习题第06章(稳恒磁场)khdaw

L
L
L
h ∫ ∑ 又 L B ⋅ dl = u0 Ii = 0 所以
B=0
由此得出 L 回路上的 B 处处为零的结论，而选择 A。这种推导的错误是没有注意到在回路上 ，
k dl 处处与 B 垂直，就简单地把 B 提到积分号外而产生的。实际上，
. ∫ ∫ ∫ ∑ π
B ⋅ dl =
L
B ⋅ cos dl =0 ，而 B 是 2
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答：两条导线中通有相反方向的电流，离开电源线 r 处的场是它们各自场的叠加。扭在一起 以后，它们靠的很近，在稍远处它们所产生的磁场就接近相等，并且方向相反，可以相互抵 消，从而使它们的合场强减小到最小，可以避免对其他元件造成的影响。
6-9 磁场的高斯定理说明磁场具有什么样的性质？安培环路定理又说明了磁场具有什么样 的性质？ 答：高斯定理表明，磁场是无源场，磁场线是无头无尾的闭合曲线。安培环路定理表明，磁 场是有旋场，磁场是非保守力场。
6-5 两圆线圈，半径均为 R，平行地共轴放置，两圆心 O1、O2 相距为 a ，所载电流均为 I，
且电流方向相同。
（1）以 O1、O2 连线的中点 O 为原点，求轴线上坐标为 x 的任一点处磁感强度的大小。 （2）试证明：当 a = R 时，O 点处的磁场最为均匀。（这样放置的一对线圈叫做亥姆霍兹 线圈。需要均匀磁场而要求并不太高时，常用到亥姆霍兹线圈。）
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第六章 稳恒磁场
思考题
6-1 为什么不能把磁场作用于运动电荷的力的方向，定义为磁感强度的方向？
答：对于给定的电流分布来说，它所激发的磁场分布是一定的，场中任一点的 B 有确定的 方向和确定的大小，与该点有无运动电荷通过无关。而运动电荷在给定的磁场中某点 P 所 受的磁力 F，无论就大小或方向而言，都与运动电荷有关。当电荷以速度 v 沿不同方向通
B1C + B2C = 0 ，
µ0 I1 − µ0 I 2 = 0 ⇒ x = 0.1m 2π (0.1 + x) 2πx
B=0 的点在 I2 外侧距离为 0.1m 的平行线上。
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6-2 如图，一根无限长直导线，通有电流 I ，中部一段弯成圆弧形。求图中 P 点磁感强度
不同之处： （1）库仑场强公式是直接从实验总结出来的。毕奥一萨伐定律是从概括闭
合电流磁场的实验数据间接得到的。
（2）电荷元的电场强度 dE 的方向与 r 向一致或相反，而电流元的磁感应强度 dB 的方向 既不是 Idl 方向，也不是 r 的方向，而是垂直于 dl 与 r 组成的平面，由右手螺旋法则确定 。
=
20 × 4π ×10 −7 2π × 0.15
= 2.67 ×10−5 T，方向垂直纸面向里
L2 在 A 点产生的磁感强度为
h B2A
=
µ0I2 2πa
10 × 4π × 10−7 =
2π × 0.05
= 4 × 10 −5 T，方向垂直纸面向里
k 在 B 点产生的磁感强度
. B2B
=
µ0I2 2πa′
. ∫ ∫ 弧导线在 P 点所产生的磁感应强度为 B = dB = 120O µ0 I dθ = µ0 I ， 所以，总的磁感应强
0 4πa
6a
度为
w B总
=
B直线
+
B=
µ0 I 6a
+ 0.134 µ0 I πa
= 0.21 µ0 I a
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a 6-3 载有电流 I = 4A 无限长直导线，中部弯成半径 r = 0.11m 的半圆环形，如图所示。求
O•
c C． ∫LB ⋅ dl ≠ 0 ， 且环路上任意一点 B = 0
. D． ∫LB⋅dl≠0， 且环路上任意一点 B=常量 哪一个正确？
w ∫ ∑ ∑ 答：B 正确。根据安培环路定理，
B ⋅ dl
L
= u0
Ii ,
Ii 为正向穿过该环路的电流的代数
∫ 和，本题中因无电流从该环路穿过所以 B ⋅ dl =0 ，故 C，D 前半部分不对。圆电流 I 在空 L
. 线（ a → 0 ）时，则 B → ∞ ，这是没有物理意义的，如何解释？
答：毕奥－萨伐尔定律是关于部分电流（电流元）产生部分电场（dB）的公式，在考察点
无限接近导线（ a → 0 ）时，电流元的假设不再成立了，所以也不能应用由毕奥－萨伐尔
w 定律推导得到的无限长直电流的磁场公式 B = µI 。 2πa
