[推荐学习]高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点教学设计
高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点第24课时方程的根与函数的零点aa高一数学
2021/12/13
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3．1 函数(hánshù)与方程 3．1.1 方程的根与函数的零点 第24课时 方程的根与函数的零点
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掌握几个(jǐ ɡè)要点
题点知识(zhī shi)巩固
提能达标(dá biāo)过关
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掌握几个要点
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1．理解 4 点说明——对函数零点判断的说明 (1)存在性：“若 f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内方程 f(x)＝0 至少有一个实数根”指出方程 f(x)＝0 的实数根的存在性． (2)唯一性：若 f(a)·f(b)<0，且 y＝f(x)在(a，b)内是单调函数， 则方程 f(x)＝0 在(a，b)内有唯一实数解．
∴函数 y＝4x－2 的零点为12.故选 D．
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2．下列图象表示的函数中没有零点的是( )
解析：选 A 因为 B，C，D 项函数的图象均与 x 轴有交点， 所以函数均有零点，A 项的图象与 x 轴没有交点，故函数没有零 点，故选 A．
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3．掌握 3 个步骤——判断函数零点所在区间的步骤
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题点知识巩固
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1．函数 y＝4x－2 的零点是( )
A．2
B．(－2,0)
C．12，0 解析：选 D
高中数学 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的
由图可知函数y=ln x与y=-x+3的图象只有一个交点,即函数f(x)=x-3+ln
x只有一个零点.
2
(方法二)因为f(3)=ln 3>0,f(2)=-1+ln 2=ln e <0,
所以f(3)·f(2)<0,说明函数f(x)=x-3+ln x在区间(2,3)内有零点.
又f(x)=x-3+ln x在区间(0,+∞)上是增函数,所以原函数只有一个零点.
h(x)与g(x)的图象如图所示.
由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一个交点, 即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.
探究一
探究二
探究三
思想方法
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练2 判断函数f(x)=x-3+ln x的零点个数. 解:(方法一)令f(x)=x-3+ln x=0,则ln x=3-x. 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=ln x与y=-x+3的图象,如 图所示.
解得 ������ = -2, ������ = 2.
所以函数 y=logn(mx+1)的解析式为 y=log2(-2x+1). 令 log2(-2x+1)=0,得 x=0. 所以函数 y=log2(-2x+1)的零点为 0.
探究一
探究二
探究三
思想方法
探究二判断函数零点的个数
【例 2】求函数 f(x)=2x+lg(x+1)-2 的零点个数.
探究一
探究二
探究三
思想方法
探究三判断函数的零点所在的大致区间
[推荐学习]2018年秋高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数
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3.1.1 方程的根与函数的零点学习目标：1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点)2.会求函数的零点．(重点)3.掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数的零点对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． 思考1：函数的零点是函数与x 轴的交点吗？[提示] 不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x 轴交点的横坐标． 2．方程、函数、函数图象之间的关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． 3．函数零点的存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0.那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．思考2：该定理具备哪些条件？[提示] 定理要求具备两条：①函数在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线；②f (a )·f (b )<0.[基础自测]1．思考辨析(1)所有的函数都有零点．( )(2)若方程f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，则函数y ＝f (x )的零点为(x 1,0)(x 2,0)．( ) (3)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点，则一定有f (a )·f (b )<0.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× 2．函数y ＝2x －1的零点是( ) A.12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．2A [由2x －1＝0得x ＝12.]3．函数f (x )＝3x－4的零点所在区间为( )【导学号：37102345】A ．