2019版高考数学文科二轮专题复习课件：第二部分 坐标系与参数方程(选修4-4)(共36张PPT)

专题七 选修4系列
第 1 讲 坐标系与参数方程 (选修 4－4)
1．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的
参数方程为xy＝＝42scions
θ， θ (θ
为参数)，直线
l
的参数方程为
x＝1＋tcos y＝2＋tsin
α， α (t
为参数)．
(1)求 C 和 l 的直角坐标方程；
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝co4s θ. 由|OM|·|OP|＝16 得 C2 的极坐标方程为 ρ＝4cos θ(ρ ＞0)． 因此 C2 的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)设点 B 的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)． 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，
(1)点 M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上， 且|OM|·|OP|＝16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程；
(2)设点 A 的极坐标为2，π3，点 B 在曲线 C2 上，求 △OAB 面积的最大值．
解：(1)设 P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为 (ρ1，θ)(ρ1＞0)．
所以|PA|＝ 0－122＋1－122＝ 22，
|PB|＝ 43－122＋－13－122＝562，
|PA|·|PB|＝
25 2 ·6
2＝56.
[规律方法] 1．涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一 般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当 然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程． 2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的 几何意义，或者利用 ρ 和 θ 的几何意义，直接求解，能 达到化繁为简的解题目的．
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α (t
为参数)．设
P
是直线上的任一点，则
t 表示有向线段P→0P的数量．
2．圆、椭圆的参数方程
(1)圆心为点 M(x0，y0)半径为 r 的圆的参数方程为
x＝x0＋rcos θ， y＝y0＋rsin θ (θ
为参数，0≤θ≤2π)．
或 k>1，即 α∈(π2，34π)或 α∈(π4，π2)．
综上，α 的取值范围是(π4，34π)．
(2)l 的参数方程为
x＝tcos α， y＝－ 2＋tsin
α(t
为参数，π4<α<34π)．
设 A，B，P 对应的参数分别为 tA，tB，tP，则 tP＝tA＋2 tB，
且 tA，tB 满足 t2－2 2tsin α＋1＝0.
记 y 轴右边的射线为 l1，y 轴左边的射线为 l2. 由于点 B 在圆 C2 的外面，故 C1 与 C2 有且仅有三个 公共点等价于 l1 与 C2 只有一个公共点且 l2 与 C2 有两个公 共点，或 l2 与 C2 只有一个公共点且 l1 与 C2 有两个公共点． 当 l1 与 C2 只有一个公共点时，A 到 l1 所在直线的距 离为 2.
代入 x2＋(y＋2)2＝4，整理得 t2＋8tsin α＋12＝0. 设点 P、Q 对应的参数值分别为 t1、t2，则 t1t2＝12. C→P·C→Q＝|C→P||C→Q|＝|t1t2|＝12.
热点 3 极坐标与参数方程的综合应用 【例 3】 (2018·济南模拟)在平面直角坐标系 xOy 中， 已知直线 l 的参数方程为xy＝＝2－＋1t－t，(t 为参数)，以坐标 原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ2＝1＋s2in2θ，直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点． (1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； (2)已知点 P 的极坐标为 22，π4，求|PA|·|PB|的值．
又由①得 t1＋t2＝4（21co＋s 3αc＋oss2iαn α）， 故 2cos α＋sin α＝0，于是直线 l 的斜率 k＝tan α＝ －2.
2．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2＋2ρcos θ－ 3＝0.
是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，
y)和(ρ，θ)，则xy＝＝ρρscions
θ， θ，
ρ2＝x2＋y2，
tan
θ＝xy（x≠0）.
2．直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0，θ0)，且与极轴所成的角为 α，则 它的方程为 ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝α 和 θ＝π＋α； (2)直线过点 M(a，0)(a＞0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a； (3)直线过 Mb，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b.
解：(1)l 的普通方程为 x＋y－1＝0. 又因为 ρ2＋ρ2sin2θ＝2， 所以 x2＋y2＋y2＝2， 即曲线 C 的直角坐标方程为x22＋y2＝1. (2)点 P 的直角坐标为12，12. 由xy＝2＋12－y2x＝，2，得 3x2－4x＝0， 所以 x1＝0 或 x2＝43，令 A(0，1)，则 B43，－13.
