(b))＝b成立,则a的取值范围是( )A.[1,e]B.[1,1＋e]C.[e,1＋e]D.[0,1]【分析】根据题意,问题转化为“存在b∈[0,1],使f(b)＝f－1(b)”,即y＝f(x)的图象与函数y＝f－1(x)的图象有交点,且交点的横坐标b∈[0,1].由y＝f(x)的图象与y＝f－1(x)的图象关于直线y＝x对称,得到函数y＝f(x)的图象与y＝x有交点,且交点横坐标b∈[0,1].因此,将方程化简整理得e x＝x2－x＋a,记F(x)＝e x,G(x)＝x2－x＋a,由零点存在性定理建立关于a的不等式组,解之即可得到实数a的取值范围.【解答】解：由f(f(b))＝b,可得f(b)＝f－1(b)其中f－1(x)是函数f(x)的反函数因此命题“存在b∈[0,1]使f(f(b))＝b成立”,转化为“存在b∈[0,1],使f(b)＝f－1(b)”,即y＝f(x)的图象与函数y＝f－1(x)的图象有交点,且交点的横坐标b∈[0,1],∵y＝f(x)的图象与y＝f－1(x)的图象关于直线y＝x对称,∴y＝f(x)的图象与函数y＝f－1(x)的图象的交点必定在直线y＝x上,由此可得,y＝f(x)的图象与直线y＝x有交点,且交点横坐标b∈[0,1],根据,化简整理得e x＝x2－x＋a记F(x)＝e x,G(x)＝x2－x＋a,在同一坐标系内作出它们的图象,可得,即,解之得1≤a≤e即实数a的取值范围为[1,e]故选：A.【点评】本题给出含有根号与指数式的基本初等函数,在存在b∈[0,1]使f(f(b))＝b成立的情况下,求参数a的取值范围.着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个函数的图象特征等知识,属于中档题.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(5分)lg＋lg的值是 1 .【分析】直接利用对数的运算性质求解即可.【解答】解：＝＝1.故答案为：1.【点评】本题考查对数的运算性质,基本知识的考查.12.(5分)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,＋＝λ,则λ＝. 【分析】依题意,＋＝,而＝2,从而可得答案.【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形,对角线AC与BD交于点O,∴＋＝,又O为AC的中点,∴＝2,∴＋＝2,∵＋＝λ,∴λ＝2.故答案为：2.【点评】本题考查平面向量的基本定理及其意义,属于基础题.13.(5分)已知函数f(x)＝4x＋(x＞0,a＞0)在x＝3时取得最小值,则a＝36 .【分析】由题设函数在x＝3时取得最小值,可得f′(3)＝0,解此方程即可得出a的值.【解答】解：由题设函数在x＝3时取得最小值,∵x∈(0,＋∞),∴得x＝3必定是函数的极值点,∴f′(3)＝0,f′(x)＝4－,即4－＝0,解得a＝36.故答案为：36.【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数求函数的极值,解题的关键是理解“函数在x＝3时取得最小值”,将其转化为x＝3处的导数为0等量关系.14.(5分)设sin2α＝－sinα,α∈(,π),则tan2α的值是.【分析】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简,根据sinα不为0求出cosα的值,由α的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值,进而求出tanα的值,所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后,将tanα的值代入计算即可求出值.【解答】解：∵sin2α＝2sinαcosα＝－sinα,α∈(,π),∴cosα＝－,sinα＝＝,∴tanα＝－,则tan2α＝＝＝.故答案为：【点评】此题考查了二倍角的正弦、正切函数公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公式是解本题的关键.15.(5分)在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,－1)的距离之和最小的点的坐标是(2,4) .【分析】如图,设平面直角坐标系中任一点P,利用三角形中两边之和大于第三边得PA＋PB＋PC＋PD＝PB＋PD＋PA＋PC≥BD＋AC＝QA＋QB＋QC＋QD,从而得到四边形ABCD对角线的交点Q 即为所求距离之和最小的点.再利用两点式方程求解对角线所在的直线方程,联立方程组求交点坐标即可.【解答】解：如图,设平面直角坐标系中任一点P,P到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,－1)的距离之和为：PA＋PB＋PC＋PD＝PB＋PD＋PA＋PC ≥BD＋AC＝QA＋QB＋QC＋QD,故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点.∵A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,－1),∴AC,BD的方程分别为：,,即2x－y＝0,x＋y－6＝0.解方程组得Q(2,4).故答案为：(2,4).【点评】本小题主要考查直线方程的应用、三角形的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(12分)在等比数列{an }中,a2－a1＝2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{an}的首项、公比及前n项和.【分析】等比数列的公比为q,由已知可得,a1q－a1＝2,4,解方程可求q,a1,然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：设等比数列的公比为q,由已知可得,a1q－a1＝2,4联立可得,a1(q－1)＝2,q2－4q＋3＝0∴或q＝1(舍去)∴＝【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及等差中项等基础知识,考查运算求解的能力17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos(A－B)cosB－sin(A－B)sin(A＋C)＝－.(Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)若a＝4,b＝5,求向量在方向上的投影.【分析】(Ⅰ)由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数,求出A的余弦值,然后求sinA的值；(Ⅱ)利用,b＝5,结合正弦定理,求出B的正弦函数,求出B的值,利用余弦定理求出c的大小,然后求解向量在方向上的投影.