人教版九年级数学下册学练优教学参考课件：27.2.2相似三角形的性质
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人教版初中九年级下册数学《27.2.2 相似三角形的性质》课件
B
C
巩固练习
∴ DF AF ， 即 0.6 2，
CH AH
CH 3
A
解得 CH = 0.9米.
∴ 阴影部分的面积为：
EF D
CH 2 0.92 2.54 (平方米).
H
B
C
答：地面上阴影部分的面积为 2.54 平方米.
连接中考
1.两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（ C ）
A． 2：3
∴
∴
SABC k 2.
S ABC
B
C
A′ C′
巩固练习
已知两个三角形相似，请完成下列表格：
相似比 2 周长比 2 面积比 4
1
3 100 k ……
1
3 100 k ……
1
9 10000 k2 ……
探究新知
素养考点 1 利用相似三角形面积的比求面积或线段 例1 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，
A
G
B
C
D
H
故 EH 的长为 3.2 cm.
E
F
巩固练习
相似三角形对应边的比为2∶3,那么相似比为__2_∶___3__,对 应角的角平分线的比为 2 ∶ 3 .
两个相似三角形对应边上的高的比为1∶4 , 若一个三角形 的最长边是为12，则另一个三角形的最长边是__3_或__4_8_.
探究新知
知识点 2 相似三角形周长的比 【想一想】 相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？
A
A'
B
C
B'
C'
探究新知
由前面的结论，我们有
S△ABC
1 BC AD 2
人教版九年级数学下册27.2.2相似三角形的性质 课件
1、如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1： 2，求△AEF与△CDF周长的比。如果S△AEF=6 cm2,求S△CDF？
D
C
F
A E
B
拓展练习
1. 这是圆桌正上方的灯泡（当成一个点）发出 的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直 径为1.2米，桌面距离地面为1米，若灯泡距离地面3 米，则地面上阴影部分的面积为多少？
=k·k= k2
BC
B1C1
AD A1 D1
B1
D C A1 D1 C1
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
例.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF， ∠A＝∠D，若△ABC的边BC上的高为6，面积为 12 5， 求△DEF的边EF上的高和面积．
解：在△ABC和△DEF中，
A'
A
B
F
C
B'
F'
C'
猜想 AF k A' F'
你能类比前 面的方法证
明吗？
相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
知识要点
相似三角形对应高的比，对应中线的 比，对应角平分线的比都等于相似比.
相似三角形对应线段的比等于相似比.
A'
A
B
C B'
C' 相似三角形
猜想 C△△ABC k C△△A'B'C '
(1)S △ADE: S △AFG : S △ABC = 1:4:9
(2)S △ADE: S 梯形DFGE: S 梯形FBCG =
1:3:5
A
D F B
E G C
*10、如图，△ABC,DE// FG// BC ，且△ADE的面积,
D
C
F
A E
B
拓展练习
1. 这是圆桌正上方的灯泡（当成一个点）发出 的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直 径为1.2米，桌面距离地面为1米，若灯泡距离地面3 米，则地面上阴影部分的面积为多少？
=k·k= k2
BC
B1C1
AD A1 D1
B1
D C A1 D1 C1
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
例.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF， ∠A＝∠D，若△ABC的边BC上的高为6，面积为 12 5， 求△DEF的边EF上的高和面积．
解：在△ABC和△DEF中，
A'
A
B
F
C
B'
F'
C'
猜想 AF k A' F'
你能类比前 面的方法证
明吗？
相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
知识要点
相似三角形对应高的比，对应中线的 比，对应角平分线的比都等于相似比.
相似三角形对应线段的比等于相似比.
A'
A
B
C B'
C' 相似三角形
猜想 C△△ABC k C△△A'B'C '
(1)S △ADE: S △AFG : S △ABC = 1:4:9
(2)S △ADE: S 梯形DFGE: S 梯形FBCG =
1:3:5
A
D F B
E G C
*10、如图，△ABC,DE// FG// BC ，且△ADE的面积,
27.2.2相似三角形的性质.ppt
都等于相似比.
