【2010年高考一模数学(理)·深圳卷】2010年深圳市高考一模数学试题(word版)

绝密★启用前试卷类型：A2010年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科） 2010.03本试卷共6页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

不按要求填涂的，答案无效。

3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．设a ∈R ，若i )i (2-a （i 为虚数单位）为正实数，则a =A ．2B ．1C ．0D ．1-2．设集合}21|{<-=x x M ，{|(3)0}N x x x =-<，那么“M a ∈”是“N a ∈”的A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．如图1，一个简单组合体的正视图和侧视图都是 由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形， 俯视图是一个半径为3的圆（包括圆心）．则该 组合体的表面积（各个面的面积的和）等于 A ．π15 B ．π18正视图、侧视图俯视图∙C．π21D．π244．曲线xy sin=，xy cos=与直线0=x，2π=x所围成的平面区域的面积为A．⎰π-2)cos(sin dxxx B．⎰π-4)cos(sin2dxxxC．⎰π-2)sin(cos dxxx D．⎰π-4)sin(cos2dxxx5．已知函数xxxf2)(+=，xxxg ln)(+=，1)(--=xxxh的零点分别为,,21xx 3x，则321,,xxx的大小关系是A．123x x x<<B．213x x x<<C．132x x x<<D．321x x x<<6．若曲线C：04542222=-+-++aayaxyx上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为A．)2,(--∞B．)1,(--∞C．),1(∞+D．),2(∞+7．已知三个正态分布密度函数222)(e21)(iixiixσμ--σπ=ϕ（R∈x，3,2,1=i）的图象如图2所示，则A．321μμμ=<，321σσσ>=B．321μμμ=>，321σσσ<=C．321μμμ<=，321σσσ=<D．321μμμ=<，321σσσ<=8．设naaa,,,21是n,,2,1 的一个排列，把排在ia的左．边．且比ia小．的数的个数称为ia的顺序数（ni,,2,1=）．如：在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为A．48 B．96 C．144 D．192二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．设等差数列}{na的前n项和为nS，若819=S，则=++852aaa．10．已知44332214)21(xaxaxaxaax++++=+，则4321432aaaa-+-= ．11．若双曲线2213x ym-=的右焦点与抛物线212y x=的焦点重合，则=m．12．若不等式aaxx4|3||1|+≥-++对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是．13．图3中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法．若输入2010=m，1541=n，则输出=m．（注：框图中的的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”）（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为⎩⎨⎧-=-=.24,12tytx（参数R∈t），以直角坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立相应的极坐标系．在此极坐标系中，若圆C 的极坐标方程为2cosρθ=，则圆心C到直线l的距离为．15．（几何证明选讲选做题）如图4，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E．若32=PA，APB∠=3图P三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数)3sin()6sin(2)(π+π-=x ωx ωx f （其中ω为正常数，R ∈x ）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）在△ABC 中，若B A <，且21)()(==B f A f ，求ABBC ．17．（本小题满分12分）如图5，已知直角梯形ACDE 所在的平面垂直于平面ABC ，90BAC ACD ∠=∠=︒，60EAC ∠=︒，AB AC AE ==．（1）在直线BC 上是否存在一点P ，使得//DP 平面EAB ？请证明你的结论； （2）求平面EBD 与平面ABC 所成的锐二面角θ的余弦值．18．（本小题满分14分）已知)(x f 是二次函数，)(x f '是它的导函数，且对任意的R ∈x ，2)1()(x x f x f ++='恒成立．（1）求)(x f 的解析表达式；（2）设0>t ，曲线C ：)(x f y =在点))(,(t f t P 处的切线为l ，l 与坐标轴围成的三角形面积为)(t S ．求)(t S 的最小值．ABCDE 5图19．