(0,1)B ．(－1,0)C ．(2,3)D ．(1,2)D [由f (1)＝3－4＝－1<0，f (2)＝9－4＝5>0得f (x )的零点所在区间为(1,2)．] 4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数有________个零点． 两 [由Δ＝b 2－4ac >0得二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有两个零点．][合 作 探 究·攻 重 难]求函数的零点(1)求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点；(2)已知函数f (x )＝ax －b (a ≠0)的零点为3，求函数g (x )＝bx 2＋ax 的零点.【导学号：37102346】[解] (1)当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3； 当x >0时，令－2＋ln x ＝0，解得x ＝e 2.所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x >0的零点为－3和e 2.(2)由已知得f (3)＝0即3a －b ＝0，即b ＝3a . 故g (x )＝3ax 2＋ax ＝ax (3x ＋1)． 令g (x )＝0，即ax (3x ＋1)＝0， 解得x ＝0或x ＝－13.所以函数g (x )的零点为0和－13.代数法：求方程x ＝几何法：对于不能用求根公式的方程x ＝x 的图象联系起来图象与轴的交点的横坐标即为函数的零点[跟踪训练]1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由． (1)f (x )＝x 2＋7x ＋6； (2)f (x )＝1－log 2(x ＋3)； (3)f (x )＝2x －1－3；(4)f (x )＝x 2＋4x －12x －2.[解] (1)解方程f (x )＝x 2＋7x ＋6＝0， 得x ＝－1或x ＝－6， 所以函数的零点是－1，－6.(2)解方程f (x )＝1－log 2(x ＋3)＝0，得x ＝－1，所以函数的零点是－1. (3)解方程f (x )＝2x －1－3＝0，得x ＝log 26，所以函数的零点是log 26.(4)解方程f (x )＝x 2＋4x －12x －2＝0，得x ＝－6，所以函数的零点为－6.判断函数零点所在的区间(1)函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )A ．(3,4)B ．(2，e)C ．(1,2)D ．(0,1)(2)根据表格内的数据，可以断定方程e x－x －3＝0的一个根所在区间是( )【导学号：37102347】C ．(1,2)D ．(2,3)(1)C (2)C [(1)因为f (1)＝ln 2－21<0，f (2)＝ln 3－1>0，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数的零点所在区间为(1,2)．故选C.(2)构造函数f (x )＝e x－x －3，由上表可得f (－1)＝0.37－2＝－1.63<0，f (0)＝1－3＝－2<0， f (1)＝2.72－4＝－1.28<0， f (2)＝7.39－5＝2.39>0， f (3)＝20.08－6＝14.08>0，f (1)·f (2)<0，所以方程的一个根所在区间为(1,2)，故选C.]代入：将区间端点值代入函数求出函数的值 判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点[跟踪训练]2．若函数f (x )＝x ＋a x(a ∈R )在区间(1,2)上有零点，则a 的值可能是( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．3A [f (x )＝x ＋a x(a ∈R )的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a ＝－2时，f (1)＝1－2＝－1<0，f (2)＝2－1＝1>0.故f (x )在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.]函数零点的个数 [探究问题]1．方程f (x )＝a 的根的个数与函数y ＝f (x )及y ＝a 的图象交点个数什么关系？ 提示：相等．2．若函数f (x )＝x 2－2x ＋a 有零点，如何求实数a 的取值范围？提示：法一：若函数f (x )＝x 2－2x ＋a 有零点，则方程x 2－2x ＋a ＝0有根．故Δ＝(－2)2－4a ≥0，故a ≤1.法二：由f (x )＝0有解可知a ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，即a 的范围为a ≤1.法三：在同一坐标系中分别画出y ＝a 及y ＝－x 2＋2x 的图象，数形结合得a 的范围为a ≤1.已知0<a <1，则函数y ＝a |x |－|log a x |的零点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 思路探究：构造函数f x ＝a |x |0<a与g x ＝|log a xa→画出f x 与g x 的图象→观察图象得零点的个数B [函数y ＝a |x |－|log a x |(0<a <1)的零点的个数即方程a |x |＝|log a x |(0<a <1)的根的个数，也就是函数f (x )＝a |x |(0<a <1)与g (x )＝|log a x |(0<a <1)的图象的交点的个数． 画出函数f (x )＝a |x |(0<a <1)与g (x )＝|log a x |(0<a <1)的图象，如图所示，观察可得函数f (x )＝a |x |(0<a <1)与g (x )＝|log a x |(0<a <1)的图象的交点的个数为2，从而函数y ＝a |x |－|log a x |的零点的个数为2.]时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2[当 堂 达 标·固 双 基]1．函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点个数是( )【导学号：37102348】A ．0B ．1C ．2D ．3C [由f (x )＝0得2x 2－3x ＋1＝0，∴x ＝12或x ＝1，所以函数f (x )有2个零点．]2．函数f (x )＝2x－3的零点所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)B [∵f (1)＝2－3＝－1<0，f (2)＝4－3＝1>0， ∴f (1)·f (2)<0，即f (x )的零点所在的区间为(1,2)．] 