2020届山东省实验中学高三上学期第一次诊断性数学试题(解析版)

2020届山东省实验中学高三上学期第一次诊断性数学试题一、单选题1．若S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 中元素个数是（ ） A.4 B.5C.6D.7【答案】B【解析】两个”我”字只算一个. 【详解】根据集合中元素的互异性,可得S 中元素个数是5. 故选B. 【点睛】本题考查了集合中元素的互异性,属于基础题. 2．已知函数f(x)=1x,则f′(-2)= ( ) A.4 B.14 C.-4 D.-14【答案】D 【解析】()()211,24f x f x '--'==-. 3．己知命题p ：,21000n n N ∃∈>，则p ⌝为（ ） A.,21000n n N ∀∈< B.,21000n n N ∀∉< C.,21000n n N ∀∈≤ D.,21000n n N ∀∉≤【答案】C【解析】先改存在量词为全称量词,再否定结论. 【详解】p ⌝:,21000n n N ∀∈≤.故选C. 【点睛】本题考查了含有一个量词的命题的否定,属于基础题. 解题方法:先改量词,再否定结论.4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若sin sin sin a A b B c C +<，则ABC ∆的形状是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【答案】C【解析】利用正弦定理将sin sin sin a A b B c C +<角化边得222a b c +< ,再用余弦定理可得cos 0C <,进一步可得C 为钝角. 【详解】因为sin sin sin a A b B c C +<,由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C ===(其中R 为三角形ABC 外接圆的半径), 得sin 2a A R =,sin 2b B R=,sin 2c C R =, 所以有222222a b c R R R +<,即222a b c +<, 所以222cos 02a b c C ab+-=<,因为角C 为三角形的内角,所以角C 为钝角. 故选C. 【点睛】本题考查了利用正弦定理角化边以及余弦定理,属于基础题.一般地,在三角形中,已知条件出现边角混合时,可以考虑使用正余弦定理角化边或边化角达到统一,从而有利于解决问题.5．已知()[]3=sin 1,2,2f x x x x ππ-+∈-，若()f x 的最大值为M ，()f x 的最小值为N ，则M +N 等于（ ） A.0 B.2 C.4πD.38π【答案】B【解析】构造奇函数3()sin g x x x =-,利用奇函数的最大值和最小值互为相反数可得.【详解】设3()sin g x x x =-,因为3()sin()()g x x x -=---3sin x x =-+()g x =-,所以()g x 为[2,2]ππ-上的奇函数.由已知可得()g x ()1f x =-的最大值为1M -,最小值为1N -,所以110M N -+-=, 所以2M N +=. 故选B. 【点睛】本题考查了奇函数的最大值与最小值的和为零这条性质,属于基础题.6．在ABC ∆中，角,B C 所对的边分边为,b c ，已知40,20,60b c C ===︒，则此三角形的解的情况是（ ） A.有一解 B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定 【答案】C【解析】由三角形正弦定理sin sin b c B C =可知4020sin sin sin 60B B B =∴=无解，所以三角形无解，选C.7．若一扇形的圆心角为72︒，半径为20cm ，则扇形的面积为（ ）． A ．240πcm B ．280πcmC ．240cmD ．280cm【答案】D【解析】根据弧度制与角度制的互化，得到2725π=，再利用扇形的面积公式，即可求解． 【详解】扇形的圆心角为2π725︒=， ∵半径等于20cm ，∴扇形的面积为212π40080πcm 25⨯⨯=， 故选B ． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式的应用，其中熟记弧度制与角度制互化公式和扇形的面积公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．8．20世纪初，辽东半岛大连普兰店东部发现古莲子，其寿命在千年以上，至今大部分还能发芽开花，己知碳14半衰期为5730年(注：半衰期为放射性元素残留量降为原来的一半所需要的时间)，若1单位的碳14经过x 年后剩余量为y 单位，则y 关于x 的函数表达式是（ ） A.57302xy -=B.57302x y =C.573012x y -=- D.()573012xy -=-【答案】A【解析】先设出1单位的碳14经过1年后剩余量a 单位,再根据半衰期可求得a ,从而可求得y 关于x 的函数表达式. 【详解】设1单位的碳14经过1年后剩余量为a 单位,则经过x 年后剩余量为x y a =,根据半衰期的定义可得,5730x =时,12y =, 所以573012a =,所以157301()2a =157302-=, 所以157305730(2)2xx y --== . 