关于三角形的“四心”与平面向量的结合_22146
素养微专题6 平面向量与三角形的“四心”
3，且
→ 3OA
＋ 7O→B＋O→C＝0，则边 AC 的长是________．
答案： 3－1
13
平面向量与三角形的“四心”
《高考特训营》 ·数学 返 回
解析：设△ABC 外接圆的半径为 R，∵O 为△ABC 的外心，∴|O→A|＝|O→B|
＝|O→C|＝R，又 3O→A＋ 7O→B＋O→C＝0，则 3O→A＋O→C＝－ 7O→B，
平面向量与三角形的“四心”
《高考特训营》 ·数学 返 回
[素养点评] 外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)． O 是△ABC 的外心⇔|O→A|＝|O→B|＝|O→C|(或O→A2＝O→B2＝O→C2)．
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平面向量与三角形的“四心”
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2．(2022·辽宁沈阳质检)在△ABC 中，O 为其外心，O→A·O→C＝
202平4届面向量与三角形的“四心”
《高考特《训高营考》特·训数营学》 ·返数回学
素养微专题6 平面向量与三角形的 “四心”
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平面向量与三角形的“四心”
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素养解读：平面向量与三角形联系密切，尤其是与三角形垂心、 内心、外心、重心这四心的联系是考查的重点，现在我们就研究平面 向量与三角形“四心”的问题，来提升我们的直观想象、逻辑推理、 数学运算的核心素养．
B．△ABC的垂心 D．AC边的中点
3
平面向量与三角形的“四心”
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[素养指导]
第一步：取 AB 的中点 D，得出O→A，O→B，O→D的关系．
第二步：将(1－λ)O→A＋(1－λ)O→B转化为O→D的关系式．
三角形“四心”在平面向量中的应用
知识导航三角形“四心”在平面向量中的应用史平笔一、有关三角形“四心”的概述1.垂心：三角形三条高线的交点叫垂心.它与顶点的连线垂直于对边. 2.内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心.内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等. 3.重心：三角形三条中线的交点叫重心.它到三角形顶点的距离与该点到对边中点距离之比为 2∶1. 4.外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心.外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等. 二、三角形“四心”与平面向量的关系设（，），则（GG GG ）向量必平1．AB + AC λ∈0 +∞λGG GG 分，该向量必通过AB AC ∠BAC △ABC 的内心. GG GG 设（，），则（）AB AC 2．λ∈0 +∞λAB GG cos B + AC GG cos C 向量必垂直于边BC ，该向量必通过△ABC 的垂心. GG GG GG 3．△ABC 中，AB +AC 一定过BC 的中点，通过△ABC 的重心. 4．点O 是△ABC 的外心GG 2 GG 2 GG 2 圳OA =OB =OC . 5．点O 是△ABC 的重心GG GG GG 軋圳OA +OB +OC =0. GG GG GG GG GG GG 6．点O 是△ABC 的垂心圳OA ·OB =OB ·OC =OC ·OA . GG GG GG 軋7．点O 是△ABC 的内心圳a ·OA +b ·OB +c ·OC =0 （其中 a 、b 、c 为△ABC 三边）. 的外心、重心、垂心共线，即GG ∥GG . ABC O G H OG OH 三、探究教材内容，链接高考试题【题源】人教版 A 版《数学》必修四 B 组 P125 页第5 题：已知向量GG ，GG ，GG 满足条件GG +GG +GG = OP 1 OP 2 OP 3OP 1 OP 2 OP 3 0軋，GG OP 1 = GG OP 2 = GG OP 3 =1，求证：△P 1P 2P 3是正三角形．思路分析对于本题中的条件GG OP 1 = GG OP 2 = GG OP 3 =1，容易想到，点O 是△P 1P 2P 3的外心，而另一个条件GG GG GG 軋表明，点O 是△P 1P 2P 3 的重心故本OP 1 +OP 2 +OP 3 =0 ．题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一定是正三角形证明由．可知，是GG = GG = GG =1 OP 1 OP 2 OP 3 O △P 1P 2P 3三角形的外心，由GG GG GG 軋可知O 是三角形的重心，OP 1 +OP 2 +OP 3 =0 △P 1P 2P 3 可知点 O 是正△P 1P 2P 3的中心，即△P 1P 2P 3是正三角形．（2016·四川高考理科·T10）在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA GG = DB GG = DC GG GG GG GG GG GG ，DA ·DB =DB ·DC =DC ·GG =2 ，动点，满足GG =1 ，GG GG ，则GG 2 的数DA P M AP PM =MC BM 最大值是（）学A. 43B. 49C. 37+6姨3D. 37+2姨33 篇44 4 4 解析由上例可知△ABC 是正三角形，且 D 是46 GG GG = GG GG cos ∠ADB= GG △ABC 的中心，DA ·DB DA DB DA。