（本小题满分14分）某投资公司在2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可 能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35、13和115． （1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； （2）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润＋本金）可以翻一番？（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）20．（本小题满分14分）已知A 、B 分别是直线x y 33=和x y 33-=上的两个动点，线段AB 的长为32， P 是AB 的中点．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点)0,1(Q 作直线l （与x 轴不垂直）与轨迹C 交于M N 、两点，与y 轴交于点R ．若RM MQ λ= ，RN NQ μ=，证明：λμ+为定值．21．（本小题满分14分）在单调递增数列}{n a 中，11=a ，22=a ，且12212,,+-n n n a a a 成等差数列，22122,,++n n n a a a 成等比数列， ,3,2,1=n ．（1）分别计算3a ，5a 和4a ，6a 的值； （2）求数列}{n a 的通项公式（将n a 用n 表示）； （3）设数列}1{na 的前n 项和为n S ，证明：24+<n n S n ，*n N ∈．2010年深圳市高三年级第一次调研考试 数学（理科）参考答案及评分标准说明：1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2、对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9． 27 ． 10． －8 ． 11． 6 ． 12．}2{)0,( -∞． 13． 67 ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．2． 15．7710．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数)3sin()6sin(2)(π+π-=x ωx ωx f （其中ω为正常数，R ∈x ）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）在△ABC 中，若B A <，且21)()(==B f A f ，求ABBC ． 解：（1）∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡π-π+π-=π+π-=2)3(cos )6sin(2)3sin()6sin(2)(x ωx ωx ωx ωx f )6cos()6sin(2π-π-=x ωx ω)32sin(π-=x ω． ……………4分而)(xf的最小正周期为π，ω为正常数，∴π=πω22，解之，得1=ω．………………………6分（2）由（1）得)32sin()(π-=xxf．若x是三角形的内角，则π<<x0，∴35323π<π-<π-x．令21)(=xf，得21)32sin(=π-x，∴632π=π-x或6532π=π-x，解之，得4π=x或127π=x．由已知，BA,是△ABC的内角，BA<且21)()(==BfAf，∴4π=A，127π=B，∴6π=--π=BAC．…………………………10分又由正弦定理，得221226sin4sinsinsin==ππ==CAABBC．…………………………12分说明：本题主要考查三角变换、诱导公式、三角函数的周期性、特殊角的三角函数值、正弦定理等基础知识，以及运算求解能力．17．（本小题满分12分）如图5，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，90BAC ACD∠=∠=︒，60EAC∠=︒，AB AC AE==．（1）在直线BC上是否存在一点P，使得//DP平面EAB？请证明你的结论；（2）求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值．解：（1）线段BC的中点就是满足条件的点P．…1分证明如下：取AB的中点F连结DP PF EF、、，则ACFP//，ACFP21=， (2)分取AC 的中点M ，连结EM EC 、， ∵AC AE =且60EAC ∠=︒， ∴△EAC 是正三角形，∴AC EM ⊥． ∴四边形EMCD 为矩形， ∴AC MC ED 21==．又∵AC ED //，………3分 ∴FP ED //且ED FP =，四边形EFPD 是平行四边形．……………………4分 ∴EF DP //，而EF ⊂平面EAB ，DP ⊄平面EAB ，∴//DP 平面EAB ． ……………………6分（2）（法1）过B 作AC 的平行线l ，过C 作l 的垂线交l 于G ，连结DG ， ∵AC ED //，∴l ED //，l 是平面EBD 与平面ABC 所成二面角的棱．……8分∵平面EAC ⊥平面ABC ，AC DC ⊥，∴⊥DC 平面ABC ， 又∵⊂l 平面ABC ，∴⊥l 平面DGC ，∴DG l ⊥， ∴DGC ∠是所求二面角的平面角．………………10分 设a AE AC AB 2===，则a CD 3=，a GC 2=，∴a CD GC GD 722=+=， ∴772cos cos ==∠=GD GC DGC θ． ………12分 （法2）∵90BAC ∠=︒，平面EACD ⊥平面ABC ， ∴以点A 为原点，直线AB 为x 轴，直线AC 为y 轴，建立空间直角坐标系xyz A -，则z 轴在平面EACD 内（如图）．设a AE AC AB 2===，由已知，得)0,0,2(a B ，)3,,0(a a E ，)3,2,0(a a D ．