【全程复习方略】2013-2014学年高中数学 1.6三角函数模型的简单应用课时提升卷 新人教A版必修4

三角函数模型的简单应用
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题6分，共30分)
1.(2013·烟台高一检测)车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)=50+4sin(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )
A.[0，5]
B.[5，10]
C.[10，15]
D.[15，20]
2.函数y=sin(ωx+φ)(x∈R，ω>0，0≤φ<π)的部分图象如图，则( )
A.ω=，φ=
B.ω=，φ=
C.ω=，φ=
D.ω=，φ=
3.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数解析式为s=6sin(2πt+)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为
( )
A.2πs
B.πs
C.0.5s
D.1s
4.(2013·天津高一检测)函数y=sinx与y=tanx的图象在上的交点有
( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的图象上一个最高点为(2，3)，与这个最高点相邻的一个函数值为0的点是(6，0)，则f(x)的解析式为
( )
A.f(x)=3sin
B.f(x)=3sin
C.f(x)=3sin
D.f(x)=3sin
二、填空题(每小题8分，共24分)
6.函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的初相和频率分别为-π和，则它的相位是.
7.函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0，ω>0，|φ|<)的图象如图，则f(x)= .
8.如图，点P是半径为r的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针
方向以角速度ω(rad/s)做圆周运动，则点P的纵坐标y关于时间t的函数关系式
为.
三、解答题(9题～10题各14分，11题18分)
9.如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此
摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心O
高度相同)时开始计时(按逆时针方向转).
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式.
(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米.
10.(2013·新乡高一检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)，x∈R的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.
(1)求f(x)的解析式.
(2)当x∈，求f(x)的值域.
11.(能力挑战题)如图所示，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx(A>0，ω>0)，x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S(3，2)；
赛道的后一部分为折线段MNP.求A，ω的值和M，P两点间的距离.
答案解析
1.【解析】选C.由2kπ-≤≤2kπ+得4kπ-π≤t≤4kπ+π(k∈Z)，由于
0≤t≤20，所以0≤t≤π或3π≤t≤5π，从而车流量在时间段[10，15]内是增加的.
2.【解析】选C.由3-1=2=⇒T=8=⇒ω=，特殊点函数值f(1)=1，可得φ=.
3.【解析】选D.单摆来回摆动一次所需时间为该函数的最小正周期，因为ω=
2π，所以T==1.
4.【解析】选D.当x=0时，sinx=0，tanx=0，(0，0)为两函数图象的交点；当x∈时，tanx>sinx，两函数图象无交点；当x∈时，tanx<sinx，两函数图象无交点，所以所求交点只有1个.
5.【解析】选C.由题意，得A=3，T=6-2=4，
有T=16=，所以ω=，得
f(x)=3sin，
最高点为(2，3)，有3sin=3，
得sin=1，又0<φ<π，所以φ=，
所以f(x)=3sin.
6.【解析】T==，故ω==3π，
相位ωx+φ=3πx-π.
答案：3πx-π
【变式备选】已知简谐振动f(x)=Asin(ωx+φ)的振幅是，图象上相邻最高点和最低点
的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是
( )
A.，
B.，
C.，
D.，
【解析】选B.由题意可知，A=，32+=52，
则T=8，ω==，y=sin，
由sinφ=，所以sinφ=，因为|φ|<，
所以φ=，因此频率是，初相为φ=.
7.【解析】观察图象可得，
解得A=，b=1.
根据图象可知周期T=4=，所以ω=，
所以y=sin+1，
由图象可知过，
所以sin+1=.
因为|φ|<，所以φ=0.
答案：sin x+1
8.【解析】当质点P从P0转到点P位置时，点P转过的角度为ωt，则∠POx=
ωt+φ，由任意角的三角函数定义知P点的纵坐标y=rsin(ωt+φ).
答案：y=rsi n(ωt+φ)
9.【解题指南】先建立适当的坐标系，在此基础上求(1)，利用(1)建立的函数关系建立不等式求(2). 【解析】(1)以O为坐标原点，以OP所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设摩天轮上某人在Q处，则在t秒内OQ转过的角为t，所以t秒时，Q点的纵坐标为10·sin·t，故在t秒时此人相对于地面的高度为
y=10sin t+12(米).
(2)令y=10sin t+12≤10，则sin t≤-，
因为0≤t≤20，所以10.64≤t≤19.36，故约有8.72秒此人相对于地面的高度不超过10米. 【拓展提升】三角函数的建模问题关键点
(1)解决实际问题时的关键是观察出周期性，搜集数据，作出相应的散点图.
(2)求解的关键是能抽象出三角函数模型，解决的步骤是：审题，建模，求解，还原.
10.【解析】(1)由最低点为M得A=2.
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即T=π，ω==2，
由点M在图象上得2sin=-2，即sin=-1，
所以+φ=2kπ-，得φ=2kπ-(k∈Z)，
又φ∈，所以φ=，
于是f(x)=2s in.
(2)因为x∈，
所以2x+∈，
当2x+=，即x=时，f(x)取得最大值2；
当2x+=，即x=时，f(x)取得最小值-1，
故f(x)的值域为[-1，2].
11.【解析】依题意，有A=2，=3，
又T=，所以ω=，
所以y=2sin x，x∈[0，4]，
所以当x=4时，y=2sin=3，
所以M(4，3).又P(8，0)，
所以MP===5(km)，
即M，P两点间的距离为5km.。