2020年高考数学二轮优化提升专题训练考点15 基本不等式及其应用(2)(原卷word版)
2020高考数学理二轮课标通用专题能力训练：不等式、线性规划含解析
8.已知变量x,y满足约束条件 若x+2y≥-5恒成立,则实数a的取值范围为()
A.(-∞,-1]B.[-1,+∞)
C.[-1,1]D.[-1,1)
答案:C
解析:设z=x+2y,要使x+2y≥-5恒成立,即z≥-5.作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示,要使不等式组成立,则a≤1,由z=x+2y,得y=- x+ ,
18.已知存在实数x,y满足约束条件 则R的最小值是.
答案:2
解析:根据前三个约束条件 作出可行域如图中阴影部分所示.由存在实数x,y满足四个约束条件,得图中阴影部分与以(0,1)为圆心、半径为R的圆有公共部分,因此当圆与图中阴影部分相切时,R最小.由图可知R的最小值为2.
16.已知x,y∈(0,+∞),2x-3= ,则 的最小值为.
答案:3
解析:由2x-3= ,得x+y=3,故 (x+y) (5+4)=3,当且仅当 (x,y∈(0,+∞))时等号成立.
17.若函数f(x)= lgx的值域为(0,+∞),则实数a的最小值为.
答案:-2
解析:函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞),由 >0及函数f(x)的值域为(0,+∞)知x2+ax+1>0对∀x∈{x|x>0,且x≠1}恒成立,即a>-x- 在定义域内恒成立,而-x- <-2(当x≠1时等号不成立),因此a≥-2.
A.{x|x>2,或x<-2}B.{x|-2<x<2}
新高考数学复习考点知识提升专题训练12---基本不等式的应用
新高考数学复习考点知识提升专题训练（十二） 基本不等式的应用(一)基础落实1．下列等式中最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝2t ＋1tC ．y ＝4t ＋1t(t >0)D ．y ＝t ＋1t解析：选C A 中x ＝－1时，y ＝－5<4；B 中t ＝－1时，y ＝－3<4；C 中y ＝4t ＋1t ≥24t ·1t＝4，当且仅当t ＝12时，等号成立；D 中t ＝－1时，y ＝－2<4.2．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34D.23解析：选B 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时取等号．3．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是( ) A ．32－3 B ．3 C ．62 D ．62－3 解析：选D y ＝3(x 2＋1)＋6x 2＋1－3≥23(x 2＋1)·6x 2＋1－3＝218－3＝62－3，当且仅当x 2＝2－1时等号成立，故选D.4．(多选)设y ＝x ＋1x －2，则( )A ．当x >0时，y 有最小值0B ．当x >0时，y 有最大值0C ．当x <0时，y 有最大值－4D ．当x <0时，y 有最小值－4解析：选AC 当x >0时，y ＝x ＋1x －2≥2x ·1x －2＝2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立，故A 正确，B 错误；当x <0时，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋1－x －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时，等号成立，故C 正确，D 错误．故选A 、C.5．已知x >0，y >0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9D ．36解析：选B (1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋(1＋y )22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋(x ＋y )22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25，当且仅当1＋x ＝1＋y ，即x ＝y ＝4时，等号成立． 6．如果a >0，那么a ＋1a ＋2的最小值是________．解析：因为a >0，所以a ＋1a ＋2≥2a ·1a＋2＝2＋2＝4，当且仅当a ＝1时等号成立． 答案：47．若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n的最小值为________．解析：∵2m ＋n ＝1，∴1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (2m ＋n )＝3＋2m n ＋nm ≥3＋22，当且仅当n ＝2m ，即m ＝1－22，n ＝2－1时，等号成立，即最小值为3＋2 2. 答案：3＋2 28．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，且x >0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时，等号成立，所以，当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元．答案：5 89．