角 对应角平分线的比
形 周长的比
相似三角形的性质
问题:两个相似三角形的面积 之间有什么关系呢？
用心观察 当相似比＝k时，面积比＝k2．
（1）
1
（2）
2
（3）
3
(1)与(2)的相似比=_1_∶___2_, (1)与(2)的面积比=___1_∶__4 (2)与(3)的相似比=___2∶___3, (2)与(3)的面积比=___4_∶__9
其中AD、 AD分别为BC、 BC边上的高,
由ABD ∽ABD能否得到 AD 等于什么？
AD
因为ABD∽ ABD,
所以 AD AB (相似三角形的对应边成比例)
AD AB
k
结论：相似三角形对应高
的比等于相似比.
图 18.3.9
图 18.3
自主思考---类似结论
问题2 : 如图, ABC∽ ABC,相似比为k,
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
已知△ABC∽△ A，B且C 相似比为k，
AD、 分A别D是△ABC、△ 对AB应C边 BC、
上的高B，C求 证：
证明：∵△ABC∽△ABC
S ABC k 2
S ABC
A
∴ AD k, BC k
AD BC
B
D
C
∴ SABC
1 AD• BC 2
k2
A'
SABC 1 AD • BC
4.如图，在 ABCD中，若E是AB的中点，
则(1)∆AEF与∆CDF的相似比为__1__: _2_.
(2)若∆AEF的面积为5cm2，
k AE 1 CD 2
则∆CDF的面积为____2_0_c.m2 D
人教版九年级数学下册《27.2.2 相似三角形的性质》优质课件
第27章 相似
27.2.2 相似三角形的性质
思考
三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，
三个内角的角度，高、中线、角平分线的长度，以及周
长、面积等。如果两个三角形相似，那么它们的这些几
何量之间有什么关系呢？
根据三角形的定义可知，相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
例1. 如图， △ ABC∽ △ ’’’，相似比为k，它们对应高、
三角形，来测量金字塔的高度。如图，长2m，它的影长为
3m，为201m,求金字塔的高度。
解：太阳光是平行光线，因此∠BAO = ∠EDF
又∠AOB = ∠DFE = 90°，∴ △ ABO∽ △ DEF
∙
201×2
∴
= ，∴BO =
=
= 134(m)
3
因此金字塔的高度为134m。
解：如图，过N点作ND⟂PQ于D，
∴ = ，又 = 2，
= 1.6， = 1.2，
∙
2×1.2
= 0.8，∴QD =
=
= 1.5，
1.6
∴PQ = QD + NM = 1.5 + 0.8 = 2.3(m)。
6. 如图所示，为估算某河的宽度,在河对岸选定一个目标点A，在近∴ △ DEF∽ △ ABC， Nhomakorabea相似比为
2
∵ △ ABC的边BC上的高为6，面积为12 5。
∴△
1
DEF的边BC上的高为
2
×6
1
1
=3，面积为 × ×
2
2
12 5 = 3 5
相似三角形应用举例
27.2.2 相似三角形的性质
思考
三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，
三个内角的角度，高、中线、角平分线的长度，以及周
长、面积等。如果两个三角形相似，那么它们的这些几
何量之间有什么关系呢？
根据三角形的定义可知，相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
例1. 如图， △ ABC∽ △ ’’’，相似比为k，它们对应高、
三角形，来测量金字塔的高度。如图，长2m，它的影长为
3m，为201m,求金字塔的高度。
解：太阳光是平行光线，因此∠BAO = ∠EDF
又∠AOB = ∠DFE = 90°，∴ △ ABO∽ △ DEF
∙
201×2
∴
= ，∴BO =
=
= 134(m)
3
因此金字塔的高度为134m。
解：如图，过N点作ND⟂PQ于D，
∴ = ，又 = 2，
= 1.6， = 1.2，
∙
2×1.2
= 0.8，∴QD =
=
= 1.5，
1.6
∴PQ = QD + NM = 1.5 + 0.8 = 2.3(m)。
6. 如图所示，为估算某河的宽度,在河对岸选定一个目标点A，在近∴ △ DEF∽ △ ABC， Nhomakorabea相似比为
2
∵ △ ABC的边BC上的高为6，面积为12 5。
∴△
1
DEF的边BC上的高为
2
×6
1
1
=3，面积为 × ×
2
2
12 5 = 3 5
相似三角形应用举例
27.2.2 相似三角形的性质课件(共21张PPT)
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形
∴ AD//BC，AD = BC，AE：BC=2：5.
