苏州市2013届高三数学暑期自主学习调查卷
苏州市2013届高考数学模拟试卷及答案
苏州市2013届高考数学模拟试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上． 1．已知集合}5,3,1{=A ，集合},,2{b a B =，若{1,3}A B =I ，则b a +的值是 ．2．若复数z 满足(12)2i z i +=+，则z 的虚部为 ．3．右图是一个算法流程图．若输入5n =，则输出k 的值为 ．4．设函数2()log 12f x x =-的单调减区间是 ．5．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)元的同学有30人，则n 的值为 ．6．在线段AB 上任取一点P ，以P 为顶点，B 为焦点作抛物线，则该抛物线的准线与线段AB 有交点的概率是 ．7．已知函数1()()2ln ()f x a x x a x=--∈R ，若曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程是220x y --=，则a = ．8．设数列}{n a (n ∈*N )是等差数列.若2a 和2012a 是方程03842=+-x x 的两根，则数列}{n a 的前2013项的和=2013S ．元9．函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0,0A ω>>）在一个周期内的部分图象如图所示， 则()12f π的值是 .10．三棱锥S ABC -中，E ，F ，G ，H 分别为SA ，AC ，BC ，SB 的中点，则截面EFGH 将 三棱锥S ABC -分成两部分BGH AFE V -与SEH CFG V -的体积之比为 .11．在Rt ABC ∆中，90C ︒∠=，4,2AC BC ==，D 是BC 的中点，E 是AB 的中点，若P 是ABC ∆（包括边界）内任一点．则AD EP ⋅uuu r uu r的取值范围是___________.12．已知实数,,x y z 满足2221x y z ++=，则xy yz +的最大值是 .13．设数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，对于任意的n N +∈，2,,n n n a S a 成等差数列，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且2(ln )nn n x b a =，若对任意的实数(]1,x e ∈（e 是自然对数的底）和任意正整数n ，总有n T r <()r N +∈．则r 的最小值为 .14．如图，双曲线22221x y a b-=(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D ．则菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值12S S = .（第10题图）SACEHGF（第9题图）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤． 15．（本小题满分14分）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2=a ，13-=b ，且b 是c 2与A cos 的等比中项．（1）求A ，B ，C ；（2）若函数()sin(2)f x x ϕ=+（4ϕπ<）满足2)2(c C f =，求函数)(x f 的解析式及单调递减区间．16．（本小题满分14分）在等腰梯形PDCB (见图1）中，//DC PB ，33PB DC ==，DA PB ⊥，垂足为A ，将PAD ∆沿AD 折起，使得PA AB ⊥，得到四棱锥P ABCD -（见图2）．在图2中完成下面问题： （1）证明：平面PAD ⊥平面PCD ；（2）在线段PB 上是否存在一点M ，使//PD 平面AMC .若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.17．（本小题满分14分）如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD ，设2CD x =．（1）若用一种金属线条对梯形部件ABCD 镶边，求最少需要准备该金属线条多少米； （2）求梯形部件ABCD 面积的最大值．A B DP 图1ABDCPM图2B ACD O •18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，P 为椭圆上的一点，Q 为上顶点，M 在1PF 上，12F M MP =，2PO F M ⊥.（1）求当离心率12e =时的椭圆方程； （2）求满足题设要求的椭圆离心率范围； （3）当椭圆离心率最小时，若过(0,的直线l 与椭圆交于,A B （异于Q ），试问：AQB ∠是否为定值并给出证明. 19．（本小题满分16分）若在数列{}n a 中，11a =，且对任意的*k ∈N ，21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q . （1）若2k q =（*k ∈N ），求13521k a a a a -++++ .（2）若对任意的*k ∈N ，22122,,k k k a a a ++成等差数列，其公差为k d ，设11k k b q =-. ①求证：{}n b 成等差数列；②若12d =，试求数列{}k d 的前k 项和k D .20．（本小题满分16分）已知函数1()(2)(1)2ln ,().(,e xf x a x xg x xe a -=---=∈R 为自然对数的底数） （1）若函数1()(0,)2f x 在上无零点，求a 的最小值；（2）若对任意给定的(](]00,e ,0,e (1,2)i x x i ∈=在上总存在两个不同的，使得0()(),i f x g x a=成立求的取值范围.参考答案一、填空题1.42.35-3.34.1(,)2-∞5.1006.127.2 8.20139.10.1∶1 11.[9,9]-13.214.22二、解答题15．（1）根据题意得2222cos 22b c a b c A c bc+-=⋅=⋅，即2222b b c a =+-，解得c a =.∴cos B ==.∴6B π=，∴512A C π==. （2）∵()sin(2)f x x ϕ=+，2)2(c Cf =，512C π=，∴5sin()12ϕπ+=又∵4ϕπ<，∴5124ϕππ+=，6ϕπ=-，∴()sin(2)6f x x π=-.由222,262k x k k ππ3ππ+<-<π+∈Z ，可得单调递减区间为,,36k k k π5π⎛⎫π+π+∈ ⎪⎝⎭Z16．证明：（1）∵在图1的等腰梯形PDCB 中，PB DA ⊥，∴所以在四棱锥ABCD P -中，AB DA ⊥，又PA AB ⊥，且AB DC //，∴PA DC ⊥，DA DC ⊥， 而⊂DA 平面PAD ，⊂PA 平面PAD ，A DA PA = ， ∴⊥DC 平面PAD .∵⊂DC 平面PCD ， ∴平面⊥PAD 平面PCD .（2）当21=MB PM 时，有PD //平面AMC ． 证明：在梯形ABCD 中，连结AC 、BD 交于点O ，连结OM .易知AOB ∆∽DOC ∆，所以21==AB DC OB DO . 又21=MB PM ，所以MB PM OB DO =，所以在平面PBD 中，有MO PD //． 又因为⊄PD 平面AMC ，⊂MO 平面AMC ，所以PD //平面AMC .17．如图所示，以直径AB 所在的直线为x 轴，线段AB 中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，设(,)C x y ，过点C 作AB CE ⊥于E ，则(01)OE x x =<<，∴1EB x =-（1）∵221x y +=，∴CB =设ABCD 的周长为l ，则221)l x x =++<<. 下面只需要求l 的最大值.令t ，则222(0x t t =-<，A BD OPMB A CDO•E∴2242(1)55l t t t =-+=--+≤，即当1t =时，l 有最大值5. （2）11()()(22)(1)22S x AB CD CE x y x x =+⋅=+=+<< （方法1）()S x ==，令43221t x x x =--++，则32322'4622(231)2(1)(21)t x x x x x x =--+=-+-=-+-，令'0t =，12x =，当102x <<时，'0t >，当112x <<时，'0t <，所以当12x =时，t 有最大值2716，)(x S（方法2）21'()(1)2S x x =++=，令'()0S x =，∴2210x x +-=，(21)(1)0x x -+=，12x =.且当102x <<时，0)(>'x S ，当112x <<时，0)(<'x S ，所以当12x =时，()S x. （方法3）设COE θ∠=（02θπ<<），过点C 作CE AB ⊥于E ，则cos ,sin OE CE θθ==，11()()(22cos )sin (1cos )sin 22S AB CD CE θθθθθ=+⋅=+=+(0)2θπ<<，'()[(sin sin cos )]'(sin )'(sin cos )'S θθθθθθθ=+=+⋅22cos cos sin θθθ=+-22cos cos 1θθ=+-， 令'()0S θ=，得1co s 2θ=，即3θπ=，cos 1θ=-（舍），且当03θπ<<时，'()0S θ>，当32θππ<<时，'()0S θ<，所以当3θπ=时，()S θ18．（1）由题意11,2c c e a ===，得2a =，2223b a c ∴=-=,∴椭圆方程为22143x y +=. （2）（方法1）设00(,),(,)M M P x y M x y ，12(1,0),(1,0)F F -1(1,)M M F M x y ∴=+ ，00(,)M M MP x x y y =--．010122,2,22,M M M M x x x F M MP y y y +=-⎧=∴⎨=-⎩ 0021,332,3M M x x y y ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩∴200242(,)333F M x y =- ．20F M OP ⋅= ,2000242()0333x x y ∴-+=,2200020x x y ∴-+=2222200022(1)(1)(1)x x y b a a a=-=-- ,22001210x x a a ∴-+-=在(,]a a -上有解，22001210y x x a a =-+-= 对称轴是2x a =，2()0,()0,f a a a f a ->⎧>∴⎨≤⎩ ()0,()0,f a f a ->⎧∴⎨≤⎩02a ∴<≤112c e a a ∴==≥，01e << ,112e ∴≤<． （方法2）12221211(),23PO PF PF F M PM PF PF PF =+=-=-，由2PO F M ⊥得20PO F M ⋅=，121211()()023PF PF PF PF ∴+⋅-=，化简得：221122230PF PF PF PF -⋅-= ， 22112122||2||||cos 3||0PF PF PF F PF PF ∴-∠-= ,①在12F PF ∆中，由余弦定理,有222121212||||2||||cos 4PF PF PF PF F PF c ∴+-∠= ,②②-①得：2224||4PF c = ，即2||PF c = ,2||a c PF a c -≤≤+，2a c ∴≤，即12c e a =≥， 又01e <<，1[,1)2e ∴∈.（3）AQB ∠恒为直角．事实上，当e 最小时，即12e =，由（1）知椭圆方程为22143x y +=， 依题意可设AB所在直线方程为y kx =，代入椭圆方程得22576(34)049k x +--=， 设1122(,),(,),A x y B x y则12122576,49(34)x x x x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩Q ，1122(,,QA QB x y x y ∴⋅==1122(,,x kx x kx -=2121212192()49x x k x x x x +++=21212192(1)()49k x x x x +++=22576192(1)49(34)49k k -+++=2222576576192576768049(34)k k k k ---++=+， AQB ∴∠恒为直角.19．（1）2k q = ，21214k k a a +-∴=，∴13521,,k a a a a - 是首项为1，公比为4的等比数列， ∴13521141(41)143k kk a a a a --++++==-- . （2）① 2,2122,k k k a a a ++成等差数列，212222k k k a a a ++∴=+，又21222211,k k k k k k a a a a q q ++++==⋅ ，112k k q q +∴+=，则1111k kq q +-=-，得1111111k k k k q q q q +==+---，111111k k q q +∴-=--，即11n n b b +-=， {}n b ∴是公差为1的等差数列.②1322,2d a a =∴=+ ，则由223212a a a =⨯=+，解得22a =或21a =-. （ⅰ）当22a =时，12q =，11b ∴=，则1(1)1k b k k =+-⨯=，即11k k q =-， 得1k k q k +=，所以221221(1)k k a k a k +-+=， 则2121321121231k k k k k a a a a a a a a +-+--=⋅⋅⋅⋅ 2222222(1)21(1)(1)1k k k k k +=⋅⋅⋅⋅=+- ， ∴2212(1)(1)1k k k a k a k k k q k++===++，则212(3)1,;2k k k k k k d a a k D ++=-=+∴= （ⅱ）当21a =-时，11,q =-112b ∴=-，则13(1)122k b k k =-+-⨯=-，即1312k k q =--，得1232k k q k -=-， ∴2121321121231k k k k k a a a a a a a a +-+--=⋅⋅⋅⋅ 222222131()()()2221()()()222k k k k --=⋅⋅⋅⋅--- =214()2k -则212(21)(23)k k ka a k k q +==--，21242k k k d a a k +∴=-=-，从而22k D k =. 综上所述，(3)2k k k D +=或22k D k =． 20．（1）因为1()0(0,)2f x <在区间上恒成立不可能，故要使函数1()(0,)2f x 在上无零点，只要对任意的1(0,),()02x f x ∈>恒成立，即对12ln (0,),221xx a x ∈>--恒成立. 令2ln 1()2,(0,),12x l x x x =-∈-则2222(1)2ln 2ln 2()(1)(1)x x x x x l x x x --+-=-=--，再令 21()2ln 2,(0,)2m x x x x =+-∈，则22222(1)()0x m x x x x --'=-+=<，故()m x 在1(0,)2上为减函数，于是1()()22ln 202m x m >=->，从而()0l x >，于是()l x 在1(0,)2上为增函数，综上，若函数1()(0,)2f x 在上无零点，则a 的最小值为24ln 2-．（2）111()e e (1)e ,x x x g x x x ---'=-=-当(0,1)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当(]1,e x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，又因为1e (0)0,(1)1,(e)e e 0g g g -===⋅>，所以，函数(](]()0,e 0,1.g x 在上的值域为当2a =时，不合题意；当2a ≠时，2(2)()2(2)22()2a x a x a f x a x xx-----'=--==，(]0,x e ∈，令()0f x '=，得22x a =-，由题意得，()f x 在(]0,e 不单调，故220e,22ea a <<<--即①此时，当,(),()x f x f x '变化时的变化情况如下：又因为，当0x →时，()f x →+∞，()2ln 22f a a a=---， ()(2)(e 1)2f e a =---，所以，对任意给定的(]00,e x ∈，在(]0,e e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得0()()i f x g x =成立，当且仅当a 满足下列条件：23222ln 0,()0,22(2)(1)2 1.()1,a f a aa e f e ⎧⎧-≤≤⎪⎪--⎨⎨⎪⎪---≥≥⎩⎩即 令22()2ln,(,2)2eh a a a a =-∈-∞--，则 2()12[ln 2ln(2)]122ah a a a a ''=---=-=--，()0h a '=令得02a a ==或，故当(,0)a ∈-∞时，()0h a '>，函数()h a 单调递增；当2(0,2)ea ∈-时，()0h a '<，函数()h a 单调递减，所以对任意的2(,2)e a ∈-∞-有()(0)0h a h ≤=，即②对任意2(,2)ea ∈-∞-恒成立.由③式解得：32.e 1a ≤--④ 综合①④可知，当(]03,2,0,e ,e 1a x ⎛⎤∈-∞-∈ ⎥-⎝⎦时对任意给定的在(]0,e (1,2),i x i =上总存在两个不同的使0()()i f x g x =成立.。