(1)已知x <3，求4x －3＋x 的最大值；(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值．解：(1)∵x <3，∴x －3<0， ∴4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3 ＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时，等号成立，∴4x －3＋x 的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，x ＋y ＝4，∴1x ＋3y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋3y ·x ＋y 4＝14⎝⎛⎭⎫4＋y x ＋3x y ≥1＋234＝1＋32，当且仅当y x ＝3x y ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时等号成立．故1x ＋3y 的最小值为1＋32.10.某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置一块1 800平方米的矩形地块(如图所示)，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，池塘所占面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 最大，则x ，y 的值分别为多少？解：(1)由题意得，xy ＝1 800，b ＝2a ， 则y ＝a ＋b ＋6＝3a ＋6，S ＝a (x －4)＋b (x －6)＝a (x －4)＋2a (x －6) ＝(3x －16)a ＝(3x －16)×y －63＝xy －6x －163y ＋32＝1 832－6x －163y ，其中6<x <300,6<y <300.(2)由(1)可知，6<x <300,6<y <300，xy ＝1 800,6x ＋163y ≥26x ·163y ＝26×16×600＝480，当且仅当6x ＝163y 时等号成立，∴S ＝1 832－6x －163y ≤1 832－480＝1 352，此时9x ＝8y ，xy ＝1 800，解得x ＝40，y ＝45，即x 为40，y 为45.(二)综合应用1．(多选)一个矩形的周长为l ，面积为S ，则下列四组数对中，可作为数对(S ，l )的有( ) A ．(1,4) B ．(6,8) C ．(7,12)D.⎝⎛⎭⎫3，12 解析：选AC 设矩形的长和宽分别为x ，y ，则x ＋y ＝12l ，S ＝xy .由xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22知，S ≤l 216，故A 、C 成立．2．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．5解析：选C1a ＋1b＋2ab ≥21a ·1b＋2ab ≥41ab·ab ＝4，当且仅当1a ＝1b 且1ab＝ab ，即a ＝b ＝1时取等号．3．已知x >－1，则(x ＋10)(x ＋2)x ＋1的最小值为________．解析：(x ＋10)(x ＋2)x ＋1＝(x ＋1＋9)(x ＋1＋1)x ＋1＝(x ＋1)2＋10(x ＋1)＋9x ＋1＝(x ＋1)＋9x ＋1＋10，∵x >－1，∴x ＋1>0，∴(x ＋1)＋9x ＋1＋10≥29＋10＝16，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，等号成立．答案：164．若a >0，b >0，且a 2＋b 22＝1，求a 1＋b 2的最大值． 解：∵a >0，b >0，a 2＋b 22＝1， ∴a 1＋b 2＝a 2(1＋b 2)＝2a 2·1＋b 22＝2a 2·1＋b 22≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋12＋b 2222 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1222＝324，当且仅当正数a ，b 满足a 2＝1＋b 22且a 2＋b 22＝1，即a ＝32，b ＝22时等号成立．∴a 1＋b 2的最大值为324.(三)创新发展1．若不等式ax 2＋1x 2＋1≥2－3a 3(a >0)恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：原不等式可转化为a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥23，又a >0，则a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥2a (x 2＋1)·1x 2＋1＝2a ，当且仅当a (x 2＋1)＝1x 2＋1，即a ＝1(x 2＋1)2时，等号成立，则根据恒成立的意义可知2a ≥23，解得a ≥19.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ≥192．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米．(1)写出x 与y 的关系式；(2)求出仓库面积S 的最大允许值．