∴)3,,2(a a a --=，)0,,0(a =，………………………8分设平面EBD 的法向量为),,(z y x =n ，A BCDE PMFGE则⊥n 且⊥n ， ∴⎩⎨⎧=⋅=⋅.0,0ED EB n n∴⎩⎨⎧==--.0,032ay az ay ax解之得⎪⎩⎪⎨⎧==.0,23y z x取2z =，得平面EBD 的一个法向量为)2,0,3(=n . …………………………10分又∵平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(='n ．77210020)3(120003,cos cos 222222=++⋅++⨯+⨯+⨯=>'<=θn n ．………………………12分说明：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．18．（本小题满分14分）已知)(x f 是二次函数，)(x f '是它的导函数，且对任意的R ∈x ，2)1()(x x f x f ++='恒成立．（1）求)(x f 的解析表达式；（2）设0>t ，曲线C ：)(x f y =在点))(,(t f t P 处的切线为l ，l 与坐标轴围成的三角形面积为)(t S ．求)(t S 的最小值．解：（Ⅰ）设c bx ax x f ++=2)(（其中0≠a ），则b ax x f +=2)('， ………………2分c b a x b a ax c x b x a x f +++++=++++=+)2()1()1()1(22．由已知，得22(1)(2)ax b a x a b x a b c +=++++++， ∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+b c b a a b a a 2201，解之，得1-=a ，=b ，1=c ，∴1)(2+-=x x f ． ………………5分（2）由（1）得，)1,(2t t P -，切线l 的斜率t t f k 2)('-==，∴切线l 的方程为)(2)1(2t x t t y --=--，即122++-=t tx y ． ………………7分从而l 与x 轴的交点为)0,21(2tt A +，l 与y 轴的交点为)1,0(2+t B ， ∴tt t S 4)1()(22+=（其中0>t ）． ………9分∴224)13)(13)(1()('tt t t t S -++=． ……………11分 当330<<t 时，0)('<t S ，)(t S 是减函数；当33>t 时，0)('>t S ，)(t S 是增函数． ……13分∴93433)]([min =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=S t S ． …………14分 说明：本题主要考查二次函数的概念、导数的应用等知识，以及运算求解能力．19．（本小题满分14分）某投资公司在2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29； 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35、13和115． （1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； （2）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润＋本金）可以翻一番？（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）解：（1）若按“项目一”投资，设获利1ξ万元，则1ξ的分布列为17300(150)20099E ξ∴=⨯+-⨯=（万元）. ………………………2分若按“项目二”投资，设获利2ξ万元，则2ξ的分布列为：23500(300)02005315E ξ∴=⨯+-⨯+⨯=（万元）. ………4分又22172(300200)(150200)3500099D ξ=-⨯+--⨯=， …………5分2222311(500200)(300200)(0200)1400005315D ξ=-⨯+--⨯+-⨯=，…………6分所以12E E ξξ=，12D D ξξ<，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一投资． ……8分 （2）假设n 年后总资产可以翻一番，依题意：2001000(1)20001000n+=，即1.22n=，………10分两边取对数得：lg 20.30103.80532lg 2lg3120.30100.47711n ==≈+-⨯+-．所以大约4年后，即在2013年底总资产可以翻一番． ……………13分 答：建议该投资公司选择项目一投资；大约在2013年底，总资产可以翻一番．…14分 说明：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差、对数的运算等知识，以及运用这些知识解决实际问题的能力． 20．（本小题满分14分）已知A 、B 分别是直线x y 33=和x y 33-=上的两个动点，线段AB 的长为32，P 是AB 的中点．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点)0,1(Q 任意作直线l （与x 轴不垂直），设l 与（1）中轨迹C 交于M N 、两点，与y 轴交于R 点．若RM MQ λ= ，RN NQ μ=，证明：λμ+为定值．解：（1）设),(y x P ，),(11y x A ，),(22y x B ．∵P 是线段AB 的中点，∴1212,2.2x x xy y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩………2分∵A B 、分别是直线3y x =和3y x =上的点，∴113y x =和223y x =-．