高考专题：平面向量中的三角形“四心”问题题型总结
专题：平面对量中三角形“四心”问题题型总结在三角形中，“四心”是一组特别的点，它们的向量表达形式具有很多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新奇新颖的问题，不仅考查了向量等学问点，而且培育了考生分析问题、解决问题的实力．现就“四心”作如下介绍：1．“四心”的概念与性质(1)重心：三角形三条中线的交点叫重心．它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1.在向量表达形式中，设点G 是△ABC 所在平面内的一点，则当点G 是△ABC 的重心时，有GA＋GB ＋GC ＝0或PG ＝13(PA ＋PB ＋PC )(其中P 为平面内随意一点)．反之，若GA ＋GB ＋GC ＝0，则点G 是△ABC 的重心．在向量的坐标表示中，若G ，A ，B ，C 分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则有x ＝x 1＋x 2＋x 33，y ＝y 1＋y 2＋y 33.(2)垂心：三角形三条高线的交点叫垂心．它与顶点的连线垂直于对边．在向量表达形式中，若H 是△ABC 的垂心，则HA ·HB ＝HB ·HC ＝HC ·HA 或HA 2＋BC 2＝HB 2＋CA 2＝HC 2＋AB 2.反之，若HA ·HB ＝HB ·HC ＝HC ·HA ，则H 是△ABC 的垂心． (3)内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心．内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等．在向量表达形式中，若点I 是△ABC 的内心，则有|BC |·IA ＋|CA |·IB ＋|AB |·IC ＝0.反之，若|BC |·IA ＋|CA |·IB ＋|AB |·IC ＝0，则点I 是△ABC 的内心．(4)外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心．外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等．在向量表达形式中，若点O 是△ABC 的外心，则(OA ＋OB )·BA ＝(OB ＋OC )·CB ＝(OC ＋OA )·AC ＝0或|OA |＝|OB |＝|OC |.反之，若|OA |＝|OB |＝|OC |，则点O 是△ABC 的外心．2．关于“四心”的典型例题[例1] 已知O 是平面上的肯定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满意OP ＝OA ＋λ(AB ＋AC )，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹肯定通过△ABC 的________心．[解析] 由原等式，得OP －OA ＝λ(AB ＋AC )，即AP ＝λ(AB ＋AC )，依据平行四边形法则，知AB ＋AC 是△ABC 的中线所对应向量的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．[答案] 重[点评] 探求动点轨迹经过某点，只要确定其轨迹与三角形中的哪些特别线段所在直线重合，这可从已知等式动身，利用向量的线性运算法则进行运算得之．[例2] 已知△ABC 内一点O 满意关系OA ＋2OB ＋3OC ＝0，试求S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB 之值．[解] 延长OB 至B 1，使BB 1＝OB ，延长OC 至C 1，使CC 1＝2OC ，连接AB 1，AC 1，B 1C 1，如图所示，则1OB ＝2OB ，1OC ＝3OC ，由条件，得OA ＋1OB ＋1OC ＝0，所以点O 是△AB 1C 1的重心．从而S △B 1OC 1＝S △C 1OA ＝S △AOB 1＝13S ，其中S 表示△AB 1C 1的面积， 所以S △COA ＝19S ，S △AOB ＝16S ，S △BOC ＝12S △B 1OC ＝12×13S △B 1OC 1＝118S . 于是S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB ＝118∶19∶16＝1∶2∶3. [点评] 本题条件OA ＋2OB ＋3OC ＝0与三角形的重心性质GA ＋GB ＋GC ＝0非常类似，因此我们通过添加协助线，构造一个三角形，使点O 成为协助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比．[引申推广] 已知△ABC 内一点O 满意关系λ1OA ＋λ2OB ＋λ3OC ＝0，则S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB ＝λ1∶λ2∶λ3.[例3] 求证：△ABC 的垂心H 、重心G 、外心O 三点共线，且|HG |＝2|GO |.[证明] 对于△ABC 的重心G ，易知OG ＝OA ＋OB ＋OC 2，对于△ABC 的垂心H ，设OH ＝m (OA ＋OB ＋OC )，则 AH ＝AO ＋m (OA ＋OB ＋OC )＝(m －1) OA ＋m OB ＋m OC .由AH ·BC ＝0，得[(m －1) OA ＋m OB ＋m OC ](OC －OB )＝0，(m －1) OA ·(OC －OB )＋m (OC 2－OB 2)＝0， 因为|OC |＝|OB |，所以(m －1) OA ·(OC －OB )＝0.但OA 与BC 不肯定垂直，所以只有当m ＝1时，上式恒成立．所以OH ＝OA ＋OB ＋OC ，从而OG ＝13OH ，得垂心H 、重心G 、外心O 三点共线，且|HG |＝2|GO |.[引申推广]重心G 与垂心H 的关系：HG ＝13(HA ＋HB ＋HC )． [点评] 这是闻名的欧拉线，提示了三角形的“四心”之间的关系．