[变式训练] (2018·潍坊质检)已知在极坐标系中，点
A2，π6，B2 3，23π，C 是线段 AB 的中点，以极点为原 点，极轴为 x 轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度
单位，建立平面直角坐标系，曲线 Ω 的参数方程是
x＝2cos θ， y＝－2＋2sin
(1)求 C2 的直角坐标方程； (2)若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程． 解：(1)由 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 得 C2 的直角坐标方 程为(x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知 C2 是圆心为 A(－1，0)，半径为 2 的圆．
由题设知，C1 是过点 B(0，2)且关于 y 轴对称的两条 射线．
(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1，2)，
求 l 的斜率．
解：(1)曲线 C 的直角坐标方程为x42＋1y62 ＝1. 当 cos α≠0 时，l 的直角坐标方程为 y＝tan α·x＋2 －tan α， 当 cos α＝0 时，l 的直角坐标方程为 x＝1. (2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得 关于 t 的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.① 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1，2)在 C 内， 所以①有两个解，设为 t1，t2，则 t1＋t2＝0.
[变式训练] 已知曲线 C 的参数方程为
x＝2＋2cos y＝2sin θ
θ， (θ
为参数)，以坐标原点
O
为极点，x
轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
θ(θ
为参数)．
(1)求点 C 的直角坐标，并求曲线 Ω 的普通方程；
(2)设直线 l 过点 C 交曲线 Ω 于 P，Q 两点，求C→P·C→Q
的值．
解：(1)将点 A，B 的极坐标化为直角坐标，得 A( 3， 1)和 B(－ 3，3)．
所以点 C 的直角坐标为(0，2)． 将xy＝＝－2co2s＋θ2，sin θ，消去 θ，得 x2＋(y＋2)2＝4. 所以曲线 Ω 的普通方程为 x2＋(y＋2)2＝4. (2)设直线 l 的参数方程为xy＝＝2tc＋ostsαin，α(t 为参数，α 为直线 l 的倾斜角)，
从近几年命题看：本讲命题内容以解答题的形式呈 现，以极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方 程的互化为主要内容，考查直线与圆锥曲线的位置关系， 难度中等，分值 10 分．
热点 1 曲线的极坐标方程
1.直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正
半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设 M
所以|－kk2＋＋21|＝2，解得 k＝－43或 k＝0. 经检验，当 k＝0 时，l1 与 C2 没有公共点； 当 k＝－43时，l1 与 C2 只有一个公共点，l2 与 C2 有两 个公共点． 当 l2 与 C2 只有一个公共点时，A 到 l2 所在直线的距 离为 2.
所以 |kk＋2＋2|1＝2，故 k＝0 或 k＝43. 经检验，当 k＝0 时，l1 与 C2 没有公共点； 当 k＝43时，l2 与 C2 没有公共点． 综上，所求 C1 的方程为 y＝－43|x|＋2.
于是 tA＋tB＝2 2sin α，tP＝ 2sin α. 又点 P 的坐标(x，y)满足yx＝＝－tPcos2＋α，tPsin α， 所以点 P 的轨迹的参数方程是
x＝ 22sin 2α，

y＝－
22－
2 2 cos
(α 2α
为参数，π4<α<34π)．
[规律方法] 1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是 先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问 题． 2．在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的 使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最 值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根 据参数的取值条件求解．
于是△OAB 的面积 S＝12|OA|·ρB·sin ∠AOB＝4cos α·sinα－π3＝2sin2α－π3－ 23≤2＋ 3.
当 α＝－1π2时，S 取得最大值 2＋ 3. 所以△OAB 面积的最大值为 2＋ 3.
[规律方法] 1．进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓 住互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝ xy(x≠0)，要注意 ρ，θ 的取值范围及其影响，灵活运用代 入法和平方法等技巧． 2．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时， 如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程， 然后求解．
(2)椭圆xa22＋by22＝1
的参数方程为xy＝＝bascions
θ， (θ