间任一点都会激发磁场，环路上任意一点 B 均不为零，由对称性分析可知，L 上的 B 大小相
a 等，方向垂直于圆电流和 L 环路所在平面，方向向里。故 A 后半部分错，B 对。
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d∫ ∫ ∫ 有人可能会作出这样的推导： 因为 B ⋅ dl = B ⋅ dl = B dl = B ⋅ 2πrr
的大小。
解：点 P 的磁感应强度由直线及圆弧载流导线所产
生，由于对称性，两段直导线在 P 点产生的磁感应
α2
α1 60°
强度相等，方向均垂直纸面向里。由半无限长载流 直导线的磁感应强度公式
P a
题 6-2 图
B
=
µ0I 4πr
(cos α1
−
cos α 2
)
其中 r O
答：在安培环路定理中，对闭合回路无特殊要求。如应用安培环路定理解题，对闭合回路无 特殊要求，因为我们希望通过安培环路定理来求磁感应强度的大小，所以，选取闭合回路， 要求回路上磁感应强度的大小处处相等，或者是分段的情况下，每段的磁感应强度大小相等 ， 磁感应强度与回路线元之间的夹角为零或 90O，这样可以方便的将矢量点乘写成大小相乘的 形式。
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∫ �
B2
=
µ0 4π
A
� I2dl2
×
� r
0
= − µ0I1l1
B
r2
4π r 2
设两段圆环的长度分别为 l1 和 l2，电流分别为 I1 和 I2，有
I1 / I 2 = l2 / l1 即
I1l1 = I 2 l2
�� � ，所以有 B = B1 + B2 = 0 .
B ⋅ dl
L
= u0
Ii = 0 不为零的。
w 6-6 在下述的两种情况中，能否用安掊环路定理求磁感强度？（1）有限长载流直导线产生
的 磁 场；（ 2）圆形电流产生的磁场。
w答：用安培环路定理来求真空或介质中的磁场，要求电流分布必须具有某种特殊对称性，使 w其磁场可用一个坐标分量来表示，这样才便于将场从积分号中提出来，进而简便求出磁场的
10× 4π ×10−7 =
2π × 0.05
= 4 ×10 −5 T，方向垂直纸面向外
w ∴A 点的磁感应强度为 BA = B1A + B2 A = 1.2 ×10−4 T，方向垂直纸面向里
wB 点的磁感应强度为 BB = B2B − B1B = 1.3 ×10−5 T，方向垂直纸面向外。 w设磁感应强度为 0 的点 C 距 L2 为 x，此点必在 L2 下方
m 过 P 点时， v 的大小一般不等，方向一般说也要改变。可见，如果用 v 的方向来定义 B
的方向，则 B 的方向不确定，所以我们不能把作用于运动电荷的磁力方向定义为磁感应强
o 度 B 的方向。
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c 6-2 从毕奥－萨伐尔定律能导出无限长直电流的磁场公式 B = µI 。当考察点无限接近导 2πa
a 6-3 试比较点电荷的电场强度公式与毕奥－萨伐尔定律的类似与差别。根据这两个公式加
d 上场叠加原理就能解决任意的静电场和磁场的空间分布。从这里，你能否体会到物理学中解
决某些问题的基本思想与方法？
kh 答：库仑场强公式
� dE
=
� dqr
0
4πε0r 2
� ，毕奥一萨伐定律 dB
=
µ0
� Idl
×
��
�
�
��
�∫ 6-5
在
B • dl
l
= µ0ΣIi
中， B 是否只由闭合回路所包围的电流所贡献的？在 ΣIi
中 Ii
是否是空间所有的电流？（如图所示，在一圆形电流 I 所在的平面内，选取一个同心圆形
闭合回路,则由安培环路定理可知
mL
A． ∫LB ⋅ dl = 0 且环路上任意一点 B=0
I
o B． ∫LB ⋅ dl = 0 ， 且环路上任意一点 B ≠ 0
om B直线
=
2×
µ0I 4πa cos 60O
(cos 00
−
cos 300 )
=
0.134
µ0I πa
在圆弧上任取一段电流元
� Idl ，它在
P
c 点产生的磁感应强度的方向垂直纸面向里，大小为 dB = µ0 Idl = µ0 Iadθ = µ0 I dθ ，则圆 4π a 2 4πa 2 4πa
w6-4 如图，两导线沿半径方向引到铁环上的 A、B 两点，并在很远处与电源相连。求环中心 w 的磁感强度。
[解] 图中两根长直导线在 O 点产生的磁感应强度为零，即
O 点的磁感应强度取决于电流方向如图所示的两段圆环。
由于圆环上的任一线元在 O 点所产生的 都在垂直于纸