为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解：(1)由于铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，由题意可得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，即4x ＋9y ＋2xy ＝320，解得y ＝320－4x2x ＋9，由于x >0且y >0，可得0<x <80，所以，x 与y 的关系式为y ＝320－4x2x ＋9(0<x <80)．(2)S ＝xy ＝x ·320－4x2x ＋9＝x ·338－2(2x ＋9)2x ＋9＝x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫3382x ＋9－2＝338x 2x ＋9－2x ＝169(2x ＋9)－169×92x ＋9－2x ＝169－2x －169×92x ＋9＝178－(2x ＋9)－169×92x ＋9＝178－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2x ＋9)＋169×92x ＋9≤178－2(2x ＋9)×169×92x ＋9＝100，当且仅当2x ＋9＝169×92x ＋9，即⎩⎨⎧x ＝15，y ＝203时，等号成立，因此，仓库面积S 的最大允许值是100平方米，此时正面铁栅长应设计为15米．。
基本不等式及其应用-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结(新高考通用)解析版
2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）第04练基本不等式及其应用（精练）1.了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最值问题．3.理解基本不等式在生活实际问题中的应用．一、单选题1．（2022·全国·高考真题）已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（）A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a>>二、多选题2．（2022·全国·高考真题）若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（）A ．1x y +≤B ．2x y +≥-C ．222x y +≤D ．221x y +≥三、填空题3．（2023·天津·高考真题）在ABC 中，160BC A =∠= ，，11,22AD AB CE CD == ，记,AB a AC b ==，用,a b表示AE =；若13BF BC = ，则AE AF ⋅ 的最大值为．四、解答题4．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．【A 级基础巩固练】一、单选题1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）若0x >，则22y x x=+的最小值是（）A ．B C ．4D ．22．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）已知04x <<）A ．12B ．1C D ．33．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知02x <<，则()32x x -的最大值是（）A ．3-B ．3C ．1D ．6【答案】B【分析】利用基本不等式，直接计算即可.取得等号，满足题意4．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知正数,a b 满足1ab =，则22(1)(1)T a b =+++的最小值为（）A ．4B ．6C ．8D ．165．（2023·湖南岳阳·模拟预测）若0,0a b >>且1a mb +=，若ab 的最大值为8，则正常数m =（）A ．1B ．2C ．3D ．46．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a ，b 为正数，41a b +=，则114a b+的最小值为（）A ．1B ．2C ．4D ．87．（23-24高一下·福建南平·期中）已知0a >，0b >，230a b +-=，则21a b++的最小值为（）A ．2B ．1C ．32D ．348．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知向量()2,1a m m =+，(),12b n =，若向量a ，b 共线且0m >，则n 的最大值为（）A ．6B ．4C ．8D ．39．（23-24高一下·浙江·期中）已知实数a ，b ，满足310ab +=（1b >），则31b a ++的取值范围是（）A ．()(),04,-∞⋃+∞B ．()4,+∞C ．(][),04,-∞+∞U D ．[)4,+∞10．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知0a >，0b >，2a b +=，则（）A ．01a <≤B ．01ab <≤C ．222a b +>D ．12b <<11．（2024·山东枣庄·一模）已知0,0a b >>，则“2a b +>”是“222a b +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知,a b 均为正实数，240a b -+≤，则23a ba b++的最小值为（）A ．135B ．145C ．3D ．513二、多选题13．