2011年高考数学二轮考点专题突破检测(五)：立体几何

∴BD⊥AC1，∵BD∥NA，∴AC1⊥NA.
又因BD⊥AC可知NA⊥AC，
∴∠C1AC就是平面AFC1与平面ABCD所成锐二面角的平面角．
在Rt△C1AC中，tan∠C1AC＝＝，故∠C1AC＝30°.
∴平面AFC1与平面ABCD 所成锐二面角的大小为30°.
13．(2010·湖北，18)如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，
专题达标检测五
一、选择题
1．若a、b表示互不重合的直线，α、β表示不重合的平面，则a∥α的一个充分条件是()
A．α∥β，a∥βB．α⊥β，a⊥β
C．a∥b，b∥α D． α∩β＝b，a⊄α，a∥b
解析：A，B，C选项中，直线a都有可能在平面α内，不能满足充分性，故选D.
答案：D
2．(2010·全国Ⅰ)正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的 余弦值为()
又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A⊂平面ACC1A1，
∴BD⊥平面ACC1A1.
在四边形DANB中，DA∥BN且DA＝BN，
所以四边形DANB为平行四边形．
故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1.
又∵NA⊂平面AFC1
∴平面AFC1⊥平面ACC1A1
(3)解：由(2)知BD⊥平面ACC1A1，
又AC1⊂平面ACC1A1，
∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1.
(1)设P为AC的中点．证明：在AB上存在一点Q，使PQ⊥OA，
并计算的值；
(2)求二面角O－AC－B的平面角的余弦值．
解：解法一：(1)在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N，连结NC.
又OA⊥OC，∴OA⊥平面ONC.
∵NC⊂平面ONC，∴OA⊥NC.
取Q为AN的中点，则PQ∥NC，
A.B.C.D.
解析：∵BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角即为BB1与平面ACD1所成的角，设其大小为θ，设正方体的棱长为1，则点D到面ACD1的距离为，所以sinθ＝，
得cosθ＝，故选D.
答案：D
3．如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么()
则四面体PEFQ的体积( )
A．与x，y，z都有关
B．与x有关，与y，z无关
C．与y有关，与x，z无关
D．与z有关，与x，y无关
解析：连结EQ、FQ、A1D，作PN⊥A1D，垂足为N.
∵A1B1∥DC且EF＝1，∴S△EFQ是定值．
∵A1B1⊥面ADD1A1且PN⊂面ADD1A1，
∴A1B1⊥PN，∴PN⊥面A1B1CD.
∵PD＝z，∠A1DA＝45°，
∴PN＝z，∴VPEFQ＝S△EFQ·PN与x，y无关，与z有关，故选D.
答案：D
二、填空题
7．(2010·湖南，13)下图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，
则h＝____________cm.
解析：直观图如图，则三棱锥中AD⊥AB，AD⊥AC，AB⊥AC，
1面是菱形，
且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，点M为线段AC1
的中点．
(1)求证： 直线MF∥平面ABCD；
(2)求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1；
(3)求平面AFC1与平面ABCD所成的锐二面角的大小．
(1)证明：延长C1F交CB的延长线于点N，连结AN.因为F是BB1的中点，所以F
＋b＝h)，则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为 ()
A．1＋且a＋b>h
B．1＋且a＋b<h
C ．1＋且a＋b>h
D．1＋且a＋b<h
解析：设啤酒瓶的底面积为S，啤酒瓶的容积为V瓶，
瓶内酒的体积为V酒，
则V酒＝Sa，V瓶－V酒＝Sb，
即得V瓶＝V酒＋Sb＝S(a＋b)，
∴＝＝1＋.
又∵Sa′>Sa，即a′>a，
∴体积V＝×AB·AC·h＝20，
∴h＝4.
答案：4
8．如图所示， 在正 方体，ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为
A1B1，CC1的中点，P为AD上一动点，记α为异面直线PM
与D1N所成的角，则α的取值集合为________．
答案：
9．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多
∴PQ⊥OA.