【解答】解：(Ⅰ)由,可得,即,即,因为0＜A＜π,所以.(Ⅱ)由正弦定理,,所以＝,由题意可知a＞b,即A＞B,所以B＝,由余弦定理可知.解得c＝1,c＝－7(舍去).向量在方向上的投影：＝ccosB＝.【点评】本题考查两角和的余弦函数,正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识,考查计算能力转化思想.18.(12分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生.(i＝1,2,3)；(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.【分析】(I)由题意可知,当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,从而得出输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为；(II)当n＝2100时,列出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率的表格,再比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大.【解答】解：(I)当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,故P1＝；当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,故P2＝；当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,故P3＝；∴输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为；【点评】本题综合考查程序框图、古典概型及其概率计算公式等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.19.(12分)如图,在三棱柱ABC－A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB＝AC＝2AA1＝2,∠BAC＝120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD上异于端点的点.(Ⅰ)在平面ABC 内,试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l,说明理由,并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1；(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l 交AC 于点Q,求三棱锥A 1－QC 1D 的体积.(锥体体积公式：,其中S 为底面面积,h 为高)【分析】(Ⅰ)在平面ABC 内,过点P 作直线l 和BC 平行,根据直线和平面平行的判定定理可得直线l 与平面A 1BC 平行.等腰三角形ABC 中,根据等腰三角形中线的性质可得AD ⊥BC,故l ⊥AD.再由AA 1⊥底面ABC,可得 AA 1⊥l.再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线l ⊥平面ADD 1A 1 .(Ⅱ)过点D 作DE ⊥AC,证明DE ⊥平面AA 1C 1C.直角三角形ACD 中,求出AD 的值,可得 DE 的值,从而求得 ＝的值,再根据三棱锥A 1－QC 1D 的体积＝＝••DE,运算求得结果.【解答】解：(Ⅰ)在平面ABC 内,过点P 作直线l 和BC 平行,由于直线l 不在平面A 1BC 内,而BC 在平面A 1BC 内,故直线l 与平面A 1BC 平行.三角形ABC 中,∵AB ＝AC ＝2AA 1＝2,∠BAC ＝120°,D,D 1分别是线段BC,B 1C 1的中点,∴AD ⊥BC,∴l ⊥AD.再由AA 1⊥底面ABC,可得 AA 1⊥l. 而AA 1∩AD ＝A,∴直线l ⊥平面ADD 1A 1 .(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l 交AC 于点Q,过点D 作DE ⊥AC, ∵侧棱AA 1⊥底面ABC,故三棱柱ABC －A 1B 1C 为直三棱柱, 故DE ⊥平面AA 1C 1C.直角三角形ACD 中,∵AC ＝2,∠CAD ＝60°,∴AD ＝AC •cos60°＝1,∴DE ＝AD •sin60°＝.∵＝＝＝1,∴三棱锥A 1－QC 1D 的体积＝＝••DE ＝×1×＝.【点评】本题主要考查直线和平面平行、垂直的判定定理的应用,用等体积法求三棱锥的体积,属于中档题.20.(13分)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4,点O 是坐标原点.直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M,N 两点.(Ⅰ)求k 的取值范围；(Ⅱ)设Q(m,n)是线段MN上的点,且.请将n表示为m的函数.【分析】(Ⅰ)将直线l方程与圆C方程联立消去y得到关于x的一元二次方程,根据两函数图象有两个交点,得到根的判别式的值大于0,列出关于k的不等式,求出不等式的解集即可得到k的取值范围；(Ⅱ)由M、N在直线l上,设点M、N坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2),利用两点间的距离公式表示出|OM|2与|ON|2,以及|OQ|2,代入已知等式中变形,再利用根与系数的关系求出x1＋x2与x1x2,用k表示出m,由Q在直线y＝kx上,将Q坐标代入直线y＝kx中表示出k,代入得出的关系式中,用m表示出n即可得出n关于m的函数解析式,并求出m的范围即可.【解答】解：(Ⅰ)将y＝kx代入x2＋(y－4)2＝4中,得：(1＋k2)x2－8kx＋12＝0(*),根据题意得：△＝(－8k)2－4(1＋k2)×12＞0,即k2＞3,则k的取值范围为(－∞,－)∪(,＋∞)；(Ⅱ)由M、N、Q在直线l上,可设M、N坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2),∴|OM|2＝(1＋k2)x12,|ON|2＝(1＋k2)x22,|OQ|2＝m2＋n2＝(1＋k2)m2,代入＝＋得：＝＋,即＝＋＝,由(*)得到x1＋x2＝,x1x2＝,代入得：＝,即m2＝,∵点Q在直线y＝kx上,∴n＝km,即k＝,代入m2＝,化简得5n2－3m2＝36,由m2＝及k2＞3,得到0＜m2＜3,即m∈(－,0)∪(0,),根据题意得点Q在圆内,即n＞0,∴n＝＝,则n与m的函数关系式为n＝(m∈(－,0)∪(0,)).