我们选择恰当的基底向量来表示它们，当然最佳的向量是含顶点A 、B 、C 的向量．[例4] 设A 1，A 2，A 3，A 4，A 5 是平面内给定的5个不同点，则使1MA ＋2MA ＋3MA ＋4MA ＋5MA ＝0成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．5D ．10[解析] 依据三角形中的“四心”学问，可知在△ABC 中满意MA ＋MB ＋MC ＝0的点只有重心一点，利用类比的数学思想，可知满意本题条件的点也只有1个．[答案] B[点评] 本题以向量为载体，考查了类比与化归，归纳与猜想等数学思想．本题的具体解答过程如下：对于空间两点A，B来说，满意MA＋MB＝0的点M是线段AB的中点；对于空间三点A，B，C来说，满意MA＋MB＋MC＝0，可认为是先取AB的中点G，再连接CG，在CG上取点M，使MC＝2MG，则M满意条件，且唯一；对于空间四点A，B，C，D来说，满意MA＋MB＋MC ＋MD＝0，可先取△ABC的重心G，再连接GD，在GD上取点M，使DM＝3MG，则M满意条件，且唯一，不妨也称为重心G；与此类似，对于空间五点A，B，C，D，E来说，满意MA＋MB＋MC ＋MD＋ME＝0，可先取空间四边形ABCD的重心G，再连接GE，在GE上取点M，使EM＝4MG，则M满意条件，且唯一．。
高中数学三角形的“四心”与向量的结合解题策略汇总
高中数学三角形的“四心”与向量的结合解题策略汇总知识概述：三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式 一、知识点总结1）O 是ABC ∆的重心=++⇔; 若O 是ABC ∆的重心，则,31ABC AOB AOC BOC S S S S ∆∆∆∆===故;,0=++OC OB OA 1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2）O 是ABC ∆的垂心⋅=⋅=⋅⇔; 若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则,tan :tan :tan ::C B A S S S AOB AOC BOC =∆∆∆故0tan tan tan =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A3）O 是ABC ∆的外心)222====⇔或 若O 是ABC ∆的外心,则C B A AOB AOC BOC S S S AOB AOC BOC 2sin :2sin :2sin sin :sin :sin ::=∠∠∠=∆∆∆ 故2sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅C B A 4）O 是内心ABC ∆的充要条件是0=⋅=⋅=⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记CA BC AB ,,的单位向量为321,,e e e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成0)()()(322131=+⋅=+⋅=+⋅e e e e e eO 是ABC ∆内心的充要条件也可以是=++c b a若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ::::=∆∆∆ 故0sin sin sin 0=++=++OC C OB B OA A OC c OB b OA a 或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；知识点一、将平面向量与三角形内心结合考查【例 1】:O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACAC ABAB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心【解答】：因为ABAB 是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.练习：在直角坐标系xOy 中，已知点A(0,1)和点B(–3, 4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且||2OC =，则OC =_________________.【解答】：点C 在∠AOB 的平线上，则存在(0,)λ∈+∞使()||||OA OBOC OA OB λ=+=34(0,1)(,)55λλ+-=39(,)55λλ-,而||2OC =，可得103λ=，∠10310(,)55OC =-.【例2】：三个不共线的向量,,OA OB OC 满足()||||AB CA OA AB CA ⋅+=(||BA OB BA ⋅+||CB CB ) =()||||BC CA OC BC CA ⋅+= 0，则O 点是∠ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心解：||||AB CA AB CA +表示与∠ABC 中∠A 的外角平分线共线的向量，由()||||AB CAOA AB CA ⋅+= 0知OA 垂直∠A ACBP的外角平分线，因而OA 是∠A 的平分线，同理，OB 和OC 分别是∠B 和∠C 的平分线，故选C . 【例3】：已知O 是∠ABC 所在平面上的一点，若aOA bOB cOC ++= ，则O 点是∠ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 解：∠OB OA AB=+，OC OA AC=+，则()a b c OA bAB cAC++++=0，得()||||bc AB ACAO a b c AB AC =+++. 因为||AB AB 与||AC AC 分别为AB 和AC 方向上的单位向量，设||||AB ACAP AB AC =+，则AP 平分∠BAC. 又AO 、AP 共线，知AO 平分∠BAC. 同理可证BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，所以O 点是∠ABC 的内心.【方法总结】：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