数学-苏州中学2013届高三三模数学试题 Word版含答案
开始结束20<z是输出xy否（第9题图）x ←1, y ←1 z ←x + yx ←y y ←z苏州中学2013届高三“三模”数学试卷2013.5一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1．设集合}6,5,4,3,2,1{=U ,}4,2,1{=M ,则=M C U ▲ ． 2．记),()21(2R b a bi a i ∈+=+，则点),(b a P 位于第 ▲ 象限． 3．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：分组[1.5,3.5) [3.5,5.5) [5.5,7.5) [7.5,9.5) [9.5,11.5)频数614162010根据样本的频率分布估计，数据落在[5.5，9.5)的概率约是 ▲ .4．已知向量(cos ,sin )a θθ= ，向量(3,1)b = ，则2a b -的最大值为 ▲ ．5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列正确命题的序号是 ▲ ．①.若n m //，β⊥m ， 则 β⊥n ； ②.若n m //，β//m ， 则 β//n ； ③. 若 α//m ，β//m ，则 βα//； ④.若α⊥n ，β⊥n ，则 βα⊥． 6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线243y x =的焦点重合，则该双曲线的方程为 ▲． 7．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，63k S =，则k =__▲___． 8．若变量,x y 满足约束条件1133x y x y x y -≥-⎧⎪⎪+≥⎨⎪-≤⎪⎩,则目标函数23z x y =+的最小值是___▲___．9．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 ▲ ． 10．已知ααcos 21sin +=，且)2,0(πα∈，则)4sin(2cos παα-的值为____▲____．11．已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩ 若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．12．四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为1的正方形，ABCD PA ⊥，2=PA ，则该球的体积为 ▲． 13．在ABC ∆中，已知9=⋅AC AB ，C A B sin cos sin ⋅=，6=∆ABC S ，P 为线段AB 上的点，且||||CB CB y CA CA x CP ⋅+⋅=，则xy 的最大值为 ▲ ．14．我们把形如()0,0>>-=b a ax by 的函数称为“莫言函数”，并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点”为圆心凡是与“莫言函数”图象有公共点的圆，皆称之为“莫言圆”．当1=a ，1=b 时，在所有的“莫言圆”中，面积的最小值 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）函数)0(3sin 32cos6)(2>-+=ωωωx xx f 在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形.(Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的值域； (Ⅱ)若083()5f x =,且0102(,)33x ∈-,求0(1)f x +的值.16．（本小题满分14分）直三棱柱111C B A ABC -中，a BC BB AB ===211，︒=∠90ABC ，N 、F 分别为11C A 、11C B 的中点．（Ⅰ）求证：⊥CF 平面NFB ； （Ⅱ）求四面体BCN F -的体积．17．（本小题满分14分）如图，某农业研究所要在一个矩形试验田ABCD 内种植三种农作物，三种农作物分别OxyMN种植在并排排列的三个形状相同、大小相等的矩形中．试验田四周和三个种植区域之间设有1米宽的非种植区．已知种植区的占地面积为800平方米．（1）设试验田ABCD 的面积为S ，x AB =，求函数)(x f S =的解析式； （2）求试验田ABCD 占地面积的最小值．18．（本小题满分16分）已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 过点)3,2(，且它的离心率21=e ．直线t kx y l +=:与椭圆1C 交于M 、N 两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）当23=k 时，求证：M 、N 两点的横坐标的平方和为定值； （Ⅲ）若直线l 与圆1)1(:222=+-y x C 相切，椭圆上一点P 满足OP ON OM λ=+，求实数λ的取值范围． 19．（本小题满分16分）已知数列}{n a ，{}n b ，且满足1n n n a a b +-=（1,2,3,n = ）.（1）若10,2n a b n ==，求数列}{n a 的通项公式；（2）若11(2)n n n b b b n +-+=≥，且121,2b b ==.记61(1)n n c a n -=≥，求证：数列{}n c 为常数列；（3）若11(2)n n n b b b n +-=≥，且11a =,121,2b b ==.求数列{}n a 的前36项和36S ．20．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝13x 3＋1－a 2x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a ＞0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a 的取值范围；(3)当a ＝1时，设函数f (x )在区间[t ，t ＋3]上的最大值为M (t )，最小值为m (t )，记g (t )＝M (t )－m (t )，求函数g (t )在区间[－3，－1]上的最小值． 答题纸一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 成绩1． 2． 3． 4． 5．6． 7． 8． 9． 10．…………题………………11．12．13．14．二、解答题（本大题共6小题，计90分）15．16．17．OxyMN18． 19．20.数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 答．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分） 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，设ED 与AF 相交于点G ，若B ，C ，F ，E 四点共圆，求证：AG GF DG GE ⋅=⋅．B ．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵⎢⎣⎡=c M 1⎥⎦⎤2b 有特征值41=λ及对应的一个特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=321e ，求曲线148522=++y xy x 在M 的作用下的新曲线方程．GF E DC B A （第21—A 题图）C ．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为122322x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），若以直角坐标系xOy的O 点为极点，Ox 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=-．直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求AB ．D ．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）设2()13f x x x =-+，实数a 满足1x a -<，求证：()()2(1)f x f a a -<+．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在某社区举办的《有奖知识问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答某一道题，已知甲回答对这道题的概率是34，甲、丙二人都回答错的概率是112，乙、丙二人都回答对的概率是41． （Ⅰ）求乙、丙二人各自回答对这道题的概率； （Ⅱ）设乙、丙二人中回答对该题的人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 23．（本小题满分10分）已知数集},,,{21n a a a A ⋅⋅⋅=，其中n a a a <⋅⋅⋅<<≤210，且3≥n ，若对j i ,∀（n j i ≤≤≤1），i j a a +与i j a a -两数中至少有一个属于A ，则称数集A 具有性质P ． （Ⅰ）分别判断数集}3,1,0{与数集}6,4,2,0{是否具有性质P ，说明理由； （Ⅱ）已知数集{}821a a a A ,,, =具有性质P ．①求证：0A ∈；②判断数列821a a a ,,, 是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由． 数学Ⅱ(附加题)A ．[选修4 - 1：几何证明选讲]B ．[选修4 - 2：矩阵与变换]级___________ 姓名_____________…………内……………不……………要……………答……………题………………GFEDCB A （第21—A 题图）C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]D．[选修4 - 5：不等式选讲]22．23．参考答案1．}6,5,3{ 2．二 3．116 4．4 5．① 6．1222=-y x 7．68．2 9．13810．214-11．2a < 12．34π 13．3 14．π3 15．(Ⅰ)由已知可得: )0(3sin 32cos6)(2>-+=ωωωx xx f=3cos ωx+)3sin(32sin 3πωω+=x x又由于正三角形ABC 的高为23,则BC=4 所以,函数482824)(πωωπ===⨯=，得，即的周期T x f所以，函数]32,32[)(-的值域为x f …………………………………………7分(Ⅱ)因为，由538)(0=x f (Ⅰ)有 ，538)34(sin 32)(00=+=ππx x f 54)34(sin 0=+ππx 即 由x 0)2,2()34x (323100ππππ-∈+-∈），得，（所以,53)54(1)34(cos 20=-=+ππx 即 故=+)1(0x f =++)344(sin 320πππx ]4)34(sin[320πππ++x)22532254(324sin)34cos(4cos)34([sin 320⨯+⨯=+++=ππππππx x567=． …………………………………………14分 16．(Ⅰ)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,B 1B ⊥AB , BC ⊥AB ,又B 1B BC =B ，∴AB ⊥平面BB 1C 1C .又Ｎ、Ｆ分别为A 1 C 1、B 1 C 1的中点∴AB ∥A 1B 1∥NF . ∴NF ⊥平面BB 1C 1C .因为FC ⊂平面BB 1C 1C .所以NF ⊥FC . 取BC 中点G ，有BG =GF =GC .∴BF ⊥FC ，又 NF FB =F ， ∴FC ⊥平面NFB . ··················································································· 7分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 11NF BCC B ⊥平面,111122NF A B a ==, NF BB BC NF S V V BCF BCF N BCN F ⋅⋅⋅⋅=⋅==∆--121313136121261a a a a =⋅⋅⋅=． …………………………………………14分 17．解：(1)设ABCD 的长与宽分别为x 和y ，则800)2)(4(=--y x ……………………………………2分 42792-+=x xy ……………………………………4分试验田ABCD 的面积==xy S 4)2792(-+x xx ……………………………………6分(2令t x =-4，0>t ，则32002808S t t=++， …………………………………9分 968≥ …………………………………11分当且仅当tt 32002=时，40=t ，即44=x ，此时，22=y ． …………13分 答: 试验田ABCD 的长与宽分别为44米、22米时，占地面积最小为968米2. …………14分18．解：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a b y a x由已知得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===+2222221134b ac a c b a ，解得 ⎪⎩⎪⎨⎧==6822b a所以椭圆的标准方程为：16822=+y x ………………………………4分 (Ⅱ) 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=1682322y x t x y ，得024434622=-++t tx x ，设),(11y x M ，),(22y x N ，则862442)634(2)(22212212221=-⋅--=-+=+t t x x x x x x ，为定值．