故选A. 【点睛】本题考查了求函数解析式以及指数幂的运算,属于中档题.解题关键是求出1单位的碳14经过1年后剩余量.9．计算22sin 13cos 582sin13cos58++等于（ ）A.12B.2C.2D.2【答案】A【解析】根据诱导公式将cos58化为sin32 ,再利用降幂公式和积化和差公式变形,然后利用和差化积公式变形后化简可得. 【详解】22sin 13cos 582sin13cos58++ 22sin 13sin 322sin13sin 32=++1cos 261cos 6422--=+1()[cos(1332)cos(1332)]2-+-- 1221(cos 26cos 64)cos 45cos19222=-+-+126642664212cos cos 222222+-=-⨯-⨯+,121cos 45cos(19)cos1922=---+12cos19cos19222=-+ 12=. 故选A. 【点睛】本题考查了三角函数式的求值,着重考查了降幂公式,积化和差与和差化积公式,属于较难题.10．函数()22ln 3f x x x x ax =+-+恰有一个零点，则实数a 的值为（ ）A.4B.3【答案】A【解析】将函数()22ln 3f x x x x ax =+-+恰有一个零点,转化为22ln 3x x x ax +-+0=,即32ln 0a x x x =++=在(0,)+∞上只有一个根,转化为函数32ln y x x x=++与函数y a =的图象只有一个交点,再利用导数研究函数的最值可得.【详解】因为函数()22ln 3f x x x x ax =+-+恰有一个零点,所以22ln 3x x x ax +-+0=,即32ln 0a x x x=++=在(0,)+∞上只有一个根, 所以函数32ln y x x x=++与函数y a =的图象只有一个交点 因为2231y x x '=+-22223(3)(1)x x x x x x+-+-==, 所以当01x <<时,0y '<, 所以32ln y x x x=++在(0,1)内递减; 当1x >时,0y '>,所以32ln y x x x=++在(1,)+∞内递增, 所以1x =时, 32ln y x x x=++取得最小值4. 所以函数32ln y x x x=++的图象如下:观察图象可知:4a =. 故选A. 【点睛】本题考查了已知函数的零点个数,求参数的值,解题关键是将函数零点个数的问题转化为函数图象交点的个数问题处理.本题属于难题. 11．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 【答案】D【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； ∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误．故选D.二、多选题12．给出下列关系，其中正确的选项是（ ） A.{}{}∅∈∅ B.{}{}∅⊆∅C.{}∅∈∅D.{}∅⊆∅【答案】BCD【解析】根据∈用于元素与集合之间的关系,⊆用于集合与集合之间的关系,逐项分析可得. 【详解】对于A,φ不是{{}}φ中的元素,故不正确; 对于B, φ是{{}}φ的一个子集,故正确; 对于C, φ是{}φ中的一个元素,故正确; 对于D, φ是{}φ的一个子集,故正确. 故选BCD 【点睛】本题考查了元素与集合之间,集合与集合之间的符号使用,属于基础题. 13．以下说法正确的是（ ）A.=B.已知()233y m m =--则m 的值为421log 23=- D.钝角是第二象限的角【答案】BD【解析】对于A,根据a 的符号分析可知;对于B,根据幂函数的概念分析可知;对于C,根据根式的性质分析可知;对于D,根据钝角定义以及第二象限角的定义分析可知. 【详解】对于A,因为10a ->,所以0a <,所以0<,0>,故A 不正确;对于B,因为函数()233y m m =--,所以2331m m --= ,即2340m m --= ,解得4,1m m ==-(舍去),故B 正确;对于C,2211log log 33+=+ 2222log 3log 322log 3=--=-2≠,故C 不正确;对于D,显然正确. 故选BD. 【点睛】本题考查了幂函数的概念,根式的性质以及象限角的定义,属于基础题.三、填空题14．设()ln x f x ae b x =+，且1'(1),'(1)f e f e=-=，则a b += . 【答案】1 【解析】【详解】 因为，所以，，故，，故a b +=1. 【考点】导数点评：本题先求导，再进行简单的解方程运算即可，属基础题. 15．已知曲线122:cos ,:sin 23C y x C y x π⎛⎫==+⎪⎝⎭，则为了得到曲线1C ，首先要把2C 上各点的横坐标变为到原来的____倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右至少平移____个单位长度；(本题所填数字要求为正数) 【答案】26π【解析】先将1:cos C y x =利用诱导公式变为112:sin()sin(2)2236C y x x πππ=+=⋅+-,然后根据三角函数的平移变换和周期变换结论可得. 