（2024高三·全国·专题练习）已知x ≥1，则下列函数的最小值为2的有（）A ．22xy x =+B ．2y =C ．13y xx=-D ．411y x x =-+14．（23-24高三上·云南楚雄·期末）已知正数a ，b 满足5a b ab +=，则（）A ．151a b+=B ．a 与b 可能相等C 6≥D ．a b +的最小值为6+【答案】BD15．（23-24高二下·浙江·期中）已知正数,a b 满足()()111a b --=，则下列选项正确的是（）A ．111a b+=B ．25ab b+³C ．4a b +≥D ．228a b +≤三、填空题16．（23-24高一上·北京·期中）已知()8233y x x x =+>，则当x =时，y 取最小值为．17．（2024·上海徐汇·二模）若正数a b 、满足1a b+=，则2a b +的最小值为.18．（2024·河南商丘·模拟预测）若正数,a b 满足232a b a b =+，则a 的最小值是．19．（23-24高二下·云南·阶段练习）设0,0m n >>，若直线:22l mx y +=过曲线11x y a -=+（0a >，且1a ≠）的定点，则11m n+的最小值为．20．（23-24高一上·广西百色·期末）若1x >，则2161x x x -+-的最小值为.21．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，某人沿围墙CD 修建一个直角梯形花坛ABCD ，设直角边AD x =米，2BC x =米，若12AD AB BC ++=米，问当x =米时，直角梯形花坛ABCD 的面积最大．22．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知02a <<，则2a a+-的最小值为．四、解答题23．（23-24高二下·全国·期中）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位；cm ）满足关系：()()161102C x x x =≤≤+，设()f x 为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和．(1)求()f x 的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．24．（23-24高一上·陕西渭南·阶段练习）已知0a >，0b >，0c >，求证：(1)6b c a c a ba b c+++++≥；(2)()()()2222226a b c b a c c a b abc +++++≥.25．（23-24高一上·浙江·期末）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表，经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产x （单位：千只）手表，需另投入可变成本()R x 万元，且()228020,05064002015200,50x x x R x x x x ⎧++<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.2万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额-固定成本-可变成本）(1)求2024年的利润()W x （单位：万元）关于年产量x （单位：千只）的函数关系式．(2)2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？26．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）完成下列不等式的证明：(1)对任意的正实数a ，b ，c，证明：a b c ++(2)设a ，b ，c 为正实数，且1a b c ++=，证明：13ab ac bc ++≤.【B 级能力提升练】一、单选题1．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知0,0x y >>，且41x y +=，则2y xxy+的最小值为（）A ．5B ．C ．4D ．2．（2023·河南信阳·模拟预测）若51x -<<-，则函数()22f x x ++=+有（）A ．最小值1B ．最大值1C ．最小值1-D ．最大值1-所以函数()f x 有最大值1-.故选：D.3．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知实数x ，y 满足3x >，且2312xy x y +-=，则x y +的最小值为（）A ．1+B ．8C ．D ．1+4．（2024·辽宁·一模）已知20m n >>，则2m mm n n+-的最小值为（）A ．3+B ．3-C ．2+D ．25．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式中不成立．．．的是（）A ．01ab <<B ．122a b ->C >D ．114a b+>【答案】C【分析】对于AB ，利用对数函数的性质即可判断；对于CD ，利用对数的运算得到1a b +=，结合基本不等式即可判断.【详解】因为lg 2,lg5a b ==，所以lg 2lg 5lg101a b +=+==，6．（2024·辽宁大连·一模）若()()ln 0,01f x m n n x+=>>--奇函数，则41m n ++的最小值为（）.A ．65B ．95C ．4D ．57．