…………9分（Ⅲ）因为直线t kx y l +=：与圆1)1(22=+-y x 相切 所以，)0(1211||22≠-=⇒=++t tt k k k t把t kx y +=代入16822=+y x 并整理得：02448)43(222=-+++t ktx x k 设),(,),(2211y x N y x M ，则有 221438k ktx x +-=+22121214362)(ktt x x k t kx t kx y y +=++=+++=+ 因为，),(2121y y x x OP ++=λ， 所以，⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-λλ)43(6,)43(822k t k ktP 又因为点P 在椭圆上， 所以，1)43(6)43(8222222222=+++λλk t k t k11)1(2432222222++=+=⇒tt k t λ． 因为 02>t 所以 11)1()1(222>++t t ，所以 202<<λ，所以λ的取值范围为 )2,0()0,2(⋃-． …………………………16分19，解：（Ⅰ）2n a n n =-． …………………………………………4分 （Ⅱ）先证30n n b b ++=，即6360n n b b ++=，………………………………………7分然后165616362()0n n n n n n C C a a b b ++-+-=-=+= ，数列{}n c 为常数列…………………10分 （Ⅲ）36795S= …………………………16分20．解：(1)f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a )．由f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝a ＞0.当x 变化时f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，a ) a (a ，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) 极大值 极小值故函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(a ，＋∞)；单调递减区间是(－1，a )．(5分) (2)由(1)知f (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＜0，f (－1)＞0，f (0)＜0，解得0＜a ＜13.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，13.(8分) (3)a ＝1时，f (x )＝13x 3－x －1.由(1)知f (x )在[－3，－1]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增．①当t ∈[－3，－2]时，t ＋3∈[0,1]，－1∈[t ，t ＋3]，f (x )在[t ，－1]上单调递增，在[－1，t ＋3]上单调递减．因此f (x )在[t ，t ＋3]上的最大值M (t )＝f (－1)＝－13，而最小值m (t )为f (t )与f (t ＋3)中的较小者．由f (t ＋3)－f (t )＝3(t ＋1)(t ＋2)知，当t ∈[－3，－2]时，f (t )≤f (t ＋3)，故m (t )＝f (t )，所以g (t )＝f (－1)－f (t )．而f (t )在[－3，－2]上单调递增，因此f (t )≤f (－2)＝－53.所以g (t )在[－3，－2]上的最小值为g (－2)＝－13－⎝⎛⎭⎫－53＝43.(12分) ②当t ∈[－2，－1]时，t ＋3∈[1,2]，且－1,1∈[t ，t ＋3]． 下面比较f (－1)，f (1)，f (t )，f (t ＋3)的大小． 由f (x )在[－2，－1]，[1,2]上单调递增，有 f (－2)≤f (t )≤f (－1)， f (1)≤f (t ＋3)≤f (2)．又由f (1)＝f (－2)＝－53，f (－1)＝f (2)＝－13，从而M (t )＝f (－1)＝－13，m (t )＝f (1)＝－53.所以g (t )＝M (t )－m (t )＝43.综上，函数g (t )在区间[－3，－1]上的最小值为43.21．A 证明：连结EF ．∵B C F E ,,,四点共圆,∴ABC EFD ∠=∠． ∵AD ∥BC ，∴BAD ABC ∠+∠=180°． ∴BAD EFD ∠+∠=180°． ∴A D F E ,,,四点共圆． ∵ED 交AF 于点G ，∴AG GF DG GE ⋅=⋅． …10分 21．B 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡1283221b c ，即832=+b ，1262=+c ，2=b ，3=c ， 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2231M ．设曲线上任一点),(y x P ，P 在M 作用下对应点),(///y x P ， 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡y x y x 2321//，即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=yx y y x x 232//，解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=432////y x y x y x ， 代入148522=++y xy x ，得22/2/=+y x．即曲线148522=++y xy x 在M 的作用下的新曲线方程是222=+y x ．…………………10分 21．C l 的直角坐标方程为232y x =+，2cos()4πρθ=-的直角坐标方程为2222()()122x y -+-=， 所以圆心22,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭到直线l 的距离64d =，102AB ∴= …………………10分 21．D 证：13)(2+-=x x x f ，|||)()(|22a a x x a f x f +--=-∴1=-⋅+-x a x a 1<+-x a ，又1()21+-=-+- x a x a a 21≤-+-x a a 1212(1)<++=+a a ．………………10分22．解：（Ⅰ）设甲、乙、丙回答对这道题分别为事件A 、B 、C ，则43)(=A P ，且有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,41)()(,121)()(C P B P C P A P 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--.41)()(,121)](1)[431(C P B P C P 解得83)(=B P ，32)(=C P ． …………………4分 （Ⅱ）由题意，2,1,0=X ．41)2(==X P ，2453185)()()0(=⨯===C P B P X P ． 2413)2()0(1)1(==-=-==X P X P X P ． 所以随机变量X 的分布列为2425412241312450)(=⨯+⨯+⨯=X E ． …………………10分 23．解：（Ⅰ）由于13-和13+都不属于集合{}310,,，所以该集合不具有性质P ；由于02+、04+、06+、24+、26-、46-、00-、22-、44-、66-都属于集合{}6420,,,，所以该数集具有性质P ． ………………………………………4分（Ⅱ）①},,,{821a a a A ⋅⋅⋅= 具有性质P ，所以88a a +与88a a -中至少有一个属于A ， 由8210a a a <⋅⋅⋅<<≤，有888a a a >+，故A a a ∉+88，A a a ∈-=∴880， 故01=a ． ………………………………………4分②8210a a a <⋅⋅⋅<<= ，88a a a k >+∴，故)8,,3,2(8⋅⋅⋅=∉+k A a a k ． 由A 具有性质P 知，)8,,3,2(8⋅⋅⋅=∈-k A a a k ， 又18287888a a a a a a a a -<-<⋅⋅⋅<-<- ，818728278188,,,,a a a a a a a a a a a a =-=-⋅⋅⋅=-=-∴，即)8,,2,1(89⋅⋅⋅==+-i a a a i i ……①由872a a a =+知，73a a +，74a a +，…，，77a a +均不属于A ， 由A 具有性质P ，37a a -，47a a -，…，，77-a a 均属于A ，3837476777a a a a a a a a a a -<-<-<<-<-∴ ，而638=-a a ，077=-∴a a ，267a a a =-，357a a a =-，…，537a a a =-即),,,(72178 ==+-i a a a i i……②由①②可知),,,)((82117898 =--=-=--i a a a a a a i i i ，即781a a a a i i -=--（8,,3,2⋅⋅⋅=i ）．故821a a a ,,, 构成等差数列．………………10分。
2013江苏高考数学模拟试卷3-参考答案
犛 ０ １ １ 犪 ２ ０ １ １ ＝２ １＋ 烄 烅 犪 犪 ０ ０ ７ 犱＝７ １ ０ ０ ８＝ １ ＋１ 烆
｛
｛
２ ０ １ ３×２ ０ １ ２ ２ ０ １ ３×２ ０ １ ２ ） vw ， ×犱＝２ ×４＝６ ０ ３ ９． 犛 ０ １ ３ 犪 ０ １ ３× （ －４ ０ ２ １ ＋ ２ ０ １ ３ ＝２ １＋ ２ ２ ， 】 (÷ø# ４ + ±２， vw ω＝ ， ! 狓） 犃＝２， 【 1~^w3ö 犳（ π （２狓＋ ４π） ２ １ １ ３ π， ， 1Ùùt®^3 １ × π ＋ y φ＝３ vw 犳（ 狓） ＝２ ｓ ｉ ｎ（ 狓＋ ＝π， 狓） ＝２ ｓ ｉ ｎ（ 狓＋ π） ． 犳（ φ） ４ ２ ２ ２ φ ２ ４ ８． 狓） ＝２ ｓ ｉ ｎ 犳（ １ ３ １
３ ２ （ ３ ２ ＋ ＝２ 犿＋３ 狀） ＋ 犿 狀 犿 狀
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· y ＋ (# ２ ＋１ ２＝２ ４， ４． 犿 狀 犿 狀 槡
→ ＝ → → 】 １ ３． ５ 【 犆＝ 犆－ 犈犎 λ犈 λ犃
λ → ， λ→ → ＝犃 → → ＝１－ → 犃 犅 犃犎 犈＋犈犎 犃 犅＋ 犆， λ犃 ３ ３
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江苏省苏州市高三数学暑假自主学习测试试题 理 新人教A版
参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 1.已知集合{|1}A x x =≤，{|0}B x x =>，则AB = .2.设x R ∈，向量(,1),(3,2)x ==-a b 且⊥a b ，则x = ．3.设复数z 满足12zi i =+(i 为虚数单位），则z = .． 5【解析】试题分析：由12zi i =+，得122iz i i+==-，所以222(1)5z =+-=考点：复数的四则运算，复数模的概念.4.若2x >，则12x x +-的最小值为 ．5.样本数据18，16，15，16，20的方差2s＝.6.已知双曲线221(0)yx mm-=>的离心率为2，则m的值为 ___ ___．7.根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为___ ___.【答案】 9 T←1i←3 While T <10 T←T +ii←i+2 End While Print i8.已知函数nmy x=,其中,m n是取自集合{1,2,3}的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为_____．9.已知实数,x y满足不等式组0,0,26,312xyx yx y≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，则2z x y=+的最大值是．【答案】425【解析】试题分析：不等式表示的平面区域如图所示为四边形AOBP及其内部，z的几何意义为直线2z x y=+在y轴上的截距，由图可知，当直线2z x y=+经过点P时，截距最大，解方程26,312x yx y+≤⎧⎨+≤⎩得186(,)55P，所以max186422555z=⨯+=.考点：简单的线性规划.10.已知函数2, 0,()2, 0x x f x x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则满足()1f x <的x 的取值范围是______．11.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在11,AA CC 上，且134AE AA=，113CF CC =，点,A C 到BD 的距离之比为3:2，则三棱锥E BCD -和F ABD -的体积比E BCD F ABDVV --= .【答案】3212.已知P 是直线:40(0)l kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ．若四边形PACB 的最小面积为2，则k = ．13.已知函数()3sin()(0)6f x x πωω=->和()2cos(2)(0)g x x ϕϕπ=+<<的图象的对称轴完全相同，则()3g π的值是 ．【答案】－2 【解析】试题分析：由两函数的图象的对称轴完全相同知2ω=，()3sin(2)6f x x π=-图象的一条对称轴为3x π=，所以cos(2)1(0)3πϕϕπ⋅+=±<<，得3πϕ=，所以()2cos(2)2333g πππ=⨯+=-.考点：三角函数的图象与性质.14.已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为______.二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin )A A =-m ，(cos ,sin )B B =n ，cos2C ⋅=m n ，其中,,A B C 为ABC ∆的内角．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若6AB =，且18CA CB ⋅=，求,AC BC 的长． 【答案】（Ⅰ）3C π=；（Ⅱ）6,6AC BC ==.【解析】试题分析：（Ⅰ）对cos2C ⋅=m n 进行化简，可求cosC 的值，进而求出角C ；（Ⅱ）先求16.（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，2AB =，1BC =，,E F 分别是,AB PC的中点，DE PA ⊥．（Ⅰ）求证：EF平面PAD ；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）要证线面平行，先找线线平行；（Ⅱ）要证线面垂直，先证线面垂直，于是需找出图形中的线线垂直关系，以方便于证明面面垂直.AG FG，试题解析：（Ⅰ）取PD中点G，连,又=，⊥，PA AC ADE PA所以DE⊥平面PAC．……………… 12分又DE⊂平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE．……………… 14分考点：直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理.17.