∴1212,.3x x y y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩…………4分又AB =，∴12)()(221221=-+-y y x x ． …………5分 ∴22412123y x +=，∴动点P 的轨迹C 的方程为2219x y +=． …………6分 （2）依题意，直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为(1)y k x =-．…………7分 设),(33y x M 、),(44y x N 、),0(5y R ，则M N 、两点坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.19,)1(22y x x k y 消去y 并整理，得2222(19)18990k x k x k +-+-=， …………9分∴22439118k k x x +=+， ① 23429919k x x k -=+． ② ………10分∵MQ RM λ=，∴[]),()0,1(),0(),(33533y x y y x -λ=-．即⎩⎨⎧λ-=--λ=.,)1(35333y y y x x ∴)1(33x x -λ=．∵l 与x 轴不垂直，∴13≠x ，∴331x x -=λ，同理441x x -=μ． ………12分∴443311x xx x -+-=μ+λ34343434()21()x x x x x x x x +-=-++． 将①②代入上式可得49-=μ+λ． …………14分说明：本题主要考查直线与椭圆的的有关知识、求轨迹方程的方法，以及运算求解和推理论证能力．21．（本小题满分14分）在单调递增数列}{n a 中，11=a ，22=a ，且12212,,+-n n n a a a 成等差数列，22122,,++n n n a a a 成等比数列， ,3,2,1=n ．（1）分别计算3513,a a a a 和4624,a aa a 的值；（2）求数列}{n a 的通项公式（将n a 用n 表示）；（3）设数列}1{na 的前n 项和为n S ，证明：24+<n n S n ，*n N ∈．解：（1）由已知，得31222123=-⨯=-=a a a ，292322234===a a a ，632922345=-⨯=-=a a a ，829624256===a a a ． …………………………2分（2）（法1）∵12212,,+-n n n a a a 成等差数列，∴122122-+-=n n n a a a ， ,3,2,1=n ； ∵22122,,++n n n a a a 成等比数列，∴nn n a a a 221222++=， ,3,2,1=n ． 又1313=a a ，2435=a a ，3557=a a ，……；4924=a a ，91646=a a ，162568=a a ，…… ∴猜想nn a a n n 21212+=-+，222212⎪⎭⎫⎝⎛++=+n n a a n n ，*n N ∈， …………………………4分以下用数学归纳法证明之．①当1=n 时，1211313112112+===-⨯+⨯a a a a ，22412212112149⎪⎭⎫⎝⎛++===⨯+⨯a a a a ，猜想成立；②假设)1(≥=k k n 时，猜想成立，即k k a a k k 21212+=-+，222212⎪⎭⎫⎝⎛++=+k k a a k k ，那么1222212121222121212221232-=-⨯=-=+++++++++kk k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a1212411412212121212121212-+++⨯=-+⨯=-+=-+-++-+k k k k a a a a a a a k k k k k k k 12)1(11)2(2+++=-++=k k k k ，222122222232222223222422⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==++++++++++k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a 222222222222222122⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++++k k k k k k k k a a a a a a a a 221)1(2)1(121122⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++⨯=k k k k k k ．∴1+=k n 时，猜想也成立．由①②，根据数学归纳法原理，对任意的*n N ∈，猜想成立． ……………6分 ∴32125232573513112-----⨯⨯⨯⨯⨯⨯=n n n n n a a a a a a a a a a a a 2)1(1123524131+=-+⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=n n n n n n ，22268462422-⨯⨯⨯⨯⨯=n nn a a a aa a a a a a 2)1(1453423222222+=⎪⎭⎫⎝⎛+⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=n n n ． ………8分（注：如果用数学归纳法仅证明了nn a a n n 21212+=-+，*n N ∈， 则由21(1)2n n n a -+=，得2)1(22)2)(1(2)1(2212122+=++++=+=+-n n n n n a a a n n n； 如果用数学归纳法仅证明222212⎪⎭⎫⎝⎛++=+n n a a n n ，*n N ∈，则由2)1(22+=n a n，得2)2)(1(2)2(2)1(2222212++=+⨯+==++n n n n a a a n n n ， 又2)11(111+⨯==a 也适合，∴2)1(12+=-n n a n ．）