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）故宫博物院收藏着一幅《梧桐双兔图》.该绢本设色画纵约176cm ，横约95cm ，挂在墙上最低点B 离地面194cm ，小兰身高160cm (头顶距眼睛的距离为10cm).为使观测视角θ最大，小兰离墙距离S 应为（）A．B ．94cm C．D ．76cm8．（2024·全国·模拟预测）已知0x >，0y >且1x y +=，则222211x y x y +++的最小值为（）A ．15B ．25C ．35D ．459．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）为提高市民的健康水平，拟在半径为200米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中ABCD 区域是休闲健身区，以CD 为底边的等腰三角形区域PCD 是儿童活动区，P ，C ，D 三点在圆弧上，AB 中点恰好在圆心O ，则当健身广场的面积最大时，OB 的长度为（）A ．100米B ．150米C．米D．由于2AD BC OC ==-都是上底为21R t -，下底为所以，健身广场的面积S 从而，健身广场的面积最大的时候，恰好就是()22111tt t t t -+=-+=()223323223t t t +-+-≤=二、多选题10．（2023·浙江绍兴·二模）已知0a >，0b >，a b ab +=，则（）A ．1a >且1b >B ．4ab ≥C ．49a b +≤D ．11b ab+>11．（2024·全国·模拟预测）已知0a >，0b >且2a b+=，则下列说法正确的是（）A ．ab 有最小值4B ．a b +有最小值92C ．2ab a +有最小值D的最小值为12．（23-24高二下·江西宜春·期中）已知0,1a b a b >>+=．则下列结论正确的有（）A ．a 32B ．22122a b ++的最小值为C ．1422a b a b+的最小值为3D ．sin 1a b +<三、填空题13．（23-24高一下·河北保定·开学考试）若正数,m n 满足2212516m n +=，则mn 的最大值为．14．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若1x >，1y >，10xy =，则lg lg x y 的最大值为.15．（2024·全国·模拟预测）已知1x >，0y >，且2x y +=，则11y x +-的最小值是．17．（2024·上海普陀·二模）若实数a ，b 满足20a b -≥，则24ab+的最小值为.18．（23-24高一上·浙江·期末）已知22321(,R)x xy y x y -+=∈，则222x y +的最小值为．四、解答题19．（2024·全国·二模）已知实数0,0a b >>，满足a b +=(1)求证：2224a b +≥；(2)求()()2211ab ab++的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)1220．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知0a >，0b >，且2a b +=．(1)求证：11413a b +≥+；(2)求证：42aab b+≥．21．（23-24高一下·甘肃白银·期中）养鱼是现在非常热门的养殖项目，为了提高养殖效益，养鱼户们会在市场上购买优质的鱼苗，分种类、分区域进行集中养殖．如图，某养鱼户承包了一个边长为100米的菱形鱼塘（记为菱形ABCD ）进行鱼类养殖，为了方便计算，将该鱼塘的所有区域的深度统一视为2米．某养鱼户计划购买草鱼苗、鲤鱼苗和鲫鱼苗这三种鱼苗进行分区域养殖，用不锈钢网将该鱼塘隔离成ABD ，DEFB ，CEF 三块区域，图中,BD EF 是不锈钢网露出水面的分界网边，E 在鱼塘岸边DC 上（点E 与D ，C 均不重合），F 在鱼塘岸边BC ．上（点F 与B ，C 均不重合）．其中△ECF 的面积与四边形DEFB 的面积相等，△DAB 为等边三角形．(1)若测得EC 的长为80米，求CF 的长．(2)已知不锈钢网每平方米的价格是20元，为了节约成本，试问点E ，F 应如何设置，才能使得购买不锈钢1.414=）22．（2023·贵州黔西·一模）设a，b，c均为正数，且1a b c++=，证明：(1)2221 3a b c++≥；(2)333a cb ac b abc++≥．23．（23-24高一上·山东·阶段练习）已知0a >，0b >．(1)若4a b -=，证明：471a b +≥+．(2)若8a b ab ++=，求a b +的最小值．(3)若229327a b ab ++=，求3a b +的最大值．【C 级拓广探索练】一、单选题1．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）设正实数,,x y z 满足22-3+4-=0x xy y z ，则当xyz取得最大值时，212+-x y z 的最大值为（）A ．9B ．1C ．94D ．32．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知x 为正实数，y 为非负实数，且22x y +=，则1x y +++的最小值为（）A ．34B ．94C ．32D ．923．（2024·全国·模拟预测）设{}max ,,x y z 为,,x y z 中最大的数.已知正实数,a b ，记max 8,2M a b⎧=⎨⎩，则M 的最小值为（）A ．1B C ．2D ．44．