稳恒磁场一章习题解答

稳恒磁场一章习题解答习题9—1 无限长载流空心圆柱导体的内外半径分别为a 、b ，电流在导体截面上均匀分布，则空间各处的B的大小与场点到圆柱中心轴线的距离r 的关系定性地如图所示。

正确的图是：[ ]解：根据安培环路定理，容易求得无限长载流空心圆柱导体的内外的磁感应强度分布为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=rIa b r a r I B πμπμ2)(2)(0022220 )()()(b r b r a a r >≤≤< 所以，应该选择答案(B)。

习题9—2 如图，一个电量为+q 、质量为m 的质点，以速度v沿X 轴射入磁感应强度为B 的均匀磁场中，磁场方向垂直纸面向里，其范围从x =0延伸到无限远，如果质点在x =0和y =0处进入磁场，则它将以速度v-从磁场中某一点出来，这点坐标是x =0和［ ］。

(A) qB m y v +=。

(B) qB m y v2+=。

(C) qB m y v 2-=。

(D) qBm y v-=。

解：依右手螺旋法则，带电质点进入磁场后将在x >0和y >0区间以匀速v 经一个半圆周而从磁场出来，其圆周运动的半径为qBm R v =r BO a b (A) (B) B a b r O B r O a b (C) B Or a b(D) 习题9―1图习题9―2图因此，它从磁场出来点的坐标为x =0和qBm y v2+=，故应选择答案(B)。

习题9—3 通有电流I 的无限长直导线弯成如图三种形状，则P ，Q ，O 各点磁感应强度的大小B P ，B Q ，B O 间的关系为［ ］。

(A) O Q P B B B >>。

(B) O P Q B B B >>。

(C) P O Q B B B >>。

(D) P Q O B B B >>说明：本题得通过计算才能选出正确答案。

对P 点，其磁感应强度的大小 aI B P πμ20= 对Q 点，其磁感应强度的大小 [][])221(2180cos 45cos 4135cos 0cos 4000+=-+-=a I a I a I B Q πμπμπμ对O 点，其磁感应强度的大小 )21(2424000ππμπμμ+=⋅+=a I a I aIB O 显然有P Q O B B B >>，所以选择答案(D)。

［注：对一段直电流的磁感应强度公式)cos (cos 4210θθπμ-=aIB 应当熟练掌握。

］习题9—4 如图所示，一固定的载流大平板， 在其附近有一载流小线框能自由转动或平 动，线框平面与大平板垂直，大平板的电流 与线框中的电流方向如图所示，则通电线框习题9―3图题解9―4图的运动情况从大平板向外看是：［ ］(A) 顺时针转动 (B) 靠近大平板AB (C) 逆时针转动(D) 离开大平板向外运动解：根据大平板的电流方向可以判断其右侧磁感应强度的方向平行于大平板、且垂直于I 1；小线框的磁矩方向向上，如图所示。

由公式B P M m ⨯= 可以判断小线框受该力矩作用的转动方向如图所示，因此应该选择答案(C)。

习题9—5 哪一幅曲线图能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的B 随x 的变化关系?(X 坐标轴垂直于圆线圈平面，圆点在圆线圈中心O )［ ］解：由载流圆线圈(N 匝)轴线上的磁感应强度公式232220)(2)(x R NIR x B +=μ可以判断只有曲线图(C)是正确的。

习题9—6 两根无限长直导线互相垂直地放着，相距d =2.0×102m ，其中一根导线与Z 轴重合，另一根导线与X 轴平行且在XOY 平面内。

设两导线中皆通过I =10A 的电流，则在Y 轴上离两根导线等距的点P 处的磁感应强度的大小为B = 。

解：依题给坐标系，与Z 轴重合的一根导线单独在P点产生的磁感应强度为B X O (A) X B O(B) B O (C) X B O (D) X BO (E) 习题9―5图习题9―6图)T (102100.210104)2(282701i i i d I B --⨯-=⨯⨯⨯⨯-=-=πππμ 同理，另一根与X 轴平行的导线单独在P 点产生的磁感应强度为(T)102)2(2802k k d I B -⨯==πμ由叠加原理，P 点处的磁感应强度的大小为(T)102282221-⨯=+=B B B习题9—7 如图，平行的无限长直载流导线A 和B ，电流强度均为I ，垂直纸面向外，两根导线之间相距为a ，则(1) AB 中点(P 点)的磁感应强度P B= 。

(2) 磁感应强度B沿图中环路l 的线积分⎰ll d B·＝ 。

解：(1) A 、B 两载流导线在P 点产生的磁感应强度等大而反向，叠加的结果使P 点最终的磁感应强度为零，因此，0=P B 。

(2) 根据安培环路定理容易判断，磁感应强度B沿图中环路l 的线积分等于－I 。

习题9—8 如图，半圆形线圈(半径为R )通有电流I ，线圈处在与线圈平面平行向右的均匀磁场B中。

则线圈所受磁力矩的大小为 ，方向为 。

把线圈绕O O '转过角度 时，磁力矩恰为零。

解：半圆形线圈的磁矩大小为I R P m 221π=因而线圈所受磁力矩的大小为IBR IB R B P M m 22212sin 21sin πππθ==⋅⋅=习题9―7图习题9―8图根据磁力矩公式B P M m ⨯=可以判断出磁力矩M的方向向上。

容易知道，当πθk =，k =0，±1，±2，……时，磁力矩恰为零，这等价于把线圈绕O O '转过22)12(πππϕ+=+=k k ，k =0，1，2，3，……。