平面向量痛点问题之三角形“四心”问题(学生版)--高一数学微专题
平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【题型归纳目录】题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．二、三角形四心与推论：(1)O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0．(2)O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔aOA +bOB +cOC =0．(3)O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0 ．(4)O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0．【方法技巧与总结】(1)内心：三角形的内心在向量AB AB +ACAC所在的直线上.AB ⋅PC +BC ⋅PC +CA⋅PB =0 ⇔P 为△ABC 的内心.(2)外心：PA =PB =PC⇔P 为△ABC 的外心.(3)垂心：PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA⇔P 为△ABC 的垂心.(4)重心：PA +PB +PC =0⇔P 为△ABC 的重心.【典型例题】题型一：重心定理1(2024·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习)如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ，AC 两边交于M ，N 两点(点N 与点C 不重合)，设AM =xAB ,AN =yAC ，则1x +1y的值为()A.3B.4C.5D.62(2024·全国·高一随堂练习)已知△ABC 中，点G 为△ABC 所在平面内一点，则“AB +AC -3AG=0”是“点G 为△ABC 重心”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3(2024·全国·高一专题练习)已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动点P 满足OP =OA+λAB AB sin B +AC AC sin C λ≥0 ，则P 点轨迹一定通过三角形ABC 的()A.内心B.外心C.垂心D.重心题型二：内心定理1(2024·全国·高一专题练习)在△ABC 中，cos ∠BAC =13，若O 为内心，且满足AO =xAB +yAC ，则x +y 的最大值为．2(2024·江苏南通·高一如皋市第一中学期末)已知点P 为△ABC 的内心，∠BAC =23π,AB =1,AC =2，若AP =λAB +μAC，则λ+μ=．3(2024·广西柳州·高一统考期末)设O 为△ABC 的内心，AB =AC =5，BC =8，AO =mAB+nBCm ,n ∈R ，则m +n =题型三：外心定理1(2024·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习)已知点O 是△ABC 的外心，AB =4，AC =2，∠BAC 为钝角，M 是边BC 的中点，则AM ⋅AO=．2(2024·安徽六安·高一六安市裕安区新安中学校考期末)已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +OB 2+λCA CA cos A +CBCB cos B ，λ∈R ，则P 的轨迹一定经过△ABC 的．(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写)3(2024·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习)已知△ABC 中，∠A =60°，AB =6，AC =4，O 为△ABC 的外心，若AO =λAB +μAC，则λ+μ的值为()A.1B.2C.1118D.12题型四：垂心定理1(2024·江苏泰州·高一统考期末)已知△ABC 的垂心为点D ，面积为15，且∠ABC =45°，则BD ⋅BC=；若BD =12BA +13BC ，则BD=.2(2024·湖北黄冈·高一校联考期末)若O 为△ABC 的垂心，2OA +3OB +5OC =0 ，则S △AOB S △AOC=，cos ∠BOC =．3(2024·山西·高一校联考阶段练习)已知H 为△ABC 的垂心(三角形的三条高线的交点)，若AH=13AB+25AC ，则sin ∠BAC =.【过关测试】一、单选题1(2024·全国·高一专题练习)在直角三角形ABC 中，A =90°，△ABC 的重心、外心、垂心、内心分别为G 1，G 2，G 3，G 4，若AG i =λi AB +μi AC(其中i =1,2,3,4)，当λi +μi 取最大值时，i =()A.1B.2C.3D.42(2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习)若O 是△ABC 所在平面上一定点，H ，N ，Q 在△ABC 所在平面内，动点P 满足OP =OA +λAB AB +ACAC，λ∈0,+∞ ，则直线AP 一定经过△ABC 的心，点H 满足HA = HB = HC ，则H 是△ABC 的心，点N 满足NA +NB +NC=0，则N 是△ABC 的心，点Q 满足QA ·QB =QB ·QC =QC ·QA ，则Q 是△ABC 的心，下列选项正确的是()A.