∵△AEF∽△CBF， ∴ S△AEF：S△CBF = 4：25.
注意：
②当 AE：ED = 3：2时，AE：AD = 3：5，
AE： ED要分两种
同理可得， S△AEF：S△CBF = 9：25.
情况讨论.
27.2.2 相似三角形的性质
D'
C
C'
27.2.2 相似三角形的性质
（2）玻璃样品的角平分线和图纸上的角平分线相对应吗？如图，△ABC
∽△A′B′C′，相似比为 k，求它们对应角平分线的比.
A
解：如图，分别作出 △ABC 和△A' B' C' 的角平分线
AD 和 A'D'，则∠BAD =∠B' A' D'
∵△ABC ∽△A′B′C′
∵△CEB的面积为9,∴△FDE的面积为1,∴△ABF的面积为4,
∴▱ABCD的面积＝9－1＋4＝12.
27.2.2 相似三角形的性质
课堂小结
对应角相等
相
似
三
角
形
的
性
质
对应边成比例
对应边的比叫做相似比
对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于
相似比.
周长的比等于相似比
面积的比等于相似比的平方
(5)图纸中图形与三角形玻璃样品面积比也等于相似比吗？为什么？
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的面积比是多少？
A
B
A'
C
B'
C'
27.2.2 相似三角形的性质
∴ AD//BC，AD = BC，AE：BC=2：5.
∵△AEF∽△CBF， ∴ S△AEF：S△CBF = 4：25.
注意：
②当 AE：ED = 3：2时，AE：AD = 3：5，
AE： ED要分两种
同理可得， S△AEF：S△CBF = 9：25.
情况讨论.
27.2.2 相似三角形的性质
D'
C
C'
27.2.2 相似三角形的性质
（2）玻璃样品的角平分线和图纸上的角平分线相对应吗？如图，△ABC
∽△A′B′C′，相似比为 k，求它们对应角平分线的比.
A
解：如图，分别作出 △ABC 和△A' B' C' 的角平分线
AD 和 A'D'，则∠BAD =∠B' A' D'
∵△ABC ∽△A′B′C′
∵△CEB的面积为9,∴△FDE的面积为1,∴△ABF的面积为4,
∴▱ABCD的面积＝9－1＋4＝12.
27.2.2 相似三角形的性质
课堂小结
对应角相等
相
似
三
角
形
的
性
质
对应边成比例
对应边的比叫做相似比
对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于
相似比.
周长的比等于相似比
面积的比等于相似比的平方
(5)图纸中图形与三角形玻璃样品面积比也等于相似比吗？为什么？
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的面积比是多少？
A
B
A'
C
B'
C'
27.2.2 相似三角形的性质
人教版九年级数学下册 27-2-2 相似三角形的性质 教学课件PPT初三公开课
形BDEC的面积为 ( B )
A ．12cm2 B ．9cm2 C ．6cm2 D ．3cm2
已 DE 是△ABC
知
的中位线
DE//BC，
DE
BC
=
1
2
△ ADE∽ △ ABC
相似比是1：2
S△ADE:S△ABC= 1：4
S△ADE:S四边形BDEC= 1：3
3.(凉山州中考)在平行四边形 ABCD 中，E 是AD 上一 点，且点 E 将 AD 分为2：3的两部分，连接 BE，AC
∵△ABC ∽△A′B′C′，
A
∴∠B＝ ∠B′ . 又△ABD 和 △A'B' D'都是直角三角形，
∴△ABD ∽△A' B' D' .
BD
C
∴
AD AD
=
AB AB
= k.
就是对应边上 的高！
A相' 似三角形对应高的比等于相似比.
B' D' C'
如图，分别作 △ABC 和 △A' B' C' 的中线 AD 和 A' D' ．
则 = =k.
A
பைடு நூலகம்
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B＝ ∠B' ，
=k
BDC
∴△ABD ∽△A' B' D' .
A'
则 = =k.