（22-23高一上·河南·阶段练习）已知22321x xy y -+=(),R x y ∈，则22x y +的最小值为（）A 6B 6C ．6D ．6二、多选题5．（23-24高一上·福建泉州·期末）已知0,0,21x y x y >>+=，则（）A ．42x y +的最小值为B ．22log log x y +的最大值为3-C ．y x xy --的最小值为1-D ．22221x y x y +++的最小值为16正确；三、填空题6．（2023·山西·模拟预测）已知0,0a b >>，且122a b +=，则161211a b +--的最小值是.7．（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）已知实数,x y 满足22221x xy y -+=，则22x y -的最大值为.四、解答题8．（2023·全国·模拟预测）已知(),,0,x y z ∈+∞，且1x y z ++=．(1)1z>-；(2)求222544x y z xy yz xz +++++的最大值．，三式相加，可得：9．（23-24高一上·山东青岛·期末）某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射t ml药品，从注射时间起血药浓度y（单位：ug/ml）与药品在体内时间x（单位：小时）的关系如下：162,06,89,618.2t xxyx t x⎧⎛⎫-≤≤⎪⎪-⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-<≤⎪⎪⎝⎭⎩当血药浓度不低于2ug/ml时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过2ml．(1)若注射1ml药品，求药品的有效治疗时间；(2)若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1ml 药品，12小时之后又注射a ml药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效消疗，求a的最小值．。
2020年高考数学二轮重难点复习：基本不等式的应用附答案详解
2020年高考数学二轮重难点复习：基本不等式的应用1.1 2020年高考定位高考对基本不等式内容的考查主要有:理解基本不等式在不等式证明、函数最值求解方面的重要应用.试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查，构成中高档题.通过不等式的基本知识、基本方法在三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融会贯通，从而提高学生分析问题、解决问题的能力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生的数学素质及创新意识.1.2应考策略掌握高考考查基本不等式的常见题型，主要有以下四个方面:一是利用基本不等式求两个正数的和的最小值，或积的最大值，或者将一个式子转化为可以利用基本不等式求最值的问题；二是利用基本不等式比较两个实数(或代数式)的大小或证明不等式(放缩法)等；三是利用基本不等式构造不等式；四是将一个实际问题构造成函数模型，利用基本不等式解决.掌握利用基本不等式求最值时，要满足的三个条件，即一正，二定，三相等，而且求解时要逐一检验.1.3知识解读从知识的本质角度看.首先基本不等式是通过“x2≥0这个基本的数量不等式对x进行替换得到的；其次，反映了算术平均数与几何平均数之间的一种不等量关系；再次，基本不等式有很好的几何意义，用它可以很好地解决实际生活中的一些最大值与最小值问题.因此，基本不等式的内容对学生厘清数学知识内部联系与解决实际问题很有好处.从知识的作用角度看.首先，由基本不等式可以推出许多重要的不等式，例如:当a>0，b>0时，有等；其次，基本不等式是研究其他不等式的重要基础；再次，证明基本不等式的方法是证明不等式的基本方法之一.因此，基本不等式本身及其证明方法为学生的后续学习奠定了基础.从学生应用的角度看.学习和应用基本不等式有利于学生观察、分析、抽象、概括、归纳、总结等能力的培养，有利于学生对数学知识的整合，如:几何与代数的整合，信息技术与数学的整合等.1.4常用变式两边同加.两边同除以a，.两边同除以b，.两边同除以ab，.用－a代替a，.用代替a，b，.1.5应用方式“应用基本不等式求最值”问题需要适当的情境，观察、分析、确定问题中的五个方面:最值的类型、运算的方式、数量的形式、数量的条件、数量的关系，之后才能规范、合理、正确地应用“基本不等式”解决相应的问题，即直接规范正确使用，间接变形合理使用，构造关系变式使用.利用基本不等式时，要注意“正、定、等”三要素，正，即x，y都是正数；定，即不等式另一边为定值；等，即当且仅当x=y时取等号.利用基本不等式时，要注意“积定和最大，和定积最小”这一口诀，并且适当运用拆、拼、凑等技巧.特别应该注意，一般不要出现两次不等号，若出现，则要看两次等号成立的条件是否同时成立.2问题精解2.1利用基本不等式求最值要点:应用基本不等式求和的最小值或积的最大值；构造基本不等式满足的条件求最值.2.1.1运用换元变换，简化条件关系例1求函数的最小值.2.1.2选择消元变形，构造数量关系例2若正数a，b满足，求的最小值，并求此时a，b的值.2.1.3分析最值类型，转化结构关系例3设x，y为实数，若，则2x+y的最大值是.2.2基本不等式在实际问题中的应用要点:构造函数模型，利用基本不等式求实际问题中的最值问题.例4：如图，有一块边长为1(hm)的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设.(I)用t表示PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值.(Ⅱ)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至少为多少(hm2)?2.3基本不等式与其他知识的综合应用要点:(1)基本不等式与函数、方程的综合(2)基本不等式与解三角形的综合；(3)基本不等式与解析几何等其他知识的综合应用.例5已知函数.(I)判断f(x)在区间(0，+∞)内的增减性，并证明你的结论；(Ⅱ)解关于x的不等式f(x)>0；(Ⅲ)若f(x)+2x≥0在区间(0，+∞)内恒成立，求a的取值范围.3两点说明3.1两次应用基本不等式时要检验两次等号能否同时取到。