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n N *∈满足2(1)n n n S a a =+，且0n a ≠． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11, 32 1 n n n a a n c n -+⎧⎪=⎨⨯+⎪⎩为奇数，为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．考点：等差数列、等比数列.18.（本小题满分16分）如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线1l 排，在路南侧沿直线2l 排，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通．已知60AB m =，80BC m =，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成的小于90︒的角为α．（Ⅰ）求矩形区域ABCD 内的排管费用W 关于α的函数关系式；（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角α．故有60tan MF α=，60cos EF α=，8060tan AE FC α+=-．………………… 4分 所以60(8060tan )12cos W αα=-⨯+⨯ … 5分60sin 12080cos cos ααα=-+60(sin 2)80cos αα-=-． ………… 8分（Ⅱ）设sin 2()cos f ααα-=(其中0040,tan 23πααα≤≤<=)，19.（本小题满分16分） 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴两端点分别为,A B ，000(,)(0)P x y y >是椭圆上的动点，以AB 为一边在x 轴下方作矩形ABCD ，使(0)AD kb k =>，PD 交AB 于点E ，PC 交AB 于点F ．（Ⅰ）如图（1），若1k =，且P 为椭圆上顶点时，PCD ∆的面积为12，点O 到直线PD 的距离为65，求椭圆的方程；（Ⅱ）如图（2），若2k =，试证明：,,AE EF FB 成等比数列．得100()(2)2()x a y b b x a ++=+，0102()2b x a x a y b +∴+=+，即002()2b x a AE y b+=+．…… 9分由,,C F P 三点共线，及200(,2),(,2)CF x a b CP x a y b =-=-+， 得200()(2)2()x a y b b x a -+=-，0202()2b a x a x y b -∴-=+，即002()2b a x FB y b-=+．…… 11分20.（本小题满分16分）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”． （Ⅰ）已知二次函数2()24()f x ax x a a R =+-∈，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；（Ⅱ）若()2x f x m =+是定义在区间[1,1]-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）是，理由详见解析；（Ⅱ）5[,1]4m ∈--；（Ⅲ）1322m ≤≤ 【解析】试题分析：（Ⅰ）判断方程()()0f x f x +-=是否有解；（Ⅱ）在方程()()0f x f x +-=有解时，通过分离参数求取值范围；（Ⅲ）在不便于分离参数时，通二次函数的图象判断一元二次方程根的分布. 试题解析：()f x 为“局部奇函数”等价于关于x 的方程()()0f x f x +-=有解．5分从而222280t mt m -+-=在[2,)+∞有解即可保证()f x 为“局部奇函数”．……… 11分令22()228F t t mt m =-+-，1° 当(2)0F ≤，222280t mt m -+-=在[2,)+∞有解，附加题 注意事项：1．本试卷共2页，满分40分，考试时间30分钟．2．请将解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效． 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置．21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在．．相应的答题区域．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）已知：如图，点,,A P B 在O 上，90APB ︒∠=，PC 平分APB ∠，交O 于点C ．求证：ABC ∆为等腰直角三角形．APBOB ．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵20 01⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1125-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵1-A B 【答案】11 2225⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：先用待定系数法求出1A-，再求出1-A B .试题解析：设矩阵A 的逆矩阵为 a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2010 0101a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………… 1分即C ．选修4—4：坐标系与参数方程 (本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为225ρ=，曲线C '的极坐标方程为4cos ρθ=．试求曲线C 和C '的直角坐标方程，并判断两曲线的位置关系．D ．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）设实数,a b 满足a b ≠，求证：4422()a b ab a b +>+．22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 上任意一点到点1(0,)2M 的距离与到直线12y =-的距离相等． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设11(,0)A x ，22(,0)A x 是x 轴上的两点12120,0x x x x +≠≠，过点12,A A 分别作x 轴的垂线，与曲线C 分别交于点12,A A ''，直线12A A ''与x 轴交于点33(,0)A x ，这样就称12,x x 确定了3x ．同样，可由23,x x 确定了4x ．现已知126,2x x ==，求4x 的值． 【答案】（Ⅰ）22x y =；（Ⅱ）67. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据抛物线的定义及标准方程求解；（Ⅱ）先由12,x x 求3x ，再由23,x x 求4x .23.（本小题满分10分）设,a b 为实数，我们称(,)a b 为有序实数对．类似地，设,,A B C 为集合，我们称(,,)A B C 为有序三元组．如果集合,,A B C 满足||||||1AB BC C A ===，且A B C =∅，则我们称有序三元组(,,)A B C 为最小相交（||S 表示集合S 中的元素的个数）． （Ⅰ）请写出一个最小相交的有序三元组，并说明理由；（Ⅱ）由集合{1,2,3,4,5,6}的子集构成的所有有序三元组中，令N 为最小相交的有序三元组的个数，求N 的值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）7680. 【解析】。
江苏省2013届最新高三数学(精选试题26套)分类汇编11 统计
江苏省2013届高三最新数学（精选试题26套）分类汇编11：统计一、填空题1 ．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学））如图是一次考试结果的频率分布直方图,若规定60分以上(含60)为考试合格,则这次考试的合格率为________.频率组距0.0240.0120.0080.0040.002O 20 40 60 80 100 分数/分【答案】72%2 ．（江苏省常州市横山桥中学2013年高考数学冲刺模拟试卷doc）某工厂对一批产品进行抽样检测,根据抽样检测后的产品净重(单位:g)数据绘制的频率分布直方图如图所示,已知产品净重的范围是区间[96,106],样本中净重在区间[96,100)的产品个数是24,则样本中净重在区间[98,104)的产品个数是_____.【答案】603 ．（江苏省常州市金坛市第一中学2013年高考冲刺模拟试卷）某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计,得到样本频率分布直方图如下图所示,现规定不低于70分为合格,则合格人数是________.【答案】 600 ;4 ．（2013年江苏省高考数学押题试卷）小李拟将1,2,3,, n 这n 个数输入电脑, 求平均数, 当他认为输入完毕时, 电脑显示只输入n -1个数, 平均数为3557, 假设这n -1个数输入无误,则漏输的一个数是_______. 【答案】设删去的一个数是x ,则1≤x ≤n , 则删去的一个数是1,则平均数不减, 平均数为n (n ＋1)2－1n －1=n ＋22,删去的一个数是n ,则平均数不增, 平均数为n (n ＋1)2－n n －1=n 2, 所以n 2≤3557≤n ＋22, 69<n ≤71.当n =71时, n (n ＋1)2－x n －1=3557,解得x =56,当n =70时无解,所以x =56.5 ．（江苏省南通市海门中学2013届高三下学期5月月考数学试卷）已知12321,21,21,,21n x x x x ++++的方差是3,则123,,,,n x x x x 的标准差为____. 【答案】 32. 6 ．（江苏省常州高级中学2013年高考数学模拟试卷）根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》(GB19522—2004)中规定车辆驾驶人员血液酒精含量:“饮酒驾车非醉酒驾车”的临界值为20mg/100ml;“醉酒驾车”的临界值为80mg/100ml.某地区交通执法部门统计了5月份的执法记录数据:根据此数据,可估计该地区5月份“饮酒驾车” 发生的频率等于________. 【答案】 0.09;7 ．（江苏省南通市通州区姜灶中学2013届高三5月高考模拟数学试题 ）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[]1,450的人做问卷A ,编号落入区间[]451,750的人做问卷B ,其余的人做问卷C .则抽到的人中,血液酒精含量（单位：mg/100ml ） 0~20 20~40 40~60 60~80 80~100 人数 180 11 5 2 2做问卷B 的人数为____.【答案】108 ．（江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）某个车间生产了一批零件,其中规格为10cm 的有5件,规格为15cm 的有6件,规格为20cm 的有5件,则该组数据的方差为__________. 【答案】8125 9 ．（江苏省常州市华罗庚高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）某单位有职工52人,现将所有职工按l 、2、3、、52随机编号,若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知6号、32号、45号职工在样本中,则样本中还有一个职工的编号是_________.【答案】1910．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）某射击运动员在四次射击中分别打出了10,x ,10,8环的成绩,已知这组数据的平均数为9,则这组数据的方差是__________.【答案】111．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（1））在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数,若样本容量为1600, 则中间一组(即第五组)的频数为__.【答案】360;12．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）已知样本7,8,9,,x y 的平均数是8,且60xy ,则此样本的标准差是________.【答案】213．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）样本中共有5个个体,其中四个值分别为0,1,2, 3,第五个值丢失,但该样本的平均值为1,则样本方差为=_________.【答案】2 .14．（南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）为了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区100名高三男生的体重. 根据抽样测量后的男生体重(单位:kg)数据绘制的频率分布直方图如图所示,则这100名学生中体重值在区间[56.5,64.5)的人数是_____.样本数据频率组距10第题图（第5题）【答案】40。
江苏省2013届高三最新数学(精选试题26套)分类汇编2：函数 Word版含答案.pdf