∴当n 为奇数时，8)3)(1(212121++=⎪⎭⎫⎝⎛+++=n n n n a n ；当n 为偶数时，8)2(21222+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n a n ． 即数列}{n a 的通项公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,8)2(,8)3)(1(2． ………9分 （注：通项公式也可以写成16)1(721812n n n n a -+++=）（法2）令1212-+=n n n a ab ，*n N ∈，则12222121212221212122212321-=-⨯=-==++++++++++kk k k k k k k k k k n a a a a a a a a a a a b11411412212121212121212-+=-+⨯=-+=-+-++-+nnk k k k k k k b b a a a a a a a ． ∴n n n b b b +-=-+1)1(211，1121)1(22)1(111-+=-+-=-+n n n n b b b b ． 从而2111111=---+n n b b （常数），*n N ∈，又21111=-b ，故}11{-n b 是首项为21，公差为21的等差数列，∴221)1(2111nn b n =⨯-+=-，解之，得n n b n 2+=，即nn a a n n 21212+=-+，*n N ∈． …………………………6分∴32125232573513112-----⨯⨯⨯⨯⨯⨯=n n n n n a aa a a a a a a a a a2)1(1123524131+=-+⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=n n n n n n ，从而2)1(22)2)(1(2)1(2212122+=++++=+=+-n n n n n a a a n n n ．（余同法1）……………………8分（注：本小题解法中，也可以令n n n a a b 222+=，或令122-=n n n a ab ，余下解法与法2类似） （3）（法1）由（2），得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,)2(8,)3)(1(812． 显然，2114341111+⨯=<==a S ； …………………10分 当n 为偶数时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⨯+++⨯++⨯++⨯=2222)2(1)2(18186161641414218n n n S n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯<)2(1)2(18618616416414214218n n n n⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2118161614141218n n2421218+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n ； …………………12分 当n 为奇数（3≥n ）时，)3)(1(82)1()1(411++++--<+=-n n n n a S S n n n 24)3)(2)(1(8242)3)(1(211424+<+++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++-++=n nn n n n n n n n n n n n n . 综上所述，24+<n nS n ，*n N ∈． …………………………14分（解法2）由（2），得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,)2(8,)3)(1(812． 以下用数学归纳法证明24+<n nS n ，*n N ∈．①当1=n 时，2114341111+⨯=<==a S ； 当2=n 时，222422321111212+⨯=<=+=+=a a S ．∴2,1=n 时，不等式成立． ………………………………11分②假设)2(≥=k k n 时，不等式成立，即24+<k kS k ， 那么，当k 为奇数时，211)3(8241+++<+=++k k k a S S k k k 22)3)(2(83)1(431)3(2243)1(4++-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++++++=k k k k k k k k k k k 2)1()1(4+++<k k ； 当k 为偶数时，)4)(2(824111++++<+=++k k k k a S S k k k )4)(3)(2(83)1(431)4)(2(2243)1(4+++-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+++++++=k k k k k k k k k k k k k2)1()1(4+++<k k ． ∴1+=k n 时，不等式也成立．由①②，根据数学归纳法原理，对任意的*n N ∈，不等式24+<n nS n 成立．……14分说明：本题主要考查等差数列、等比数列、递推数列的有关概念，考查归纳推理、数学归纳法、分类讨论、不等式的放缩、差分、累积等重要数学思想方法，并对学生的创新意识、推理论证能力、运算求解能力进行了考查．。