基本不等式及其应用（优秀经典专题及答案详解）
(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)；(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一利用基本不等式求最值【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【方法技巧】【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．，最后利用基本不等式求最值．考点二 利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】年高考北京卷理数】李明自主创业，李明自主创业，李明自主创业，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8yy x y x -≥≤，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。
2020届高考数学(理)算法初步、选讲部分、不等式考点15不等式的综合应用(含解析)
【答案】 C 3.求不等式－ 2x2＋ x＋ 3<0 的解集． 【解析】 化 － 2x2＋ x＋ 3<0 为 2x2－ x－ 3>0，解方程2x2Fra bibliotek x－ 3＝ 0
得
x1＝－
3 1， x2＝ 2，
∴不等式 2x2－ x－ 3>0 的解集为 (－ ∞ ，－ 1)∪ (3，＋ ∞ )， 2
3 即原不等式的解集为 (－ ∞，－ 1)∪ (2，＋ ∞)． 4.解关于 x 的不等式： x2－ (a＋ 1)x＋ a<0. 【解析】 由 x2－ (a＋1)x＋ a＝ 0，得 ( x－ a)(x－ 1)＝0，∴ x1＝ a， x2＝1， ①当 a>1 时， x2－ (a＋ 1)x＋ a<0 的解集为 {x|1< x<a}，
1.设 a log 0.2 0.3 ， b log 2 0.3，则（
）
A． a b ab 0
B． ab a b 0
C． a b 0 ab
D． ab 0 a b
1
1
11
【解析】 ∵ a log 0.2 0.3 ， b log 2 0.3 ，
log 0.30.2, lo g0.3 2 ，
lo g0.3 0.4 ，
化为一元一次不等式，或一元二次不等式．
去绝对值符号常见的方法
(1) 根据绝对值的定义． (2)分区间讨论 (零点分段法 )． (3)图象法．
5．绝对值三角不等式 (1)| a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，
|a－ b|的几何意义表示数轴上两点间的距离．
(2)| a＋ b|≤ |a|＋ |b|(a， b∈ R， ab≥ 0 时等号成立 )．
C． 0≤c≤ 30
天津市2020年高考数学二轮复习专题 不等式线性规划课件文
或������
<
1 2
.
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-5-
题后反思 1.解一元二次不等式先化为一般形式
ax2+bx+c>0(a≠0),再求相应一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最 后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系,确定一元二次不等式 的解集;解分式不等式首先要移项、通分、化简,然后转化为整式不 等式求解.
由
������ + 3������ ������ = 0,
=
3,可得
A(3,0),此时
zmax=3,故选
D.
-28-
������ ≤ 2������, 3.(2017 天津河西高三质量调查)若变量 x,y 满足约束条件 ������ + ������ ≤ 1,
B.[-3,2]
C.[0,2]
D.[0,3]
-9-
答案： B 解析 画出不等式组表示的可行域,如图.结合目标函数的几何意义 可得目标函数在点 A(0,3)处取得最小值 z=0-3=-3,在点 B(2,0)处取得 最大值 z=2-0=2.故选 B.
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-10-
题后反思利用图解法解决线性规划问题的一般方法: (1)作出可行域.将约束条件中的每一个不等式当作等式,作出相 应的直线,并确定原不等式的区域,然后求出所有区域的交集; (2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线); (3)求出最终结果.在可行域内平行移动目标函数等值线,从图中 能判定问题有唯一最优解,或者是有无穷最优解,或是无最优解.