江苏省2013届高三最新数学（精选试题26套）分类汇编2：函数 一、填空题 ．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）定义在R上的奇函数f(x),当x∈(-∞,0)时,f(x)=x2+2x-1,则不等式f(x)<-1的解集是______. 【答案】(-2,0)∪(1+,+∞) ．（南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）设函数f(x)的定义域为D,如果(x∈D,(y∈D,使=C(C为常数)成立,则称函数f(x)在D上的“均值”为C. 已知四个函数:①y=x3 (x∈R);②y=()x (x∈R);③y=lnx (x∈(0,+∞));④y=2sinx+1 (x∈R). 上述四个函数中,满足所在定义域上“均值”为1的函数是_____.(填满足要求的所有的函数的序号) 【答案】①③④ ．（江苏省常州市西夏墅中学2013年高考冲刺模拟试卷）某同学为研究函数的性质,构造了如右图所示的两个边长为1的正方形和,点是边上的一个动点,设,则. 请你参考这些信息,推知函数的零点的个数是_______. 【答案】2个 ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）定义在 上的函数 ;当若;则的大小关系为______________. 【答案】 ．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）(),如果 (),那么的值是______. 【答案】 . ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（1））若方程仅有一个实根,那么的取值范围是____ 【答案】或; ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（2））已知为奇函数,_____ 【答案】 ．（江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）已知奇函数的图像关于直线对称,当时,,则=________._ 【答案】 ．（江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）已知函数,若在任意长度为2的闭区间上总存在两点,使得成立,则的最小值为_____________. 【答案】 ．（武进区湟里高中2013高三数学模拟试卷）给出四个函数:①;②;③;④,则下列甲、乙、丙、丁四个函数图象对应上述四个函数分别是_____________(只需填序号). 甲 乙 丙 丁 【答案】解析:④,①,②,③ ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（3））设且若定义在区间内的函数是奇函数,则的取值范围是_______. 【答案】 ．（江苏省常州市金坛市第一中学2013年高考冲刺模拟试卷）设函数,则方程的实数解的个数为_________. 【答案】 3 ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（2））设定义域为R的函数若关于的方程有8个不同的实数根,则实数b的取值范围是_______.【答案】 ．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）从轴上一点A分别向函数与函数引不是水平方向的切线和,两切线、分别与轴相交于点B和点C,O为坐标原点,记△OAB的面积为,△OAC的面积为,则+的最小值为______. 【答案】8 提示:,设两切点分别为,,(,),:,即,令,得;令,得.:,即,令,得;令,得.依题意, ,得, +===,=,可得当时,有最小值8.．（江苏省南通市通州区姜灶中学2013届高三5月高考模拟数学试题 ）函数的单调减区间是________. 【答案】 ．（江苏省常州市横山桥中学2013年高考数学冲刺模拟试卷doc）已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调增函数.若f(1)<f(lnx),则x的取值范围是_____. 【答案】(0, )∪(e, +∞) ．（江苏省常州市金坛四中2013年高考数学冲刺模拟试卷doc）设实数,若仅有一个常数c使得对于任意的,都有满足方程,这时,实数的取值的集合为_________ 【答案】 ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）设函数是定义在上的奇函数,且对任意都有,当 时,,则的值为______________. 【答案】 ．（江苏省常州市第五中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷）已知函数,若,则的取值范围是____. 【答案】 ．（江苏省常州市武进高级中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷doc）对任意两个实数,定义若,,则的最小值为____. 【答案】-1 ．（江苏省常州市西夏墅中学2013年高考冲刺模拟试卷）若关于x的方程2-|x|-x2+a=0有两个不相等的实数解,则实数a的取值范围是_______【答案】 ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）已知函数(其中,为常数),若的图象如右图所示,则函数在区间[-1,1]上的最大值是__________. 【答案】 ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）设是定义在R上的偶函数,对任意,都有,且当时,,若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根,则的取值范围为______________. 【答案】 ．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(2013)=________. 【答案】- ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（1））函数对于任意实数满足条件,若,则______. 【答案】.; ．（江苏省常州市第五中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷）函数的定义域为,若满足①在内是单调函数,②存在,使在上的值域为,那么叫做对称函数,现有是对称函数, 那么的取值范围是_____________. 【答案】 ．（南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）设实数a,x,y,满足则xy的取值范围是_____. 【答案】[-,+] ．（武进区湟里高中2013高三数学模拟试卷）已知,,,若为偶函数,则的零点为________. 【答案】解析:根据函数的图像,有,所以或(舍去),所以的零点为. ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）设的奇函数,则使的X的取值范围是______________. 【答案】(一1. 0) ．（江苏省常州市第二中学2013年高考数学（文科）冲刺模拟试卷doc）已知函数若函数有3个零点,则实数m的取值范围是_____________. 【答案】 (0,1) ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（1））已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数k的取值范围是_______. 【答案】[,1); ．（2013年江苏省高考数学押题试卷 ）函数f(x)=lg(x2ax1)在区间(1,+∞)上单调增函数,则a的取值范围是________. 【答案】填(-∞,0]. g(x)=x2ax1的对称轴x=≤1,且 g(1)=a≥0, 所以a≤0. 二、解答题 ．（江苏省常州市第五中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷）某公司有价值万元的一条流水线,要提高该流水线的生产能力,就要对其进行技术改造,从而提高产品附加值,改造需要投入,假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足:①与和的乘积成正比;②时,; ③,其中t为常数,且. 求:(1)设,求表达式,并求的定义域;(2)求出附加值的最大值,并求出此时的技术改造投入.【答案】解:(1)设,当时,,可得:,∴ ∴定义域为,为常数,且 (2) 当时,即,时,当,即,在上为增函数∴当时, ∴当,投入时,附加值y最大,为万元;当,投入时,附加值y最大,为万元14分 ．（江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数f(x)与时间x(小时)的关系为,其中a为与气象有关的参数,且,若用每天f(x)的最大值为当天的综合污染指数,并记作M(a).(1)令,求t的取值范围.(2)求函数M(a)的表达式;(3)市政府规定,每天的综合污染指数不得超过2,试问目前市中心的完全污染指数是多少?是否超标?【答案】 ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）设函数是定义域为的奇函数. (1)求值; (2)若,试判断函数单调性并求使不等式恒成立的的取值范围; (3)若,且,在上的最小值为,求的值. 【答案】解:(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0, ∴1-(k-1)=0,∴k=2, (2) 单调递减,单调递增,故f(x)在R上单调递减. 不等式化为恒成立, ,解得 (3)∵f(1)=,,即 ∴g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x)=(2x-2-x)2-2m(2x-2-x)+2. 令t=f(x)=2x-2-x,由(1)可知f(x)=2x-2-x为增函数,∵x≥1,∴t≥f(1)=, 令h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2 (t≥) 若m≥,当t=m时,h(t)min=2-m2=-2,∴m=2 若m,舍去综上可知m=2. ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）某人年底花万元买了一套住房,其中首付万元,万元采用商业贷款.贷款的月利率为‰,按复利计算,每月等额还贷一次,年还清,并从贷款后的次月开始还贷. ⑴这个人每月应还贷多少元? ⑵为了抑制高房价,国家出台“国五条”,要求卖房时按照差额的20%缴税.如果这个人现在将住房万元卖出,并且差额税由卖房人承担,问:卖房人将获利约多少元? (参考数据:) 【答案】⑴设每月应还贷元,共付款次,则有 , 所以(元) 答:每月应还贷元 ⑵卖房人共付给银行元, 利息(元), 缴纳差额税(元), (元). 答:卖房人将获利约元 ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）已知函数. (1)若,求不等式的解集;(2)当方程恰有两个实数根时,求的值;(3)若对于一切,不等式恒成立,求的取值范围. 【答案】解:(1)由得当时,恒成立 ∴ 当时,得或又 ∴ 所以不等式的解集为 (2)由得 令由函数图象知两函数图象在y轴右边只有一个交点时满足题意,即由得由图知时方程恰有两个实数根(3) 当时,,,, 所以 当时 ①当时,,即,令 时,,所以 时,,所以, 所以 ②当时,,即 所以, 综上,的取值范围是 ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）已知函数()在区间上有最大值和最小值.设.(1)求、的值;(2)若不等式在上有解,求实数的取值范围;【答案】解:(1),因为,所以在区间上是增函数,故,解得. (2)由已知可得,所以可化为,化为,令,则,因,故,记,因为,故, 所以的取值范围是. ．（武进区湟里高中2013高三数学模拟试卷）省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性污染指数与时刻(时)的关系为,其中是与气象有关的参数,且,若用每天的最大值为当天的综合放射性污染指数,并记作. (1)令,,求t的取值范围; (2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过2,试问目前市中心的综合放射性 污染指数是否超标?【答案】解析:(1)当时,t=0; 当时,(当时取等号),∴,即t的取值范围是. (2)当时,记,则,∵在上单调递减,在上单调递增,且.故. ∴当且仅当时,. 故当时不超标,当时超标. y x 0 y x 0 y x 0 y x 0。
数学_2013年江苏省某校高考数学三模试卷(含答案)
2013年江苏省某校高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1. 集合A ={3, 6}，B ={3, 9}，则A ∪B =________．2. 若复数z =a +1+(a −4)i ，(a ∈R)是实数，则a =________．3. 如果sinα=2√23，α为第一象限角，则sin(π2+α)=________．4. 已知正六棱锥P −ABCDEF 的底面边长为1cm ，高为1cm ，则棱锥的体积为________cm 3．5. 高三(1)班共有56人，学号依次为1，2，3，...，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为________．6. 已知某一组数据8，9，10，11，12，则其方差为________．7. 阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S 值为________．8. 若y =f(x)是定义在R 上周期为2的偶函数，当x ∈[0, 1]时，f(x)=2x −1，则函数g(x)=f(x)−log 3x 的零点个数为________．9. 若命题“∃x ∈R ，使得x 2+(a −1)x +1≤0”为假命题，则实数a 的范围________． 10. 在△ABC 中，AH 为BC 边上的高，tanC =43，则过点C ，以A ，H 为焦点的双曲线的离心率为________．11. 设等比数列{a n }的公比q ≠1，S n 表示数列{a n }的前n 项的和，T n 表示数列{a n }的前n 项的乘积，T n (k)表示{a n }的前n 项中除去第k 项后剩余的n −1项的乘积，即T n (k)=Tn a k(n, k ∈N ∗, k ≤n)，则当a 1=1，q =2，数列{S n T nT n (1)+T n (2)+⋯+T n (n)}的前n 项的和是________．12.已知f(x)，g(x)都是定义在R 上的函数，g(x)≠0，f(x)g′(x)>f′(x)g(x)，f(x)=a x g(x)(a >0，且a ≠1)，f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=52，在有穷数列{f(n)g(n)}(n =1,2,3,⋯10)中，任意取正整数k(1≤k ≤10)，则前k 项和大于1516的概率是________．13. 设A ，B ，C 为单位圆O 上不同的三点，则点集A ={(x, y)|OC →=xOA →+yOB →, (0<x <2, 0<y <2)}所对应的平面区域的面积为________．14. 函数f(x)=12x 2−2tx +3lnx ，g(x)=x+tx 2+3，函数f(x)在x =a ，x =b 处取得极值(0<a <b)，g(x)在[−b, −a]上的最大值比最小值大13，若方程f(x)=m 有3个不同的解，则函数y =e m+152的值域为________．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a ，b ，c 满足b 2=a 2+c 2−ac （1）求角B 的大小；（2）在区间(0, B)上任取θ，求√22<cosθ<1的概率；（3）若AC =2√3，求△ABC 面积的最大值．16.直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC =BC =BB 1=1，AB 1=√3（1）求证：平面AB 1C ⊥平面B 1CB ； （2）求三棱锥A 1−AB 1C 的体积．17. 工厂生产某种零件，每天需要固定成本100元，每生产1件，还需再投入资金2元，若每天生产的零件能全部售出，每件的销售收入P(x)（元）与当天生产的件数之间有以下关系：P(x)={83−13x 2，0<x ≤10520x −1331x 3，x >10设当天利润为y 元．（1）写出y 关于x 的函数关系式；（2）要使当天利润最大，当天应生产多少零件？（注：利润等于销售收入减去总成本） 18. 设等比数列{a n }的首项为a 1=2，公比为q （q 为正整数），且满足3a 3是8a 1与a 5的等差中项；等差数列{b n }满足2n 2−(t +b n )n +32b n =0(t ∈R, n ∈N ∗)．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2） 若对任意n ∈N ∗，有a n b n+1+λa n a n+1≥b n a n+1成立，求实数λ的取值范围；（3）对每个正整数k ，在a k 和a k+1之间插入b k 个2，得到一个新数列{c n }．设T n 是数列{c n }的前n 项和，试求满足T m =2c m+1的所有正整数m ． 19. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(√3,√32)，椭圆C 左右焦点分别为F1，F2，上顶点为E ，△EF1F2为等边三角形．