对应边上的中线！
相似三角形对应中线的比等于相似比. B' D' C'
如图,分别作△ABC 和△A'B'C' 的角平分线 AD 和 A'D' ,
27.2.2相似三角形的性质课件
第9页/共20页
练习
1、两个相似三角形对应高的长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小三角形的周长为____cm，面积为____cm2。
2、在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积。
14
第10页/共20页
同理可证：相似三角形对应边上的中线，对应角平分线的比也等于K。结论: 相似三角形对应高的比，对应边上的中线，对应角平分线的比等于______。
相似比
第2页/共20页
知识点二：相似三角形的周长比
已知，如图，△ABC∽△A′B′C′，探究下列问题: △ABC与△A′B′C′的对应边有什么 关系？
相似比
相似比的平方
第12页/共20页
强化训练
1、连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于____，面积比等于____。
2、如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为_______，周长的比为________。
第13页/共20页
强化训练
3、在一张复印出来的纸上,一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是多少？这个多边形的面积发生了怎样的变化？
知识点一：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比
已知，如图，△ABC∽△A′B′C′AD，A′D′分别是△ABC与△A′B′C′的高，（1）相似三角形的对应高的比与相似比有什么关系? 写出推导过程。
相等
第1页/共20页
证明:(1)∵△ABC∽△A′B′C′ ∴ ∠B=∠ B′ 又∵AD⊥BC A′D′⊥B′C′ ∴∠ADB=∠ A′D′B′=90° ∴△ABD∽△A′B′D′ ∴
练习
1、两个相似三角形对应高的长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小三角形的周长为____cm，面积为____cm2。
2、在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积。
14
第10页/共20页
同理可证：相似三角形对应边上的中线，对应角平分线的比也等于K。结论: 相似三角形对应高的比，对应边上的中线，对应角平分线的比等于______。
相似比
第2页/共20页
知识点二：相似三角形的周长比
已知，如图，△ABC∽△A′B′C′，探究下列问题: △ABC与△A′B′C′的对应边有什么 关系？
相似比
相似比的平方
第12页/共20页
强化训练
1、连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于____，面积比等于____。
2、如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为_______，周长的比为________。
第13页/共20页
强化训练
3、在一张复印出来的纸上,一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是多少？这个多边形的面积发生了怎样的变化？
知识点一：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比
已知，如图，△ABC∽△A′B′C′AD，A′D′分别是△ABC与△A′B′C′的高，（1）相似三角形的对应高的比与相似比有什么关系? 写出推导过程。
相等
第1页/共20页
证明:(1)∵△ABC∽△A′B′C′ ∴ ∠B=∠ B′ 又∵AD⊥BC A′D′⊥B′C′ ∴∠ADB=∠ A′D′B′=90° ∴△ABD∽△A′B′D′ ∴
人教数学九年级下册第二十七章相似27.2相似三角形 教学课件
C′
想一想：如果对应相等的角不是两组对应边的夹角， 那么两个三角形是否相似呢？
D C
F
A
B
E
【跟踪训练】
下列各组条件中不一定使△ABC与△DEF相似的是（ D ） A.∠A=∠D=40° ∠B=∠E=60°AB=DE B.∠A=∠D=60° ∠B= 40° ∠E=80° C.∠A=∠D=50° AB=3 AC=5 DE=6 DF=10 D.∠B=∠E=70° AB：DE=AC：DF 注意：对应相等的角必须是两组对应边的夹角，如果不是夹 角，则它们不一定会相似．
设其他两边分别为x,y ①4:2=5:x=6:y ②4:x=5:2=6:y ③4:x=5:y=6:2
4
5
6 2
1.（泰州·中考）一个铝质三角形框架三条边长分别
为24cm，30cm，36cm，要做一个与它相似的铝质三角形
框架，现有长为27cm，45cm的两根铝材，要求以其中的
一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为
∵A′B′:AB=A′C′:AC
∴ AD:AB=AE:AC
D
∴DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴△A′B′C′∽△ABC
A′
B′
C′
A
E
B
C
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角 相等，那么这两个三角形相似 .
A
Q AB AC k
AB AC
B
C
A = A
A′
∴△ABC∽△ ABC.
B′
证明：∵
AB 6 1 , AB 18 3
BC 8 1 , BC 24 3
AC 10 1 , AC 30 3
∴
AB BC AC ,
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• 类似地，可以证明相似三角形的对应中线，角
平分线的比也等于相似比.