【点评】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有：根的判别式,根与系数的关系,两点间的距离公式,以及函数与方程的综合运用,本题计算量较大,是一道综合性较强的中档题.21.(14分)已知函数,其中a 是实数.设A(x 1,f(x 1)),B(x 2,f(x 2))为该函数图象上的两点,且x 1＜x 2.(Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点A,B 处的切线互相垂直,且x 2＜0,证明：x 2－x 1≥1； (Ⅲ)若函数f(x)的图象在点A,B 处的切线重合,求a 的取值范围. 【分析】(I)根据分段函数中两段解析式,结合二次函数及对数函数的性质,即可得出函数f(x)的单调区间；(II)由导数的几何意义知,点A 处的切线的斜率为f′(x 1),点B 处的切线的斜率为f′(x 2),再利用f(x)的图象在点A,B 处的切线互相垂直时,斜率之积等于－1,得出(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1,最后利用基本不等式即可证得x 2－x 1≥1；(III)先根据导数的几何意义写出函数f(x)在点A 、B 处的切线方程,再利用两直线重合的充要条件列出关系式,从而得出a ＝lnx 2＋()2－1,最后利用导数研究它的单调性和最值,即可得出a 的取值范围.【解答】解：(I)函数f(x)的单调减区间(－∞,－1),函数f(x)的单调增区间[－1,0),(0,＋∞)；(II)由导数的几何意义知,点A 处的切线的斜率为f′(x 1),点B 处的切线的斜率为f′(x 2), 函数f(x)的图象在点A,B 处的切线互相垂直时,有f′(x 1)f′(x 2)＝－1, 当x ＜0时,(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1,∵x 1＜x 2＜0,∴2x 1＋2＜0,2x 2＋2＞0, ∴x 2－x 1＝[－(2x 1＋2)＋(2x 2＋2)]≥＝1, ∴若函数f(x)的图象在点A,B 处的切线互相垂直,有x 2－x 1≥1； (III)当x 1＜x 2＜0,或0＜x 1＜x 2时,f′(x 1)≠f′(x 2),故x 1＜0＜x 2, 当x 1＜0时,函数f(x)在点A(x 1,f(x 1))处的切线方程为y －(x ＋2x 1＋a)＝(2x 1＋2)(x －x 1)；当x 2＞0时,函数f(x)在点B(x 2,f(x 2))处的切线方程为y －lnx 2＝(x －x 2)；两直线重合的充要条件是,由①及x 1＜0＜x 2得0＜＜2,由①②得a ＝lnx 2＋()2－1＝－ln＋()2－1,令t ＝,则0＜t ＜2,且a ＝t 2－t －lnt,设h(t)＝t 2－t －lnt,(0＜t ＜2)则h′(t)＝t －1－＝,∴h(t)在(0,2)为减函数,则h(t)＞h(2)＝－ln2－1,∴a ＞－ln2－1,∴若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,a的取值范围(－ln2－1,＋∞).【点评】本题以函数为载体,考查分段函数的解析式,考查函数的单调性,考查直线的位置关系的处理,注意利用导数求函数的最值.。
2013届高考适应性月考卷文科数学试卷及答案(word)版本
云南师大附中2013届高考适应性月考卷（六）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数 柱体体积公式V Sh = 其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|A x y ==，{}|2x B y y ==，则A B ＝A ．∅B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,+∞2．定义运算 a b ad bc c d=-，复数z 满足i 11 z i i=+，则复数z 的共轭复数是A ．2i -B ．2i --C ．2i +D ．2i -+3．下列说法中，错误的是A ．命题“若22am bm <，则a b <“的逆命题是真命题B ．命题“若a A ∉，则b B ∈”的否命题是“若a A ∈，则b B ∉”C ．命题“存在实数x ，使20x x ->”的否定是“对所有的实数x ，20x x -≤ D ．已知x R ∈，则12x >是2210x x +->的充分不必要条件4．在△ABC 中，点E 是A B 的中点，点F 是A C 的中点，B F 交C E 于点G ，若A G x A E y A F =+，则x y +的值是A ．32B ．43C ．1D ．235．已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，给出下列命题①若,,m n m αα⊂⊂∥β，n ∥β，则α∥β；②若m αβ= ，n ∥m ，n α⊄，n β⊄，则n ∥α，n ∥β； ③若m α⊥，n ∥m ，n β⊂，则αβ⊥； ④若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥；⑤若α∥β，m α⊂，n β⊂，则m ∥n ． 其中真命题的个数是A ．4B ．3C ．2D ．16．若2(1,1)()d m m R =--∈是直线l 的一个方向向量，则直线l 的倾斜角α的范围是A ．[)0,πB ．0,,42πππ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭C ．0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭71所示，左视图是一个三角形，则这个三角形的面积是A ．B ．C ．3D8．设函数73()sin()cos()44f x x x ππ=++-，则A ．()y f x =的最小正周期是π，其图像关于4x π=-对称 B ．()y f x =的最小正周期是2π，其图像关于4x π=-对称C ．()y f x =的最小正周期是π，其图像关于2x π=对称 D ．()y f x =的最小正周期是2π，其图像关于2x π=对称11．在平面直角坐标系中，不等式组40,40,,x y x y x a +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩所表示的平面区域的面积是4，则实数a 的值是．A ．1B ．2C ．3D ．410．关于x 的不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立，则a 的取值范围是 A ．1,116⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭C ．()10,1,16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,11,22⎛⎫⎪⎝⎭11．如果函数()||0)f x x a =>没有零点，则a 的取值范围是A ．()0,1B ．()()0,12,+∞C ．())0,1+∞D．(()2,+∞12．椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的两个焦点为1F ，2F ，M 为椭圆上一点，且12M F M F ⋅的最大值的取值范围是22,2c c ⎡⎤⎣⎦，其中c 的椭圆的半焦距，则椭圆的离心率取值范围是 A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．,12⎫⎪⎪⎣⎭C ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．32⎡⎢⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．如图2，程序运行后，输出的结果S 为 ．14．在平面直角坐标系中，设{}22(,)|1D x y x y =+≤，{}(,)||||1E x y x y =+≤，向D 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是 ． 15．已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则数列{}n a 的前六项和等于 ．16．已知直线2y x =-与圆22430x y x +-+=及抛物线28y x =的四个交点从上而下依次为A 、B 、C 、D 四点，则||||AB CD +＝ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步i=1WHILE i<8 S=2*i+3 i=i+2 WEND PRINT S END骤．17．（本小题满分12分）已知函数()sin()(,0,0)2f x A x x R πωϕωϕ=+∈><<的部分图像如图3所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图像向右平移4π个单位得到()y g x =的图像，求()y g x =的单调递增区间．18．（本小题满分12分）甲、乙两位同学在五次测验（百分制）中的成绩统计茎叶图如图4所示，其中一个数字被污损，记为()x x Z ∈． （1）若8x =，试分析甲、乙谁的成绩更稳定； （2）求甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率． 19．（本小题满分12分）如图4，在长方形A B C D 中，1AB =，2B C =，E 是A D 的中点，将△A B E 沿直线B E 翻折成A BE '，使平面A BE '⊥平面B C D E ，F 为A C '的中点． （1）求证：D F ∥平面A BE '；（2）求直线A C '与平面B C D E 所成角的正切值．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的右顶点与抛物线22(0)y p x p =>的焦点重合，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交点坐标为12⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭． （1）求双曲线的标准方程； （2）设斜率为(||k k <的直线l 交双曲线于P 、Q 两点，若直线l 与圆221x y +=相切，求证：OP OQ ⊥．21．（本小题满分12分）已知函数(),xf x e ax a R =+∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意的实数0x >，()0f x >恒成立，试确定a 的取值范围．ABC ED请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图5，已知A B A C =，A C 为圆O 的直径，B C 与圆O 交于点D ，D E AB ⊥，连C E 交圆O 于F ．（1）求证：D E 为圆O 的切线； （2）求证：A E B E E F C E ⋅=⋅．23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】已知圆1O 与圆2O 的极坐标方程分别为2ρ=，2cos()24πρθ--=．（1）把圆1O 与圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求两圆公共弦的长．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 设()|1||2|f x x x =+--．（1）若不等式()f x a ≤的解集为(],1-∞，求a 的值； （2）若1()()g x f x m=+的定义域为R ，求实数m 的取值范围．图1云南师大附中2013届高考适应性月考卷（六）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．{|1}{|0}A x x B y y ==>≤，，故(01]A B = ，． 2．由题可得i i 1i z -=+，12i 2iiz +∴==-，则复数z 的共轭复数是2i +．3．B 、C 、D 选项都是正确的，选项A 的逆命题是“若a b <，则22am bm <”，它是错误的，因为当0m =时，22am bm=．4．由题可得点G是ABC △的重心，设BC 边的中点为D ，则221()332AG AD AB AC ==⨯+2()3AE AF =+，23xy ∴==，4.3x y ∴+=5．只有②③是正确的．6．直线l 的斜率211k m =-≤，tan 1α∴≤，∴ππ0π.42α⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ ，，7．设正四面体的棱长为a，则体积311322312V a =⨯⨯⨯⨯==2a ∴=，而正四面体的左视图为一个等腰三角形，如图1所示，122S ∴=⨯⨯=8．73ππ()sin πcos πsin cos 4444f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππsin coscos sincos cossin sincos )4444x x x x x x =--+=-π2sin 4x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故最小正周期是2π．