【详解】因为曲线1C 1cos sin()sin(2)2236y x x x πππ2==+=⋅+-, 所以先将2C 上各点的横坐标变为原来的11212ω==倍,纵坐标不变,再把得到的曲线12sin(2)23y x π=⋅+向右平移6π个单位长度.故答案为:2;6π. 【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换和周期变换,注意分析清楚是由谁得到谁,本题属于基础题.16．若01x <<，则181x x+-的最小值是_______；【答案】9+【解析】将181x x +-变成18(1)18911x x x x x x x x x x+-+--+=++--后再用基本不等式可得. 【详解】 因为181x x +-18(1)x x x x x x +-+-=+11881x x x x-=++⋅+-9≥+(当且仅当11x x x x -=-,即12x =时,等号成立)9=+9=+故答案为:9+. 【点睛】本题考查了基本不等式求最小值,解题关键是利用11x x =+-将原式变为积为定值的形式,才能用基本不等式.本题属于中档题.17．已知1x 是函数()22xf x x =+-的一个零点，2x 是函数()()2log 13g x x x =-+-的一个零点，则12x x +的值为__________. 【答案】3【解析】可以将函数零点问题看成两个函数交点问题,结合函数关于y x =对称,计算结果,即可. 【详解】()f x 的零点问题可以转化成()21x h x =+与()3m x x =-的交点,而函数()g x 的零点问题可以看成()()2log 1t x x =-与()3m x x =-的交点,结合反函数的求解得出()h x 与()t x 互为反函数,关于y x =对称,绘制函数图像,得到结合对称可知,AE BD =,而045BGD ∠=,所以BD DG =,而12,AE x OD x ==,G 点坐标为()3,0,所以123x x += 【点睛】本道题考查了函数零点问题,关键将零点问题转化成函数交点个数问题,属于较难的题.四、解答题18．已知函数()log a g x x = (a >0且a ≠1)的图像过点(9，2) (1)求函数()g x 的解析式；(2)解不等式()()315g x g x ->-+． 【答案】（1）()3log g x x =（2）3,52⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】(1)利用函数图象经过点(9,2),解得a 的值,即可得到函数解析式; (2)根据对数的底数判断函数的单调性,利用单调性可解不等式. 【详解】(1)因为log 92a =，所以3a =，即()3log g x x = (2)因为()g x 单调递增，所以3150,x x ->-+> 即不等式的解集是3,52⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性解不等式,属于基础题. 易错点:容易忽视定义域.19．已知命题:11p x ∀-≤≤“，不等式2x x m --<0成立”是真命题． (I)求实数m 的取值范围；(II)若:44q m a -<-<是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（I ）()2,+∞（II ）[)6,+∞【解析】(Ⅰ)根据命题P 是真命题,得不等式恒成立,将不等式恒成立转化为最大值成立,即可得到;(Ⅱ)先化简命题:44q a m a -<<+,再根据q 是p 的充分不必要条件列式可解得. 【详解】（I ）由题意2m x x >-在11x -≤≤恒成立，所以2max ()m x x >-(11)x -≤≤,因为221124x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 所以2124x x -≤-≤，即2max ()2x x -=, 2m >，所以实数m 的取值范围是()2,+∞ （II ）由q 得44a m a -<<+， 因为q p ⇒，所以42a -≥，，即6a ≥ 所以实数a 的取值范围是[)6,+∞ 【点睛】本题考查了不等式恒成立转化为最值成立以及充分不必要条件的应用,属于中档题. 20．如图，在△ABC 中，边AB =2，1cos 3B =，且点D 在线段BC 上，(I)若34ADC π∠=，求线段AD 的长；(II)若BD =2DC ，sin sin BADCAD∠=∠，求△ABD 的面积.【答案】（I ）83AD =（II）3【解析】(I)由cos B 可得sin B ,由ADC ∠可得ADB ∠,然后在三角形ABD 中用正弦定理可得AD;(II)根据2BD DC =，得2BADCADS S ∆∆=,再根据面积公式和已知条件可得AC 的值,然后在三角形ABC 中用余弦定理求得BC 的值,从而可得BD 的值,最后用面积公式可得△ABD 的面积. 