定义椭圆C 上的点M(x 0, y 0)的“伴随点”为N(x0a , y0b )． （1）求椭圆C 的方程；（2）若圆C 1的方程为(x +2a)2+y 2=a 2，圆C 1和x 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆C 1上不同于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交y 轴于S ，T 两点．当点P 变化时，以ST 为直径的圆C 2是否经过圆C 1内一定点？请证明你的结论；（3）直线l 交椭圆C 于H 、J 两点，若点H 、J 的“伴随点”分别是L 、Q ，且以LQ 为直径的圆经过坐标原点O ．椭圆C 的右顶点为D ，试探究△OHJ 的面积与△ODE 的面积的大小关系，并证明．20. 已知函数f(x)=ax 2+ln(x +1)，(a ∈R)． （I ）设函数Y =F(X −1)定义域为D①求定义域D ；②若函数ℎ(x)=x 4+[f(x)−ln(x +1)](x +1x )+cx 2+f′(0)在D 上有零点，求a 2+c 2的最小值；（II ） 当a =12时，g(x)=f′(x −1)+bf(x −1)−ab(x −1)2+2a ，若对任意的x ∈[1, e]，都有2e ≤g(x)≤2e 恒成立，求实数b 的取值范围；（注：e 为自然对数的底数）（III ）当x ∈[0, +∞)时，函数y =f(x)图象上的点都在{x ≥0y −x ≤0所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围．三、[选做题]本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤21. 选修4−1：几何证明选讲如图，AD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的切线，直线MN 交AD 的延长线于点C ，BM =MN =NC =1，求AB 的长和⊙O 的半径． 22. [选修4−2：矩阵与变换]已知矩阵A =|−2132−12|；（1）求矩阵A 的逆矩阵B ；（2）若直线l 经过矩阵B 变换后的直线方程为7x −3y =0，求直线l 的方程． 23. [选修4−4：坐标系与参数方程]已知圆C 的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为{x =15y =a +√5t（t 为参数）．若直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点，且PQ =4√55． （1）求圆C 的直角坐标方程，并求出圆心坐标和半径；（2）求实数a 的值．24. 已知函数f(x)＝|x −3|，g(x)＝−|x +4|+m ；(Ⅰ)已知常数a <2，解关于x 的不等式f(x)+a −2>0；(Ⅱ)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求实数m 的取值范围． 四、【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25. 已知A 1，A 2，A 3，…，A 10等10所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为12．（I ）如果该同学10所高校的考试都参加，试求恰有2所通过的概率；（II ）假设该同学参加每所高校考试所需的费用均为a 元，该同学决定按A 1，A 2，A 3，…，A 10顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其它高校的考试，试求该同学参加考试所需费用ξ的分布列及数学期望． 26. 已知m ，n 为正整数．（1）用数学归纳法证明：当x >−1时，(1+x)m ≥1+mx ； （2）对于n ≥6，已知(1−1n+3)n <12，求证(1−mn+3)n <(12)m ，m =1，2…，n ；（3）求出满足等式3n +4n +5n +...+(n +2)n =(n +3)n 的所有正整数n ．2013年江苏省某校高考数学三模试卷答案1. {3, 6, 9}2. 43. 134. √325. 206. 27. −√388. 29. (−1, 3) 10. 211. 2n −1 12. 35 13. 5214. (27, e 4)． 15. 解：（1）∵ b 2=a 2+c 2−ac ，即a 2+c 2−b 2=ac ， ∴ cosB =a 2+c 2−b 22ac=12，∵ B 为三角形的内角， ∴ B =π3；（2）∵ √22<cosθ<1，∴ θ∈(0, π4)， ∴ 在区间(0, π3)上，√22<cosθ<1的概率为34； （3）∵ b =2√3，cosB =12，∴ 由余弦定理得：12=b 2=a 2+c 2−ac ≥ac ， ∴ S △ABC =12acsinB =√34ac ≤3√3，则△ABC 面积的最大值为3√3．16. 解：（1）直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ， 则BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，又由于AC =BC =BB 1=1，AB 1=√3，则AB =√2 则由AC 2+BC 2=AB 2可知，AC ⊥BC ，又由上BB 1⊥底面ABC 可知BB 1⊥AC ，则AC ⊥平面B 1CB ， 所以有平面AB 1C ⊥平面B 1CB ；（2）三棱锥A 1−AB 1C 的体积V A 1−AB 1C =V B 1−A 1AC =13×12×1=1617. 解：（1）当0<x ≤10时，y =x(83−13x 2)−100−2x =−13x 3+81x −100；当x >10时，y =x(520x−1331x )−2x −100=−2x −1331x +420．∴ y ={−13x 3+81x −100，0<x ≤10，x ∈N −2x −1331x 2+420，x >10，x ∈N． （2）设函数y =ℎ(x)={−13x 3+81x −100，0<x ≤10，x ∈N−2x −1331x 2+420，x >10，x ∈N． ①当0<x ≤10时，y ′=81−x 2，令y ′=0，得出x =9．当x ∈(0, 9)时，y ′>0；当x ∈(9, 10)时，y ′<0；故x =9时，y max =386． ②当x >10时，y ′=−2×1331x −2，令y ′=0，得出x =11，当x ∈(10, 11)时，y ′>0；当x ∈(11, +∝)时，y ′<0；故x =11时，y max =387． 结合①②知，当x =11时，y 取最大值．故要使当天利润最大，当天应生产11件零件． 18. 解：（1）由题意，∵ 3a 3是8a 1与a 5的等差中项∴ 6a 3=8a 1+a 5，则6q 2=8+q 4，解得q 2=4或q 2=2 ∵ q 为正整数，∴ q =2，又a 1=2，∴ a n =2n −−−−−− ∵ 2n 2−(t +b n )n +32b n =0∴ b n =2n 2−tn n−32∴ b 1=2t −4，b 2=16−4t ，b 3=12−2t ， 则由b 1+b 3=2b 2，得t =3 当t =3时，b n =2n ．----------（2）∵ a n b n+1+λa n a n+1≥b n a n+1，∴ λ≥n−12n．记k n =n−12n，当n ≥2时，k n+1k n≤1，得k n =n−12n单调减，----------又k1=0，所以λ≥k2=14−−−−−−−−−（3）∵ 对每个正整数k，在a k和a k+1之间插入b k个2，得到一个新数列{c n}，∴ 当k=1时，a1=2，b1=2，即数列{c n}的前项为c1=c2=c3=2，则m=1时，T1=2c2不合题意，当m=2时，T2=2c3适合题意，当m≥3时，若后添入的数2等于c m+1个，则一定不适合题意，从而c m+1必是数列{a n}中的某一项a k+1，则(2+22+23+...+2k)+2(b1+b2+b3+...+b k)=2×2k+1，即2×(2k−1)+(2+2k)k2×2=2×2k+1，即2k+1−2k2−2k+2=0．也就是2k=k2+k−1，k=1，2，3，4不是该方程的解，而当n≥5时，2n>n2+n−1成立，证明如下：1∘当n=5时，25=32，k2+k−1=29，左边>右边成立；2∘假设n=k时，2k>k2+k−1成立，当n=k+1时，2k+1>2k2+2k−2=(k+1)2+(k+1)−1+k2−k−3≥(k+1)2+(k+1)−1+5k−k−3=(k+1)2+(k+1)−1+k+3(k−1)>(k+1)2+(k+1)−1这就是说，当n=k+1时，结论成立．由1∘，2∘可知，2n>n2+n−1(n≥5)时恒成立，故2k=k2+k−1无正整数解．综上可知，满足题意的正整数仅有m=2．19. 解：（1）由已知{3a+34b=1a2=b2+c2ca=12，解得a2=4，b2=3，∴ 方程为x24+y23=1…（2）设P(x0, y0)(y0≠0)，则(x0+4)2+y02=4．又A(−6, 0)，B(−2, 0)，所以l PA:y=y0x0+6(x+6)，S(0, 6y0x0+6)，l PB:y=y0x0+2(x+1)，T(0, 2y0x0+2)．圆C2的方程为x2+(y−6y0x0+6+2y0x0+22)2=(6y0x0+6+2y0x0+22)2．化简得x2+y2−(6y0x0+6+2y0x0+2)y−12=0，令y=0，得x=±2√3．又点(−2√3, 0)，在圆C1内，所以当点P变化时，以ST为直径的圆C2经过圆C1内一定点(−2√3, 0)…（3）设H(x1, y1)，J(x2, y2)，则L(x121√3)，Q(x222√3)；1)当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+m，代入椭圆方程可得：(3+4k2)x2+ 8kmx+4(m2−3)=0；有△=48(3+4k2−m2)>0，x1+x2=−8km3+4k2，x1x2=4(m2−3)3+4k2①…由以LQ 为直径的圆经过坐标原点O 可得：3x 1x 2+4y 1y 2=0； 整理得：(3+4k 2)x 1x 2+4mk(x 1+x 2)+4m 2=0② 将①式代入②式得：3+4k 2=2m 2∴ △>0， 又点O 到直线y =kx +m 的距离d =√1+k 2∴ HJ =√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅4√3|m|2m 2所以S △OHJ =12|HJ|d =√3…2)当直线l 的斜率不存在时，设方程为x =m(−2<m <2) 联立椭圆方程得：y 2=3(4−m 2)4代入3x 1x 2+4y 1y 2=0得3m 2−3(4−m 2)4=0∴ m =±2√55，y =±2√155∴ S △OHJ =12|HJ|d =√3综上：△OHJ 的面积是定值√3又△ODE 的面积也为√3，所以二者相等…20. 解：(I)①∵ 函数f(x)的定义域为(−1, +∞)，∴ 所求函数的定义域为(0, +∞)；… ②函数ℎ(x)=x 4+[f(x)−ln(x +1)](x +1x )+cx 2+f′(0)=0，即x 2+ax +c +a x +1x 2=0，令t =x +1x ，方程为t 2+at +c −2=0，t ≥2， 设g(t)=0，当−a2>2，即a <−4时，只需△=a 2−4c +8≥0，此时，a 2+c 2≥16；当−a 2≤2，即a ≥−4时，只需22+2a +c −2≤0，即2a +c +2≤0，此时a 2+c 2≥45．∴ a 2+c 2的最小值为45．… （II ）由题，g′(x)=x 2+bx−1x 2，x ∈[1, e]令ℎ(x)=x 2+bx −1，注意y =ℎ(x)的图象过点(0, −1)，且开口向上，从而有 （1）当ℎ(1)≥0，即b ≥0时，g′(x)≥0，g(x)单调递增， 所以有{g(1)=1+1≥2eg(e)=e +1e +b ≤2e，得0≤b ≤e −1e ； … （2）当g(e)=e 2+eb −1≤0，即b ≤1e −e 时，g′(x)≤0，g(x)单调递减，所以有{g(1)=1+1≤2eg(e)=e +1e+b ≥2e得b ≥1e −e ，故只有b =1e −e 符合；… （3）当{g(1)<0g(e)>0即1e −e <b <0时，记函数ℎ(x)=x 2+bx −1的零点为t ∈[1, e)，此时，函数g(x)在(1, t)上单调递减，在(t, e)上单调递增，所以，{g(1)≤2eg(e)≤2e g(t)=t +1t +blnt ≥2e，∴ t +1t+blnt ≥2e因为t ∈(1, e)是函数ℎ(x)=x 2+bx −1的零点，所以b =1t −t ， 故有t +1t+(1t−t)lnt ≥2e令m(t)=t +1t+(1t−t)lnt ，t ∈(1, e)，则m′(t)=(−1−1t)lnt ≤0所以函数y =ℎ(t)在(1, e)上单调递减，故m(t)>m(e)=2e恒成立，此时，1e −e <b <0；综上所述，实数b 的取值范围是[1e −e,e −1e ]． …（III ）因函数f(x)图象上的点都在{x ≥0y −x ≤0所表示的平面区域内，则当x ∈[0, +∞)时，不等式f(x)≤x 恒成立，即ax 2+ln(x +1)−x ≤0恒成立， 设g(x)=ax 2+ln(x +1)−x(x ≥0)，只需g(x)max ≤0即可． 由g′(x)=x[2ax+(2a−1)]x+1，(I)当a =0时，g′(x)=−xx+1，当x >0时，g′(x)<0，函数g(x)在(0, +∞)上单调递减， 故g(x)≤g(0)=0成立． (II)当a >0时，由g′(x)=x[2ax+(2a−1)]x+1=0，因x ∈[0, +∞)，所以x =12a−1，①若12a −1<0，即a >12时，在区间x ∈(0, +∞)上，g′(x)>0，则函数g(x)在x ∈[0, +∞)上单调递增，g(x)在x ∈[0, +∞)上无最大值，此时不满足条件； ②若12a−1≥0，即0<a ≤12时，函数g(x)在(0,12a−1)上单调递减，在区间(12a−1，+∞)上单调递增，同样g(x)在x ∈[0, +∞)上无最大值，不满足条件． (III)当a <0时，由g′(x)=x[2ax+(2a−1)]x+1，∵ x ∈[0, +∞)，∴ 2ax +(2a −1)<0，∴ g′(x)<0，故函数g(x)在x ∈[0, +∞)上单调递减，故g(x)≤g(0)=0成立． 综上所述，实数a 的取值范围是(−∞, 0]．21. 解：∵ AD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的切线，直线BMN 是⊙O 的割线， ∴ ∠BAC =90∘，AB 2=BM ⋅BN ．∵ BM =MN =NC =1， ∴ 2BM 2=AB 2， ∴ AB =√2．∵ AB 2+AC 2=BC 2， ∴ 2+AC 2=9，AC =√7． ∵ CN ⋅CM =CD ⋅CA ， ∴ 2=CD ⋅√7， ∴ CD =27√7．∴ ⊙O 的半径为12(CA −CD)=514√7．22. 解：（1）∵ |−2132−12|=(−2)(−12)−1×32=−12≠0，∴ B =[−12−12−1−12−32−12−2−12]=[1234]； （2）任取直线l 上一点P(x, y)，经矩阵B 变换后点为P′(x′, y′)，则有[1234] [xy]=[x′y′]，则{x′=x +2y y′=3x +4y ，又7x ′−3y ′=0，则7(x +2y)−3(3x +4y)=0，x −y =0． 即直线l 的方程为x −y =0． 23. 解：（1）圆C 的极坐标方程是ρ=2cosθ，即 ρ2=2ρcosθ，即 x 2+y 2=2x ， 即 (x −1)2+y 2=1，表示以C(1, 0)为圆心，半径等于1的圆． （2）由{x =1+5y =a √5t（t 为参数），可得 2x −y +a −2=0． 由弦长PQ =4√55，可得弦心距d =√r 2−(PQ 2)2=√5．