令πππ42x k -=+，则3ππ4x k =+为函数()y f x =的对称轴方程．当1k =-时，π.4x =-9．根据约束条件作出可行域，当a <0时，不满足题意，故a >0，此时得到的可行域是一个三角形，2124 2.2S a a a a =⋅⋅==∴=，10．由题意得2log a x x <在102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，上恒成立，故在102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，上2=log a y x y x =的图象在的下方．由图象知0<<1a ，当=log a y x 的图象过点1124⎛⎫⎪⎝⎭，时，1=16a ，故1116a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，时满足题意．11．()||0f x x =-=，即||x =，函数()f x 没有零点，则y =的图象与||y x =的图象没有交点．22(0)y x y a y =+=≥，它表示以(00)，||y x =的图象是端点为(0的一条折线，如图2，当上半圆与||y x =相切时，1a =；当上半圆经过点(02a =∴=.若两图象没有交点，则012a a <<>或．12．设00()M x y ，，则100200()()M F c x y M F c x y =---=--，，，，2222222222222220120000022211.x b c M F M F x c y x c b x c b x c b a a a ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-+=-+-=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0[]x a a ∈- ，，∴当0x a =±时，12M F M F ⋅有最大值2b ，2222c b c ∴≤≤，2222222223c a c c c a c ∴-∴≤≤，≤≤，221132c a∴≤≤，32e ∴∈⎣⎦，．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）图2【解析】13．i 从1开始，依次取3，5，7，9，故输出27317.S =⨯+=14．区域D 表示一个以原点为圆心，半径为1的圆；区域E2π1πE DS P S ===⨯．15．1201320121()1n n na f a a a a+===+，，20132012201220121012n a a a a a ∴==>∴=+，又，201220112011201021201111111222a a a a a a a ∴==∴======+ ，，同理：，1234566 3.2a a a a a a ∴+++++==16．如图3所示，圆的方程可化为22(2)1x y -+=，抛物线的焦点(20)F ，，准线 2.x =- 由228y x y x=-⎧⎨=⎩，得21240x x -+=，设直线与抛物线交于()()A A D D A x y D x y ，，，，则12A D x x +=，()()(1)(1)2AB CD AF BF DF CF AF DF AF DF +=-+-=-+-=+-，由抛物线的定义得22A D AF x DF x =+=+，，()2214.A D AB CD AF DF x x +=+-=++=故三、解答题（共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）图3解：（Ⅰ）311π3πππ41264T T =-=∴= ，，2π2Tω∴==，图象过点π6A ⎛⎫⎪⎝⎭，，ππ22π62k ϕ∴⨯+=+，ππ026ϕϕ<<∴=又，， π()sin 26f x A x ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，又图象过点(01)，，πsin 126A A ∴=∴=，，π()2sin 26f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭．…………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）πππ()2sin 22sin 2463g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 由πππ2π22π232k x k --+≤≤得π5πππ1212k x k -+≤≤，∴()y g x =的单调递增区间是π5πππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，．…………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）8889909192905x ++++==甲，838387989990.5x ++++==乙2222221[(8890)(8990)(9090)(9190)(9290)]25s =-+-+-+-+-=甲；2222221[(8390)(8390)(8790)(9890)(9990)]50.45s =-+-+-+-+-=乙，22x x s s =< 乙乙甲甲，，∴甲的成绩更稳定．……………………………………………（6分）（Ⅱ）x 所有可能的取值有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9共10种，其中满足甲的平均成绩超过乙的平均成绩的x 可能的取值有0，1，2，3，4，5，6，7共8种， 故P （甲的平均成绩超过乙的平均成绩）84105==．………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图4，取A B '的中点G ，连接FG ，EG ．F 、G 分别是A C A B ''、的中点，FG∴12BC ，又D E12BC ，FG∴DE ，∴四边形DEGF 为平行四边形，∴D F EG∥，又DF A BE EG A BE ''⊄⊂平面，平面，∴D F A B E '∥平面．