外心，内心，重心，垂心B.内心，外心，重心，垂心C.内心，外心，垂心，重心D.外心，重心，垂心，内心二、多选题3(2024·河南郑州·高一校联考期末)点O 为△ABC 所在平面内一点，则()A.若OA +OB +OC =0 ，则点O 为△ABC 的重心B.若OA ⋅AC AC -AB AB =OB ⋅BC BC -BABA =0，则点O 为△ABC 的垂心C.若OA +OB ⋅AB =OB +OC ⋅BC=0．则点O 为△ABC 的垂心D.在△ABC 中，设AC 2 -AB 2 =2AO ⋅BC，那么动点O 的轨迹必通过△ABC 的外心4(2024·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考阶段练习)设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是()A.若AM =12AB +12AC ，则点M 是边BC 的中点B.若AM =2AB -AC ，则点M 是边BC 的三等分点C.若AM =-BM -CM ，则点M 是边△ABC 的重心D.若AM =xAB +yAC ，且x +y =13，则△MBC 的面积是△ABC 面积的235(2024·山东枣庄·高一校考阶段练习)数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O 、G 、H 分别是△ABC 的外心、重心、垂心，且M 为BC 的中点，则()A.OH =OA +OB +OCB.S △ABG =S △BCG =S △ACGC.AH =3OMD.AB +AC =4OM +2HM6(2024·安徽池州·高一统考期末)已知△ABC 的重心为O ，边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，则下列说法正确的是()A.OA +OB =2ODB.若△ABC 为正三角形，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=0C.若AO ⋅AB -AC=0，则OA ⊥BC D.OD +OE +OF =07(2024·广东广州·高一校考期末)下列命题正确的是()A.若A ，B ，C ，D 四点在同一条直线上，且AB =CD ，则AB =CDB.在△ABC 中，若O 点满足OA +OB +OC =0，则O 点是△ABC 的重心C.若a =(1,1)，把a 右平移2个单位，得到的向量的坐标为(3,1)D.在△ABC 中，若CP =λCA |CA |+CB|CB |，则P 点的轨迹经过△ABC 的内心8(2024·新疆·高一兵团第三师第一中学校考阶段练习)点O 在△ABC 所在的平面内，则下列结论正确的是()A.若OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA ，则点O 为△ABC 的垂心B.若OA +OB +OC =0 ，则点O 为△ABC 的外心C.若2OA +OB +3OC =0，则S △AOB :S △BOC :S △AOC =3:2:1D.若AO ⋅AB AB =AO ⋅AC AC 且CO ⋅CA CA =CO ⋅CB CB ，则点O 是△ABC 的内心三、填空题9(2024·甘肃武威·高一校联考期末)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若O 为△ABC 的重心，OB ⊥OC ,3b =4c ，则cos A =.10(2024·全国·高一专题练习)点O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上△ABC 的三个顶点，∠B 、∠C 分别是边AC 、AB 的对角，以下命题正确的是(把你认为正确的序号全部写上)．①动点P 满足OP =OA +PB +PC，则△ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中；②动点P 满足OP =OA +λAB |AB |+AC|AC |(λ>0)，则△ABC 的内心一定在满足条件的P 点集合中；③动点P 满足OP =OA +λAB |AB |sin B +AC|AC|sin C(λ>0)，则△ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中；④动点P 满足OP =OA+λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C(λ>0)，则△ABC 的垂心一定在满足条件的P 点集合中；⑤动点P 满足OP =OB +OC 2+λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C(λ>0)，则△ABC 的外心一定在满足条件的P 点集合中．11(2024·辽宁·高一校联考期末)某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点).如图，已知锐角△ABC 外接圆的半径为2，且三条圆弧沿△ABC 三边翻折后交于点P .若AB =3，则sin ∠PAC =；若AC :AB :BC =6:5:4，则PA +PB +PC 的值为.12(2024·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末)已知P 为△ABC 所在平面内一点，有下列结论：①若P 为△ABC 的内心，则存在实数λ使AP =λAB |AB |+AC|AC |；②若PA +PB +PC =0 ，则P 为△ABC 的外心；③若PA =PB =PC ，则P 为△ABC 的内心；④若AP =13AB +23AC ，则△ABC 与△ABP 的面积比为2:3．其中正确的结论是．