【详解】 （I ）由1cos 3B =可得sin 3B = 由34ADC π∠=,可得344ADB πππ∠=-=, 在三角形ADB 中,由正弦定理,sin sin AD ABABD ADB=∠∠=,所以83AD =. （II ）由2BD DC =，得2BADCADS S ∆∆=，所以1sin 221sin 2AB AD BADAC AD CAD ⋅∠=⋅∠，因为sin 2sin BADAB CAD∠==∠，所以AC =在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅， 即234840BC BC --=，可得6BC =或143BC =-（舍去），所以114sin 242233ABD BD S AB BD B ∆==⋅=⨯⨯⨯=，. 【点睛】本题考查了正弦定理,余弦定理以及三角形的面积公式,本题属于中档题.21．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B 以及CD 的中点P 处，已知AB =20km ，CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 内(含边界)，且与A ，B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO ，BO ，OP ，设排污管道的总长为y km ．(I)设BAO θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式；(II)确定污水处理厂的位置，使三条排污管道的总长度最短，并求出最短值． 【答案】（I ）2010sin 10,0cos 4y θπθθ-⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭（II ）污水处理厂的位置为点P 位于线段AB的中垂线上且距离AB处，)10km + 【解析】(I)在直角三角形AOQ 中,利用AQ =10,BAO θ∠=可以求得OA 和OQ ,从而可得OP =10-OQ ,然后可得y OA OB OP =++,并写上θ的范围,即可得到. (II)利用导数得到函数的单调性,根据单调性可求得函数的最值. 【详解】（I ）由条件PQ 垂直平分AB ，若BAO θ∠=，则10cos cos AQ OA θθ==， 故10cos OB θ=，又tan 10tan OQ AQ θθ==,所以1010tan OP θ=-, 所以10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-， 所求函数关系式为2010sin 10,0cos 4y θπθθ-⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭（II ）2210cos cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)cos cos y θθθθθθθ-----'==,令0y '=,得1sin 2θ= ,04πθ≤≤,所以6πθ=,当(0,)6πθ∈时,0y '<,y 是θ的减函数,当(,)64ππθ∈时,0y '>, y 是θ的增函数,所以当6πθ=时,min 12010y -⨯=1010+=,此时点O 位于线段AB 的中垂线上,且距离AB边3km 处.所以三条排污管管道总长最短为)10km + 【点睛】本题考查了利用导数求函数的最小值.本题属于中档题.22．设函数()cos F x x x =+，直线y mx n =+是曲线()y F x =的切线， (I)当02x π≤≤时，求m n -的极大值；(II)曲线()y F x =是否存在“上夹线”，若存在，请求出()F x 的“上夹线”方程；若不存在，请说明理由．（注）设直线():l y g x =，曲线():S y F x =，若直线l 和曲线S 同时满足下列条件： ①直线l 和曲线S 相切且至少有两个切点；②对任意的x ∈R ，都有直线()()g x F x ≥．则称直线l 为曲线S 的“上夹线”． 【答案】（I ）322π+（II ）存在，()1g x x =+ 【解析】(I)设切点的横坐标为0x ,利用导数的几何意义求出曲线()F x 的切线方程,与已知切线方程比较可得到,m n 的值,进而可得m n -,再构造函数,利用导数可求得m n -的极大值;(II)假设还有另一个切点(,())t F t 0()t x ≠,则1sin cos sin m tn t t t =-⎧⎨=+⎩，且0001sin cos sin m x n x x x =-⎧⎨=+⎩， 由此分析可得. 【详解】（I ）()()cos ,1sin F x x x F x x '=+=-，所以函数()F x 在()()00,x F x 处的切线是()()()0000cos 1sin y x x x x x -+=--， 即()00001sin cos sin y x x x x x =-++， 所以01sin m x =-,000cos sin n x x x =+, 所以00001sin cos sin m n x x x x -=--- 设()()1sin cos sin ,02u x x x x x x π=---≤≤所以()()()cos sin sin cos cos 1u x x x x x x x x '=-+-+=-+由()0cos 0u x x '>⇔<，即322x