…………………………（6分） （Ⅱ）解：取BE 的中点H ，连接A H H C '，，则A H BE '⊥，A BE BCDE A BE BCDE BE A H BCDE '''⊥=∴⊥ 又平面平面，平面平面，平面，A CH A C BCDE ''∴∠为与平面所成角，在△BCH 中，由余弦定理得22252222222C H ⎛=+-⨯⨯= ⎝⎭，2C H =得2A H '=又tan 5A H A C H C H''∴∠==12分）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：22p p -=-∴=，∴抛物线22(0)y px p =>的焦点为02⎫⎪⎪⎝⎭，2a ∴=又双曲线的一条渐近线过点12⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，1b b a ∴=∴=，故双曲线的标准方程为222 1.x y -=…………………………………………………（4分） （Ⅱ）证明：设直线l ：y kx b =+，直线l 与圆相切，2211b k ∴=∴=+，，由2221y kx b x y =+⎧⎨-=⎩，消去y 得222(2)210k x kbx b ----=，设1122()()P x y Q x y ，，，，21212222122kb b x x x x kk--+==--则，，22121212121212()()(1)()OP OQ x x y y x x kx b kx b k x x kb x x b ∴⋅=+=+++=++++2222222222(1)(1)21222k b k b b k b kkk+---+-=++=---，221b k =+ ，0.OP OQ OP OQ ∴⋅=∴⊥，…………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）().x f x e a '=+当0a ≥时，()0f x '>，()f x ∴R 在上是增函数； 当<0a 时，令()0ln()x f x e a x a '=+==-，则，则()(ln())(ln()).f x a a -∞--+∞在，上是减函数，在，上是增函数…………………（6分）（Ⅱ）()0(0)(0)xxef x e ax x a x x=+>∈+∞⇒>-∈+∞在，上恒成立在，上恒成立，令22(1)()=()==.xx xxee x e e x k x k x xxx--'-∴-，当1x >时，()0k x '<；当01x <<时，()0k x '>，()(01)(1)k x ∴+∞在，上是增函数，在，上是减函数，max ()(1)k x k e ∴==-，.a e ∴>-………………………………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】证明：（Ⅰ）如图5，连接OD ，AD ，A C 为圆O 的直径， AD BC ∴⊥，又AB AC = ，CAD BAD ∴∠=∠.图5OA OD = ， CAD ODA ∴∠=∠， BAD ODA ∴∠=∠，OD AB ∴∥.……………………………………………………………………………（4分）DE AB ⊥， DE OD ∴⊥，DE∴为圆O 的切线．……………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）Rt ADB DE AB ⊥ 在中，，△2DE AE BE ∴=⋅，………………………………………………………………………（8分）D E 为圆O 的切线， 2DE EF CE ∴=⋅，∴.AE BE EF CE ⋅=⋅…………………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）圆1O 可化为：224x y +=；圆2O 可化为：2ππcos cossin sin244ρθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，222220x y x y ∴+---=．………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）联立222242220x y x y x y ⎧+=⎪⎨+---=⎪⎩，，两式相减得10x y +-=，即为公共弦所在的直线方程，∴圆心1(00)O ，到直线10x y +-=的距离为2d ==，又圆1O 的半径2r =，故两圆公共弦的长为==10分）24．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】解：（Ⅰ）31()211232x f x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩，，，≤≤，，，其图象如图6所示，由图可知当x =1时，y =1，故=1a ．……………（5分） （Ⅱ）由题意得()0f x m +≠在R 上恒成立， 即()0f x m +=在R 上无实数解，即()y f x y m ==-的图象与无交点，<3>3m m ∴---或，∴3m >或3m <-．……………………………………………………………………（10分）云南师大附中2013届高考适应性月考卷（六）·双向细目表文科数学。
2013年高三上册文科数学12月月考试题(有答案)
2013年高三上册文科数学12月月考试题（有答案）甘肃省金昌市二中2013---2014学年度12月月考高三数学（文科）试题第I卷（共60分）一.选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的选项填在答题卡上。
）1．若集合，，则=()A.B.C.D.2.“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是()4．已知幂函数的图象过点，则的值为（）A．－2B．2C．D．5．曲线在x=1处切线的倾斜角为()A.1B.C.D.6．已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（）A.4B.5C.6D.77.等比数列中，，则的前4项和为（）A．81B．120C．168D．1928.已知向量等于（）A.30°B.45°C.60D.75°9.设函数f(x)＝x3－12x－2的零点为x0，则x0所在的区间是() A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)10.在中，角C为最大角，且，则是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．形状不确定11.要得到函数的图象，只要将函数的图象()A.向左平移单位B.向右平移单位C.向右平移单位D.向左平移单位12.已知,且,若恒成立,则实数的取值范围是()A.或B.或C.D.第Ⅱ卷（共90分）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上。
）13.函数的定义域是______________.14.已知，且为第二象限角，则的值为.15．已知满足约束条件，则的最小值是_________.16．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.其中真命题的序号是_____________．三．解答题：（本题共6小题，总70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）已知向量。