• 因而，相似三角形的对应高，中线，角平分线
的比等于相似比.
• 一般地，我们有：
• 相似三角形对应线段的比等于相似比.
活动2：探究相似三角形的周长的关系
如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？两 个相似多边形呢？
A A'
B
C B' C'
是30cm，如果半径是15cm的蛋糕够2个人吃，半径是30cm
的蛋糕够多少人吃（假设两种蛋糕高度相同）？
解： 两种蛋糕是相似的，
相似比是1：2，
1 面积的比为 1: 4 2
设半径是30cm的蛋糕够x人吃 1 ：4 ＝2 ：x
2
x= 8
答：半径是30cm的蛋糕够8个人吃．
4. 在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中
原周长 1 ＝ 扩大5倍周长 5
扩大5倍周长＝5×原周长
（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边
形的面积也扩大为原来的9倍．
（2）一个三角形各边扩大为原来9倍，相似比为1：9
S原四边形 1 ＝ S 扩大9倍四边形 9
2
边长扩大9倍四边形＝81倍原四边形的的面积
3. 蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径是15cm,一种半径
如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么 AB BC CA k A' B' B' C ' C ' A' 因此 AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'
从而
AB BC CA kA ' B' kB ' C ' kC ' A' k A' B' B' C 'C ' A' A' B' B' C 'C ' A'
如图，四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′，相似比为 k2，它们面积的比是多少？
A′
A D B C B′ C′ D′
相似多边形面积比等于相似比的平方.
课堂小结
1.相似三角形的对应高，中线，角平分线的比等于相似比. 一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比. 2.相似三角形周长的比等于相似比； 相似多边形周长的比等于相似比. 3.相似三角形面积的比等于相似比的平方; 相似多边形面积的比等于相似比的平方.
归纳：
相似三角形周长的比等于相似比；
相似多边形周长的比等于相似比.
活动3：探究相似三角形的面积的关系 （1）如图，△ABC∽△A' B' C' ，相似比为k1，它们的面积 比是多少？
A A'
B
D
C
B'
D'
ห้องสมุดไป่ตู้C'
如图，分别作出△ABC和△A' B' C' 的高AD和A' D' ． ∵ ∴ ∠ADB =∠A' D' B' △ABD∽△A' D' B' ∠B＝∠B'
AD AB k A' D' A' B '
S△ ABC S△ A'B 'C ' 1 BC AD 2 1 B' C ' A' D' 2
1 k B' C 'k A' D' 2 k2 1 B' C ' A' D' 2
归纳：
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
延伸：
27.2 相似三角形
27.2.2
新课 引入
相似三角形的性质
合作 探究 课堂 小结 随堂 训练
新课引入
问题1：判定两三角形相似的方法有哪些？
问题2：相似多边形的对应角、对应边的性质是什么？
首页
合作探究
活动1：探究相似三角形的对应线段的关系
如图，△ABC ∽△ABC，相似比为k，分别作BC， BC 上的高 AD， AD ． ADk . 求证：
AD
解: ∵△ ABC ∽△ABC，
∴ ∠B′= ∠B．
ADB =∠ADB =90°， 又∵
∴△ABD ∽△ABD. (两角对应相等的两个三角形相似) 从而 AD AB k . (相似三角形的对应边成比例)
AD AB
首页
归纳：
相似三角形的对应高的比等于相似比.
的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是多少？这个多边 形的面积发生了怎样的变化？
解：
放缩比例为
6 3 2 1
面积发生了
S变化 3 9 S原图 1 1
S变化 9S原图
2
课后作业
见《学练优》本课时课后巩固提升
首页
首页
随堂训练
1.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，
∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的
周长和面积．
A D
B
C
E
F
首页
解：在△ABC和△DEF中，
∵ ∴ AB＝2DE，AC＝2DF
DE DF 1 AB AC 2
又 ∠D＝∠A
1 ∴ △DEF∽△ABC，相似比为 2
L△ADE 1 , L△ABC 2
L△ADE 1 = L△ADE =12 24 2
S△ADE 1 = S△ABC 4
S△ADE 1 = 48 4
S△ADE =12
2.判断 （1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形 的周长也扩大为原来的5倍；
解：
（1）一个三角形各边扩大为原来5倍，相似比为1：5