ππ<<所以()u x 在02骣琪琪桫，p 单调递减，在322ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，在322ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减， 由33=222u ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，得m n -的极大值是322π+. （II ）假设曲线()y F x =存在“上夹线” ():l g x mx n =+，由（I ）知，00001sin cos sin m x n x x x =-⎧⎨=+⎩，因为直线l 和曲线S 相切且至少有两个切点，所以存在0t x ≠，使得1sin cos sin m t n t t t=-⎧⎨=+⎩，所以0sin sin t x =, 所以存在02t x π=+ ,使得00cos sin cos sin o t t t x x x +=+成立, 所以000000cos(2)(2)sin(2)cos sin x x x x x x πππ++++=+, 所以000000cos (2)sin cos sin x x x x x x π++=+, 即0000(2)sin sin x x x x π+=, 即02sin x π =0, 所以0sin 0x =. 所以0sin sin 0t x ==, 所以cos 1t =±,所以11m n =⎧⎨=±⎩，又因为对任意的x ∈R ，都有直线()()g x F x ≥， 则()1g x x =+是()y F x =的上夹线. 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程,利用导数求函数的极大值,还考查了对新定义的理解,关键是正确理解新定义.本题属于难题. 23．已知函数：()()21ln ,12x f x x a x a g x e x =--=-- (I)当[]1,x e ∈时，求()f x 的最小值；(II)对于任意的[]10,1x ∈都存在唯一的[]21,e x ∈使得()()12g x f x =，求实数a 的取值范围．【答案】（I ）答案不唯一，见解析（II ）2124,24e e ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭【解析】(I)求导后,通过对a 的讨论,得到函数的单调性,根据单调性可得最小值; (II)对于任意的[]10,1x ∈都存在唯一的[]21,e x ∈使得()()12g x f x =,得()g x ([0,1]x ∈的值域是()([1,])f x x e ∈的值域的子集,求出两个函数的值域后列式可求得.，注意2x 的唯一性满足 【详解】解：（I ）()2x af x x-'= 01.1a ≤时，[]()()1,,0,x e f x f x '∈≥递增，()()min 112f x f a ==-, 022.a e ≥时，[]()()1,,0,x e f x f x '∈≤递减，()()2min22e f x f e a ==-023.1a e <<时，x ⎡∈⎣时()()0,f x f x '<递减，x e ⎤∈⎦时()()0,f x f x '>递增，所以()min ln 22a af x fa ==-- 综上，当()min 112a f x a ≤=-，； 当()2min 1ln 22a a a e f x a <<=--，当()22min 22e a ef x a ≥=-，（II ）因为对于任意的[]10,1x ∈都存在唯一的[]21,e x ∈使得()()12g x f x =成立, 所以()g x ([0,1]x ∈的值域是()([1,])f x x e ∈的值域的子集. 因为()1,xg x e '=-[]()()0,10,x g x g x '∈≥，递增，()g x 的值域为()()[]0,10,2g g e =-⎡⎤⎣⎦（i ）当1a ≤时，()f x 在[]1,e 上单调递增，又()()211,222e f a f e a =-=-，所以()f x 在[1,e]上的值域为21[,2]22ea a --,所以2102222a e a e ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩ 即112a ≤≤ （ii ）当21a e <<时，因为x ⎡∈⎣时，()f x递减，x e ⎤∈⎦时，()f x 递增，且()10,0f f<<，所以只需()2f e e ≥-，即2222e a e -≥-，所以21142e ea <≤-+ （iii ）当2a e ≥时，因为()f x 在[]1e ，上单调递减，且()()1102f x f a ≤=-<， 所以不合题意.综合以上，实数a 的取值范围是2124,24e e ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值,分类讨论思想,等价转化思想,本题属于难题. 解题方法总结:像”对于任意的[]10,1x ∈都存在唯一的[]21,e x ∈使得()()12g x f x =，”已知条件,一般是转化为两个函数的值域得包含关系,口诀是:任意是存在的子集.。