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邛崃市高2013届高三上期12月统一月考数学试题（文科）命题人：梁军 审题人：张全明一．本大题共12小题,每小题5分，共60分。
（每小题的四个选项只有一项是最符合题目要求的）. 1．已知集合{|13},{|2}A x x B x x =<≤=>，则R A C B 等于（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|23}x x <≤ C ．{|12}x x ≤≤ D ．{|13}x x ≤≤2．复数ii z +-=22（i 是虚数单位）的虚部是（ ）A ．i 4 B ．i 4-C ．4 D ．54-A ．)1,(--∞B ．),1(+∞C ．),1()1,1(+∞⋃-D ．),(+∞-∞ 4．等差数列{}n a 中，271512a a a ++=，则8a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6 5．右图是函数()()R x x A y ∈+=ϕωsin 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,6ππ上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将()R x x y ∈=sin 的图 象上所有的点（ ） A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变B ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变D ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变6．如右图，是一程序框图，则输出结果为( ) A ．49B ．511C ．1110 D ．6137．函数1ln |1|y x =+的大致图象为（ ）8．有下列四种说法： ①“若b a bm am<<则,22”的逆命题为真；②“命题q p ∨为真”是“命题q p ∧为真”的必要不充分条件；③命题“20,0x R x x ∃∈->使得”的否定是“2,0x R x x ∀∈-≤都有” ； ④若实数,[0,1]x y ∈,则满足: 122<+y x 的概率为4π. 其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3 吨、B 原料2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料1 吨、B 原料3 吨．销售每吨甲产品可获得利润 5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过13 吨，B 原料不超过18 吨，那么该企业可获得最大利润是( )A ．12 万元B ．20 万元C ．25 万元D ．27 万元10．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的偶函数，且在]0,(-∞上是增函数，设)2.0(),3(log)7(log 6.0214f c f b f a ===，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<11．已知M 是ABC ∆内的一点，且,30,32︒=∠=∙BAC AC AB 若MCA MBC ∆∆,和MAB ∆的面积分别为y x ,,21，则yx821+的最小值是（ ）20.A 18.B 25.C 19.D12．设定义在R 上的函数)(x f 是最小正周期为π2的偶函数，)('x f 是)(x f 的导函数，当],0[π∈x 时，1)(0<<x f ；当),0(π∈x 且2π≠x 时，0)(')2(>-x f x π，则函数x x f y sin )(-=在[]ππ2,2-上的零点个数为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．8第二部分(非选择题)二、填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上。
13．已知α是第二象限角，且==-ααπtan ,53)sin(则________14．将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 等于________．15．如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的表面积为________16．现有下列命题：①设,a b 为正实数，若221a b -=，则1a b -<；②,cos cos B b A a ，ABC =∆若中则ABC ∆是等腰三角形； ③数列2{(4)()}3nn n +中的最大项是第4项；④设函数lg |1|1()01x x f x x -≠⎧=⎨=⎩，，,则关于2()+2()0x f x f x =的方程有4个解；⑤若1sin sin 3x y +=，则2sin cos y x -的最大值是43。
其中的真命题有____________。
（写出所有真命题的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）设函数()sin cos f x m x x =+()x R ∈的图象经过点π2⎛⎫⎪⎝⎭，1． （I ）求()y f x =的解析式，并求函数的最小正周期（II ）若()12f A π=，其中A 2的锐角A B C ∆的内角，且2A B =，求边A C 的长.18.（本小题满分12分）某流感病研究中心对温差与甲型H1N1病毒感染数之间的相关关系进行研究，他们每天将实验室放入数量相同的甲型H1N1病毒和100只白鼠，然后分别记录了4月1日至4月5日每天昼夜温差与实验室里100只白鼠的感染数，得到如下资料：（1）求这5天的平均感染数；（2）从4月1日至4月5日中任取2天，记感染数分别为,x y 用(,)x y 的形式列出所有的基本事件, 其中(,)(,)x y y x 和视为同一事件,并求||9x y -≥的概率．19.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABC D A B C D -中，11AD AA ==，2A B =，点E 在棱AB 上移动．⑴ 证明：1BC //平面1A C D ； ⑵ 证明：1A D ⊥1D E ；⑶ 当E 为AB 的中点时，求四棱锥1E A C D -的体积。
20．（本小题满分12分）已知二次函数22)(+==t x x f y 在处取得最小值0)1()0(42=≠-f t t且。
(1)求)(x f y =的表达式；(2)若函数)(x f y =在区间[-1，12]上的最小值为5-，求此时t 的值。