在等腰△AOB中，∠AOB＝120°，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°.
在Rt△AON中，∠OAN＝30°，
∴ON＝AN＝AQ.
在△ONB中，∠NOB＝120°－90°＝30°＝∠NBO，∴NB＝ON＝AQ，∴＝3.
(2)连结PN，PO.
由OC⊥OA，OC⊥OB知OC⊥平面OAB.
又ON⊂平面OAB，∴OC⊥ON.
＝90°，SA、SB、SC为三棱锥S—ABC外接球的内接正方体的三条棱，设球半径为R，
则4R2＝3SA2＝36，球表面积为4πR2＝36π.
答案：C
6．(2010·北京)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动
点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y，DP＝z(x，y，z大于零)，
为C1N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC1的中点，故MF∥AN.
又∵MF⊄平面ABCD， AN⊂平面ABCD，
∴MF∥平面ABCD.
( 2)证明：(如上图)连结BD，由直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，可知：A1A⊥平面ABCD，
又∵BD⊂平面ABCD，
∴A1A⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.
A．PA＝PB>PC
B．PA＝PB<PC
C．PA＝PB＝PC
D．PA≠PB≠PC
解析：∵M是Rt△ABC斜边AB的中点，∴MA＝MB＝MC.又∵PM⊥平面ABC，∴MA、
MB、MC分别是PA、PB、PC在平面ABC上的射影，∴PA＝PB＝PC.应选C.
答案：C
4．如图，啤酒瓶的高为h，瓶内酒面高度为a，若将瓶盖盖好倒置，酒面高度为a′(a′
BC⊥BC1，AB＝BC1，E、F、G分别为线段AC1、A1C1、BB1
的中点，求证：
(1)平面ABC⊥平面ABC1；
(2)EF∥平面BCC1B1；
(3)GF⊥平面AB1C1.
证明：(1)∵BC⊥AB，BC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴ BC⊥平面ABC1.
∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1.
又由ON⊥OA知ON⊥平面AOC.
∴OP是NP在平面AOC内的射影．
在等腰Rt△COA中，P为AC的中点，
∴AC⊥OP.
根据三垂线定理，知AC⊥NP.
∴∠OPN为二面角O－AC－B的平面角．在等腰Rt△COA中，OC＝OA＝1，
解析：过A作AC⊥平面β于C，C为垂足，连结CB，过C作CD⊥l于D ，连结
AD，则AD⊥l，
∴∠ADC为二面角α－l－β的平面角，即∠ADC＝60°.
∵AC⊥β，∴∠ABC为直线AB与平面β所成角．设AB＝1，则AD＝，AC＝×
＝，
∴sin∠ABC＝＝＝.
答案：
三、解答题
11．(2010·江苏无锡)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，
∴h＝a′＋b>a＋b，
∴＝1＋且a＋b<h.
答案：B
5．在正三棱锥S－ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA
＝2，则正棱锥S－ABC外接球的表面积是()
A．12π B．32π
C．36π D．48π
解析：由于MN⊥AM，MN∥BS，则BS⊥AM，
又根据正三棱锥的性质知BS⊥AC，则BS⊥平面SAC，于是有∠ASB＝∠BSC＝∠CSA
面体的体积V＝________.
解析：该几何体形状如图所示，是一个正方体与正四棱锥的组合体，正方体的体积是
1，正四棱锥的体积是，故该凸多面体的体积为1＋.
答案：1＋
10．(2010·四川)如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB⊂α，
B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的
正弦值是________．
(2)∵AE＝EC1，A1F＝FC1，∴EF∥AA1.
∵BB1∥AA1，∴EF∥BB1.
∵EF⊄平面BCC1B1，∴EF∥平面BCC1B1.
(3)连结EB，则四边形EFGB为平行四边形．
∵EB⊥AC1，∴FG⊥AC1.
∵BC⊥面ABC1，∴B1C1⊥面ABC1，
∴B1C1⊥BE，∴FG⊥B1C1.
∵B1C1∩AC1＝C1，∴GF⊥平面AB1C1.