第31讲 椭圆与双曲线(2)(教师)

第31讲 椭圆与双曲线(2)
班级_________姓名_________学号_________
一、填空题：
1、过点(2,2)-，且与双曲线2222x y -=有相同渐近线的双曲线的方程是_____________。

【22124
y x -=】
2、已知ABC ∆三边AB 、BC 、AC 的长成等差数列，且,(1,0),(1,0)AB AC B C >-，则
顶点A 的轨迹方程为 ．【22
1(0,0)43
x y x y +=>≠】
3、若双曲线的两条渐近线的夹角为0
60，则焦距与实轴长之比是___________。

【
12或2
】 4、若椭圆
116
362
2=+y x 上一点P 到焦点2F 的距离为8，Q 是2PF 的中点，则=OQ ____________．
【2】 5、双曲线2233mx my -=的一个焦点坐标为（0，2），则m 的值为 _ 。

【-1】
6、过双曲线22
194
x y -=的左焦点1F 的弦AB 两点都在左支上，且2ABF ∆的周长为30， 则AB = 。

【9】
7、椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点B 与两个焦点12F F 、组成
的三角形的周长是4+，且122
3
F BF π∠=
，则椭圆方程是 ．【2222
1144
x y y x +=+=或】 8、设椭圆C ：13
422=+y x 的长轴两端点为M 、N ，P 在椭圆上，则PM 与PN 的斜率之积为_____ 【3
4
-
】
9、双曲线22440x ky k +-=的虚轴长是
10、若椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点与短轴两端的连线互相垂直，且此焦点
到长轴上较近的端点的距离为510-，则椭圆方程为 【22
1105
x y +=】
二、选择题：
11、12F F 、是双曲线
22
11620
x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，若点P 到1F 的距离是9，则点P 到2F 的距离为 （ C ）
(A)171或 (B)1 (C)17 (D)7
12、若直线y x t =+与椭圆2
214
x y +=相交于A 、B 两点，当t 变化时，AB 的最大值是 （ C ）
（A ）2 （B （C （D 13、双曲线2
2
1x y -=的左焦点1F ，
点P 是双曲线左支上位于x 轴下方的任一点，则直线1F P 的斜率的取值范围为 （ B ）
()(,0][1,)A -∞⋃+∞ ()(,0)(1,)B -∞⋃+∞ ()(,1][1,)C -∞-⋃+∞ ()(,1)(1,)D -∞-⋃+∞
14、椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经
过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 （ D ）
A ．4a
B ．2()a c -
C ．2()a c +
D ．以上答案均有可能 解析：答⑴静放在点A 的小球（小球的半径不计）从点A 沿直线出发，经椭 圆壁右顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2()a c -，则选B ；⑵静放在点A 的小球（小球的半径不计）从点A 沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2()a c +，则选C ；⑶静放在点A 的小球（小球的半径不计）从点A 沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是4a ，则选A ．
于是三种情况均有可能，故选D ．
三、解答题
15、如图，,A B 分别是双曲线的实轴与虚轴在x 轴、y 轴正半轴的两个端点，F 是焦点，
且0
30BAO ∠=，BAF ∆
的面积1
(62
S =
-，求此双曲线的方程。

解：a =
，()6b c a -=- 2
2
2
c a b =+
得：22
193
x y -=
16、已知椭圆C 1的方程为14
22
=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点。

(1) 求双曲线C 2的方程；
(2) 若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 2有两个不同的交点，求k 的取值范围。

解：（1）设双曲线C 2的方程为122
22=-b
y a x ，则24c =，
.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由
故C 2的方程为2
2 1.3
x y -= （2）0926)31(13
22222
=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将. 由直线l 与双曲线C 2有两个不同的交点A ，B 得
2
22
222
130,1 1.3()36(13)36(1)0.
k k k k k ⎧-≠⎪≠<⎨∆=-+-=->⎪⎩即且 ∴1-<k <1
且k 3
≠±
17、过(0,1)M 的直线l 交双曲线2
2
41x my -=的两支交于P Q 、两点，且2
POQ π
∠=，
求m 的取值范围。

解：当斜率不存在时，l ：2
0,1x my =-= ，而0m >，无解；
当斜率存在时，设1y kx =+，代入得22(4)2(1)0,mk x mkx m ---+= 交于两支，
1212122(1)
0,,04m x x OP OQ x x y y mk -+=
<⊥+=- 得：
222(1)2(1)1044m mk k k mk mk -++++=--，得：2
30,k m =-≥代入2
(1)04m mk
-+<-中 得：03m <≤
18、已知,x y 之间满足
()22
2
104x y b b +=> （1）方程
()222104x y b b +=>表示的曲线经过一点12⎫⎪⎭，，求b 的值； （2）动点(x ,y )在曲线
1422
2=+b
y x (b >0)上变化，求x 2+2y 的最大值； （3）由
()22
2104x y b b
+=>能否确定一个函数关系式()y f x =，如能，求解析式；如不能，再加什么条件就可使x y 、之间建立函数关系，并求出解析式。

解：（1
）()21
10144b b b
+=>∴=
（2）根据
()222104x y b b +=>得22
241y x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
()2
222
2
2242412444y b b x y y y b y b b b ⎛⎫⎛⎫∴+=-+=--++-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
()2
2max 4224
4
b b b x y b ≥≥+=+当时，即时 ()222
max 424
44
b b b b x y ≤≤≤+=+当时，即0时
()()
()2
2max
24424044
b b x y b b ⎧+≥⎪∴+=⎨+≤<⎪⎩，，
（3）不能 ，如再加条件xy 0<就可使x y 、之间建立函数关系
解析式(
)
()x 00y x ⎧>⎪⎪
=< （不唯一，也可其它答案）
19、如图，点A 是椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的短轴位于x 轴下方的端点，过A 作
斜率为1的直线交椭圆于B 点，点P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，AP AB ⋅＝9． （1）若点P 的坐标为(0，1)，求椭圆C 的方程； （2）若点P 的坐标为(0，t )，求实数t 的取值范围．
解：（1）由题意得A （0，－b ）, l 的方程为b x y -=, 由P(0,1), 则B )1,1(b + 所以),1,0(),1,1(b AP b b AB +=++=→
→
由⋅＝9．即9)1,0()1,1(=+⋅++b b b , 所以9)1(2=+b ,即2=b 所以B(3,1), 又B 在椭圆上,得
141
92
=+a
解得122=a , 所求椭圆方程
14
122
2=+y x (2) 由A （0，－b ） , P(0,t), 则B ),(t b t +
所以),,0(),,(b t AP b t b t AB +=++=→
→
由AP AB ⋅＝9．所以9)(2
=+b t ,
所以t b -=3 ,则B(3,t) ,代入椭圆方程得1)3(9222=-+t t a , 得t t a 23)3(322
--=
2
2
b a >, 所以
22
)3(23)3(3t t
t ->--, 解得230<<t .。