3．对于函数f (x )，若f (－1)·f (3)<0，则( )【导学号：37102349】A ．方程f (x )＝0一定有实数解B ．方程f (x )＝0一定无实数解C ．方程f (x )＝0一定有两实根D ．方程f (x )＝0可能无实数解D [∵函数f (x )的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f (－1)·f (3)<0，但方程f (x )＝0在(－1,3)上可能无实数解．]4．若f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，则b 的取值范围为________． (－1,0) [∵f (x )＝x ＋b 是增函数，又f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 0<0，f 1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b <0，1＋b >0，∴－1<b <0.]5．已知函数f (x )＝x 2－x －2a . (1)若a ＝1，求函数f (x )的零点； (2)若f (x )有零点，求实数a 的取值范围.【导学号：37102350】[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－x －2. 令f (x )＝x 2－x －2＝0，得x ＝－1或x ＝2. 即函数f (x )的零点为－1和2.(2)要使f (x )有零点，则Δ＝1＋8a ≥0，解得a ≥－18，所以a 的取值范围是a ≥－18.。
高中数学 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点课件 新人教A版必修1
[典例 1] 求下列函数的零点． (1)f(x)＝x3－7x＋6；(2)f(x)＝x2－x－6； (3)f(x)＝12x－4；(4)f(x)＝log3x－1. [思路点拨] 分别令各个解析式等于 0，根据方程的根来确 定函数的零点．
[解析] (1)令 f(x)＝0，得 x3－7x＋6＝0， 即(x3－x)－(6x－6)＝0， ∴x(x－1)(x＋1)－6(x－1)＝(x－1)(x2＋x－6) ＝(x－1)(x－2)(x＋3)＝0. 解得 x1＝1，x2＝2，x3＝－3. ∴函数 f(x)＝x3－7x＋6 的零点是 1,2，－3.
[巧归纳] 函数零点的求法 (1)代数法：求方程 f(x)＝0 的实数根； (2)几何法：对于不能用求根公式的方程 f(x)＝0，可以将它 与函数 y＝f(x)的图象联系起来．图象与 x 轴的交点的横坐标即为 函数的零点．
[练习 1]若函数 f(x)＝ax－b 有一个零点是 3，那么函数 g(x) ＝bx2＋3ax 的零点是________．
答案：连续不断 f(a)·f(b)＜0 f(c)＝0
[想一想] 1．函数 y＝f(x)的零点是点吗？为什么？
答案：不是．函数的零点的本质是方程 f(x)＝0 的实数根，因 此，函数的零点不是点，而是一个实数，当函数的自变量取这个 实数时，函数值为零．
2．任何函数都有零点吗？ 答案：并非所有的函数都有零点，如函数 f(x)＝1x无零点，因 为方程1x＝0 无实根．
[典例 2] 已知函数 f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程 f(x)＝
g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是( )
A.0，12 C．(1,2)
B.12，1 D．(2，＋∞)
[答案] B
[解析] 在同一坐标系中分别画出函数 f(x)，g(x)的图象如图 所示，方程 f(x)＝g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象 有两个不同的交点，结合图象可知，当直线 y＝kx 的斜率大于坐 标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线 y＝x－1 的斜率时符合题 意，故12＜k＜1.
高一数学第三章 3.1.1
3.1.1
探究点一 ：函数零点的定义
思考 6 你能说出函数①y＝lg x；②y＝lg(x＋1); ③y＝2x；④y＝2x－2 的零
点吗？
答 ①y＝lg x 的零点是 x＝1；
②y＝lg(x＋1)的零点是 x＝0； ③y＝2x 没有零点；
④y＝2x－2 的零点是 x＝1.
明目标、知重点 填要点、记疑点
得出结论．也就是将函数 f(x)＝ln x＋2x－6 的零点个数转化为函数 y＝ln x 与 y＝－2x＋6 的图象交点的个数．
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
3.1.1
探究点二 ：函数零点存在性定理
跟踪训练 2 根据表格中的数据，可以断定方程 ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的 一个根所在的区间是 x ex x＋2 A．(－1,0) －1 0.37 1 0 1 2 1 2.72 3 C．(1,2) 2 7.40 4 3 20.12 5 D．(2,3) ( )
a 1 解析 ∵a≠0,2a＋b＝0，∴b≠0， ＝－ . b 2
a 1 令 bx －ax＝0，得 x＝0 或 x＝ ＝－ . b 2
2
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
3.1.1
探究点二 ：函数零点存在性定理
思考 1 观察二次函数 f(x)＝x2－2x－3 的图象， 发现这个
探要点、究所然
3.1.1
探究点二 ：函数零点存在性定理
反思与感悟 方法一 本题不用计算列表、画图象也可得到结论：
寻找函数值符号的变化规律，如 f(2)，f(3)的符号，由 f(2)＝ln 2－2
高中数学新人教A版必修1课件：第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点
• C．(2,3) D．(3,4)
• [解析] f(1)＝－1＋log21＝－1，
• f(2)＝log22＝1， • ∴f(1)·f(2)<0，故选B．
• 3．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是 (B )
• A．a＜1 B．a＞1
• C．a≤1 D．a≥1
• [解析] 函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，即方程x2＋2x＋a＝0没有 实数根，所以Δ＝4－4a＜0，得a＞1.