习题9—9 在均匀磁场B中取一半径为R 的圆，圆面的法线n与B 成60°角，如图所示，则通过以该圆为边线的如右图所示的任意曲面S 的磁通量=•=⎰⎰SS S d BΦ 。

解：通过圆面的磁通量222160cos R B R B ππΦ=⋅⋅= 圆 根据磁场的高斯定理，通过整个闭合曲面的磁通量等于零，即0=+=圆ΦΦΦS所以221R B S πΦΦ-=-=圆习题9—10 如图所示，均匀电场E 沿X 轴正方向，均匀磁场B沿Z 轴正方向，今有一电子在YOZ 平面沿着与Y 轴正方向成135°角的方向以恒定速度v运动，则电场E 和磁场B在数值上应满足的关系是 。

解：电子以恒定速度v运动，说明其所受到的合外力为零，即有0=+m e F F即 0)()(=⨯-+-B e E ev)(45sin )(=--+-i B e i eEv习题9―9图习题9―10图∴ B E v 22=习题9—11 如图，在无限长直载流导线的右侧有面积为S 1和S 2两矩形回路。

两个回路与长直载流导线在同一平面，且矩行回路的一边与长直导线平行。

则通过面积为S 1的矩形回路的磁通量与通过面积为S 2的矩形回路的磁通量之比为 。

解：建立如图所示的坐标轴OX 轴，并在矩形回路内距长直导线x 处取宽为dx 的窄条面元dS =hdx （图中带阴影的面积），则通过该面元的元磁通为hdx xIBdS d πμ20==Φ 所以，通过回路S 1的磁通量为 2ln 220201πμπμIhx dx Ih dS a a ===Φ⎰⎰ 通过回路S 2的磁通量为2ln 2204202πμπμIh x dx Ih dS a a ===Φ⎰⎰ 故，1121=ΦΦ习题9—12 两根长直导线通头电流I ，如图所示有三种环路，在每种情况下，⎰•Ll d B等于：(对环路a ) (对环路b ) (对环路c )习题9―11图习题9―12图解：根据安培环路定理，容易得到：对环路a ， ⎰•Ll d B等于I 0μ；对环路b ，⎰•Ll d B 等于0；对环路c ，⎰•Ll d B等于2I 0μ。

习题9—13 如图所示，在真空中有一半圆形闭合线圈，半径为a ，流过的稳恒电流为I ，则圆心O 处的电流元l Id 所受的安培力F d的大小为 ， 方向为 。

解：圆心O 处的磁感应强度是由半圆形闭合线圈产生的，其直径段的电流在O 处单独产生的磁场为零，其半圆段在O 处产生的磁场即为该点的总磁场aIB O 40μ=O B的方向垂直于图面向内。

根据安培力公式B l Id F d ⨯=可知圆心O 处的电流元l Id 所受的安培力F d的大小为adlI IdlB dF 420μ==力F d的方向垂直于电流元向左。

习题9—14 一根半径为R 的长直导线均匀载有电流I ，作一宽为R 、长为l 的假想平面S ，如图所示。

若假想平面S 可在导线直径与轴O O '所确定的平面内离开O O '轴移动至远处。

试求当通过S 面的磁通量最大时S 平面的位置。

解：见图示，设假想平面S 靠近轴线的一边到轴线的距离为a ，易知长直导线内外的磁场分布为202RIrB πμ=内 (R r ≤≤0)r IB πμ20=外 (R r >)在假想平面S 内、距轴为r 处，沿导线直径方向取一宽度为dr 的窄条面元，通过它的元磁通为l IdO aI习题9―13图习题9―14图 r题解9―14图Bldr d =Φ通过假想平面S 的磁通量为 ldr r I ldr RIr Bldr d R a R RaR a a⎰⎰⎰⎰+++===πμπμΦΦ22020 R R a Il a R R Il ++-=ln2)(202220πμπμ 由最值条件，令012)2(4020=+⋅+-=Ra Il a R Il da d πμπμΦ即 022=-+R Ra a 解得 R Ra 618.0)15(2=-=(其负根已舍去)习题9—15 半径为R 的导体球壳表面流有沿同一绕向均匀分布的面电流，通垂直于电流方向的每单位长度的电流为K 。

求球心处的磁感应强度大小。

解：如图所示，取一直径方向为OX 轴。

并沿电流方向在球面上取一宽度为dl 的球带，该球带可以看成载流圆环，其载有的电流为dI =Kdl =θKRd ，其在球心O 处产生的元磁场为θθμθμd KRR dI dB 20320sin 22)sin (==该元场的方向沿X 轴的正方向。

球面上所有电流在O 点产生的磁感应强度大小 为πμθθμπK d KdB B 022041sin 22=⋅==⎰⎰ 场的方向沿X 轴的正方向。

习题9—16 如图，一半径为R 的带电朔料圆盘，其中有一半径为r 的阴影部分题解9―15图均匀带正电荷，面电荷密度为σ+，其余部分均匀带负电荷，面电荷密度为σ-，当圆盘以角速度ω旋转时，测得圆盘中心O 点的磁感应强度为零，问R 与r 满足什么关系?解：取与圆盘同心、半径为r 、宽度为dr 的圆环，其带量电量为 rdr dS dq πσσ2== 其等效的圆电流为rdr rdrT dq dI σωωππσ===22 其在中心O 处产生的元场强为 dr rdIdB σωμμ00212== 因此，中心O 点的磁感应强度为)2(2121210000R r dr dr dB B R r r-=-==⎰⎰⎰σωμσωμσωμ令该磁感应强度为零可得r R 2=习题9—17 如图，有一密绕平面螺旋线圈，其上通有电流I ，总匝数为N ，它被限制在半径为R 1和R 2的两个圆周之间。