(写出所有正确结论的序号)13(2024·广西河池·高一校联考阶段练习)在△ABC 中，已知AB =5，AC =3，A =2π3，I 为△ABC 的内心，CI 的延长线交AB 于点D ，则△ABC 的外接圆的面积为，CD =.14(2024·四川遂宁·高一遂宁中学校考阶段练习)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OB +OC 2+λAB AB cos B +ACAC cos C ，λ∈0,+∞ ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的(填序号)．①内心 ②垂心 ③ 重心 ④外心15(2024·高一课时练习)已知O 为△ABC 的内心，∠BAC =π3，且满足AO =xAB +yAC ，则x +y 的最大值为．16(2024·高一课时练习)已知A ，B ，C 是平面内不共线的三点，O 为ΔABC 所在平面内一点，D 是AB 的中点，动点P 满足OP =132-2λ OD +1+2λ OCλ∈R ，则点P 的轨迹一定过△ABC 的(填“内心”“外心”“垂心”或“重心”).17(2024·高一课时练习)已知点O 是ΔABC 的内心，若AO =37AB +17AC，则cos ∠BAC =.18(2024·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考阶段练习)已知点O 是△ABC 的外心，AB =6，BC =8，B =2π3，若BO =xBA +yBC ，则3x +4y =．19(2024·湖北武汉·高一期末)△ABC 中，AB =2，BC =26，AC =4，点O 为△ABC 的外心，若AO=mAB +nAC ，则实数m =．20(2024·湖北·高一校联考阶段练习)在△ABC 中，已知AB =2,AC =5,∠BAC =60°，P 是△ABC 的外心，则∠APB 的余弦值为.21(2024·四川达州·高一达州中学校考阶段练习)设O 为△ABC 的外心a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若b =3，c =5，则OA ⋅BC=．22(2024·广东汕头·高一金山中学校考期末)已知O 为△ABC 的外心，若AO ⋅BC =4BO ⋅AC ，则cos A 最小值.23(2024·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末)某同学在查阅资料时，发现一个结论：已知O 是△ABC 内的一点，且存在x ,y ,z ∈R ，使得xOA +yOB +zOC =0，则S △AOB :S △AOC :S △COB =z :y :x ．请以此结论回答：已知在△ABC 中，∠A =π4，∠B =π3，O 是△ABC 的外心，且AO =λAB +μAC λ,μ∈R ，则λ+μ=．24(2024·辽宁大连·高一育明高中校考期末)已知点P 在△ABC 所在的平面内，则下列各结论正确的有①若P 为△ABC 的垂心，AB ⋅AC =2，则AP ⋅AB =2②若△ABC 为边长为2的正三角形，则PA ⋅PB +PC的最小值为-1③若△ABC 为锐角三角形且外心为P ，AP =xAB +yAC且x +2y =1，则AB =BC④若AP =1AB cos B +12 AB +1ACcos C+12AC ，则动点P 的轨迹经过△ABC 的外心25(2024·全国·高一专题练习)(1)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP =OA +λ(AB +AC)，λ∈(0,+∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的(填“内心”“外心”“重心”或“垂心” )．(2)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP =OA +λAB |AB |+AC |AC |，λ∈(0,+∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的．(填“内心”“外心”“重心”或“垂心” )四、解答题26(2024·全国·高一专题练习)已知△ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设△APQ 的面积为S 1，△ABC 的面积为S 2，AP =pPB ，AQ =qQC.(1)求GA +GB +GC ；(2)求证：1p +1q =1.(3)求S1S 2的取值范围.。
平面向量中的三角形四心问题
平面向量中的三角形四心问题结论2：的重心是证明：的重心是所在平面内一点，则为若ABC G ABC G ABC ∆⇔=++⇔=-+-+-⇔++=∆⇔++=∆)()()()(31)(31P二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
结论3：的垂心是所在平面内一点，则为若ABC H ABC ∆⇔⋅=⋅=⋅∆H为三角形垂心故同理，有证明：H ABHC CB HA ACHB AC HB HC HA HB HC HB HB HA ⊥⊥⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅,00)(结论4：可知命题成立由结论同理可证得，得，证明：由的垂心是所在平面内一点，则为若3)()(H 22222222222222HAHC HC HB HA HC HB HC HB HA CA HB BC HA ABC H AB HC AC HB BC HA ABC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⇔-+=-++=+∆⇔+=+=+∆三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。
用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。