1．函数f(x)＝4x－6的零点是 A．23 C．32 [解析] 令4x－6＝0，得x＝32， ∴函数f(x)＝4x－6的零点是32.
B．(32，0) D．－32
(C )
• 2．(202X·广州荔湾区高一期末测试)函数f(x)＝x－2＋log2x，则f(x)
的零点所在区间为
(B )
• A．(0,1) B．(1,2)
b)中存在零点，但个数不确定．
• [正解1] 令f(x)＝0，即x2－5x＋6＝0， • ∴x1＝2，x2＝3， • ∴函数的零点是2,3. • ∴函数在[1,4]上的零点的个数是2. • [正解2] ∵f(1)＝2>0，f(2.5)＝－0.25<0，f(4)＝2>0， • ∴f(x)在(1,2.5)和(2.5,4)内都有零点． • 又易知f(x)在(－∞，2.5)和(2.5，＋∞)上都是单调函数． • ∴f(x)在(1,2.5)和(2.5,4)内都只有一个零点． • ∴f(x)在[1,4]上有两个零点．
• 『规律方法』 判断函数零点个数的主要方法： • (1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点． • (2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数． • (3)结合单调性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数． • (4)转化成两个函数图象的交点问题．
高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根
函数零点的求法： (1)代数法：求方程 f(x)＝0 的实数根． (2)几何法：与函数 y＝f(x)的图象联系起来，图象与 x 轴的交点的横坐标即为函数 的零点．
1．已知函数 f(x)＝loga(2－x)． (1)求函数 f(x)的定义域． (2)求函数 f(x)的零点． 解析：(1)要使函数有意义，∴2－x>0，解得 x<2， ∴函数定义域为(－∞，2)． (2)令 f(x)＝loga(2－x)＝0，∴2－x＝1 解得 x＝1. ∵1∈(－∞，2)，∴函数 f(x)的零点为 1.
为 0 也可能不为 0，所以零点个数可能是 2 也可能是 3.
答案：C
探究四 一元二次方程根的分布 [典例 4] 关于 x 的方程 ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，求 a 为何值时： (1)方程有一根；(2)方程有两正根；(3)方程有一正一负根． [解析] (1)当 a＝0 时，方程变为－2x－1＝0 即 x＝－12，符合题意． 当 a≠0 时，方程为一元二次方程，因为方程有一根，所以 Δ＝4(a＋1)2－4a(a－1)＝ 12a＋4＝0 解得 a＝－13.综上所述，当 a＝0 或 a＝－13时，方程有一根．
3．已知函数 y＝f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x>0 时，f(x)＝ln x，那么函数 y
＝f(x)的零点个数为( )
A．一定是 2
B．一定是 3
C．可能是 2 也可能是 3
D．可能是 0
解析：x>0 时，f(x)＝ln x，根据对数函数的性质知 f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，
因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数，所以在(－∞，0)上也有一个零点，而 f(0)可能
3．函数 f(x)＝lg x＋12的零点为________．
人教版 高一数学必修一 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点教学课件 (共22张PPT)
x
四、解题体验
1.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根： （1）－x2＋3x＋5＝0；
（2）2x(x－2)＝－3； （3） x2 ＝4x－4； （4）5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5.
2.利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
（1）f(x)= －x3－3x+5； （2）f(x)=2x ·ln(x－2)－3； （3）f(x)=ex－1+4x－4; （4）f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x.
1(1) －x2＋3x＋5＝0 1(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5, 作出函数f(x)的图象，如下： 它与x轴有两个交点，所以 方程－x2＋3x＋5＝0有两个不 相等的实数根。
.
y
8 6
. . . .