再由点到直线的距离公式可得 d =√5，∴√5=√5，解得 a =1，或 a =−1．24. （I ）由f(x)+a −2>0得|x −3|>2−a ， ∵ 常数a <2，∴ x −3>2−a 或x −3<a −2，即x >5−a 或x <a +1， 故不等式的解集为(−∞, a +1)∪(5−a, +∞)； (II)∵ 函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方， ∴ f(x)>g(x)恒成立，即m <|x −3|+|x +4|， ∵ |x −3|+|x +4|≥|x −3−(x +4)|＝7， ∴ m <7，即实数m 的取值范围为m <7． 25. 解：(I)因为该同学通过各校考试的概率均为12， 所以该同学恰好通过2所高校自主招生考试的概率为P =C 102(12)2(1−12)8=451024．…（II ）设该同学共参加了i 次考试的概率为P i (1≤i ≤10, i ∈Z)．∵ P i ={12i，1≤i ≤9，i ∈Z 129，i =10，∴ 所以该同学参加考试所需费用ξ的分布列如下：所以Eξ=(12×1+122×2+⋯+129×9+129×10)a ，… 令S =12×1+122×2+⋯+129×9，…（1） 则12S =122×1+123×2+⋯+129×8+1210×9， (2)由（1）−(2)得12S =12+122+⋯+129−1210×9， 所以S =1+12+122+⋯+128−129×9，…所以Eξ=(1+12+122+⋯+128−129×9+129×10)a =(1+12+⋯+129)a =1−12101−12a =2(1−1210)a =1023512a （元）．…26. 解法1：（1）证：用数学归纳法证明：当x =0时，(1+x)m ≥1+mx ；即1≥1成立， x ≠0时，证：用数学归纳法证明： （1）当m =1时，原不等式成立；当m =2时，左边=1+2x +x 2，右边=1+2x ， 因为x 2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；（2）假设当m =k 时，不等式成立，即(1+x)k ≥1+kx ， 则当m =k +1时，∵ x >−1，∴ 1+x >0，于是在不等式(1+x)k ≥1+kx 两边同乘以1+x 得(1+x)k ⋅(1+x)≥(1+kx)(1+x)=1+(k +1)x +kx 2≥1+(k +1)x ， 所以(1+x)k+1≥1+(k +1)x ．即当m =k +1时，不等式也成立． 综合(1)(II)知，对一切正整数m ，不等式都成立． （2）证：当n ≥6，m ≤n 时，由（1）得(1−1n+3)m ≥1−m n+3>0，于是(1−mn+3)n ≤(1−1n+3)nm =[(1−1n+3)n ]m <(12)m ，m =1，2，n ．（3）解：由（2）知，当n ≥6时，(1−1n+3)n +(1−2n+3)n +⋯+(1−nn+3)n <12+(12)2+⋯+(12)n =1−12n <1，∴ (n+2n+3)n +(n+1n+3)n +⋯+(3n+3)n <1．即3n +4n +...+(n +2)n <(n +3)n ．即当n ≥6时，不存在满足该等式的正整数n ． 故只需要讨论n =1，2，3，4，5的情形：当n =1时，3≠4，等式不成立；当n =2时，32+42=52，等式成立；当n =3时，33+43+53=63，等式成立；当n =4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74，等式不成立；当n =5时，同n =4的情形可分析出，等式不成立．综上，所求的n 只有n =2，3．解法2：（1）证：当x =0或m =1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明： 当x >−1，且x ≠0时，m ≥2，(1+x)m >1+mx ． ①（1）当m =2时，左边=1+2x +x 2，右边=1+2x ，因为x ≠0，所以x 2>0，即左边>右边，不等式①成立；（2）假设当m =k(k ≥2)时，不等式①成立，即(1+x)k >1+kx ，则当m =k +1时， 因为x >−1，所以1+x >0．又因为x ≠0，k ≥2，所以kx 2>0．于是在不等式(1+x)k >1+kx 两边同乘以1+x 得(1+x)k ⋅(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k +1)x +kx 2>1+(k +1)x ，所以(1+x)k+1>1+(k +1)x ．即当m =k +1时，不等式①也成立．综上所述，所证不等式成立．（2）证：当n ≥6，m ≤n 时，∵ (1−1n+3)n <12，∴ [(1−1n+3)m ]n <(12)m ，而由（1），(1−1n+3)m ≥1−m n+3>0， ∴ (1−m n+3)n ≤[(1−1n+3)m ]n <(12)m ．（3）解：假设存在正整数n 0≥6使等式3n 0+4n 0+⋯+(n 0+2)n 0=(n 0+3)n 0成立， 即有(3n 0+3)n 0+(4n 0+3)n 0+⋯+(n 0+2n 0+3)n 0=1． ② 又由（2）可得(3n0+3)n 0+(4n 0+3)n 0+⋯+(n 0+2n 0+3)n 0 =(1−n 0n 0+3)n 0+(1−n 0−1n 0+3)n 0+⋯+(1−1n 0+3)n 0<(12)n 0+(12)n 0−1+⋯+12=1−12n 0<1，与②式矛盾．故当n ≥6时，不存在满足该等式的正整数n ．下同解法1．。
2013江苏高考数学试卷含答案(校正精确版)
2013江苏一、 填空题1．函数y ＝3sin(2x ＋π4)的最小正周期为 ．【解】利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期公式求解．函数y ＝3sin(2x ＋π4)的最小正周期为T ＝2π2＝π．2．设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为 ．【解】z ＝3－4i ，|z |＝53．双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为 ．【解】y ＝±34x4．集合{－1，0，1}共有 个子集．【解】23＝8(个)5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲【解】经过了两次循环，n 值变为36．抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ ．【解】易知均值都是90，乙方差较小，2222222111()[(8990)(9090)(9190)(8890)(9290)]25n i i s x x n ==-=-+-+-+-+-=∑7．现有某类病毒记作n m Y X ，其中正整数)9,7(,≤≤n m n m 可以任意选取，则n m ,都取到奇数的概率为 ▲ ．【解】m 可以取的值有：1，2，3，4，5，6，7共7个，n 可以取的值有：1，2，3，4，5，6，7，8，9共9个，故总共有7×9＝63种可能，符合题意的m 可以取1，3，5，7共4个，符合题意的n 可以取1，3，5，7，9共5个，故总共有4×5＝20种可能符合题意，故符合题意的概率为2063． 8．如图，在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F -ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝ ．【解】设三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的高为h ，底面三角形ABC 的面积为S ，则V 1＝13×14S ×12h ＝124Sh ＝124V 2，即V 1∶V 2＝1∶24．9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界)．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ▲ ．【解】易知切线方程为：y ＝2x －1，故与两坐标轴围成的三角形区域三个点为(0,0)A ，(0.5,0)B ，(0,1)C -，易知过C 点时有最小值－2，过B 点时有最大值0．510．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ．若DE ―→＝λ1AB ―→＋λ2AC ―→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为 ．【解】DE ―→＝DB ―→＋BE ―→＝12AB ―→＋23BC ―→＝12AB ―→＋23(BA ―→＋AC ―→)＝－16AB ―→＋23AC ―→，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12． 11．已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为 ▲ ．【解】由于f (x )为R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f (0)＝0；当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.由f (x )>x ，可得⎩⎨⎧x 2－4x >x ，x >0或⎩⎨⎧－x 2－4x >x ，x <0，解得x >5或－5<x <0，所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)． 12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ．若126d d =，则椭圆的离心率为 ▲ ．【解】由题意知2212,bc a b d d c a c c ==-=，故有2b c =，两边平方得到2246a b c =，即42246a a c c -=，两边同除以4a 得到2416e e -=，解得213e =，即e =ABC1ADE F1B1C13．平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数)0(1>=x xy 图像上一动点，若点A P ,之间最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ▲ ．【解】由题意设0001(,)(0)P x x x >，则有22220002000111()()2(+)PA x a a x a x x x x =-+-=+-+2220000112(+)2(+)22a x a x a x x =-+-，令001(2)x t t x +=≥，则222()222(2)PA f t t at a t ==-+-≥，对称轴t a =，1．2a ≤时，222min (2)242,2428PA f a a a a ==-+∴-+=，1a =-，3a =(舍去) 2．2a >时，222min()2,28PAf a a a ==-∴-=，a =，a =(舍去)综上1a =-或a =14．在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3．则满足a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n 的最大正整数n的值为 ．【解】a 5＝12，a 6＋a 7＝3，故a 5q ＋a 5q 2＝3，q 2＋q －6＝0，q ＞0，故q ＝2，故a n ＝2n －6，因a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n ，故2n －5－2－5＞2n 2－11n2，2n －5－2n 2－11n2＞2－5＞0，n －5＞12(n 2－11n )，故13－1292＜n ＜13＋1292，因n ∈N *，故1≤n ≤12，n ∈N *，又n ＝12时符合题意，故n 的最大值为12．设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由已知得，12q ＋12q 2＝3，即q 2＋q －6＝0，解得q ＝2，或q ＝－3(舍去)，a n ＝a 5q n －5＝12×2n －5＝2n －6，a 1＋a 2＋…＋a n ＝132(2n －1)，a 1a 2…a n ＝2－52－42－3…2n －6＝2n 2－11n 2，由a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n ，可知2n －5－2－5＞2n 2－11n2，由2n －5－2－5＞2n 2－11n2，可求得n 的最大值为12，而当n ＝13时，28－2－5<213，故n 的最大值为12． 二、解答题15．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π． ⑴．若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；⑵．设c ＝(0，1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．【解】⑴．由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b ；⑵．因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得cos α＝cos(π－β).由0＜β＜π，得0＜π－β＜π，又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，可得sin β＝12.∴sin α＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6．16．如图，在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥，AS AB =．过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是侧棱SA ，SC 的中点．求证：⑴．平面EFG //平面ABC ； ⑵．BC SA ⊥．【解】⑴．,E G Q 分别是侧棱,SA SC 的中点，EG AC ∴∥，AC Q 在平面ABC 中，EG 在平面外，EG ∴∥平面ABC ，,AS AB AF SB =Q ⊥，F ∴为SB 中点，EF AB ∴∥，Q AB 在平面ABC 中，EF 在平面外，EF ∴∥平面ABC ，Q EF 与EG 相交于E ，,EF EG 在平面EFG 中，∴平面EFG //平面ABC⑵．Q 平面SAB ⊥平面SBC ，SB 为交线，Q AF 在SAB 中，AF SB ⊥，AF ∴⊥平面SBC ，AF BC ∴⊥，BC AB Q ⊥，AF 与AB 相交于A ，,AF AB 在平面SAB 中，BC ∴⊥平面SAB ，BC SA ∴⊥17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4．设圆C 的半径为1，圆心在l 上．⑴．若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； ⑵．若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．【解】⑴．由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0．⑵．因为圆心在直线y ＝2x －4上，故圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1．