结论5：命题成立证明：由外心定义可知的外心是所在平面内一点，则是若ABC O OC OB OA ABC O ∆⇔==∆结论6：的外心是（所在平面内一点，则是若ABC O AC OA OC CB OC OB BA OB OA ABC O ∆⇔⋅+=⋅+=⋅+∆)()()的外心为故故证明：ABC O OCOB OA OAOC OC OB OB OA OAOC OCOB OB OA OB OA OB OA BA OB OA ∆==⇒-=-=--=⋅+-=⋅+∴-=-+=⋅+)()())(()(Θ四、内心(incenter)三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。
即内切圆的圆心。
结论7：的内心是所在平面内一点，则为若ABC P CB CB CA BC BA AC AB ABC P ∆⇔>⎪⎪⎪⎭⎫ ⎛++=⎪⎫ ⎛++=⎪⎫ ⎛++=∆)0(321λλλλ的内心为故的平分线上在同理可得，平分线上在即边夹角平分线上在为方向上的单位向量分别，证明：记ABC P C B P A P AC AB e e e e e e AC AB ∆∠∠∠++=⇒⎪⎫ ⎛++=,,)()(,21211121λλ结论8：的内心是所在平面内一点，则是若ABC P PC c PB b PA a ABC P ∆⇔=++∆0的内心是故是平分线同理可得其他的两条也的平分线是由角平分线定理，不共线，则与由于证明：不妨设ABC P ACB CD ab DB DA b ac b a DB DA PC b a c b a c b a c a PCPD ∆∠==+=++=++++⇒=++++⇒=++=,0,)()()()(b λλλλλ。
平面向量中三角形四心问题
平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。
本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。
在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。
一、重心(baryce nter)三角形重心是三角形三边中线的交点。
重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
在重心确定上，有著名的帕普斯定理。
结论1 :若G为/ ABC所在平面内一点，贝U GA • GB • GC = 6 二G是三角形的重心证明：设BC中点为D，则2GD二GB • GCGA GB GC = 6二-GA = GB GC-GA = 2GD,B 这表明，G在中线AD上同理可得G在中线BE,CF上故G为厶ABC 的重心1 一——若P为ABC所在平面内一点，贝U PG (PA，PB PC)3=G是厶ABC的重心—i - 一—(PG - PA) (PG - PB) (PG - PC) = 0证明：PG (PA PB PC)u =GA GBGC = 0二G是厶ABC的重心二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
结论3:若H为厶ABC所在平面内一点，则HA HB二HB HC二HC HA=H是厶ABC的垂心证明：HAHB 二HB HC= HB (HA-HC) = 0 二HB AC = 0= HB — AC 同理，有HA —CB,HC 一AB故H为三角形垂心2 ------ 2 ------ 2 ------ 2 -------- 2 ------ 2若H为丄ABC所在平面内一点，贝U HA BC = HB AC = HC AB =H 是ABC的垂心-- '2 ------ 2 ------ 2 2 2 ■ * ------------------------------------ 2 * 证明：由HA BC 二HB CA 得,HA (HB - HC)2二HB (HC - HA)2 =HB HC 二HC HA同理可证得，HA HB = HB HC = HC HA由结论3可知命题成立三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线(中垂线)的相交点。
平面向量与三角形四心问题
(２)O，G,Ｈ三点共线,且ＯG：ＧH＝1：２。
【解答】证明：（１）∵△ＡBＣ外心为Ｏ,
∴
又∵
∴
则=•＝=0
即ＡH⊥BC
同理BH⊥AＣ,ＣH⊥AＢ
即H就是△ABＣ得垂心；
(2)∵G为△ＡBC得重心
∴=3=3+=
即=3
即Ｏ,G,Ｈ三点共线,且ＯＨ=3OG
即O,Ｇ，Ｈ三点共线,且ＯG：ＧH=1：2
３、O就是△ABＣ所在平面内一点，动点P满足（λ∈(0,+∞)），则动点P得轨迹一定通过△ABC得(）
A．内心Ｂ.重心ﻩC。外心Ｄ．垂心
解:作出如图得图形AD⊥BC,由于sｉnB=sinＣ＝ＡD，
∴=
由加法法则知，P在三角形得中线上
故动点P得轨迹一定通过△AＢC得重心
故选：B.
与“垂心”有关得向量问题
5若为所在平面内一点，且
则点就是得(）
A.重点ﻩＢ．外心C.内心ﻩＤ．垂心
证明：
得
即同理,故H就是△源自ＢC得垂心与“内心”有关得向量问题
6已知为所在平面上得一点,且,，．若，则就是得（）
。Ａ．重点ﻩB．外心ﻩC.内心ﻩD.垂心
【解析】∵,，则由题意得,
∵ ，
∴.∵与分别为与方向上得单位向量，∴与平分线共线，即平分。
平面向量基本定理与三角形四心
已知就是内得一点,得面积分别为，,，求证：
如图2延长与边相交于点则
图1
图2
推论就是内得一点，且，则
有此定理可得三角形四心向量式
就是得重心
就是得内心
就是得外心
就是得垂心
证明:如图为三角形得垂心，
同理得，
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关于三角形的“四心”与平面向量的结合
——江苏省泰兴市蒋华中学柳金爱
[关键字]高中|数学|平面向量|内心|外心|重心|垂心
[内容摘要]每年全国各地高考试卷中,都有不少习题与三角形的“四心”有关，学生在解决这些问题时错误率较高，甚至是无从下手.笔者搜集了部分资料，结合本人积累的一些高三知识，就高中新课标向量的相关知识进行阐述，对有关三角形的“四心”的相关知识进行复习.特别体现出它们之间的结合,不当疏漏之处,恳请读者批评指正.