4
2
－2 －1
0
1
2
3 4
x
1(2) 2x(x－2)＝－3 1(2)解：2x(x－2)＝－3可化为 2x2－4x＋3＝0，令f(x)= 2x2－4x ＋3 , 作出函数f(x)的图象,如下： 它与x轴没有交点，所以方程 2x(x－2)＝－3无实数根。
一、方程的根与相应函数图象的关系
我们知道，令一个一元二次 y ax bx c(a 0) 函数的函数值 y＝0，则得到一元二次方程:
2
ax2 bx c 0(a 0)
思考：一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系
4
2 f ( x ) log
(2) x 8
2
x3
答案(1) x 2
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3.1.1 方程的根与函数的零点整体设计教学目标知识与技能1．结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；2．结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；3．结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法．过程与方法1．通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；2．通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；3．通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；4．通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力．情感、态度与价值观1．让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；2．培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；3．使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感．教学重点与难点教学重点：零点的概念及零点存在性的判定．教学难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法．教学的方法与手段【环节一：揭示意义，明确目标】揭示本章意义，指明课节目标教师活动：用屏幕显示第三章函数的应用3.1.1 方程的根与函数的零点教师活动：这节课我们来学习第三章函数的应用．通过第二章的学习，我们已经认识了指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数的图象和性质，而这一章我们就要运用函数思想，建立函数模型，去解决现实生活中的一些简单问题．为此，我们还要做一些基本的知识储备．方程的根，我们在初中已经学习过了，而我们在初中研究的“方程的根”只是侧重“数”的一面来研究，那么，我们这节课就主要从“形”的角度去研究“方程的根与函数零点的关系”．教师活动：板书标题(方程的根与函数的零点)．【环节二：巧设疑云，轻松渗透】设置问题情境，渗透数学思想教师活动：请同学们思考这个问题．用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？(1)x2－2x－3＝0；(2)ln x＋2x－6＝0.学生活动：回答，思考解法．教师活动：第二个方程我们不会解怎么办？你是如何思考的？有什么想法？我们可以考虑将复杂问题简单化，将未知问题已知化，通过对第一个问题的研究，进而来解决第二个问题．对于第一个问题大家都习惯性地用代数的方法去解决，我们应该打破思维定势，假如第一个方程你不会解，也不会应用判别式，你要怎样判断其实根个数呢？学生活动：思考作答．教师活动：用屏幕显示函数y＝x2－2x－3的图象．学生活动：观察图象，思考作答．教师活动：我们来认真地对比一下．用屏幕显示表格，让学生填写x2－2x－3＝0的实数根和函数图象与x轴的交点．学生活动：得到方程的实数根应该是函数图象与x轴交点的横坐标的结论．教师活动：我们就把使方程成立的实数x称为函数的零点．【环节三：形成概念，升华认知】引入零点定义，确认等价关系教师活动：这是我们本节课的第一个知识点．板书(一、函数零点的定义：对于函数y ＝f(x)，使方程f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点)．教师活动：我们可不可以这样认为，零点就是使函数值为0的点？学生活动：对比定义，思考作答．教师活动：结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你认为方程的根与函数的零点究竟是什么关系？学生活动：思考作答．教师活动：这是我们本节课的第二个知识点．板书(二、方程的根与函数零点的等价关系)．教师活动：检验一下看大家是否真正理解了这种关系．如果已知函数y＝f(x)有零点，你怎样理解它？学生活动：思考作答．教师活动：对于函数y＝f(x)有零点，从“数”的角度理解，就是方程f(x)＝0有实根，从“形”的角度理解，就是图象与x轴有交点．从我们刚才的探究过程中，我们知道，方程f(x)＝0有实根和图象与x轴有交点也是等价的关系．所以函数零点实际上是方程f(x)＝0有实根和图象与x 轴有交点的一个统一体．在屏幕上显示：教师活动：下面就检验一下大家的实际应用能力．【环节四：应用思想，小试牛刀】数学思想应用，基础知识强化教师活动：用屏幕显示求下列函数的零点．