22．（本小题满分14分）已知()ln f x x =，217()(0)22g x x m x m =++<，直线l 与函数()f x 、()g x 的图象都相切，且与函数()f x 的图象的切点的横坐标为1。
(Ⅰ)求直线l 的方程及m 的值；(Ⅱ)若()(1)()h x f x g x '=+-(其中()g x '是()g x 的导函数)，求函数()h x 的最大值；(Ⅲ)当0b a <<时，求证：()(2)2b a f a b f a a -+-<。
DCB A 1AB 11D 1邛崃市高2013届高三上期12月统一月考数学试题（文科）答案一、选择题13、43-14、60 15、12＋2 3 16、①③17. 解：（1） 函数()sin cos f x m x x =+()x R ∈的图象过点π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，1sin cos 122m ππ∴+= 1m ∴= --------2分()sin cos )4f x x x x π∴=+=+∴函数的最小正周期2T π=--------6分（2）因为()12f A π= 即()123f A ππ== ∴sin sin3A π=∵A 2A B C ∆的内角，∴3A π=--------9分233sin 21=⋅⋅=∆A AC AB S 3A C ∴=---------------12分18. 解：（1）这5天的平均感染数为2332242917255++++=； --------4分（2）(,)x y 的取值情况有(23,32),(23,24),(23,29),(23,17),(32,24),(32,29),(32,17),(24,29),(24,17),(29,17)基本事件总数为10。
--------8分设满足||9x y -≥的事件为A 。
则事件A 包含的基本事件为(23,32),(32,16),(28,16)， --------10分 所以3()10P A =．故事件||9x y -≥的概率为310． --------12分19、(1)证明：∵ ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体 ∴AB// D 1C 1，AB=D 1C 1， ∴AB C 1 D 1为平行四边形， ∴B C 1 // AD 1， ……2分又B C 1⊄平面ACD 1，AD 1⊂平面ACD 1， 所以BC 1//平面ACD 1. ……4分 (2) 证明：∵ AE ⊥平面AA 1D 1D ，A 1D ⊂平面AA 1D 1D ，∴ A 1D ⊥AE ， AA 1D 1D 为正方形，∴A 1D ⊥A D 1 ， ……6分 又A 1D∩AE =A ，∴A 1D ⊥平面AD 1E ，A 1D ⊂平面AD 1E ，∴A 1D ⊥D 1E ， ……8分 (3) 解：ΔA C E 11S =A EBC =22⨯⨯， ……10分111111113326E A C D D A E C A E C V V S D D --∆∴==⋅=⨯⨯=所以E-ACD 1的体积为16． ……12分20、(1)设f (x )＝a (x －t ＋22)2－t 24(a >0)．因为f (1)＝0，所以(a －1)t24＝0.又t ≠0，所以a ＝1，所以f (x )＝(x －t ＋22)2－t 24(t ≠0)．--------------5分(2)因为f (x )＝(x －t ＋22)2－t 24(t ≠0)，当t ＋22－1，即t <－4时，f (x )min ＝f (－1)＝(－1－t ＋22)2－t 24＝－5，所以t ＝－92；------7分当－1≤t ＋22≤12，即－4≤t ≤－1时，f (x )min ＝f (t ＋22)＝－t24＝－5，所以t ＝±25(舍去)； ----9分当t ＋2212，即t >－1时，f (x )min ＝f (12＝(12－t ＋22)2－t 24＝－5，所以t ＝－212(舍去)．------11分综上得，所求的t ＝－92。
--------------------12分21．（1）对任意*∈N n ，都有41211+=+n n b b ，所以)21(21211-=-+n n b b ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21n b 是等比数列，首项为3，公比为21，所以21)21(31+⨯=-n nb …………………… 5分 （2）因为21)21(31+⨯=-n n b ，所以2)211(62)2121211(312nn T nn n +-=+++++=- …………………… 7分因为不等式7221212-≥-+n T n k n，化简得nn k 272-≥对任意*∈N n 恒成立………… 8分设nn n nn nd d n d 229,2721-=--=+则，当n n d d n <≥+1,5时，{}n d 为单调递减数列，当n n d d n ><≤+1,51时，{}n d 为单调递增数列，………………………… 10分所以，，d n n3235取得最大值为时=所以要使nn k 272-≥对任意*∈N n 恒成立，323≥k …………………… 12分22．解析：解：(Ⅰ)1()f x x'=，(1)1f '∴=.∴直线l 的斜率为1，且与函数()f x 的图象的切点坐标为(1,0).∴直线l 的方程为1y x =-. …………………… 2分 又∵直线l 与函数()y g x =的图象相切, ∴方程组211722y x y x m x =-⎧⎪⎨=++⎪⎩有一解.由上述方程消去y ，并整理得22(1)90x m x +-+= ① 依题意，方程①有两个相等的实数根，[]22(1)490m ∴∆=--⨯=解之，得 4m =或2m =-0m < 2m ∴=-. ……………… 5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知217()222g x x x =-+，()2g x x '∴=-()ln(1)2(1)h x x x x ∴=+-+>- . …………………… 6分 1()111x h x x x -'∴=-=++ . …………………… 7分∴当(1,0)x ∈-时，()0h x '>，当(0,)x ∈+∞时，()0h x '<. ∴当0x =时，()h x 取最大值，其最大值为2. …………………… 9分 (Ⅲ) ()(2)ln()ln 2lnln(1)22a b b a f a b f a a b a a a+-+-=+-==+. ……… 11分0b a << ， 0a b a ∴-<-< ， 1022b aa-∴-<<.由(Ⅱ)知当(1,0)x ∈-时，()(0)h x h <∴当(1,0)x ∈-时，ln(1)x x +<，ln(1)22b a b a aa--∴+<. ∴()(2)2b a f a b f a a-+-<. ……………………… 14分。