设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，故x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，故点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，故圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3．整理得－8≤5a 2－12a ≤0．由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125．故点C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，125． 18．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min ．在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35．⑴．求索道AB 的长；⑵．问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？⑶．为使两位游客在C 处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 【解】(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，故sin A ＝513，sin C ＝45．从而sin B ＝sin[π－(A＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365．由正弦定理AB sin C ＝ACsin B ，得AB ＝AC sin B ·sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．故索道AB 的长为1 040 m ． (2)设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，故由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ·sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C ．设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，故为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．19．设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数．⑴．若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； ⑵．若{b n }是等差数列，证明：c ＝0．【解】⑴．由题设，S n ＝na ＋n （n －1）2d ．(1)由c ＝0，得b n ＝S n n ＝a ＋n －12d ．又b 1，b 2，b 4成等比数列，故b 22＝b 1b 4，即⎝⎛⎭⎫a ＋d 22＝a ⎝⎛⎭⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0．因为d ≠0，故d ＝2a ．因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a ．从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k ．⑵．设数列{b n }的公差为d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即nS nn 2＋c ＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有⎝⎛⎭⎫d 1－12d n 3＋(b 1－d 1－a ＋12d )n 2＋cd 1n ＝c (d 1－b 1)．令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D (*)．在(*)式中分别取n ＝1，2，3，4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧7A ＋3B ＋cd 1＝0，①19A ＋5B ＋cd 1＝0，②21A ＋5B ＋cd 1＝0，③由②，③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0．即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0．若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0，得d ＝0，与题设矛盾，故d 1≠0．又cd 1＝0，故c ＝0．20．设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x －ax ，其中a 为实数．⑴．若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围； ⑵．若g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f (x )的零点个数，并证明你的结论．【解】⑴．令f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ＜0，考虑到f (x )的定义域为(0，＋∞)，故a ＞0，进而解得x ＞a －1，即f (x )在(1a ，＋∞)上是单调减函数．同理，f (x )在(0，a －1)上是单调增函数．由于f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(1a ，＋∞)，从而1a ≤1，即a ≥1．令g ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ．当x＜ln a 时，g ′(x )＜0；当x ＞ln a 时，g ′(x )＞0．又g (x )在(1，＋∞)上有最小值，故ln a ＞1，即a ＞e ．综上，a 的取值范围为(e ，＋∞)．⑵．当a ≤0时，g (x )必为单调增函数；当a ＞0时，令g ′(x )＝e x －a ＞0，解得a ＜e x ，即x ＞ln a ，因为g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a ≤－1，即0＜a ≤1e．综合上述两种情况，有a ≤1e．(ⅰ)当a ＝0时，由f (1)＝0以及f ′(x )＝1x＞0，得f (x )存在唯一的零点．(ⅱ)当a ＜0时，由于f (e a )＝a －a e a ＝a (1－e a )＜0，f (1)＝－a ＞0，且函数f (x )在[e a ，1]上的图像不间断，故f (x )在(e a ，1)上存在零点．另外，当x ＞0时，f ′(x )＝1x －a ＞0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，故f (x )只有一个零点．(ⅲ)当0＜a ≤1e 时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，解得x ＝1a ．当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＞0，当x ＞1a 时，f ′(x )＜0，故，x ＝1a 是f (x )的最大值点，且最大值为f (1a)＝－1－ln a ．①．当－1－ln a ＝0，即a ＝1e 时，f (x )有一个零点x ＝e ．②．当－1－ln a ＞0，即0＜a ＜1e时，f (x )有两个零点．实际上，对于0＜a ＜1e ，由于f (1e )＝－1－a e ＜0，f (1a )＞0，且函数f (x )在[1e ，1a ]上的图像不间断，故f (x )在(1e ，1a )上存在零点．另外，当x ∈(0，1a )时，f ′(x )＝1x －a ＞0，故f (x )在(0，1a )上是单调增函数，故f (x )在(0，1a)上只有一个零点．下面考虑f (x )在(1a ，＋∞)上的情况．先证f (e 1a )＝a (1a2－e 1a )＜0．为此，我们要证明：当x ＞e 时，e x ＞x 2．设h (x )＝e x －x 2，则h ′(x )＝e x －2x ，再设l (x )＝h ′(x )＝e x －2x ，则l ′(x )＝e x －2．当x ＞1时，l ′(x )＝e x －2＞e －2＞0，故l (x )＝h ′(x )在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x ＞2时，h ′(x )＝e x －2x ＞h ′(2)＝e 2－4＞0，从而h (x )在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x ＞e 时，h (x )＝e x －x 2＞h (e)＝e e －e 2＞0，即当x ＞e 时，ex＞x 2．当0＜a ＜1e ，即1a ＞e 时，f (e 1a )＝a (1a 2－e 1a )＜0，又f (1a)＞0，且函数f (x )在[1a ，e 1a ]上的图像不间断，故f (x )在(1a ，e 1a )上存在零点．又当x ＞1a 时，f ′(x )＝1x －a ＜0，故f (x )在(1a ，＋∞)上是单调减函数，故f (x )在(1a，＋∞)上只有一个零点． 综合(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)，当a ≤0或a ＝1e 时，f (x )的零点个数为1，当0＜a ＜1e 时，f (x )的零点个数为2．B ．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6，求矩阵A －1B ．【解】设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 012，故A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3．C ．在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为12x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标． 解：因为直线l 的参数方程为12x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，由1x t =+得，1t x =-，代入2y t =得，直线l 的普通方程为220x y --=，同理得曲线C 的普通方程为22y x =，联立方程组22(1),2y x y x =-⎧⎨=⎩，解得公共点的坐标为(2,2)，1(,1)2-．22．如图，在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点． ⑴．求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； ⑵．求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解：⑴．以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，D (1，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4)，所以A 1B ―→＝(2，0，－4)，C 1D ―→＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B ―→，C 1D ―→〉＝A 1B ―→·C 1D ―→| A 1B ―→||C 1D ―→|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010； ⑵．设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD ―→＝(1，1，0)，AC 1―→＝(0，2，4)，所以n 1·AD ―→＝0，n 1·AC 1―→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以n 1＝(2，－2，1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面ABA 1的一个法向量为n 2＝(0，1，0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ．由|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53．因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53． 23．设数列{a n }：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，11(1)(1)k k k k k 644474448－－－，，－，，个……即当(k －1)k 2<n ≤k (k ＋1)2(k ∈N *)时，a n ＝(－1)k －1k ，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)．对于l ∈N *，定义集合P l ＝{n |S n 是a n 的整数倍，n ∈N *，且1≤n ≤l }． (1)求集合P 11中元素的个数； (2)求集合P 2000中元素的个数．解 (1)由数列{a n }的定义得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－2，a 4＝3，a 5＝3，a 6＝3，a 7＝－4，a 8＝－4，a 9＝－4，a 10＝－4，a 11＝5，所以S 1＝1，S 2＝－1，S 3＝－3，S 4＝0，S 5＝3，S 6＝6，S 7＝2，S 8＝－2，S 9＝－6，S 10＝－10，S 11＝－5，从而S 1＝a 1，S 4＝0×a 4，S 5＝a 5，S 6＝2a 6，S 11＝－a 11，所以集合P 11中元素的个数为5．(2)先证：S i (2i ＋1)＝－i (2i ＋1)(i ∈N *)．事实上，①当i ＝1时，S i (2i ＋1)＝S 3＝－3，－i (2i ＋1)＝－3，故原等式成立；②假设i＝m时成立，即S m(2m＋1)＝－m(2m＋1)，则i＝m＋1时，S(m＋1)(2m＋3)＝S m(2m＋1)＋(2m＋1)2－(2m＋2)2＝－m(2m＋1)－4m－3＝－(2m2＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)．综合①②可得S i(2i＋1)＝－i(2i＋1)．于是S(i＋1)(2i＋1)＝S i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝－i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝(2i＋1)(i＋1)．由上可知S i(2i＋1)是2i＋1的倍数，而a i(2i＋1)＋j＝2i＋1(j＝1，2，…，2i＋1)，所以S i(2i＋1)＋j＝S i(2i＋1)＋j(2i＋1)是a i(2i＋1)＋j(j＝1，2，…，2i＋1)的倍数．又S(i＋1)(2i＋1)＝(i＋1)(2i＋1)不是2i＋2的倍数，而a(i＋＝－(2i＋2)(j＝1，2，…，2i＋2)，所以S(i＋1)(2i＋1)＋j＝S(i＋1)(2i＋1)－j(2i＋2)＝(2i＋1)(i＋1)－j(2i＋1)(2i＋1)＋j2)不是a(i＋1)(2i＋1)＋j(j＝1，2，…，2i＋2)的倍数，故当l＝i(2i＋1)时，集合P l中元素的个数为1＋3＋…＋(2i－1)＝i2，于是，当l＝i(2i＋1)＋j(1≤j≤2i＋1)时，集合P l中元素的个数为i2＋j．又2000＝31×(2×31＋1)＋47，故集合P2000中元素的个数为312＋47＝1008．。