(1)y ＝3x；(2)y ＝log 2x ；(3)y ＝1x ；(4)y ＝(4)(1),4,(4)(6), 4.x x x x x x -+<⎧⎨---≥⎩ 学生活动：由四位同学分别回答他们确定零点的方法．画图象时要求用语言描述4个图象的画法．教师活动：根据学生的描述，在黑板上作出图象(在接下来探究零点存在性定理时，图象会成为同学们思考问题的很好的参考)．教师活动：我们已经学习了函数零点的定义，还学习了方程的根与函数零点的等价关系，在这些知识的探究发现中，我们也有了一些收获，那我们回过头来看看能不能解决ln x ＋2x －6＝0的根的存在性问题？学生活动：可受到化归思想的启发应用数形结合进行求解．教师活动：用屏幕显示学生所论述的解题过程．这种解法充分运用了我们前面的解题思想，将未知问题转化成已知问题，将一个图象不会画的函数转化成了两个图象都会画的函数，利用两个函数图象的交点解决实根存在性问题．看来我们的探究过程是非常有价值的．教师活动：如果不转化，这个问题就真的解决不了吗？现在最棘手的问题是y ＝ln x ＋2x －6的图象不会画，那我们能不能不画图象就判断出零点的存在呢？【环节五：探究新知，思形想数】探究图象本质，数形转化解疑教师活动：我们看到，当函数图象穿过x 轴时，图象就与x 轴产生了交点，图象穿过x 轴这是一种几何现象，那么如何用代数形式来描述呢？用屏幕显示y ＝x 2－2x －3的函数图象，多次播放抛物线穿过x 轴的画面．学生活动：通过观察图象，得出函数零点的左右两侧函数值异号的结论．教师活动：好！我们明确一下这个结论，函数y ＝f (x )具备什么条件时，能在区间(a ，b )上存在零点？学生活动：得出f (a )·f (b )＜0的结论．教师活动：若f (a )·f (b )＜0，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上就存在零点吗？学生活动：可从黑板上的图象中受到启发，得出只有在[a，b]上连续不断的函数，在满足f(a)·f(b)＜0的条件时，才会存在零点的结论．【环节六：归纳定理，深刻理解】初识定理表象，深入理解实质教师活动：其实同学们无形之中已经说出了我们数学中的一个重要定理，那就是零点存在性定理．这是我们本节课的第三个知识点．板书(三、零点存在性定理)．教师活动：用屏幕显示(函数零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．)教师活动：这个定理比较长，找个同学给大家读一下，让大家更好地体会定理的内容．学生活动：读出定理．教师活动：大家注意到了吗，定理中，开始时是在闭区间[a，b]上连续，结果推出时却是在开区间(a，b)上存在零点．你怎样理解这种差异？学生活动：思考作答．教师活动：虽然我们已经得到了零点存在性定理，但同学们真的那么坦然吗？结合黑板上的图象，再结合定理的叙述形式，你对定理的内容可有疑问？学生活动：通过观察黑板上的板书图象，大致说出以下问题：1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)在区间(a，b)内会是只有一个零点吗？2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在区间(a，b)内就一定没有零点吗？3．在什么条件下，函数y＝f(x)在区间(a，b)上可存在唯一零点？教师活动：那我们就来解决一下这些问题．学生活动：通过黑板上的图象举出反例，得出结论．1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，则只能确定f(x)在区间(a，b)内有零点，有几个不一定．2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在区间(a，b)内也可能有零点．3．在零点存在性定理的条件下，如果函数再具有单调性，函数y＝f(x)在区间(a，b)上可存在唯一零点．【环节七：应用所学，答疑解惑】把握理论实质，解决初始问题教师活动：现在我们不用画出图象也能判断函数零点是否存在，存在几个了．那解决ln x＋2x－6＝0的根的存在性问题应该是游刃有余了．用屏幕显示【环节八：归纳总结，梳理提升】总结基础知识，提升解题意识教师活动：本节课的知识点已经在黑板上呈现出来了，但最重要的，也是贯穿本节课始终，起到灵魂作用的却是三大数学思想，即化归与转化的数学思想，数形结合的数学思想，函数与方程的数学思想．数学思想才是数学的灵魂所在，也是数学的魅力所在，对我们解决问题起着绝对的指导作用．愿我们每个同学在今后的学习中体味、感悟、应用、升华！【环节九：理论内化，巩固升华】整理思想方法，灵活应用解题设置四个练习题，检验学生对本节课内容的掌握情况，增强学生对所学新知的应用意识．1．函数f (x )＝x (x 2－16)的零点为( )A ．(0,0)，(4,0)B ．0,4C ．(－4,0)，(0,0)，(4,0)D ．－4,0,42．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，则f (x )的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．不确定3．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下对应值表：A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个4．函数f (x )＝－x3－3x ＋5的零点所在的大致区间为( )A ．(－2,0)B ．(1,2)C ．(0,1)D ．(0,0.5)【环节十：布置作业，举一反三】延伸课堂思维，增强应用意识已知f (x )＝|x 2－2x －3|－a ，求a 取何值时能分别满足下列条件．(1)有2个零点；(2)有3个零点；(3)有4个零点．板书设计三、零点存在性定理。