答案：D
解析
原不等式化为(x-t)
������-
2020江苏高考数学(文理通用)二轮培优新方案课件：第14讲 基本不等式及其应用、简单的线性规划问题
3．设正实数 x，y，z 满足 x2－3xy＋4y2－z＝0.则当xzy取得最 大值时，2x＋1y－2z的最大值为________．
解析：xzy＝x2－3xxyy＋4y2＝xy＋41xy－3≤4－1 3＝1，当且仅当 x＝ 2y 时等号成立，此时 z＝2y2，2x＋1y－2z＝－y12＋2y＝－1y－12＋1≤1， 当且仅当 y＝1 时等号成立，故所求的最大值为 1.
考法三 多元最值问题 [例 3] (1)(2019·南京、盐城一模)若正实数 a，b，c 满足 ab ＝a＋2b，abc＝a＋2b＋c，则 c 的最大值为________． (2)(2019·苏北三市期末)已知 x>0，y>0，z>0，且 x＋ 3y＋z ＝6，则 x3＋y2＋3z 的最小值为________．
∴x＋12y＋1的最小值为 4 3. xy
答案：4 3
课堂精析考情——锁定命题热点，精准才能高效
一、小题考法——求“准”求“快”
考法一 简单的线性规划问题
[例 1] (1)(2019·南通模拟)已知变量 x，y 满足约束条件
x＋y－1≤0， 3x－y＋1≥0， x－y－1≤0，
则 z＝2x＋y 的最大值为________．
y当且仅当y＝3
2
3时取等号，得
x3＋y2＋3z＋2＋247≥3(x＋
3y
＋z)＝18，x3＋y2＋3z≥347当且仅当x＝1，y＝3 2 3，z＝21取等号.
[答案]
8 (1)7
37 (2) 4
[解题方略] 多变量函数的最值问题，常常将条件和结论统一起来，进行 合理的消元和换元，将问题转化为函数或不等式问题．
第 14 讲 基本不等式及其应用、简单的线性规划问题 课前热身启动——全面落实“四基”，基稳才能楼高
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2020年高考数学二轮优化提升专题训练考点15
基本不等式及其应用（2）
________．
【问题探究，变式训练】
题型一运用基本不等式解决含参问题
知识点拨：对于不等式中的成立问题，通常采取通过参数分离后，转化为求最值问题，
例1、(2019扬州期末）已知正实数x，y满足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，则实数m 的取值范围为_________．
【变式1】、(2017镇江期末）已知不等式(m－n)2＋(m－ln n＋λ)2≥2对任意m∈R，n∈(0，＋∞)恒成立，则实数λ的取值范围为________．
【变式2】、(2016徐州、连云港、宿迁三检）已知对满足x＋y＋4＝2xy的任意正实数x，y，都有x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0，则实数a的取值范围是________．
【关联1】、在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0)，B(0,1)，C(a，b)，D(c，d)，若不等式CD→2≥(m－2)OC→·OD→＋m(OC→·OB→)·(OD→·OA→)对任意实数a，b，c，d都成立，则实数m的最大值是________．
题型二不等式的综合运用
知识点拨：多变量式子的最值的求解的基本处理策略是“减元”或应用基本不等式，其中“减元策略”的常见方法有：①通过消元以达到减少变量的个数，从而利用函数法或方程有解的条件来研究问题；②通过“合并变元”以代换的方式来达到“减元”，一般地，关于多变元的“齐次式”多用此法．而应用基本不等式求最值时，要紧紧抓住“和”与“积”的关系来进行处理，为了凸现“和”与“积”的关系，可以通过换元的方法来简化问题的表现形式，从而达到更易处理的目的，
【变式1】、(2018扬州期末）已知正实数x，y满足5x2＋4xy－y2＝1，则12x2＋8xy－y2的最小值为________．
【变式2】、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）已知对任意的x∈R,3a(sin x＋cos x)＋2b sin2x≤3(a，b∈R)恒成立，则当a＋b取得最小值时，a的值是________．
【变式4】、(2017苏锡常镇调研（一））若正数x，y满足15x－y＝22，则x3＋y3－x2－y2的。