一、基础知识复习
1.定义：我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心,即三角形内切圆圆心;三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形的外心,即三角形外接圆圆心;三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心;三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.我们将三角形的“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”合称为三角形的“四心”.
2.应用:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应中线长的三分之二;三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边.
3.注意点:三角形的“四心”与平面向量知识的结合.
二、典型例题分析
[例]已知点G是ABC
所在平面内一点.试根 内任意一点,点M是ABC
据下列条件判断G点可能通过ABC
的__________心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).
[提出问题]
(1)若存在常数λ,满足()(0)AB AC MG MA AB AC
λλ=++≠ ,则点G 可能通过ABC 的__________.
(2)若点D 是ABC 的底边BC 上的中点,满足GD GB GD GC = ,则点G 可能
通过ABC 的__________.
(3)若存在常数λ,满足()(0)sin sin AB AC MG MA AB B AC C
λλ=++≠ ,则点G 可能通过ABC 的__________.
(4)若存在常数λ,满足()(0)cos cos AB AC MG MA AB B AC C
λλ=++≠ ,则点G 可能通过ABC 的__________.
[思路分析]以上四个问题的解决要求不同,除了熟悉三角形的“四心”的性质,同时更要熟悉平面向量的性质,对于平面向量与三角函数的结合也要相当熟悉.
[解答过程](1)记12,AB AC e e AB AC
== ,则12()AG e e λ=+ .由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G 是角平分线上的点,故应填内心.
(2)简单的变形后发现点G 是BC 边中垂线上的点,故应填外心. (3)sin sin ,AB B AC C =∴ 记sin sin AB B AC C h == , 则''()()AG AB AC h
λλλ=+= .由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G 是BC 边的中线上的点,故应填重心.
(4)分析后发现,本题学生难以找到解决问题的突破口,主要在于平面
向量的数量积的充分利用.由()(0)cos cos AB AC MG MA AB B AC C
λλ=++≠ , 得()(0)cos cos AB AC AG AB B AC C
λλ=+≠ , (关键点) ()(0)cos cos AB AC AG BC BC AB B AC C
λλ=+≠ 于是()(0)cos cos )()0
AB BC AC BC AG BC AB B AC C BC B BC B BC BC λλλπλ=+≠=+-+= （cos(-cos ）=. 从而AG BC ⊥ ,点G 是高线上的点,故应填垂心.
[教师点评]以上四个问题处理的方法各不相同,注意到平面向量及三角形的“四心”的性质在解答问题时的作用.特别注意第四问两边同乘以某个表达式的技巧.
三、 综合运用
[提出问题]若O 点是ABC 的外心, H 点是ABC 的垂心,
且()OH m OA OB OC =++ ,求实数m 的值.
[思路分析]许多学生在解答此类题时，只能用特殊值的方法解决.要求学生能够充分利用本节提到的一些基础知识及相关性质解题.
[解答过程]由()OH m OA OB OC =++ ,得()OH OA m OA OB OC OA -=++- ,
于是(1)()HA m OA m OB OC =-++ ,
(关键点) (1)()HA BC m OA BC m OB OC BC =-++
即(1)()()HA BC m OA BC m OB OC OC OB =-++- ,
由题意,知0HA BC = ,及()()0OB OC OC OB +-= ,从而(1)0m OA BC -= ,
其中0OA BC ≠ ,因此10,1m m -==即.
[教师点评]请读者特别注意解题中的关键点,解这类问题时的技巧也应熟练掌握.
[举一反三]通过上述例题及解答,我们可以总结出关于三角形“四心”的向量表达式.若P 点为ABC 内任意一点，若P 点满足:
1．(),0()0AB AC AP AB AC P ABC BA BC BP t t BA BC λλ⎧=+>⎪⎪⎪⇒⎨⎪=+>⎪⎪⎩
为的内心，; 2.D E 、两点分别是ABC 的边BC CA 、上的中点,且
DP PB DP PC P ABC EP PC EP PA
⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩ 为的外心; 3. 1(),31()3AP AB AC P ABC BP BA BC ⎧=+⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩
为的重心，; 4. 00
AP BC P ABC BP AC ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩ 为的垂心.。